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第一篇 集合与常用逻辑用语第1讲 集合的概念与运算


第1讲 【2013 年高考会这样考】 1.考查集合中元素的互异性. 2.求几个集合的交、并、补集.

集合的概念与运算

3.通过给的新材料考查阅读理解能力和创新解题的能力. 【复习指导】 1.主要掌握集合的含义、集合间的关系、集合的基本运算,立足基础,抓好双基. 2.练习题的难度多数控制在低中档即可,适当增加一些情境新颖的实际应用问题 或

新定义题目,但数量不宜过多.

基础梳理 1.集合与元素 (1)集合元素的三个特征:确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号∈或?表示. (3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法、区间法. (4)常用数集:自然数集 N;正整数集 N*(或 N+);整数集 Z;有理数集 Q;实数集 R. (5)集合的分类:按集合中元素个数划分,集合可以分为有限集、无限集、空集. 2.集合间的基本关系 (1)子集:对任意的 x∈A,都有 x∈B,则 A?B(或 B?A). (2)真子集:若 A?B,且 A≠B,则 A?B(或 B?A). (3)空集: 空集是任意一个集合的子集, 是任何非空集合的真子集. 即??A, ??B(B≠ ?). (4)若 A 含有 n 个元素,则 A 的子集有 2n 个,A 的非空子集有 2n-1 个. (5)集合相等:若 A?B,且 B?A,则 A=B.

3.集合的基本运算 (1)并集:A∪B={x|x∈A,或 x∈B}. (2)交集:A∩B={x|x∈A,且 x∈B}. (3)补集:?UA={x|x∈U,且 x?A}. (4)集合的运算性质 ①A∪B=A?B?A,A∩B=A?A?B; ②A∩A=A,A∩?=?; ③A∪A=A,A∪?=A; ④A∩?UA=?,A∪?UA=U,?U(?UA)=A.

一个性质 要注意应用 A?B、A∩B=A、A∪B=B、?UA??UB、A∩(?UB)=?这五个关系式的 等价性. 两种方法 韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴 图示法要特别注意端点是实心还是空心. 三个防范 (1)空集在解题时有特殊地位,它是任何集合的子集,是任何 非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,防止漏解. (2)认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形). (3)在解决含参数的集合问题时,要检验集合中元素的互异性,否则很可能会因为 不满足“互异性”而导致结论错误.

双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)设集合 A={x|2≤x<4},B={x|3x-7≥8-2x},则 A ∪B 等于( ). B.{x|x≥3} D.{x|x≥2}

A.{x|3≤x<4} C.{x|x>2}

解析 B={x|3x-7≥8-2x}={x|x≥3},∴结合数轴得:A∪B={x|x≥2}. 答案 D

2.(2011· 浙江)若 P={x|x<1},Q={x|x>-1},则( A.P?Q B.Q?P C.?RP?Q D.Q??RP

).

解析 ∵?RP={x|x≥1}∴?RP?Q. 答案 C 3.(2011· 福建)i 是虚数单位,若集合 S={-1,0,1},则( A.i∈S B.i2∈S C.i3∈S 2 D. i ∈S ).

解析 ∵i2=-1,∴-1∈S,故选 B. 答案 B 4.(2011· 北京)已知集合 P={x|x2≤1},M={a}.若 P∪M=P,则 a 的取值范围是 ( A.(-∞,-1] C.[-1,1] B. [1,+∞) D.(-∞,-1]∪[1,+∞) ).

解析 因为 P∪M=P,所以 M?P,即 a∈P,得 a2≤1,解得-1≤a≤1,所以 a 的取值范围是[-1,1]. 答案 C 5.(人教 A 版教材习题改编)已知集合 A={1,3,m},B={3,4},A∪B={1,2,3,4}, 则 m=________. 解析 A∪B={1,3,m}∪{3,4}={1,2,3,4}, ∴2∈{1,3,m},∴m=2. 答案 2

考向一

集合的概念

【例 1】?已知集合 A={m+2,2m2+m},若 3∈A,则 m 的值为________. [审题视点] 分 m+2=3 或 2m2+m=3 两种情况讨论. 解析 因为 3∈A,所以 m+2=3 或 2m2+m=3. 当 m+2=3,即 m=1 时,2m2+m=3,此时集合 A 中有重复元素 3,所以 m=1 3 不合乎题意,舍去;当 2m2+m=3 时,解得 m=-2或 m=1(舍去),此时当 m=-

3 1 3 时,m+2=2≠3 合乎题意.所以 m=-2. 2 3 答案 -2 集合中元素的互异性,一可以作为解题的依据和突破口;二可以检验所 求结果是否正确. 【训练 1】 设集合 A={-1,1,3},B={a+2,a2+2},A∩B={3},则实数 a 的值 为________. 解析 若 a+2=3,a=1,检验此时 A={-1,1,3},B={3,5},A∩B={3},满足 题意.若 a2+2=3,则 a=± 1.当 a=-1 时,B={1,3}此时 A∩B={1,3}不合题意, 故 a=1. 答案 1 考向二 集合的基本运算

【 例 2 】 ? (2011· 津 ) 已 知 集 合 A = {x ∈ R||x + 3| + |x - 4|≤9} , B = 天
? ? 1 ?x∈R|x=4t+ -6,t∈?0,+∞??,则集合 t ? ?

