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南京审计学院《微积分(二)》同步练习册打印版(76页)


《微积分(二)》同步练习册

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说明:为方便复习,上学期第五章“不定积分”的练习及答案,参见本练习册第 36 页.

2. 不计算积分,比较下列各积分值的大小(指出明确的“ ?, ?, ? ”关系, 并给出必要的理由).

第六章

>
定积分

§6.1 定积分的概念与性质
1. 利用定积分的几何意义,计算下列定积分: (1)

(1)

?

1 0

x 2 dx 与

?

1 0

xdx ;

(2)

?

2

1

x 2 dx 与

?

2 1

xdx ;

?

2 0

x ? 1 dx ;

(3) (2)

?

?
2 0

sin xdx 与

?

?
2 0

xdx .

?

1 ?1

sin xdx ;

3. 利用定积分的性质,估计 I ?

?

2 0

xe? x dx 的大小.

(3)

?

2 2 ?1

1 ? x 2 dx .

-1-

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4. 设 f ?x ? 在区间 ?0,1? 上连续, 在 ?0,1? 内可导, 且满足 f ?1? ? 3 试证:在 ?0,1? 内至少存在一点 ? ,使得 f ??? ? ? 0 .

? f ?x ?dx ,

1 3 0

(2)

?

2 0

?x 2 , x ? 1 . f ?x ?dx ,其中 f ?x ? ? ? ? 2, x ? 1

6*.根据定积分的定义,将极限 lim
n??

1? ? 2? n? ? ? ? ? sin ? sin ? sin ? 表达 n? n n n ?

为定积分的形式(不需要计算出具体的数值结果) :

5. 试判断下列定积分是否有意义(即,被积函数在相应的积分区间上是否 “可积” ) ,并说明理由. (1)

?

1 dx ; ?1 x
1

-2-

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§6.2 微积分基本定理

2.求下列极限:

? (1) lim
1.求下列函数关于 x 的导数: (1)
x ?0

x 0

tanudu x
2



(2) lim
x ?0

?

1 u2 e ? 1 du ; 0 x3
x

?

?

?1 ?2 ? sin 3t ?t dt ;
x

1

(2)

?

1 x

te t dt ;

2

(3)

?

x2 x

e dt ;

t2

(3) lim
x ?0

1 x4

?

x2 0

(1 ? cos u )du .

(4 )

*

? ?x ? t ?sin tdt .
x 0

3.求函数 f ?x ? ?

? ?u ? 1??u ? 2?e
x 0

?u 2

du 的极值点.

-3-

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4.计算下列定积分: (1)

?

2 1

1 ? x3 dx ; x2 ? x3

(2)

??

2

1

?

1 1 sin dx ; 2 x x

? ? xe x , x ? 1 (5) ? f ?x ?dx ,其中 f ? x ? ? ? x ; ?1 ? ? xe , x ? 1
2
2

(3)

?

?
2 0

1 ? cos x dx ; 2

5.设 f ?x ? 在 ?0,1? 上连续,且满足 f ?x ? ? ?2 x ? 3

? f ?x?dx ,试求 f ?x? .
1 0

(4)

?

3 ?2

min 1, x 2 dx ;

? ?

6*. 求解 lim?
n??

1 1 ? ? 1 利用定积分的定义) . ? ??? ?(提示: 2n ? n ? ? 2n ? 1 2n ? 2

-4-

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1 ?1

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§6.3 定积分的换元积分法与分部积分法
1. 试利用定积分的换元法计算下列积分: (1)

2. 利用函数的奇偶性计算

?

?x

5

? 3x 2 ? x 1 ? x 2 dx .

?

?

ln 2 0

e x ? 1dx ;

(2)

?

2

1

x ? 1?x ? 1? dx ;
2

3. 设 f ? x ? 是 R 上 的 连 续 函 数 , 试 证 : 对 于 任 意 常 数 a ? 0 , 均 有

?

a 0

x 3 f x 2 dx ?

? ?

1 a2 xf ?x ?dx . 2 ?0

(3)

?

1 2 2

1? x2 dx ; x2

(4)

?

2 0

x dx ; x ? 2x 2 ? 2
4

4*. 设 f ?x ? 是 R 上的连续函数, 并满足

? f ?x ? t ?e
x 0

?t

dt ? x 2 ,试求 f ?x ? .

-5-

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5. 利用定积分的分部积分法计算下列积分: (1)

?

?
4 0

6*. 试计算

x sin xdx ;

?

?
2 0

f ? x ?dx ,其中 f ?x ? ? ?

?
2 x

sin t dt . t

(2)

?

1 0

x ln?1 ? x ?dx

7*. 已知 f ?x ? 是 R 上的连续函数,试证:

f ?u ?du ? dt . ? f ?t ??x ? t ?dt ? ? ? ? ? ?? ?
x x t 0 0 0
?

(3)

?

e2 1

cosln xdx .

-6-

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§6.4 定积分的应用
1. 计算下列曲线围成的平面封闭图形的面积: (1) y ? x 3 ? 4 x, y ? 0 ;

2. 假 设 曲 线 y ? 1 ? x 2 ?0 ? x ? 1? 、 x 轴 和 y 轴 所 围 成 的 区 域 被 曲 线

y ? ax2 ?a ? 0? 分为面积相等的两部分,试确定常数 a 的值.

(2) y ?

x , y ? x, y ? 2x .

3. 求由下列曲线围成的平面图形绕指定轴旋转一周而成的立体体积: (1) xy ? 1, y ? 0, x ?
4

1 , x ? 1 ;绕 x 轴; 4

-7-

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(2) y ? x 3 , y ? 0, x ? 2 : (i)绕 x 轴;

5. 已知某产品在定价 p ? 1 时的市场需求量 Q ? a ,在任意价格 p 处的需 (ii)绕 y 轴. 求价格弹性为 E p ?

b , 其中 a ? 0, b ? 0 均为常数, Q 为产品在价格 p 处 Q

的市场需求量。试求该产品的市场需求函数 Q ? Q? p ? . (提示:弹性

Ep ?

dQ p ) dp Q

4. 已知某产品的固定成本为 50 ,边际成本和边际收益函数分别为

MC?q ? ? q 2 ? 4q ? 6 , MR?q ? ? 105? 2q ,其中 q 为产品的销售量(产
量) ,试求最大利润.

-8-

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§6.5 反常积分初步
1. 判定下列无穷限积分的敛散性;若收敛, 则求其值. (1) ; ? ?1 ? x? dx ( q 为常数)
0 q ??

2. 求下列极限:

(1)

x ???

? lim ?

x 1 x

t ?3 dt t ?2 dt


1

(2 )

*

x ???

? lim

x 0

arctan udu 1? x2
.

(2)

?

sin x dx (其中, q, k 均为常数). ? ? 1 ? cos 2 x
??

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3. 判定下列积分的敛散性;若收敛, 则求其值. (1)

?

1 0

ln xdx ;

(2)

?

e 1

1 x 1- ln 2 x

5. 计算下列反常积分(提示:利用 ? 函数的定义,以及 ?? ? 的结果)

dx .
(1)

?1? ? 2?

?

?? 0

3

e ? x x 2 dx ;

(2)

?

?? 0

e ? x x 2 dx .

2

4. 利用 ? 函数和 ? 函数的性质,以及 ?? ? 的结果,分别计算:

?1? ? 2?

?5? ??3??? ? ? 11? ? 2 ? 和 ??3.5, 3? . ?? ? , ?3? ?2? ?? ? ?2?

- 10 -

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第七章 §7.1 预备知识

多元函数微积分学 §7.2 多元函数的概念

(2) 由 y ? x 2 、 y ? 2 所围成的区域;

1. 已知点 A (4, 1, 2) ,在 ox 轴上找出与点 A 相距 30 的点 B .

2 (3) 由 y ? x 、 y ? x ? 2 所围成的区域.

2. 求过点 (1, 0, 3) , (2, ? 1, 2) , (4, ? 3, 7) 的平面方程.

4. 求下列函数的定义域并画出定义域的示意图: 3. 分别写出下列区域的“x-型”与“y-型”表达形式: (1) 由 y ? x 、 x ? 2 、 y ? 1 所围成的区域; (1) z ? arcsin

y ? x2 ? ln ln(14 ? 4 x 2 ? y 2 ) ; 2

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(2) z ?

1 x2 ? y 2 ?1 ? 4



(2*)

x2 ? y2 . ( x , y ) ?( ?? , ?? ) e x? y lim

5. 设 f ( x ? y, ) ? x ? y ,求 f ( x, y) .
2 2

y x

? x2 y , ? x, y ? ? ?0,0 ? ? 7*. 设 f ( x, y ) ? ? x 4 ? y 2 ,讨论 f ( x, y) 在点 (0, 0) 处的 ?0, ?x, y ? ? ?0,0? ?
连续性.

