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16电磁感应习题思考题


257

习题 16-1. 直导线中通以交流电,如图所示, 置于磁导率为 的介质中, 已知: I = I 0 sin ωt ,其中 I 0、ω 是大于零的常量.求:与其共面的 N 匝矩 形回路中的感应电动势. 解: B =

I 2π x
d +a d

Φ=∫

Il d + a I ldx = ln 2π x 2π d

ε = N

N I 0ω l d + a dΦ = ln cos ωt dt 2π d

16-2. 如 图 所 示 , 长 直 导 线 中 通 有 电 流 I = 5.0 A , 在 与 其 相 距 d = 0.5cm 处放有一矩形线圈,共 1000 匝,设线圈长 l = 4.0cm ,宽 a = 2.0cm 。不计线圈自感,若线圈以速度 v = 3.0cm/s 沿垂直于长导线的 方向向右运动,线圈中的感生电动势多大? 解: ε ab = NB2 lv

ε dc = NB1lv

ε = ε dc ε ab
= NB1lv NB2lv =

0 IN 1 0 IalvN 1 ( )lv = = 1.92 ×10 4 2π d d + a 2π d (d + a )

16-3. 电 流为 I 的无限长直导线旁有一弧形 导线,圆心角 为

120 , 几何尺寸及位置如图所示。 求当圆弧形导线以速度 v 平行于长
直导线方向运动时,弧形导线中的动生电动势。 解:连接 AO 、 OB ,圆弧形导线与 AO 、 OB 形成闭合回 路,闭合回路的电动势为 0,所以圆弧形导线电动势与 AOB 直导线的电动势相等。

ε AO = ∫ v × B dl = ∫ ε OB = ∫ v × B dl = ∫ ε AB = ε AO + ε OB =

2R

R

0 Iv Iv dx = 0 ln 2 2 πx 2π

5 R 2 2R

0 Iv Iv 5 dx = 0 ln 2 πx 2π 4

0 Iv 5 ln 2π 2

16-4. 电阻为 R 的闭合线圈折成半径分别为 a 和 2a 的两个圆,如图所示,

258

将其置于与两圆平面垂直的匀强磁场内,磁感应强度按 B = B0 sin ωt 的规律变化。已知

a = 10cm , B0 = 2 × 10 2 T , ω = 50rad/s , R = 10 ,求线圈中感应电流的最大值。

I=

ε
R

=

1 dΦ 1 dB 3πa 2 B0ω cos ωt = [πa 2 + π (2a ) 2 ] = R dt R dt R

I max

3πa 2 B0ω 3π × 0.12 × 2 × 10 2 × 50 = = = 9.42 × 10 3 A R 10

dB > 0 的磁场,一直 dt 导线弯成等腰梯形的闭合回路 ABCDA ,总电阻为 R ,上底为 a ,下底为 2a ,求: (1) AD 段、 BC 段和闭合回路中的感应电动势; (2) B 、 C 两
16-5. 如图所示,半径为 a 的长直螺线管中,有 点间的电势差 U B U C 。 解:

