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立体几何垂直关系的证明


线面垂直的证明 方法总结:直线垂直于平面内的两条相交直线;利用面面垂直的性质;利用勾股定理逆定理; 1.如图①所示,在正方形 SG1G2G3 中,E、F 分别是边 G1G2、G2G3 的中点,D 是 EF 的中点,现沿 SE、SF 及 EF 把这个正 方形折成一个几何体(如图②使 G1、G2、G3 三点重合于一点 G),则下列结论中成立的有________(填序号). ①SG⊥面 EFG; ②SD⊥面 EFG; ③EF⊥面SGD; ④GD⊥面 SEF.

2.PA 垂直于以 AB 为直径的圆所在平面,C 为圆上异于 A,B 的任一点,则下列关系正确的是________(填序号). ①PA⊥BC;②BC⊥平面 PAC;③AC⊥PB;④PC⊥BC.

3.以 AB 为直径的圆在平面 ? 内, PA ? ? 于 A,C 在圆上,连 PB、PC 过 A 作 AE⊥PB 于 E,AF⊥PC 于 F,指出图中所 有线面垂直并逐一证明。 P
E F A C B

4.如图, A1 A 是圆柱的母线, AB 是圆柱底面圆的直径, C 是底面圆周上异于 A, B 的任意一点, 求证: BC ? 平面A1AC;

5.已知,如图正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,求证: A1C ? 平面AB1 D1 三垂线定理的运用

D1 A1 B1

C1

D A B

C

6.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 是 AC 的中点,在平面 B1BDD1 中,过 B1 作 B1H⊥D1O,垂足为 H, 求证:B1H⊥平面 ACD1。

7.已知正方 形 ABCD 的边长为 1, .将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,使 AC ? 1 ,得到三棱锥 A—BCD,如图所示.求证: AO ? 平面BCD ;

8.如图,在四面体 SABC 中,SA=SB=SC,∠ASC=90°,∠ASB=∠BSC=60°,若 O 为 AC 中点,求证: BO ? 平面SAC

9.如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, M 为棱 CC1 的中点, AC 交 BD 于点 O , 求证 A1O ? 平面BDM

10.在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, 侧面 PAD⊥底面 ABCD.求证:DC ? 平面 PAD

线线垂直 1.如图所示,PA⊥ 矩形 ABCD 所在平面,M、N 分别是 AB、PC 的中点.求证:MN⊥ CD.

2.如图,一四边形 ABCD 的对边 AB 与 CD、AD 与 BC 都互相垂直,证明:AC 与 BD 也互相垂直.

3.已知四面体 ABCD 中, AB ? AC, BD ? CD ,平面 ABC ? 平面 BCD , E 为棱 BC 的中点。 求证: AD ? BC

4.如图,平行四边形 ABCD 中,?DAB ? 60? , AB ? 2, AD ? 4 将 ?CBD 沿 BD 折起到 ?EBD 的位置, 使平面 EDB ? 平面 ABD 。求证: AB ? DE w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

5.S 是△ABC 所在平面外一点,SA⊥平面 ABC,平面 SAB⊥平面 SBC,求证 AB⊥BC.

6.如图,边长为 2 的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD 所在的平面,BC=2 2 ,M 为 BC 的中点。 证明:AM⊥PM;

7.P 为△ABC 所在平面外一点,且 PA、PB、PC 两两垂直,则下列命题: ①PA⊥BC;②PB⊥AC;③PC⊥AB;④AB⊥BC.其中的是

8.如图,在直四棱柱 A1B1C1D1-ABCD 中,当底面四边形 ABCD 满足条件 确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形.)

时,有 A1C⊥B1D1.(注:填上你认为正

9.如图所示,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则 C1 在面 ABC 上的射影 H 必在( A.直线 AB 上 B.直线 BC 上 C.直线 CA 上 D.△ABC 内部



面面垂直 1.在菱形 ABCD 中,∠A=60°,线段 AB 的中点是 E,现将△ADE 沿 DE 折起到△FDE 的位置,使平面 FDE 和平面 EBCD 垂直,线 段 FC 的中点是 G.(1)证明:直线 BG∥平面 FDE;(2)判断平面 FEC 和平面 EBCD 是否垂直,并证明你的结论.

2.如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E 是 PC 的中点. 求证:(Ⅰ)CD⊥AE;(Ⅱ)PD⊥平面 ABE.

3.如图,等腰梯形 ABEF 中,AB∥EF,AB=2,AD=AF=1 AF⊥BF,O 为 AB 的中点,矩形 ABCD 所在的 和 ABEF 互相. (1)求证:AF⊥面 CBF;(2)设 FC 的中点为 M,求证:OM∥DAF;(3)求三棱锥 C-BEF 的体积.

4.如图,四边形 ABCD 是正方形,PB⊥平面 ABCD,MA⊥平面 ABCD,PB=AB=2MA.求证: (1)平面 AMD∥平面 BPC;(2)平面 PMD⊥平面 PBD.

5.已知:三棱锥 P-ABC,平面 PAB⊥平面 ABC,平面 PAC⊥平面 ABC,AE⊥平面 PBC,E 为垂足. (1)求证:PA⊥平面 ABC;(2)当 E 为△PBC 的垂心时,求证:△ABC 是直角三角形.

6.如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,且底面各边都相等,M 是 PC 上的一动点,当点 M 满足 平面 MBD⊥平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)

时,

7.如图 1,矩形 ABCD 中,AB=2AD=2a,E 为 DC 的中点,现将△ADE 沿 AE 折起,使平面 ADE⊥平面 ABCE,如图 2. (1)求四棱锥 D-ABCE 的体积; (2)求证:AD⊥平面 BDE.

8.已知四边形 ABCD,BC=BD,AC=AD,E 是 CD 边的中点.在 AE 上的一个动点 P,讨论 BP 与 CD 是 否存在关系,并证明你的结论.

9.如图,在长方形 ABCD 中,AB=2,BC=1,E 为 DC 的中点,F 为线段 EC(端点除外)上一动点,现将△AFD 沿 AF 折起,使 平面 ABD⊥平面 ABC,在平面 ABD 内过点 D 作 DK⊥AB,K 为垂足,设 AK=t,则 t 的取值范围是

10.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,AB=5,cos∠BAC= 5 (1)求证:BC⊥AC1; (2)若 D 是 AB 的中点,求证:AC1∥平面 CDB1.

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