6. 试求下列二元函数的极限: (1)
( x , y ) ?( 0 , 0 )

lim

xy xy ? 1 ? 1



- 12 -

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§7.3

偏导数与全微分
(2) z ? cos

1. 求下列函数在给定点处的偏导数:
2 3 (1) z ? x x ? y ,求 z ? , 2), z ? , 2) ; x (1 y (1

x? y ,求 z ? x ; x? y

(3) z ? ( x ? sin y) xy ,求

?z . ?y

(2) u ? (1 ? xy) z ,求 u? , 2, 3), u? , 2, 3), u? , 2, 3) . x (1 y (1 z (1

? x2 y , x2 ? y2 ? 0 ? 2 2 3. 设 f ( x, y ) ? ? x ? y ,分别讨论 f ( x, y) 在 (0, 0) 处 ?0, 2 2 x ?y ?0 ?
是否连续、是否存在偏导数.

2. 求下列函数的指定偏导数: (1) z ? ln( x 2 ? y 2 ) ,求

?z ; ?x

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4. 求下列函数的全微分: (1) z ? x y ? y x ;

6. 利用全微分计算 1.065.03 的近似值.

(2) z ? e y ( x

2

? y2 )



7. 已知一矩形的长为 6 米、宽为 8 米。当长增加 5 厘米,宽减少 10 厘米 时,求矩形对角线长度变化的近似值。

5. 求函数 z ? x y ? y 在点(2,1)处的全微分.
2 2

- 14 -

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§7.4

多元复合函数与隐函数微分法
(3) z ?

1. 求下列复合函数的偏导数或导数: (1) z ?

dz x2 ? y , y ? 2 x ? 3 ,求 ; dx x? y

?z ?z u2 ; , u ? x ? 2 y, v ? x ? 2 y ,求 , ?x ?y v

2. 设 z ? f ( x2 ? y 2 , e xy ) ,求

?z . ?y

(2) z ? e u ?2v , u ? sin x, v ? x 3 ,求

dz ; dx

3. 设 f (u ) 可导, z ? x f (
n

?z ?z y ) ,证明: x ? 2 y ? nz . 2 x ?x ?y

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4. 设函数 y ? y?x ? 由方程 x y ? y x ? ln xy 所确定,试求

dy . dx

(2) 2 xz ? 2 xyz ? ln(xyz) ? 0 .

6*. 设函数 z ? f ?x, y ? 与 y ? y?x ? 均可微,且 y ? y?x ? 由方程 ? ?x, y ? ? 0 5. 求下列二元(三元)方程所确定的隐函数 y ? y?x ?( z ? z ( x, y ) )的全 微分: (1) e
xy

所确定,其中 ? ? y ? 0 ,试证:一元函数 z ? f ?x, y ?x ?? 的驻点 x0 必然满足

y ? arctan ; x

? 方程 f x??x, y?x??? ? ?? y ?x, y?x ?? ? f y ?x, y?x ?? x ?x, y?x ?? .

- 16 -

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§7.5

高阶偏导数
3. 设 f (u, v) 的两个偏导函数连续, z ? f ( x 2 y, ln(xy)) , 求

1. 设 z ?

x2 ? y2 , 求

?2 z ?2 z . , ?x 2 ?x?y

?2z . ?x ?y

2. 设 z ? sin(x 2 y) , 求

?2z ?2z . , ?x 2 ?y?x

4. 设 z 3 ? 2xz ? y ? 0 ,求

?2z . ? x ?y

- 17 -

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- 18 -

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§7.6

多元函数的极值

3. 求 z ? xy 在条件 x ? 2 y ? 1 , x, y ? 0 下的最值.

1. 求 f ( x, y) ? xy ? xy 2 ? x 2 y 的极值.

2. 求 u ? x ? x ? y 在 D ? ( x, y) | x ? y ? 1 上的最大值与最小值.
2 2 2 2

?

?

4. 求曲线 ?

?z ? x 2 ? y 2 上到 xoy 平面距离最短的点. xy ? 1 ?

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5. 假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种商品,商品在两个市场 上的需求量与定价分别满足 p1 ? 18 ? 2q1 , p2 ? 12 ? q2 ,其中 p1 , p2 分别 是该产品在两个市场上的价格(单位: 万元/吨),q1 , q 2 分别是该产品在两个 市场上的需求量 ( 单位:吨 ) ,且该企业生产这种产品的总成本函数为 C ? 2(q1 ? q2 ) ? 5 。如果该企业实行价格无差别策略,试确定两个市场上 该产品的销售量及统一的价格,使该企业的总利润最大化。

- 20 -

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2 y ?2 y2

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§7.7
1. 将二重积分

二重积分

(2)

? dy?
0

f ( x, y)dx ;

?? f ?x, y ?dxdy按照两种次序化为累次积分,其中积分区域
D

D 分别给定如下:
2 (1) D 由曲线 y ? x 与直线 y ? 1 所围成;

(3)

?

1 0

dx ?

2 x? x2 0

f(x,y)dy ? ? dx ?
1

2

2? x 0

f(x,y)dy .

(3) D 由直线 y ? x , y ? 2 x , x ? 3 所围成.

3. 计算二重积分: (1) 2. 交换积分次序: (1)
| x | ? 1, | y | ? 1

?? ( x

2

? xy ? y 2 )d? ;

? dx?
0

1

x x

f ( x, y)dy ;

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(2)

0? x ? 0? y ? x

y cos(x ? y )d? ; ?? ?

(2)

?

?
0

dx?

x 0

sin y dy . ??y

(3)

?? ye
D

xy

dxdy,其中 D 由 xy ? 1, x ? 2, y ? 1 所围成.

5. 画出区域 D ,并把

?? f ( x, y)dxdy化为极坐标系下的二次积分:
D
2 2

(1) D ? ( x, y) | 1 ? x ? y ? 4 ;

?

?

4. 计算累次积分: (1)

? dx?
0

1

1 x

e y dy ;

2

(2) D ? ( x, y) | 2 x ? x ? y ? 4x .
2 2

?

?

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6. 利用极坐标变换计算: (1*)
D

2 2 2 ?? ( x ? y )dxdy, D ? ( x, y) | ? 1 ? y ? 1, ? 2 ? x ? ? 1 ? y ;

?

?

8. 用二重积分计算由坐标面与平面 x ? 2 y ? 3z ? 6 所围立体的体积.

(2)
2

x ? y2 ? 4x

?? ( x ? y)dxdy.
9*. 计算二重积分
x2 ? y2 ? 9

?? | x

2

? y 2 ? 4 | dxdy.

7. 用二重积分计算曲线 y ? x , y ?
2

x 围成的平面图形的面积.

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10*. 设 f ?x, y ? ? ?

?1, ?0

?x, y ? ? D ,D ? ? ?x, y? 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1?.给定 ?x, y ? ? D

11*. 已知 f ( x), g ( x) 连续于 [ a, b] ,试证不等式:

常数 z ,试求下列反常积分: 1)
x? y? z

[? f ( x) g ( x)dx]2 ? ? f 2 ( x)dx? g 2 ( x)dx .
a a a

b

b

b

?? f ?x, y ?dxdy ;

2)

?

??

??

f ?x, z ? x ?dx .

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第八章 §8.1

无穷级数
(2)

常数项级数的概念和性质

? ln n ? 1 .
n ?1

?

n

2n ? 3 1.利用级数 ? u n 的部分和 S n ? ,求 u1 , u 2 和 un 以及和值 S . 4n n ?1
?

3.已知级数 ? u n 收敛,且和值为 S ,证明:
n ?1 ?

?

(1) 级数 ? (un ?1 ? un ?2 ) 收敛,且和值为 2S ? 2u1 ? u2 ;
n ?1

2. 判断下列级数是否收敛;若收敛,求其和值. (1)

? (3n ? 1)(3n ? 2) ;
n ?1

?

1

(2) 级数

? (un ? 2n ) 收敛.
n ?1

?

1

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4.利用无穷级数性质以及几何级数与调和级数的敛散性,判别下列级数的 敛散性: (1)

5*.给定级数 ? u n ,有 lim S 2 n ? a, lim un ? 0 ,试证级数 ? u n 收敛,其
n ?1
n ?? n ??

?

?

n ?1

1 1 1 1 ? ?3 ??? n ? ?; 20 20 20 20

和S ? a .

