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三角函数公式及推导公式


三角函数公式 定义式:
锐角三角函数 任意角三角函数

图形

任意 直角三角形 角三角函数

正弦(sin)

余弦(cos)

正切(tan 或 tg)

余切(cot 或 ctg)

正割(sec)

余割(csc)

函数关系
倒数关系:

商数关系:

平方关系:

诱导公式
公式一:设 为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:

公式二:设

为任意角, 与 的三角函数值之间的关系:

公式三:任意角 与 的三角函数值之间的关系:

公式四: 与 的三角函数值之间的关系:

公式五:

与 的三角函数值之间的关系:

公式六:

及 与

的三角函数值之间的关系:

记背诀窍:奇变偶不变,符号看象限.即形如(2k+1)90°±α,则函数名称 变为余名函数,正弦变余弦,余弦变正弦,正切变余切,余切变正切。形如 2k×90°±α,则函数名称不变。
诱导公式口诀“奇变偶不变,符号看象限”意义:

k×π/2±a(k∈z)的三角函数值. (1)当 k 为偶数时, 等于 α 的同名三角函数值, 前面加上一个把 α 看作锐角时原三角函数值的符号; (2)当 k 为奇数时,等于 α 的异名三角函数值,前面加上一个把 α 看作锐角时原 三角函数值的符号。 记忆方法一:奇变偶不变,符号看象限:

记忆方法二:无论 α 是多大的角,都将 α 看成锐角. 以诱导公式二为例:

若将 α 看成锐角(终边在第一象限),则 π 十 α 是第三象限的角(终边在 第三象限),正弦函数的函数值在第三象限是负值,余弦函数的函数值在第三象 限是负值,正切函数的函数值在第三象限是正值.这样,就得到了诱导公式二. 以诱导公式四为例:

若将 α 看成锐角(终边在第一象限),则 π-α 是第二象限的角(终边在第 二象限),正弦函数的三角函数值在第二象限是正值,余弦函数的三角函数值在 第二象限是负值,正切函数的三角函数值在第二象限是负值.这样,就得到了诱 导公式四. 诱导公式的应用:

运用诱导公式转化三角函数的一般步骤:

特别提醒:三角函数化简与求值时需要的知识储备:①熟记特殊角的三角函 数值;②注意诱导公式的灵活运用;③三角函数化简的要求是项数要最少,次数 要最低,函数名最少,分母能最简,易求值最好。

基本公式
和差角公式
二角和差公式

证明如图, 负号的情况只需要用-β 代替 β 即可. cot(α+β)推导只需把角 α 对边设为 1, 过程与 tan(α+β)相同.

证明正切的和差角公式

证明正弦、余弦的和差角公式

三角和公式

和差化积

口诀:正加正,正在前,余加余,余并肩,正减正,余在前,余减余,负正弦.

积化和差

倍角公式
二倍角公式

三倍角公式

证明:
sin3a =sin(a+2a) =sin^2a· cosa+cos^2a· sina =2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina =3sina-4sin^3a cos3a =cos(2a+a) =cos^2acosa-sin^2asina =(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^2a)cosa =4cos^3a-3cosa sin3a =3sina-4sin^3a =4sina(3/4-sin^2a) =4sina[(√3/2)-sina][(√3/2)+sina] =4sina(sin60° +sina)(sin60° -sina) =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60° -a)/2]*2sin[(60° -a)/2]cos[60° +a)/2] =4sinasin(60° +a)sin(60° -a) cos3a =4cos^3a-3cosa =4cosa(cos^2a-3/4) =4cosa[cos^2a-(√3/2)^2] =4cosa(cosa-cos30° )(cosa+cos30° ) =4cosa*2cos[(a+30° )/2]cos[(a-30° )/2]*{-2sin[(a+30° )/2]sin[(a-30° )/2]} =-4cosasin(a+30° )sin(a-30° ) =-4cosasin[90° -(60° -a)]sin[-90° +(60° +a)]

=-4cosacos(60° -a)[-cos(60° +a)] =4cosacos(60° -a)cos(60° +a) 上述两式相比可得: tan3a=tana· tan(60° -a)· tan(60° +a) 四倍角公式 sin4a=-4*[cosa*sina*(2*sina^2-1)] cos4a=1+(-8*cosa^2+8*cosa^4) tan4a=(4*tana-4*tana^3)/(1-6*tana^2+tana^4) 五倍角公式

n 倍角公式 应用欧拉公式:

. 上式用于求 n 倍角的三角函数时,可变形为:

所以,

其中,Re 表示取实数部分,Im 表示取虚数部分.而

所以,

n 倍角的三角函数

半角公式

(正负由 所在的象限决定)

万能公式

辅助角公式

证明: 由于

,显然 ,且

故有:

三角形定理
正弦定理
详见词条:正弦定理 在任意△ABC 中,角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c,三角形外接圆的 半径为 R.则有:

正弦定理变形可得:

余弦定理

详见词条:余弦定理 在如图所示的在△ABC 中,有

余弦定理




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