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2012年广西高一数学创新杯竞赛初赛试题(含参考答案及评分标准)


2012 年广西高一数学竞赛初赛试卷
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分)
1.若 a , b, c 为有理数,且 a ? b 2 ? c3 3 ? 0 ,则 a ? b ? c ? ( )

(A)0 (B)1 (C)2012 (D)2015 答:A。 解析:由有理数与无理数的性质可知 a ? b ? c ? 0 时等式成立。故选

A.

2.已知 ? (A)0

?2 x ? 2 y ? z ? 0 x2 ? y2 ? z 2 ,则分式 2 =( x ? y2 ? z2 ?x ? 2 y ? z ? 0
(B)1 (C)-1 (D)2



答:C。 解析:已知 ?

?2 x ? 2 y ? z ? 0 x2 ? y2 ? z 2 ? ?1 .故选 C. 得x ? 0, ,则分式 2 x ? y2 ? z2 ?x ? 2 y ? z ? 0


3.下列四图,都是由全等正方形组成的图形,其中哪一个能围成正方体?答:(

(A) (B) (C) 答:A。 解析:只有 A 是可以的。故选 A. 4.己知 a 是正数,并且: a ? (A)5 (B)3

(D) )

2 4 ? 1, 则a 2 ? 2 等于 ( a a
(D)-3

(C)1

答:A。解析:由a ?

2 4 2 2 ? 1, 则a 2 ? 2 ? (a ? ) ? 4 ? 5 。故选 A. a a a

5.化简 3 ? 2 5 ? 12 3 ? 2 2 得( (A)1 (B) 2 ? 2

) (D) 2 2 ? 1

(C) 2 ? 1

答: D。 解析: 3 ? 2 5 ? 12 3 ? 2 2 ? 3 ? 2 5 ? 12(1 ? 2 ) ? 3 ? 2(3 ? 2 2 ) ? 2 2 ? 1 。 故选 D. 6.若函数 y ? ax2 ? bx ? c ,当 x ? ?2,0,1时,其函数值 y ? ?15,5,9 ,则函数 y 的最大值为 ( ) (B)

(A)5

19 2

(C)13
2

(D)14

答:B。 解析:由已知求得 y ? ?2 x ? 6 x ? 5 ? ?2( x ? ) ?
2

3 2

19 。故选 B. 2

二、填空题(每小题 9 分,共 54 分)

1.方程:

x ? 9 x ? 10 x ? 6 x ? 7 ? ? ? 的解为 x?8 x?9 x?5 x?6

.

答案:x=-7。解析:

( x ? 9)2 ? ( x ? 8)(x ? 10) ( x ? 6)2 ? ( x ? 5)(x ? 7) , ? ( x ? 8)(x ? 9) ( x ? 5)(x ? 6)

1 1 , x ? ?7 . ? ( x ? 8)(x ? 9) ( x ? 5)(x ? 6)
2 . 已 知 两 个 三 位 数 328 和 2 x9 的 和 仍 是 三 位 数 5 y7 且 能 被 9 整 除 , 则 x + y 的 值 为 .

答案:9。解析::x,y 都是 0 到 9 的整数,∵ 5 y7 能被 9 整除,∴y=6.∵328+ 2 x9 =567, ∴x=3. 3.反比例函数 y ?

k ?k ? 0? 在第一象限内的图像如图,点 M 是图 x

y M O P x

像上一点,MP 垂直 x 轴于点 P,如果△MOP 的面积为 1,那么 k 的值 是 ;

答案:2. 解析: M ( x, y ), 则xy ? k , S ?MOP ? 4.化简 3 ? 2 2 ? 3 ? 2 2 得 .

1 1 xy ? k ? 1, k ? 2 , 2 2

答: 2 2 。 解析: 3 ? 2 2 ? 3 ? 2 2 ? ( 2 ? 1) 2 ? ( 2 ? 1) 2 ? 2 2 。 5.计算: 答:

1 1 1 1 ? ? ??? ? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 10 ?11

.

10 。 解析:裂项求和: 11

1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 ? ? ??? ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 1 ? ? . 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 10 ? 11 2 2 3 10 11 11 11
6.如图,在△ABC 中,∠A=Rt∠,∠B=60 ,∠B 的平分线交 AC 于 D, 点 D 到边 BC 的距离为 2cm,则边 AC 的长是 cm. 答案:6。解析:由∠B 的平分线知,AD=点 D 到边 BC 的距离为=2cm, 则 AB ?
?

C

AC 2 AC , BC ? ,由∠B 的平分线知 3 3

D A

B

AC AD AB AD AB 2 3 ? ? ? ? ? , AC ? 6 .故边 AC 的长是 6cm. AC 2 DC AC AC AB ? BC AC ? AC 3 3

三、(20 分)对一切实数 x ,函数 y ? ax2 ? (a ? 6) x ? 2 ? 0 恒成立,求 a 的值.

解: 由于不等式对一切 x ,函数 y ? ax2 ? (a ? 6) x ? 2 ? 0 恒成立,故 a 应该满足

?a ? 0 ?a ? 0 ………………10 分 ?? ? 2 ?? ? 0 ?(a ? 6) ? 4 ? 2a ? 0 ?a ? 0
2 ?a ? 20a ? 36 ? 0

即?

,………………15 分

解得 2 ? a ? 18 ………………20 分 四、(20 分)如图,在Δ ABC 中,已知点 D 为 BC 的中点,M 为 BD 上一点,若 DN//AM,求证:四边形 ABMN 的面积等于Δ CMN 的面积。 证明:连接 AD,则有 S?ABD ? S?ADC ,………………5 分
B M D C A N

又 DN//AM,则有 S ?AMN ? S ?AMD ,………………10 分 故 S ?AEN ? S?MED ,

A N

………………15 分
B M

E

D

C

所以 S四边形ABMN ? S?CMN 。………………20 分

五、 (20 分)实数 a、b 取什么值时,方程(3x-2)a+(2x-3)b=8x-7 有无数多解?
解:原方程化为最简方程:(3a+2b-8)x=2a+3b-7,………………5 分 根据 0x=0 时,方程有无数多解,可知 当

?3a ? 2b ? 8 ? 0 时,原方程有无数多解。………………10 分 ? ?2a ? 3b ? 7 ? 0
解这个方程组得 ?

?a ? 2 ………………15 分 ?b ? 1

故 当 a=2 且 b=1 时,原方程有无数多解。………………20 分


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