(2) 1 ?

1 ? 2 1 ? ?( 2 ? n ) ; 5 n?1 n 3

2 2 4 2 2 6 23 8 2 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ?. (3) 1 3 3 3 2 5 33 7 3 4

- 26 -

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§8.2

正项级数

2.利用比值判别法或根值法判别下列级数的敛散性: (1)

1.利用比较判别法或其极限形式判别下列级数的敛散性: (1)

?2
n ?1

?

n

sin

?
5n



(2)

?(
n ?1

?

? (2n ? 1)! ;
n ?1

?

3n

n

4 ? 1) ;

(2)

? 2 ? 5 ? 8 ??(3n ? 1) ;
n ?1

?

1 ? 5 ? 9 ??(4n ? 3)

(3)

?
n ?1

?

1 ? cos

?
(4)

n; n?3

?
n ?1

?

ln n n



1 ? n ?1? (3) ? n ? ? ; n ?1 2 ? n ?
?

n2

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(4)

2n ? n ! ; ? nn n ?1
?

3*.证明:若正项级数

? an 收敛,则 ? an2 与 ?
n ?1 n ?1

?

?

?

n ?1

an 均收敛. n

? 2nx ? (5) ? ? ? . n ?1 ? 1 ? n ?

?

n

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§8.3

任意项级数
(4)

? (?1)
n ?1

?

n

(1 ? n 3 ) ;

1. 判别下列级数是绝对收敛,条件收敛还是发散? (1)

? (?1) n
n ?1

?

n ; n?2

(2)

? (n ? 1) 2 ;
n ?1

?

cos na

(?1) n?1 2 n (5) ? . n! n ?1
?

2

(3)

? (?1)
n ?1

?

n ?1

1 n ?1



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2. 判别下列交错级数的敛散性: (1)

n ?2

?

?

?n ? (?1) ?

( ?1)

n ?1 n 2

3.如果级数 ; (1) 级数
?

?u
n ?1

?

n

绝对收敛,试证:

?

n ?1 u n 绝对收敛; n ?1 n

(2)

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ?? . 2 ?1 2 ?1 3 ?1 3 ?1 n ?1 n ?1

1? ? (2) 级数 ? ? u n ? ? 收敛. n? n ?1 ?

?

2

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§8.4

幂级数

2.求下列级数的收敛域,以及它们在收敛域上的和函数: (1)

1.求下列级数的收敛半径、收敛区间和收敛域: (1)

? 2n ? 1 x 2 n?1 ;
n ?1

?

1

?5
n ?0

?

n

xn ;

(2)

( 2 x ? 1) n ? n ; n ?1
?

(2)

? n(n ? 1) x
n ?0

?

n

.

(3)

2 n ? (?3) n n x . ? n n ?1
?

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? 2n ? 1 2 n ?2 2n ? 1 x 3.求幂级数 ? 收敛域及和函数,并求 的和. ? n 2 2n n ?0 n ?0 ?

5.将下列函数展开成 x 的幂级数,并写明后者的收敛域. (1) f ( x ) ?

x2 ; 1? x

(2) f ( x ) ? ln(4 ? 3x ) .

n n 4.已知 ? an ( 2 x ? 3) 在 x ? 3 时收敛,试判定 ? an ( 2 x ? 3) 在以下各点 n ?0 n ?0

?

?

处的敛散性, 说明理由: (1) x ? 0 ; (2) x ? 2 ; (3) x ?

1 ; (4) x ? 4 . 2
6.求函数 f ( x ) ?

1 在指定点 x0 ? 2 的幂级数展开式,并求收敛域. 1? x

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第九章 §9.1

微分方程初步

3. 验证函数 y ? 1 是否分别为:1)微分方程 y ?? ? 2 y ? ? y ? 1的解;2)初 值问题 y ?? ? 2 y ? ? y ? 1, y?0? ? 1 , y ??0? ? 1 的解.

微分方程的基本概念

1. 验证下列各函数是否为所给微分方程的通解: (1) y ? ? y ? e
?x

, y ? ?x ? C ?e ;
?x

(2) x ?? ? 9 x ? 10 cos 2t , x ? 2 cos2t ? C1 cos3t ? C2 sin 3t ;

§9.2

一阶微分方程

1. 求下列方程的通解或在给定条件下的特解: (1) y ? ? 10
x? y



(2)

?x ? xy?dy ? ?xy ? y ?dx ? 0 ;

(3)

?x ? 2 y ?y? ? 2x ? y , x 2 ? xy ? y 2 ? C .

(3) yy? ? xe ? 0, y?1? ? 0 ;
y

(4) x

2. 验证函数 y ?

1 是否为初值问题 ?x ? 1? y ? ? y ? 0 , y?0? ? 1 的解. x ?1

dy y ? y ln ; dx x

- 33 -

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(5)

?x

2

? y 2 dx ? xydy ? 0 ;

?

(6) y ? ? y ? e 2 x ;

2. 设函数 y?x ? 满足方程 y ?x ? ?

?

3x

0

?t? y? ?dt ? e 2 x ,试求 y?x ? . ? 3?

(7) y ? ? y cos x ? e

? sin x



(8) y dx ? ?1 ? xy?dy ? 0 ;
2

3*. 设函数 z ? f

?

x 2 ? y 2 满足方程

?

?2 z ?2 z ? ? 0 ,试求 f ?x ? . ?x 2 ?y 2

4*. 设 y ? 1 ? (9) y ? ?

y ? ?x ? 1?e x , y?0? ? 1 . x ?1

?

1 ? 3 ? 5 ? ? ? ?2n ? 1? n x ,证明:和函数 y?x ? 满足微分方 n ?1 2 ? 4 ? 6 ? ? ? ?2n ?
?

程方程 ?1 ? x ? y ? ?

y ,并求 y?x ? . 2

- 34 -

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第十章 §10.1
1. 计算下列差分: (1) yn ? n 2 ? n ,求 ?2 y n ;

差分方程

(2) y n ?

差分方程的基本概念

1 , ?1 ? yn ?yn?1 ? yn . 1 ? Cn

(2) y n ? ln?n ? 2? ,求 ?2 y n .

§10.2

简单的一阶常系数差分方程的解法

求下列差分方程的通解或满足给定条件的特解: 2. 按教材 P330 定义 10.2 改写下列差分方程,并指出方程的阶数: (1) ?2 yn ? 5?yn ? 3 ; (2) ?3 yn ? 3?yn ? 2 yn ? 1 . (1) 2 yn?1 ? yn ? 3 ? n ; (2) yn?1 ? 2 yn ? 2 n ;

3. 验证以下是否为数列所给方程的解(其中, C 为任意常数) : (1) y n ? C ? 3 ? 0.3 sin(
n

?
2

n) ? 0.1 cos(

?
2

n) , y n ?1 ? 3 y n ? sin(

?
2

n) ;

(3) 2 yn?1 ? yn ? 2 ? n 2 , y 0 ? 4 .

- 35 -

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【补充材料】鉴于积分在本学期的重要性,将上学期“不定积分”各章节 练习题及答案汇编如下.

(7)

2 ? cos2 x ? 1 ? cos2 x dx ;

(8) (

?

1? x 1? x ? )dx ; 1? x 1? x

§5.1

第五章 不定积分 原函数与不定积分的概念 §5.2

基本积分公式

(9)

?

9x 2 ? 4 ? 9x 2 ? 4 81x 4 ? 16

dx .

1. 已知一曲线经过点 (1, 2) ,且在其上任一点 ( x, y) 处的切线斜率等于

4 x ,求曲线的方程.
2. 求下列不定积分: (1)已知

? f ( x)dx ? arctan x ? C , 求不定积分 ? f ( x) dx ;
? f ( x)dx ? xe ?
2x

1

(2)已知

? C , 求不定积分 ?

1 ? 2x dx ; f ( x)

(3)已知

f ( x)dx ? sin 2 x ? C , 求不定积分 ?

(sin x ? cos x) 3 dx . 1 ? f ( x)

3. 求下列不定积分: (1) (2 ?
x

?

1 ? )dx ; x 1? x
2

1

(2) (sin x ?

?

1 )dx ; 1? x2

(3)

?

(2 x ? 1) 2 x

dx ;

2 x ?1 ? 5 x ?1 dx ; (4 ) ? 10x
(6)

(5)

1 ? sin 2 x ? cos x ? sin x dx ;

1 ? 2x 2 ? x 2 (1 ? x 2 )dx ;
- 36 -

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§5.3
1.求下列不定积分:
?2 x (1) e dx ;

凑微分法和分部积分法
(一)凑微分法 1.求下列不定积分: (1)

(二)分部积分法

?

