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高中数学圆的方程典型例题(学生版)


专题四:高中数学圆的方程典型例题——圆的方程 例 1 求过两点 A(1 , 4) 、 B(3 , 2) 且圆心在直线 y ? 0 上的圆的标准方程并 判断点 P(2 , 4) 与圆的关系.

说明:本题利用两种方法求解了圆的方程,都围绕着求圆的 圆心和半径这两个关键的量,然后根据圆心与定点之间的距离和 半径的大小关系来判定点与圆的位置关系,若将点换成直线又该

如何来判定直线与圆的位置关系呢? 例 2 求半径为 4,与圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 4 ? 0 相切,且和直线 y ? 0 相切 的圆的方程.

例 3 求经过点 A(0 , 5) ,且与直线 x ? 2 y ? 0 和 2 x ? y ? 0 都相切的圆的方 程.

说明:本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平 分线上,从而确定圆心坐标得到圆的方程,这是过定点且与两已 知直线相切的圆的方程的常规求法. 例 4、 设圆满足:(1)截 y 轴所得弦长为 2;(2)被 x 轴分成两段弧, 其弧长的比为 3 : 1 ,在满足条件 (1)(2) 的所有圆中,求圆心到直线
l:x ? 2 y ? 0 的距离最小的圆的方程.
1

说明:本题是求点到直线距离最小时的圆的方程,若变换为 求面积最小呢?

专题五:高中数学圆的方程典型例题——切线方程、切点弦 方程、公共弦方程、弦长、弧问题、 例1 已知圆 O:x2 ? y 2 ? 4 ,求过点 P?2, 4? 与圆 O 相切的切线.

例 2 两圆 C1:x2 ? y 2 ? D1x ? E1 y ? F1 ? 0 与 C2:x2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 相交于
A 、 B 两点,求它们的公共弦 AB

所在直线的方程.

2

例 3 过圆 x 2 ? y 2 ? 1 外一点 M (2,3) ,作这个圆的两条切线 MA 、 MB , 切点分别是 A 、 B ,求直线 AB 的方程。

例4

求直线 l : 3x ? y ? 6 ? 0 被圆 C : x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 截得的弦 AB 的长.

例 5 求两圆 x2 ? y 2 ? x ? y ? 2 ? 0 和 x2 ? y 2 ? 5 的公共弦长

练习: 1.求过点 M (3,1) ,且与圆 ( x ?1)2 ? y2 ? 4 相切的直线 l 的方程. 2、过坐标原点且与圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 5 ? 0 相切的直线的方程为
2

3、已知直线 为 4、直线 .

5 x ? 12 y ? a ? 0

与圆

x 2 ? 2x ? y 2 ? 0

相切,则

a

的值

3x ? y ? 2 3 ? 0 截圆 x 2 ? y 2 ? 4 得的劣弧所对的圆心角为
3

专题六: 高中数学圆的方程典型例题——直线与圆的位置关系 例 1、已知直线 的位置关系.
3x ? y ? 2 3 ? 0 和圆 x 2 ? y 2 ? 4 ,判断此直线与已知圆

例 2、 若直线 y ? x ? m 与曲线 y ?
m 的取值范围.

4 ? x2

有且只有一个公共点, 求实数

. 例3 个? 圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? 9 上到直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 的距离为 1 的点有几

4

练习 1:直线 x ? y ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? 2ay ? 0 (a ? 0) 没有公共点,则 a 的取 值范围是

练习 2:若直线 y ? kx ? 2 与圆 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 有两个不同的交点,则
5

k 的取值范围是

.

练习 3:

圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 3 ? 0 上到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为

2 的点

共有( ) . (A)1 个 4个 (B)2 个 (C)3 个 (D)

练习 4 :
2

过点 P?? 3, ? 4? 作直线 l ,当斜率为何值时,直线 l 与圆
2

?x ?1? ? ? y ? 2? ? 4 有公共点,如图所示. C:
y

O

x

E

P
6

专题七:高中数学圆的方程典型例题——圆与圆的位置关系及 圆中的对称问题 例 1、判断圆 C1 : x 2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ? 26 ? 0 与圆 C2 : x 2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 4 ? 0 的位 置关系,

例 2:圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 和圆 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 0 的公切线共有

条。

例 3、圆 x2 ? y2 ? 2x ? 6 y ? 9 ? 0 关于直线 2 x ? y ? 5 ? 0 对称的圆的方程是

y

例4

3? 发出的光线 l 射到 x 轴上, 自点 A?? 3,
A

M C N

被 x 轴反射,反射光线所在的直线与圆
C:x ? y ? 4 x ? 4 y ? 7 ? 0 相切
2 2

(1)求光线 l 和反射光线所在的直线
7

G O

B

x

A’



方程. (2)光线自 A 到切点所经过的路程.

