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卷五 答案(文科) 数学模拟试


高考模拟试卷

2013 年普通高等学校招生考试模拟试卷(新课标版五)

数学(文科)

参考答案

一、填空题

1.

2.

3.

4. 4

5 . 924

6.

/>
①、④; 7. 2;

8.

??

15 , ? 3 ? ? 3 , 3 ?
12. 7/18

? ?

? ?

3 , 15 ;
13 . 1或3 14. ②③

?

9. 15 或 75

0

0

10. 18 2p

11. 169/425

二、选择题 题号 答案 15 B 16 C 17 D 18 D

三、解答题 19. 解(1) 由题可得 f ? x ? ? ? ? x ? 1? ? 1 ? a
2

而 0 ? x ? 3 .......3分

所以, m ? f ?1? ? 1 ? a , n ? f ?3? ? a ? 3 .............6分 (2) 角 ? 终边经过点 A ? a , a ? ,则 tan ? ?

a ? 1 ..........10分 a

所以, tan ? ? ?

? ?

??

3 ? 1 ? 3 ? ?2 ? 3 ............12 分 ?? 3 ? 1 ? tan ? tan ? 1 ? 3 3

tan ? ? tan

?

20. ( 1) 向量 a =(sinx, cosx),向量 b =(cosx, sinx),x?R, f(x)= a ( a + b )= a + a ? b =1+2sinxcosx=1+sin2x.?????????????5 分 函数 f(x)的最大值为 2,最小值为 0,最小正周期为?;???????????8 分
2

1

高考模拟试卷 (2)由 f(x)≥ 即 2k?+ 即 k?+

1 3 得:sin2x≥ ,?????????????????????10 分 2 2

? 5? ≤2x≤2k?+ ,??????????????????????12 分 6 6

? 5? ≤x≤k?+ ,k?Z.?????????????????????14 分 12 12

?r ? a 2 ? b 2 ?a ? r cos? ? 21. 解:(1) ? ;? ??(各 3 分)?????????6 分 b ( a ? 0) ?b ? r sin ? ?t an ? ? a ?
(以上每组内只写出一个,给 2 分) (2) 三角形式下的复数乘法的运算法则: z1z2=r1(cosθ 1+isinθ 1)? r2(cosθ 2+isinθ 2)=r1r2[cos(θ 1+θ 2)+isin(θ 1+θ 2)]??10 分 三角形式下的复数除法的运算法则:

z1 r (cos?1 ? i sin ?1 ) r1 ? 1 ? [cos(θ 1–θ 2)+isin(θ 1–θ 2)] (z2≠0)????14 分 z 2 r2 (cos? 2 ? i sin ? 2 ) r2
注意:z2≠0 不写扣 1 分.

22.(1)解 由题意得:

? 5?
a2

2

?

02 ? 1 ,则 b2

a 2 ? 5 ..................................1分
又由焦距为 2c ? 4 ,所以 焦距为 b ? a ? c ? 1 ................2分
2 2 2

故所求的“伴随圆”的方程为 x ? y ? 6 ............4分
2 2

(2)由于椭圆 C 的“伴随圆” x2 ? y 2 ? a2 ? b2 与直线 x ? y ? 3 2 有且只有一个交点, 则圆心到直线的距离等于半径, 即

0?0?3 2 1 ?1
2 2

? a 2 ? b2
2 2

..................7分

故动点 Q ? a , b ? 轨迹方程为 a ? b ? 9

? a ? b ? 0?

即动点的轨迹是:以原点为圆心半径为3的圆上八分之一弧(除去两端点)如图.........10 分

2

高考模拟试卷

(3)由题意得: 2a ? 2 3 则 b ? 1 椭圆 C 的方程为

得 a ? 3 ,半焦距 c ?

2

x2 ? y 2 ? 1 “伴随圆”的方程为 x2 ? y 2 ? 4 11 分 3
2 2

因为“伴随圆”的方程为 x ? y ? 4 与 y 轴正半轴的交点 P ? 0 , 2? ,设过点 P ? 0 , 2? ,且与椭圆有一个 交点的直线为 y ? kx ? 2 ,

? y ? kx ? 2 ? 则 ? x2 2 ? ? y ?1 ?3

2 2 整理得 1 ? 3k x ? 12kx ? 9 ? 0 ..............12 分

?

?

2 2 所以 ? ? 144k ? 4 ? 9 1 ? 3k ? 0 ,解得 k ? ?1

?

?

所以 l1 , l2 的方程为 y ? x ? 2 , y ? ? x ? 2 .............14 分 由于 l1 , l2 垂直,线段 MN 的长度为4...............16 分

1 1 1 1 1 ?M,又 = ? ,f( )=1, 2 4 2 2 2 1 1 1 1 1 1 所以 f( )=f( ? )=f( )+f( )=2?[0, 2],所以 ?M,???????????3 分 4 2 2 2 2 4 1 1 1 1 1 1 又因为 f( )=f( ? )=f( )+f( )=3?[0, 2],所以 ?M;??????????5 分 8 8 4 2 4 2
23. (1)证明:因为 (2)因为 y=f(x)在 M 上递减,所以 y=f(x)在 M 有反函数 y=f –1(x),x?[0, 2] 任取 x1、x2?[0, 2],设 y1=f –1(x1),y2=f –1(x2), 所以 x1=f(y1),x2=f(y2) (y1、y2?M) 因为 x1+x2=f(y1)+f(y2)=f(y1y2),???????????????????????7 分 所以 y1y2=f –1(x1+x2),又 y1y2= f –1(x1)f –1(x2), 所以:f –1(x1)? f –1(x2)= f –1(x1+x2);????????????????????10 分 (3)因为 y=f(x)在 M 上递减,所以 f –1(x)在[0, 2]上也递减, f–1(x2–x)? f–1(x–1)≤

1 等价于:f –1(x2–x+x–1)≤f –1(1)?????????????11 分 2

3

高考模拟试卷

?0 ? x 2 ? x ? 2 ? ?0 ? x ? 1 ? 2 ????????????????????????????14 分 ?x 2 ? 1 ? 1 ?

?? 1 ? x ? 0或1 ? x ? 2 ? 即: ?1 ? x ? 3 ??????????????????????17 分 ? ? x ? ? 2或x ? 2
所以 2 ≤x≤2????????????????????????????18 分

4


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