(2)

1 ? x ln x dx ;

? ?arcsin x ? ln( x ? 1)?dx ;
? ?

2 ?2 x (2) x e dx ;

?

dx ? x2 ? x ; x ?1 dx ; (5) ? 1 ? 2x ? x 2
(3)
2 3 (7) sin x cos xdx ;

(4) x 1 ? x dx ;
2
2 (6) sin ?1 ? 2 x ?dx ;

?

x (3) e sin 2 xdx ;

(4) x 1 ? x e dx ;
2

? ?

?

x2

?

(5) sin ln xdx ; 2.求下列有理函数的不定积分: (1)

(6 )

?

1 ? x 2 dx .

?

(8)

? sin

1
4

x

dx ;

(9)

?
?
?

x3 1? x
2

1 ? x(1 ? x 7 ) dx ;

(2)

x ? x2 ? 1 ? x 3 dx .

dx ;
1

(10)

?

sin x cos x 2 ? 3cos 2 x

dx ;

3.求下列不定积分: (1)已知 f ( x ) 是 e (2)已知 e
? x2 ? x2

的一个原函数,求 xf ?( x ) dx ;

(11)

x sin x cos x

dx ;

1 dx ; (12) ? 1? ex
(14*)

? ?

是 f ( x ) 的一个原函数,求 xf ?( x ) dx .

x (13*) x ?1 ? ln x ?dx ;

? ?sin x ? 2 cos x?

dx

2



- 37 -

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§5.4
1. 求下列不定积分: (1)

换元积分法

?
?

1 1 ? 2x ? 3

dx ;

(2)

?

1 ? x dx ;

(3)

x cos x dx ;

(4)

?x
?

1 1? x2
dx ;

dx ;

(5)

?
?

1 ? x2 dx ; x3
x 98

(6) e

? x

(7)

?1 ? x ?

101 2 2

dx ;
2 sin x ? cos x dx . sin x ? cos x

(8*) ln(1 ?

?

1? x )dx . x

2*.求不定积分

?

3*.试求不定积分

? (ln x)

ln x ? 1
2

dx .

4*.已知 f (ln x) ?

ln(1 ? x) ,求 ? f ( x ) dx . x

- 38 -

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【第五章 参考答案】 §5.1--§5.2 答 案
1. y ? 2 x 2 . (3) ln (5) ? (2) ?

x ?C; x ?1

( 4) ?

1 (1 ? x 2 ) 2 ? C ; 3

3

x3 ?c; 2.(1) x ? 3

1 ?2 x e ?c; 2

1 ln 1 ? 2 x ? x 2 ? C ; 2 1 3 1 5 (7) sin x ? sin x ? C ; 3 5
3 1

(6)

1 1 x ? sin( 2 ? 4 x) ? C ; 2 8 1 3 (8) ? cot x ? cot x ? C ; 3

(3) ? cos x ? sin x ? c . 3.(1)

2x ? arcsin x ? ln | x | ?c ; (2) ? cos x ? arctan x ? c ; ln 2

1 1 2 2 2 ? 3 cos 2 x ? C ; (9) ( x ? 1) 2 ? ( x ? 1) 2 ? C ; (10) 3 3
(11) 2 ln csc 2 x ? cot 2 x ? C ; (12) x ? ln( 1? ex ) ? C ; (13) e
x ln x

(3)

8 8 x ? x ? 2x ? c ; 5 3

5 2

3 2

1 2

(5) sin x ? cos x ? c ; (7) tan x ?

1 1 ( )x ( )x (4) ? 2 5 ? 2 ? c ; ln 5 5 ln 2 1 (6) ? ? arctan x ? c ; x
(8) 2 arcsin x ? c ;

?C;

(14) ?

1 ?C. tan x ? 2

(二)
1. (1) x arcsin x ? 1 ? x ? x ln x ? 1 ? x ? ln 1 ? x ? C ;
2

1 x ?c; 2
2

(9) ln | 3x ? 9 x ? 4 | ? ln | 3 x ? 9 x ? 4 | ?c .
2

1 3

1 3

§5.3 答 案 (一)
1.(1) ?

1 ?2 x e ?C; 2

(2) ln ln x ? C ;

1 2 ?2 x 1 ?2 x 1 ?2 x x e ? xe ? e ? C ; 2 2 4 1 x 2 x (3) e sin 2 x ? e cos 2 x ? C ; 5 5 1 2 x2 (4) x e ? C ; 2 1 (5) ? x sin ln x ? x cos ln x ? ? C ; 2 1 1 2 2 (6) x 1 ? x ? ln x ? 1 ? x ? C . 2 2
(2) ?

- 39 -

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2. (1) ln 3. (1) ?

1 7

? 1 ? 2x ? x7 1 3 arctan ? ? ? C ; (2) ln x 2 ? x ? 1 ? ? ??C ; 7 2 3 1? x ? 3 ?
1 ?x 2 e ? C; 2
(2) ? 2x 2 e ? x ? e ? x ? C .
2 2

(9)

1 1? x 1 1 ln 1 ? ? ?C. 4 x 2 1? x ?1 x

2.

1 3 x ? ln sin x ? cos x ? C . 2 2

§ 5.4 答 案
3. 1. (1) ? 1 ? 2 x ? 3 ln 1 ? 2 x ? 3 ? C ;

x ln x

?C.

4 (2) 1 ? x 5

?

?

5 2

4 ? 1? x 3

?

?

3 2

?C;

4. ?

ln 1 ? e x ? x ? ln 1 ? e x ? C . x e

?

?

?

?

(3) 2x sin x ? 4 x cos x ? 4 sin x ? C ; (4) ln

1? 1? x2 ?C ; x 1? x2 1 1? x2 ?1 ? ln ?C ; 2 x 2x 2
? x

(5) ?

(6) ? 2 xe

? 2e ?
99

x

?C;

1 ? x ? (7) 2 99 ? ? 1? x
(8) x ln?1 ?

? ? ?C ; ? ?

? ? ?

1? x ? 1 1? x ? ? ln ?1 ? C ; x ? 4 x ?
- 40 -

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b

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第六章
一、选择题

自测题

(B) (C) ). (D)

(b ? a) f ( b) ?? (b ? a)

a

f ( x) d ?x (?b

f ( a)? f ( b) a ) 2

1.设 f ?x ? 是 [ a, b] 上的连续函数,则下列论断不正确是( (A) (B) (C)

?

x

a

f ( x)dx 是 f ?x ? 的一个原函数

f ( a)? f ( b) b ?? f ( x) d ? x ( ? b a ) f ( a ) a 2 f ( a)? f ( b) b (b ? a) ? ? f ( x) d x ? ( b ? a ) f ( b ) a 2

? ?

b

4. 设 f ?x ? 在 (??, ?) 内为连续可导的奇函数, 则下列函数中为奇函数的是 ( (A) (C) ). ).

x b

f ( x)dx 是 - f ( x) 的一个原函数 f ( x)dx 是 f ?x ? 的一个原函数

a

sin f ?( x)

(B) (D)

?

x

0

sin xf (t )dt

(D) f ?x ? 在 [ a, b] 上可积 2.设 f ?x ? 是连续函数, F ( x) 是 f ?x ? 的原函数,则( (A) 当 f ?x ? 是奇函数时, F ( x) 必为偶函数 (B) 当 f ?x ? 是偶函数时, F ( x) 必为奇函数 (C) 当 f ?x ? 是周期函数时, F ( x) 必为周期函数 (D) 当 f ?x ? 是单调递增函数时, F ( x) 必为单调递增函数

?

x

0

f (sin t )dt

?

x

0

sin tf (t )dt

5.设函数 f ( x ) 有连续的导数, f (0) ? 0,f ?(0) ? 0 且当 x ? 0 时,

F ( x) ? ? (sin 2 x ? sin 2 t ) f (t )dt 与 x k 为同阶无穷小,则 k ? (
0

x

).

(A) 1 (C) 3 6.已知 f ( x) ? (A) 正常数 (C) 零 7.已知 F ( x) ? (A) 正常数 (C) 零

(B) 2 (D) 4

?

x2

0

e dt ? ?
?t 2

? x2

0

则 f ( x ) 为( e?t dt ? 1,

2

).

(B) 负常数 (D) 非常数

f ?( x) ? 0,f ??( x) ? 0,则下列不等式成 3.设在区间 [ a, b] 上, f ( x) ? 0,
立的是( (A) ).
b a

?

x ? 2?

x

esin x sin xdx,则 F ( x) 为(

).