练习 1:若圆 x 2 ? y 2 ? 2mx ? m2 ? 4 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 4my ? 4m2 ? 8 ? 0 相切,则 实数 m 的取值集合是 .
5 的圆的方程.

2:求与圆 x 2 ? y 2 ? 5 外切于点 P(?1,2) ,且半径为 2

专题八:高中数学圆的方程典型例题——圆中的最值问题 例 1:圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 10 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 14 ? 0 的最大距离与 最小距离的差是

8

例 2

(1) 已知圆 O1: ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 1 , P( x , y) 为圆 O 上的动点,求

d ? x 2 ? y 2 的最大、最小值. (2)已知圆 O2: ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 , P( x , y) 为圆上

任一点.求 y ? 2 的最大、最小值,求 x ? 2 y 的最大、最小值.
x ?1

例 3 :已知 A(?2,0) , B(2,0) ,点 P 在圆 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 4 上运动,则
PA ? PB
2 2

的最小值是

.
9

练习: 1:已知点 P( x, y ) 在圆 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 上运动. (1)求
y ?1 的最大值与最小值; (2)求 2 x ? y 的最大值与最小值. x?2

2 设点 P( x , y) 是圆 x 2 ? y 2 ? 1是任一点,求 u ?
10

y?2 的取值范围. x ?1

3、已知点
PA ? PB ? PC
2 2

A(?2,?2), B(?2,6), C (4,?2)
2

, 点 P 在 圆 x2 ? y2 ? 4 上 运 动 , 求

的最大值和最小值.

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专题九:高中数学圆的方程典型例题——轨迹问题 例1 已知点 M 与两个定点 O(0,0) ,A(3,0) 的距离的比为 1 , 求点 M 的
2

轨迹方程.

例 2

已 知 线 段 AB 的 端 点 B 的 坐 标 是 ( 4 , 3 ) ,端点 A 在圆

( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4 上运动,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程.

例 3

已知圆的方程为 x 2 ? y 2 ? r 2 ,圆内有定点 P(a , b) ,圆周上有两

个动点 A 、 B ,使 PA ? PB ,求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程.

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练习: 1、由动点 P 向圆 x 2 ? y 2 ? 1 引两条切线 PA 、 PB ,切点分别为 A 、 B ,
?APB=60
0

,则动点 P 的轨迹方程是

.

2、设 A(?c,0), B(c,0)(c ? 0) 为两定点,动点 P 到 A 点的距离与到 B 点的距 离的比为定值 a(a ? 0) ,求 P 点的轨迹.

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3、已知两定点 A(?2,0) , B(1,0) ,如果动点 P 满足 PA ? 2 PB ,则点 P 的 轨迹所包围的面积等于 ____________ 4、已知定点 B(3,0) ,点 A 在圆 x 2 ? y 2 ? 1 上运动, M 是线段 AB 上的一 点,且 AM .
? 1 MB ,问点 M 的轨迹是什么? 3

5、已知定点 B(3,0) ,点 A 在圆 x 2 ? y 2 ? 1 上运动, ?AOB 的平分线交 AB 于点 M ,则点 M 的轨迹方程是 .

6、已知直线 y ? kx ? 1与圆 x 2 ? y 2 ? 4 相交于 A 、 B 两点,以 OA 、 OB 为 邻边作平行四边形 OAPB,求点 P 的轨迹方程. 、

14

专题十:高中数学圆的方程典型例题——圆的综合应用 例 1、 已知圆 x2 ? y 2 ? x ? 6 y ? m ? 0 与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 相交于 P 、Q 两点,
O 为原点,且 OP ? OQ ,求实数 m 的值.

说明:求解本题时,应避免去求 P 、 Q 两点的坐标的具体数 值.除此之外,还应对求出的 m 值进行必要的检验,这是因为在求 解过程中并没有确保有交点 P 、 Q 存在.
15

例 2、已知对于圆 x2 ? ( y ?1)2 ? 1上任一点 P( x , y) ,不等式 x ? y ? m ? 0 恒 成立,求实数 m 的取值范围.

例 3 有一种大型商品, A 、 B 两地都有出售,且价格相同.某地居 民从两地之一购得商品后运回的费用是: 每单位距离 A 地的运费是
B 地的运费的

3 倍.已知 A 、 B 两地距离为 10 公里,顾客选择 A 地

或 B 地购买这种商品的标准是: 包括运费和价格的总费用较低. 求
A 、 B 两地的售货区域的分界线的曲线形状,并指出曲线上、曲线

内、曲线外的居民应如何选择购货地点.

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