A∩B=________.

[审题视点] 先化简集合 A,B,再求 A∩B. 解析 不等式|x+3|+|x-4|≤9 等价于 ?x≥4, ?-3<x<4, ?x≤-3, ? 或? 或? ?x+3+x-4≤9 ?x+3+4-x≤9 ?-x-3+4-x≤9, 解不等式组得 A=[-4,5],又由基本不等式得 B=[-2,+∞),所以 A∩B= [-2,5]. 答案 {x|-2≤x≤5} 集合运算时首先是等价转换集合的表示方法或化简集合,然后用数轴图 示法求解. ? ?x-2 ? 【训练 2】 (2011· 江西)若集合 A={x|-1≤2x+1≤3}, ?x? B= 则 ≤0 ?, A∩B ? ? x ? =( ).

A.{x|-1≤x<0}

B.{x|0<x≤1}

C.{x|0≤x≤2}

D.{x|0≤x≤1}

解析 ∵A={x|-1≤x≤1},B={x|0<x≤2}, ∴A∩B={x|0<x≤1}. 答案 B 考向三 集合间的基本关系

【例 3】?已知集合 A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若 B?A,求实 数 m 的取值范围. [审题视点] 若 B?A,则 B=?或 B≠?,故分两种情况讨论. 解 当 B=?时,有 m+1≥2m-1,得 m≤2,

?m+1≥-2, 当 B≠?时,有?2m-1≤7, ?m+1<2m-1,
综上:m≤4.

解得 2<m≤4.

已知两集合的关系求参数时,关键是将两集合的关系转化为元素间的关 系,进而转化为参数满足的关系,解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮 助分析,而且经常要对参数进行讨论.
? ? ?m 【训练 3】 (2011· 江苏)设集合 A=??x,y?? 2 ≤?x-2?2+y2≤m2, ? ? ?

? ? x,y∈R?,B={(x,y)|2m≤x+y≤2m+1,x,y∈R}.若 A∩B≠?,则实数 m 的 ? ? 取值范围是________. 解析 ①若 m<0,则符合题的条件是:直线 x+y=2m+1 与圆(x-2)2+y2=m2 有 |2-2m-1| 2- 2 2+ 2 交点,从而 ≤|m|,解得 2 ≤m≤ 2 ,与 m<0 矛盾; 2 ②若 m=0,代入验证,可知不符合题意; m 1 ③若 m>0,则当 2 ≤m2,即 m≥2时,集合 A 表示一个环形区域,集合 B 表示一个 带形区域,从而当直线 x+y=2m+1 与 x+y=2m 中至少有一条与圆(x-2)2+y2= m2 有交点, 即符合题意, 从而有 |2-2m| |2-2m-1| 2- 2 ≤|m|或 ≤|m|, 解得 2 ≤m≤2 2 2

1 2- 2 1 + 2,由于2> 2 ,所以2≤m≤2+ 2. 1 综上所述,m 的取值范围是2≤m≤2+ 2. ?1 ? 答案 ?2,2+ 2? ? ?

难点突破 1——集合问题的命题及求解策略 在新课标高考中,可以看出,集合成为高考的必考内容之一,考查的形式是一道 选择题或填空题,考查的分值约占 5 分,难度不大.纵观近两年新课标高考,集 合考题考查的主要特点是:一是注重基础知识的考查,如 2011 年安徽高考的第 8 题;二是与函数、方程、不等式、三角等知识相结合,在知识的交汇点处命题, 如 2011 年山东高考的第 1 题,与不等式相结合;三是在集合的定义运算方面进行 了新的命题,如 2011 年浙江高考的第 10 题. 一、集合与排列组合 【示例】? (2011· 安徽)设集合 A={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7,8},则满足 S?A 且 S∩B≠?的集合 S 的个数是( A.57 C.49 B.56 D.8 ).

二、集合与不等式的解题策略 【示例】? (2011· 山东)设集合 M= {x|x2+x-6<0},N={x|1≤x≤3}, 则 M∩N 等于( A . [1,2) D.[2,3] ). C . (2,3]

B . [1,2]

三、集合问题中的创新问题 【示例】 (2011· ? 浙江)设 a, c 为实数, b, f(x)=(x+a)(x2+bx+c), g(x)=(ax+1)(cx2 +bx+1).记集合 S={x|f(x)=0,x∈R},T={x|g(x)=0,x∈R}.若|S|,|T|分别为 集合 S,T 的元素个数,则下列结论不可能的是( A.|S|=1 且|T|=0 C.|S|=2 且|T|=2 ).

B.|S|=1 且|T|=1 D.|S|=2 且|T|=3

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