(b ? a) f (a) ? ? f ( x)dx ? (b ? a)

f (a) ? f (b) 2
- 41 -

(B) 负常数 (D) 非常数

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二、填空题 1 . 设 f ( x ) 具 有 一 阶 连 续 导 数 , 且 f (0) ? 0 , f ?(0) ? 0 , 则

(3)

?

a

0

a 2 ? x 2 dx (a ? 0) ;

lim
x ?0

?

x2 x

0 0

f (t )dt

x 2 ? f (t )dt

? _____.

2.设 f ( x ) 连续,则

d dx

? ? tf ( x ? t )dt ? ? __________ .
x 2 2 0

3.设 f ( x ) 在区间 [0, ?? ) 上具有二阶连续导数, f (1) ? 1 , f ?(1) ? 2 ,

(4) 设 f ( x) ? ?

?

1

0

x2 f ??( x)dx ? 6 , ? f ( x)dx ? ____.
0

1

2 ?2 x 0 ? x ? 1 ,求 ? f ( x)dx . 0 1? x ? 2 ?5

4.设连续函数 f ( x ) 满足

?

x

0

f ( x ? t)et dt ? sin x ,则 f ( x) ? ______ .

三、解答题 1. 求下列定积分: (1)

?

4

1

ln x dx ; x

(2)

?

ln 2

0

x e dx ;

3 x2

2.求下列反常积分: (1)

?

??

0

e? ax cos bxdx (a ? 0) ;

- 42 -

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2?

学号

(2)

?

3

1

1 dx . (1 ? x)( x ? 3)

4.函数 f ( x ) 在区间 [0, 2? ] 上单调递减,证明

?

0

f ( x)sin xdx ? 0.

3.求由抛物线 y ? ? x ? 4 x ? 3 与它在点 M (0, ?3) 及点 N (3, 0) 处的两条
2

切线所围成图形的面积.

- 43 -

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第七章
一、选择题 1.极限
( x , y ) ? ( x0 , y 0 )

自测题

1)若 f 可微、存在唯一驻点 P0 ,且为极值点,则 P0 必为最值点 2)若 f 可微,且存在最值点 P0 ,则 P0 必为驻点 3)若 f 连续,且存在唯一的极值点 P0 ,则 P0 必为最值点 4)若 f 连续于 D ,则 f 在 D 内必存在最值 5. 设 ? ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 的某邻域内具有连续的偏导数, 且?? x ( x0 , y 0 ) ? 0 . 若 ( x0 , y0 ) 是可微函数 f ( x, y) 在约束条件 ? ( x, y) ? 0 之下的极值点, 则下 列命题正确的是 [ ].

lim

f ( x, y ) 存在的充分条件是 [

].

[A] 点 P ( x, y ) 沿无穷条路径趋于点 P 0 ( x0 , y0 ) 时,f ( x, y) 的极限均存在且 相等 [B] f x?( x0 , y0 ), f y? ( x0 , y0 ) 存在 [C] 点 P ( x, y ) 沿过 ( x0 , y0 ) 的任意直线趋于 ( x0 , y0 ) 时, f ( x, y) 的极限均 存在且相等 [D] f ( x, y) 在 ( x0 , y0 ) 处连续 2.若 f ( xy, x ? y) ? x2 ? y 2 ? xy ,则 [A] ? 1 [B] 2 y

[A] 恒有 f x?( x0 , y0 ) ? f y? ( x0 , y0 ) ? 0

?f ( x , y ) ? [ ?x

]. [D] 2 x

[B] f x?( x0 , y0 ) ? 0 ? f y? ( x0 , y0 ) ? 0 [C] f y? ( x0 , y0 ) ? 0 ? f x?( x0 , y0 ) ? 0 [D] f y? ( x0 , y0 ) ? 0 ? ? ? y ( x0 , y0 ) ? 0

[C] 2( x ? y )

3 .二元函数 z ? f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 的偏导数存在是其在该点可微的 [ ].

二、填空题

[A] 充分条件 [B] 必要条件 [C] 充要条件 [D] 非充要条件 4.设 f ( x, y) 定义于有界闭区域 D ,下列命题正确的个数是 [ [A] 0 个 [B] 1 个 [C] 2 个 [D] 3 个 ].

1 1. lim (1 ? ) x ? y ? x ?? x y ?a
2.设 u ?

x2

.

?

xy 0

sin t ?u dt ,则 = ?x t



?u = ?y

.

- 44 -

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?2z 3.设 dz ? (2 x ? 3 y)dx ? (3x ? 2 y)dy ,则 = ?x ?y
4.设在 xoy 坐标系下, D ? {( x, y ) | 0 ? y ? 在极坐标系下, D ? 5.无穷限积分

2.求下列函数的全微分: . (1) z ? x
ln y

,求 dz |(1, e) ;

2 , y ? x ? 4 ? y 2 } ,则
.

?

?? 0

e ? x dx =

2

.

三、解答题

1 ? 2 2 , x2 ? y2 ? 0 ?( x ? y ) sin 2 2 x ?y 1.设 f ( x, y ) ? ? ,讨论 f ( x, y) 在 2 2 ?0 , x ?y ?0 ?
点 (0,0) 的连续性、偏导数以及 f ( x, y) 的偏导函数在在点 (0,0) 的连续性.

(2) u ?

x 2 ? y 2 ? z 2 ,求 du ;

(3) 已知 f (u , v) 有连续的偏导数, z ? ln f ( xy, x ? ln y) ,求 dz .

- 45 -

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3.设 f ( x, y) 在连续偏导数, n 为正整数,证明 f ( x, y) 满足

5.设 f 具有二阶连续偏导数, u ? f ( x ? y ? z, xyz) ,求

f (tx, ty) ? t n f ( x, y), t ? (0,??) 的充要条件是对任意 ( x, y ) 有

? 2u . ?x?z

xf x?( x, y) ? yf y?( x, y) ? nf ( x, y) .

6.设 z ? f ( x, y) 由方程 xy ? yz ? zx ? 1 所确定,求

x ? y ? z ) ,求 4.设 xyz ? arctan(

?z ?z , . ?x ?y ( 0,1, ?1)

?2z . ? x ?y

- 46 -

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7.求 f ( x, y) ? ( x 2 ? 2x ? y)e 2 y 的极值.

9.求周长为定值 2 p 的三角形面积的最大值. (提示: S ?

p( p ? x)( p ? y)( p ? z) ,其中 x, y , z 为三角形的各边长)

8. 设 D ? {( x, y) | x ? y ? 16}, 求 f ( x, y) ? 3x ? 3 y ? x 在 D 上的最
2 2 2 2 3

值.

10.某厂生产甲、乙两种产品,当两种产品的产量分别是 x 和 y (单位:吨) 时 , 总 收 益 函 数 为 R ? 27x ? 42y ? x ? 2 xy ? 4 y , 总 成 本 函 数 为 C ? 36 ? 12x ? 8 y (单位:万元)。此外,生产甲种产品每吨还需支付排污
2 2

费 1 万元, 生产乙种产品每吨还需支付排污费 2 万元。 在限制排污费用支出 总额为 6 万元的情况下,两种产品的产量各为多少时总利润最大? 最大总 利润是多少?

- 47 -

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11.计算二重积分: (1)

0 ? x ?1 x? y? x

??

sin y dxdy y

(2)

0 ? y ?1 y?x?3 y

?? e

x

2

12.用二重积分计算圆锥体 z ?

x 2 ? y 2 被平面 z ? 2 所截部分的体积.

dxdy

(3)

?1 ? x ? 1 ?1 ? y ? 1

??

| y ? x |dxdy

(4)

0 ?y ? x

?? e

? x? y

dxdy

13. 证明:(1) 若 f ( x) 为 [ a, b] 上的正的连续函数,则

?

b a

f ( x)dx?

b a

1 dx ? (b ? a) 2 ; f ( x)

- 48 -

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(2) 若 p( x), f ( x) 及 g ( x) 连续于 [ a, b] ,且 p( x) ? 0 , f ( x) 与 g ( x) 均单 增,则

?

b a

p( x) f ( x) g ( x)dx? p( x)dx ? ? p( x) f ( x)dx? p( x) g ( x)dx .
a a a

b

b

b

- 49 -

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第八章
一、选择题 1. 正项级数

自测题

[C] 收敛且其和为 a1 ? a 4. 下列级数中发散的是 [ ].

[D] 发散

?u
n ?1

?

n

收敛的充分必要条件是 [

].

? a ?1? [A] ? ? ? (a ? 1) n ?1 ? a ?
?

n

[B]

1? ? ? ln? ? n?
n ?1

?