∫ E dl =
r dB E1 = 2 dt E2 =

dΦ dt ra ra

a 2 dB 2r dt

ε AD = ∫ E 1 dl = ∫ E cos θdl =∫
a 2 a 2

r dB 2 dt

a 2 (a ) 2 2 dl r

=

3 2 dB a 4 dt

同理 ε BC =

∫ E 2 dl =

πa 2 dB 6 dt
ε = ε BC ε AD = ( dB dt πa 2 3a 2 dB ) 逆时针方向 6 4 dt

整个闭合回路的电动势

U B U C = (

π+ 3
10

)a 2

16-6. 圆柱形匀强磁场中同轴放置一金属圆柱体,半径为 R ,高为 h , 如图所示。 若匀强磁场以 电阻率为 ρ ,

dB = k (k > 0, k为恒量) 的规律变化, dt

259

求圆柱体内涡电流的热功率. 解:在圆柱体内任取一个半径为 r ,厚度为 dr ,高为 h 的小圆柱通壁

dΦ dB = πr 2 dt dt 2πr 电阻 R = ρ hdr ε=

ε 2 h dB dP = = rdr R ρ dt P=∫ πh dB 2 3 πhk 2 R 4 ( ) r dr = 0 2 ρ dt 8ρ
R

16-7. 将金属薄片弯成如图所示回路,两端为半径为 a 的圆柱面,中间是边长为 l ,间 隔为 d 的两正方形平面,且 l >> a , a >> d .(1)试求该回 路的自感系数; 2)若沿圆柱面的轴向加变化磁场 (

B = B0 + kt ,试求回路中的电流 I (t ) .(回路中的电阻很小,
可忽略不计) 解: (1) B = 0 nI = 0

I l

W = wV = 2

1 B2 1 B2 2 π a 2l + l d 2 0 2 0

=

0 I 2
l

π a 2 + 0 I 2 d

1 2

1 2 LI 2 2 π a 2 L= 0 + 0 d l dI dΦ (2) ε = L = dΦ = S dB dt dt S 2π a 2 + ld lkt I = ∫ kdt = kt = 2 0π a 2 0 L + 0 d l
根据 W =

16-8. 一 螺 绕 环 , 每 厘 米 绕 40 匝 , 铁 心 截 面 积 3.0cm , 磁 导 率

2

= 200 0 ,绕组中通有电流 5.0mA ,环上绕有二匝次级线圈,求: (1)
两绕组间的互感系数; 若初级绕组中的电流在 0.10s 内由 5.0A 降低到 0, (2) 次级绕组中的互感电动势。 解: (1) B = nI

Φ = NBS = NnIS

260

Φ = NnS = 2 × 200 × 4π × 10 7 × 40 × 10 2 × 3 × 10 4 = 6.03 × 10 4 H I dI 50 = 6.03 × 10 4 × = 3.02 × 10 2 V (2) ε = M dt 0 .1 16-9. 如图,半径分别为 b 和 a 的两圆形线圈( b >> a ) ,在 t = 0 时共面放置,大圆形线 圈通有稳恒电流 I,小圆形线圈以角速度 ω 绕竖直轴转动,若小圆形线圈的电阻为 R , M =
求: (1)当小线圈转过 90 时,小线圈所受的磁力矩的大小; (2)从初始时刻转到该位 置的过程中,磁力矩所做功的大小。 解: B =

0 I 2b

任一时间穿过小线圈的磁通量 Φ = Bπa cos ωt
2

小线圈的感应电流 i =

ε 1 dΦ Bωπa 2 = = sin ωt R R dt R Bωπ 2 a 4 R

当 ωt =

π 时 2

p m = iπa 2 =

2 B 2 ωπ 2 a 4 0 I 2 ωπ 2 a 4 = M = Bp m = R 4Rb 2

W = ∫ iπa 2 Bdθ =

B 2 ωπa 2 R



π 2 0

sin 2 θdθ =

2 B 2 ωπ 2 a 4 0 I 2 ωπ 3 a 4 = R 16 Rb 2

16-10. 一同轴电缆由中心导体圆柱和外层导体圆筒组成,两者半径分别 为 R1 和 R2 ,导体圆柱的磁导率为 1 ,筒与圆柱之间充以磁导率为 2 的磁介 质。电流 I 可由中心圆柱流出,由圆筒流回。求每单位长度电缆的自感系数。 解: B1 =

1 Ir 2πR12
2 I 2πr

r R1

B2 =

R1 r R2

Wm = ∫
=

B2 B2 B2 dV = ∫ 1 dV + ∫ 2 dV 2 2 1 22

1 1 R1 1 Ir 2 ( ) 2π rdr + 2 1 ∫0 2π R12 22



R2

R1

(

2 I 2 ) 2π rdr 2π r

=

1I 2 2 I 2 R2 + ln 16π 4π R1

Wm = LI 2 / 2

261

单位长度自感 L =

1 2 R2 + ln 8π 2π R1

16-11. 一电感为 2.0H ,电阻为 10 的线圈突然接到电动势 ε = 100V ,内阻不计的电 源上,在接通 0.1s 时,求: (1)磁场总储存能量的增加率; (2)线圈中产生焦耳热的速率; (3)电池组放出能量的速率。 解: (1) I (t ) =
t ε (1 e L ) = 3.9 A R R