?

1?

[A] lim u n ? 0
n ??

[B] 数列 {u n } 单调有界

[C]

??
? n ?1

n ? 2 ? 2 n ?1 ? n

?

[D]

[C] 部分和数列 {S n } 有上界 2. 下列结论中正确的是[ [A] 若级数 ].

u [D] lim n ?1 ? ? ? 1 n ?? u n
?

n2 ? n ?1 n!
].

?

5. 设 0 ? a n ? [A]

1 (n ? 1,2, ?) ,则下列级数中收敛的是 [ n
[B]

?u , ? v
n ?1 ? n n ?1

?

?

n

都发散,则级数
?

? (u
n ?1

n

? v n ) 发散;
?

?a
n ?1

?

n

? (?1)
n ?1

?

n

an

[C]

?
n ?1

?

an

[D]

? (?1)
n ?1

?

n

2 an

[B] 若级数

? (u
n ?1 ?

n

? v n ) 收敛,则级数 ? u n 与 ? v n 都收敛;
n ?1 n ?1

6. 命题“若 [A] an ? bn

? an 发散,则 ? bn 发散”成立的条件是 [
n ?1 n ?1

?

?

].

[C] 若级数

?u
n ?1 ?

n



?v
n ?1

?

n

都收敛,则级数
?

? (u
n ?1 n

?

[B] an ?| bn |

[C] | an |?| bn |

[D] | an |? bn ].

n

? v n ) 收敛;
7. 若幂级数

?a
n ?0

?

n

( x ? 1) n 在 x ? ?1 收敛, 则该级数在 x ? 2 处 [
[C] 发散 [D] 敛散性不能确定

[D] 若级数

?u
n ?1

n

收敛,

?v
n ?1

?

n

发散,则
?

? (u
n ?1

? v n ) 的敛散性不确定

[A] 条件收敛 8. 若 lim

[B] 绝对收敛

3. 已知 lim a n ? a ,则级数
n??

? (an ? an?1 ) [
n ?1

].

? a n ?1 ? a ,则幂级数 ? a n x bx (b ? 1) 的收敛半径 R ? [ n ?? a n ?0 n

].

[A] 收敛且其和为 a1

[B] 收敛且其和为 ? a
- 50 -

[A] a

[B] a

1/ b

1 [C] a

?1? [D] ? ? ?a?

1/ b

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二、填空题 1. 若级数

?u
n ?1 ?

?

n

收敛于 S,则级数

? (u
n ?1

?

(2)
n

? u n ?1 ) 收敛于

.

?2
n ?1

?

n
n

cos2

n? ; 3

2. 已知级数
?

? 1 3n ? 2 ,则级数 ? e ? ? ? n! n ? 0 n! n ?0

.

3. 级数
?

?? ?
n?2

?

1

? n ?1
1

?
1

? ? ? 的敛散性是 n ? 1? 1
? 1

, (3) .

级数

? ? ? , (? ? ) 的敛散性是 ?? ? 2 ? n ?1 n ? 1?
n?2

?

xn . ? 1 ? x 2 )?(1 ? x n ) n ?1 (1 ? x)(

?

4. 设幂级数 是 三、解答题

?a
n ?1

?

n

( x ? 1) n 在 x ? 3 条件收敛,则该幂级数的收敛半径

.

1. 判别下列级数的敛散性:

1 ln(1 ? ) n ; (1) ? 1/ 3 n ?1 ( n ? 1)
?

2. 证明:若级数

?u
n ?1

?

2 n

收敛,则级数

?n
n ?1

?

un

绝对收敛.

- 51 -

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3.求下列级数的收敛域:

(?1) ? 1 ? x ? (1) ? ? ? ; n ?1 2n ? 1 ? 1 ? x ?
?

n ?1

n

?1 ? (2) ? ? ln x ? ; ? n ?1 ? 3

?

n

4.求幂级数
?

? n(n ? 1) x
n ?1

?

n

的收敛域及和函数,并求常数项级数

?

n(n ? 1) 的和. 2n n ?1

(3)

? ne
n ?1

?

? nx



(4)

?
n ?1

?

2n n

sin n x .
5.将下列函数展开为 x 的幂级数,并求其收敛域: (1) f ( x) ? x e
3 ?x



- 52 -

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姓名

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(2) f ( x ) ?

1 ; x ? 3x ? 2
2

(3) f ( x ) ?

ln(1 ? x ) . x

- 53 -

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2 2

姓名

学号

近年期中试卷汇编

(C)

? f ?x?dx ? ? g ?x?dx
c c

(D)

? f ?x?dx ? ? g ?x?dx
2 c 2 c

2.以下反常积分中发散的是 [

] (C)

南 京 审 计 学 院 2009—2010 学年第二学期《微积分二》期中试卷
一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分) (A)

?

1 dx 0 x2
1

(B)

?

1 0

1 1? x

dx

?

0

??

e x dx

(D)

?

?? 1

1 dx x3

3 . 设 函 数 z ? f ?x, y ? 在 点 ?0,0? 的 某 邻 域 内 有 定 义 且 f x??0,0? ? 2 ,

e ?t 1.极限 lim ? dt ? x ?0 cos x x 2
1

2



f y? ?0,0? ? 1则下列结论正确的是 [
. (A) 函数 z ? f ?x, y ? 在 ?0,0? 处连续

]

2.积分

?

1 ?1

( x 2 sin x ? x 1 ? x 2 ?

1 )dx ? 1? x2

3.设函数 z ? f ( x, y ) ?

xy ,则

?z ?x

?
( 0,0)

(B) 一元函数 z ? f ?0, y ? 在 y ? 0 可导且导数等于 1 . (C) 函数 z ? f ?x, y ? 在 ?0,0? 处可微,且全微分 dz ?0 , 0 ? ? 2dx ? dy . (D) 一元函数 z ? f ?0, y ? 在 y ? 0 可导且导数等于 2 . 4.极限
( x , y )?( x0 , y0 )

4.设 f ( x) ?

?

x2 1

e ?t dt ,则 ? xf ( x)dx ?
2

1

0

5. 设 z ? f e?x ? e? y , 且 f ?u ? 可微, 则 e?y

?

?

?z ?z ? e ?x ? ?x ?y

lim

f ( x, y ) 存在的充分条件是 [

]

二、单项选择题(本题共 4 小题,每小题 2 分,满分 8 分) 1. 设函数 f ? x ? 与 g ?x ? 在 ?0,2? 上连续且 f ?x ? ? g ?x ? , 则对任何 c ? ?0,2? , 下列结论正确的是 [ (A)
c c 1 1

(A) f x?( x0 , y0 ), f y? ( x0 , y0 ) 存在 (B) f ( x, y) 在 ( x0 , y0 ) 处连续 (C) 点 P( x, y) 沿着过 ( x0 , y0 ) 的任意直线趋于 ( x0 , y0 ) 时,f ( x, y) 的极限 存在且相等 (D) 点 P( x, y) 沿着过 ( x0 , y0 ) 的无穷条路径趋于 ( x0 , y0 ) 时, f ( x, y) 的
- 54 -

] (B)

? f ?x?dx ? ? g ?x?dx

? f ?x?dx ? ? g?x?dx
c c 1 1

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?? 0

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极限存在且相等 5.设

?

x 0

tf (t )dt ? e x ? 1,则 ?

ln 2 0

3.计算

x 3 f ( x 2 )dx ? [

]

?

e ? x x 2 dx .

(A) ? 1 (C)

(B) 0 (D) 1

1 2

三、计算下列积分(本题共 3 小题,每小题 6 分,满分 18 分) 1.设 f ? x ? ? ?

? 1 ? x, ? e ,
?x

x?0 x?0

,计算

?

1 ?3

f ?x ?dx .
四、求偏导及微分(本题共 3 小题,每小题 6 分,满分 18 分) 1.求函数 z ? x ln(x ? y) 的二阶偏导数

?2z . ?x ?y

2.计算

?

3 1

arctan xdx .

2.设 z ? f ?x, y ? 是由方程 e ? x yz 所确定的隐函数,试求 dz .
z 2

- 55 -

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3 . 设 函 数 f ?u, v ? 可 微 且 满 足 f u??3,2? ? 4 , f v??3,2? ? 3 . 试 求 函 数

2.已知某产品的边际成本和边际收益函数分别为 C ?(q) ? q 2 ? 4q ? 6 ,

z ? f ?x ? y, xy? 的偏导数

?z ?x

?1, 2 ? .

R?(q) ? 105? 2q ,固定成本为 100 .其中,q 为销售量,C ?q ? 为总成本,

R?q ? 为总收益.试求最大利润值.

五、应用题(本题共 2 小题, 8+6 分) 1.设 D 是由两条曲线 y ? x 和 x ? y 围成的区域,试求:
2 2

(1)区域 D 的面积; (2) D 绕 y 轴旋转一周所得立体体积.

六、证明(选做一题)(本题共 1 小题,每小题 5 分,满分 5 分) 1.设函数 f ?x ? 在 ?0,1? 上连续,在 ?0,1? 内可导,且 f (1) ? 3 证明:存在 ? ? ?0,1? ,使得 2?f (? ) ? ? f ?(? ) ? 0 .
2

?

1 3 0

f ( x) x 2 dx ,

- 56 -

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姓名

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2.设 f ?x ? 是以 T 为周期的连续函数,试证:对任何常数 a ,恒有

?

a ?T a

f ( x)dx ? ? f ( x)dx.
0

T

- 57 -

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南 京 审 计 学 院 2010—2011 学年第二学期《微积分二》期中试卷

4.函数 f ( x, y ) ? ?

? 1, xy ? 0 在点 (0, 0) 处 [ ? 0, xy ? 0

]

[A] 可微且偏导数存在 一、单选题(共 4 小题,每小题 2 分,满分 8 分) 1.设 f ( x) 连续于 R ,且 F ?( x) ? f ( x), x ? R ,则下列等式中不成立的是 [ [A] ]

[B] 不可微但偏导数存在

[C] 不可微且偏导数不存在 [D] 不可微但连续 二、填空题(本题共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分) 1.若 f ( x) 的一个原函数是 e x ,则 xf ?( x )dx ?
2

?

. .

? F ?( x)dx ? F ( x) ? C ?

[B] [ f ( x )dx ]? ? f ( x ) ? C [D] d [ dF ( x)] ? f ( x) dx ] [D]
?x ? e dx
2

?

2.设 f ( x) ? min{x 2 , x 3 } ,则 3.无穷限积分

?

4 ?1

f ( x)dx ?


[C] d [ F ( x)dx ] ? F ( x)dx

?

2.下列不定积分中,能用初等函数表示的是 [ [A]

?

?? 0

e ? x dx ?

2

1 ? 1 ? x 3 dx

[B]

sin x ? x dx

[C]

?

1 ? x 3 dx

3.设 f ( x) 连续于 R ,且 F ?( x) ? f ( x), x ? R ,给定以下四个命题: 1) F ( x) 为偶函数的充要条件是 f ( x) 为奇函数; 2) F ( x) 为有界函数的充分非必要条件是 f ( x) 为有界函数; 3) F ( x) 为奇函数的充要条件是 f ( x) 为偶函数; 4) F ( x) 为周期函数的必要非充分条件是 f ( x) 为周期函数, 其中的真命题是 [ [A] 1)2) ] [C] 1)4) [D] 3)4)
- 58 -

1 ? 2 2 , ( x, y) ? (0, 0) ? ( x ? y ) sin 2 4.设 f ( x, y) ? ? , x ? y2 ? 0, ( x, y) ? (0, 0) ?
则其在 ?0,0? 处的偏导 f x (0, 0) ?
? /2
0



三、解答题(本题共 8 小题,满分 60 分) 1. (6 分)求

?

(sin x ? cos x) cos2 x dx .

[B] 2)3)

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姓名

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2. (6 分)求

?

4 0

ln(1 ? x ) dx .

5. (8 分) 设 f (u , v) 可微, f u (1, 2) ? 3 , f v (1, 2) ? 4 , 求 z ? f ( xy, x ? y) 在 (1, 1) 处的全微分.

3. (7 分)求

?

? /2
0

[?

? /2
x

sin t dt ] dx . t

6. (8 分)设 y ? y ( x) 是由函数方程 e xy ? x ? y ? 1 在 (0, 0) 点附近所确 定的隐函数,求曲线 y ? y ( x) 在 (0, 0) 点处的法线方程.

2

7.(9 分)过点 (?1, ? 1) 作曲线 ? : y ? x 的切线 L ,求:
3

4. (7 分)设

?

x 0

f ( x ? t )tdt ? e x ? x ? 1,求连续函数 f ( x) .

(1) ? 与 L 所围平面图形 D 的面积;(6 分) (2) 图形 D 的 x ? 0 的部分绕 x 轴旋转一周所得立体的体积.(3 分)

- 59 -

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b a b a

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8.(9 分)设 f ( x) 连续于 [ a, b] ,且

?

f ( x)dx ?

?

e x f ( x)dx ? 0 .

(1) 证明: f ( x) 在 (a, b) 内至少有两个零点;(6 分) (2) 进一步,在什么条件下, f ( x) 在 (a, b) 内至少有三个零点?试说明理 由.(3 分)

- 60 -

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南 京 审 计 学 院 2011—2012 学年第二学期《微积分二》期中试卷
一、填空题(本题共 5 小题,每小题 2 分,满分 10 分) 1. 设

1)若 f ?x ? 在 ?a, b? 上可积, f ?x ? ? 0 且不恒为零,则 2)若 f ?x ? 在 ?a, b? 上有界,则 f ?x ? 在 ?a, b? 上可积 .

? f ?x ? ? 0
b a

? f ?x ?dx ?
x 0 x ?0

1 ? x ? C ,则 ? xf x 2 dx ?

? ?

3)若 f ?x ? 在 ?a, b? 上不连续,则 f ?x ? 在 ?a, b? 上不可积 4 )设 f ?x ? 在 ?? ?,??? 内连续且以 T 为周期,则对任意常数 a ,均有

? 2. 极限 lim
3.

ln?1 ? t ?dt x2

?

. . .(精确到小数点后两位)

?

1 ?1

?

a ?T a

f ?x ?dx ? ? f ?x ?dx
T 0

x ? x ? x cos x dx ?
3 2 2

3 . 设 函 数 f ?x ? 在 ?0,1? 上 连 续 , 且 满 足 f ?x ? ? 3x 2 ? x

? f ?t ?dt , 则
1 0

4. 利用全微分可得 ?1.02? 5. 极限 lim?
n??

3.03

?

? f ?x?dx ? (
1 0



1 1 ? ? 1 ? ??? ?? 3n ? n ? ? 3n ? 1 3n ? 2

.

(A)

1 2

(B)

2 3

(C)

5 4

(D) 2 )

二、选择题(本题共 4 小题,每小题 2 分,满分 8 分) 1.下列结论正确的是( )

4.下列命题错误的个数是(

(A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4 个
x
??

t ?7 dt ? sin x 1 dx ? 0 (C) lim x (A) ? x ?3 dx ? 0 (B) ? ?0 ? ? 2 ? cos x ?1 x ??? t ?5 dt
1

1 )若 f x??x0 , y0 ?, f y? ?x0 , y0 ? 均存在,则 z ? f ?x, y ? 在 ?x0 , y0 ? 处可微且

?

1

dz

? x0 , y 0 ?

? f x? ?x0 , y 0 ?dx ? f y? ? x0 , y 0 ?dy

(D) lim

x???

?

x 0

2e ?u du ? ?


2

2) 若 f ? x, y ? 在 ?x0 , y0 ? 处的偏导 f x??x0 , y0 ? 存在, 则 f ?x, y0 ? 在 x ? x0 处 连续 3)若点 P?x, y ? 沿过 ?x0 , y0 ? 的任意直线趋于 ?x0 , y0 ? 时 f ? x, y ? 的极限都

2.下列命题正确的个数是( (A) 1 个

(B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4 个

- 61 -

《微积分(二)》同步练习册

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姓名
?? 0

学号

存在且相等,则

? x , y ??? x0 , y0 ?

lim

f ?x, y ? 存在

3.判定 则 z ? f ?x, y ? 在 ?0,0? 处 ? 0,

?

e ? x cos xdx 敛散性.若收敛,求其值.

4) 若 f ?0,0? ? 0 且

? x , y ???0, 0 ?

lim

f ?x, y ? ? 2 x ? y x2 ? y2

可微 三、 (本题共 5 小题,每小题 7 分,满分 35 分) 1.计算

?x

1 x ?1

dx .
4.设 z ? f ?x, y ? 是由方程 sin z ? x yz 确定的隐函数,求 dz .
2

2.求

?

2 ?1

max x 2 , x dx ( max?a, b? 表示 a , b 两数的最大者)

?

?

5 . 已 知 函 数 f ?u, v ? 可 微 , f u??2,0? ? 3 , f v??2,0? ? 4 . 试 求 函 数

z ? f ?xy, y ? 2 x ? 在 ?x, y ? ? ?1,2? 处的偏导数

?z ?x

?1, 2 ? .