W (t ) =

1 2 LI 2
R R R

t t t dW (t ) dI ε2 = LI = εIe L = (1 e L )e L = 238 J s dt dt R

(2) P = I 2 R = 3.9 2 × 10 = 152 J s (3)电池组放出能量的速率 P = Iε = 390 J s 16-12. 在一对巨大的圆形极板(电容 C = 1.0 × 10
5 12

F )上,加上频率为 50Hz ,峰值

为 1.74 × 10 V 的交变电压,计算极板间位移电流的最大值。 解: I D = C

dU = ωCU m sin ωt dt

ω = 2π f

I Dm = ωCU m = 2π fCU m = 2π × 50 × 1.0 × 1012 × 1.74 × 105 = 5.46 × 105 A

思考题 16-1. 图为用冲击电流计测量磁极间磁场的装置。小线圈与冲击电流计相接,线圈面积 为 A ,匝数为 N ,电阻为 R ,其法向 n 与该处磁场方向相同,将小线圈迅速取出磁场时, 冲击电流计测得感应电量为 q ,试求小线圈所在位置的磁感应强度。 解: q =

∫ Idt = R ∫ εdt =
B= Rq NA

1

Φ NBA = R R

16-2. 图中 abcda 电路有电阻 R ,其中 bc 段的一部分绕成圆形,圆形区域有一与回路 平面垂直的均匀磁场 B ,在圆形导线的一边施加恒力 F ,由于 a 端 固定,假定该圆开始的半径为 r0 ,并维持以圆形的方式收缩,设导 线非常柔软,忽略导线的质量,问需要多长的时间圆形部分完全闭 合?

262

答: t =

2πB 2 3 r0 3RF

16-3. 在磁感应强度为 B 的均匀磁场内,有一面积为 S 的矩形线框,线框回路的电阻为 R (忽略自感) ,线框绕其对称轴以匀角速度 ω 旋转(如图所示) 。 (1)求在如图位置时线框所受的磁力矩为多大? (2)为维持线框匀角速度转动,外力矩对线框每转一周需作的功为多少?

答: Φ = BS cos φ = BS cos ωt

ε 1 = BSω sin ωt R R 1 p m = IS = BS 2 ω sin ωt R 1 M = Bp m sin ωt = B 2 S 2 ω sin 2 ωt R 2π 1 1 W = ∫ Mdθ = ∫ B 2 S 2 ω sin 2 θdθ = B 2 S 2 ωπ 0 R R I=
16-4. 一平板电容器充电以后断开电源,然后缓慢拉开电容器两极板的间距,则拉开过 程中两极板间的位移电流为多大?若电容器两端始终维持恒定电压,则在缓慢拉开电容器两 极板间距的过程中两极板间有无位移电流?若有位移电流,则它的方向怎样? 答: I d = C

dU , dt

16-5. 图 a 为一量值随时间减小,方向垂直纸面向内的变化电场, 均匀分布在圆柱形区域内.试在图 b 中画出: (1)位移电流的大致分布和方向; (2)磁场的大致分布和方向。 答: 略 16-6. 试写出与下列内容相应的麦克斯韦方程的积分形式: (1)电力线起始于正电荷终止于负电荷; (2)磁力线无头无尾; (3)变化的电场伴有磁场; (4)变化的磁场伴有电场。 解: (1) (2)

∫ D dS = ∑ q
S

i

∫ B dS = 0
S

263

(3) H dl =
S



∑I + ∫
c

(4) E dl =
S





D dS S t

D dS S t


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