- 62 -

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姓名

学号

四、 (满分 10 分)设平面图形由曲线 y ? 1)此平面图形的面积(5 分) ;

x 与直线 y ? x 围成.试求:

六、证明题(本题共 2 小题,每小题 5 分,满分 10 分) 1. 已知 f ?x ? 在区间 ?0, a ? 上连续,试证:

? f ?x?dx ? a? f ?ax?dx .
a 1 0 0

2)此平面图形绕 y 轴旋转一周而成的立体体积(5 分) .

2. 设 f ?x ? 在 区 间 ?0,1? 上 连 续 , 在 ?0,1? 内 可 导 , 且 满 足 五、 (满分 7 分)已知某产品的固定成本为 50 ,边际成本和边际收益分别 为 MC?q ? ? q ? 4q ? 6 , MR?q ? ? 105? 2q ,其中 q 为产品的产量(销
2

f ?0? ? 2? 1 e x f ?x ?dx . 试证:存在 ? ? ?0,1? ,使得 f ??? ? ? f ?? ? ? 0 .
1 2

售量) ,试求最大利润.

- 63 -

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近年期末试卷汇编 南 京 审 计 学 院 2009—2010 学年第二学期《微积分二》试卷
一、填空题(共 9 个空,每空 2 分,满分 18 分) 1.

二、单项选择题(共 5 题,每题 2 分,满分 10 分) 1.设 z ? f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续,则下列说法中正确的是( )

( A) z ? f ( x, kx) 在 x ? x 0 处一定连续 ( B ) z ? f ( x, y0 ) 在 x ? x 0 与 z ? f ( x0 , y) 在 y ? y 0 处仅有一个连续


?

1

1 x
1? p

0

dx 收敛,则参数 p 满足的条件为
?


(C ) z ? f ( x, y0 ) 与 z ? f ( x0 , y) 分别在 x ? x 0 与 y ? y 0 处连续


2. 设 z ? ln(x ? y 2 ) , 则 dz

( 0 , 1)

?2 z ? ?x?y


( D) z ? f ( x, y0 ) 在 x ? x 0 与 z ? f ( x0 , y) 在 y ? y 0 处都不一定连续
2.已知反常积分

3.交换积分次序
?

?

1 0

dy?

y

0

f ( x , y)dx ?

?

?? 0

1 dx 收敛于1 ( k ? 0 ) ,则 k ? ( 1 ? kx 2



3n 4 .设级数 ? u n 的部分和 S n ? ,则 un ? n ?1 n ?1
为 . 5.函数 f ( x) ? ln x 展开成 x ? 1 的幂级数为 后者的收敛域为 .

,该级数的和

( A)

? 2

(B)

?2 2

(C )

?

?
2

( D)

?2 4

3.下列级数中绝对收敛的是( ,

( A) ? (?1) n?1
n ?1

?

n 2n ? 1

( B ) ? (?1)
n ?1

n ( n ?1) 2

n! 3n

6 .某商品的需求量 Q 对价格 p 的弹性为

? (5 p ? 2 p 2 ) ,已知当价格 Q

(C ) ? (?1) n?1
n ?1

?

n3 2n

( D) ? (?1) n?1
n ?1

?

n n ? 100

p ? 10 时 , 需 求 量 Q ? 500 , 则 需 求 量 Q 对 价 格 p 的 函 数 关 系
为 .

4.设 ? ? 分条件是(

(?x) 2 ? (?y ) 2 ,则函数 z ? f ( x , y) 在点 ( x0 , y0 ) 处可微的充


- 64 -

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( A) f ( x , y) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续 ( B ) f ( x , y) 在点 ( x0 , y0 ) 处存在偏导数 (C ) lim[?z ? f x' ( x0 , y0 )?x ? f y' ( x0 , y0 )?y] ? 0
? ?0

2.

? ? sin x cos x dx
3 4

?

1

3.

?

1 0

xe?2 x dx

( D) lim
? ?0

?z ? f x' ( x0 , y0 )?x ? f y' ( x0 , y0 )?y

?


?0

5.若

?? dxdy ? 1 ,则积分区域 D 为(
D

( A) 由 x 轴, y 轴及 x ? y ? 2 ? 0 所围成的区域
4.设 z ? e xy sin(x ? y) ,求

( B ) 由 x ? 1 , x ? 2 及 y ? 2 , y ? 4 所围成的区域 (C ) 由 x ?
1 1 , y ? 所围成的区域 2 2

?z . ?x

( D) 由 x ? y ? 1 , x ? y ? 1所围成的区域
三、计算题(共 6 题,每小题 5 分,满分 30 分) 1.
3 3 3 5.设 z ? z ( x , y) 由方程 x ? y ? z ? xyz ? 6 所确定,求偏导函数

?

2 ?1

x 2 ? x dx

点 (1, 2,? 1) 处的值.

?z 在 ?x

- 65 -

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6.求 ?? x ydxdy,其中 D 是由 y ? x , y ?
2 D

x 和 x ? 2 所围成的区域. 2

(2)在其收敛域内的和函数;

(3)求数项级数

?[
n ?1

?

(?1) n 3n ? ] 的和. 4n n n !

xn 四、 (10 分)设有幂级数 ? ,求: n ?1 n
(1)该级数的收敛域;

?

五、证明题(5 分)设 0 ? a ? 1 ,证明函数 f ( x) ? 区间 (a,1) 内有唯一零点.

?e
a

x

?t 2

dt ? ?

x

1

sin t dt 在 t

- 66 -

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? xy , ( x, y) ? (0,0) ? 2 2 六、 (10 分)二元函数 f ( x, y) ? ? x ? y ,问: ? 0 , ( x, y) ? (0,0) ?
(1) f ( x, y) 在 (0,0) 点是否连续,说明理由;

(2)此平面图形绕

y 轴旋转而成的旋转体体积.

2. (7 分)设生产某种产品的数量与所用两种原料 A,B 的数量 x , y 间有 关系式 Q( x, y) ? 0.005x y ,欲用 150 元购料,已知 A,B 原料的单价分别
2

(2) f ( x, y) 在 (0,0) 点关于 y 的一阶偏导数是否存在,说明理由.

为 1 元和 2 元,问购进两种原料各多少,可使生产的产品数量最多?

七、 应用题(共 2 题,满分 17 分) 1. (10 分)设平面图形由 y ? (1)此平面图形的面积;

x , x ? 1 , x ? 4 , y ? 0 所围成,试求:

- 67 -

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南 京 审 计 学 院 2010—2011 学年第二学期《微积分二》试卷
一、填空题(共 6 个空,每空 2 分,满分 12 分) 1.设 f ?x ? ?

2.若

?? dxdy ? 1,则积分区域 D 可以是(
D



( A) 由 x 轴, y 轴及 x ? y ? 2 ? 0 围成的区域 ( B ) 由 x ? 1, x ? 2 及 y ? 2, y ? 4 围成的区域 (C ) 由 x ? y ? 1, x ? y ? 1围成的区域 ( D) 由 x ?
1 1 , y ? 围成的区域 2 2


?

x
2

x

. ________ sin t 2 dt ,则 f ?( x) ? __________

2 2.由方程 y ? 2xy ? 3 ? 0 确定的曲线 y ? f ( x) 在 (2,1) 处的法线方程为

___________________. 3. 将 ln x 展开成 x ? 1 的幂级数为____________________________ ____. 4.交换积分次序:

3.下列广义积分收敛的是(

?

1 0

dx? f ( x, y)dy ? ? dx?
0 1

x

2

2? x 0

f ( x, y)dy ?

( A)

1 ? 0 x dx
1

(B)

?

1 0

dx x

(C )

?

1 0

dx x x


( D)

?

1 0

1 dx x3

. 5. D ? {( x, y) x ? y ? 1 } ,则
2 2

?? sin(x
D

2

? y 2 )dxdy ?



4.下列二元函数在 ?0,0? 处不可微的是(

6. 微分方程 y dx ? ( x ? 1)dy ? 0 的通解为_________________________.
2 2

二、单项选择题(共 5 题,每题 2 分,满分 10 分) 1.下列级数中绝对收敛的是( )

? x2 y2 , 2 2 ( A) f ( x , y ) ? ? ?x ? y ?0, ?

x2 ? y2 ? 0 x2 ? y2 ? 0

( A)

? (?1)
n ?1

?

n ?1

n 2n ? 1

(B)
?

? (?1)
n ?1 n ?1

?

n ( n ?1) 2

n! 3n

? x2 ? y2 , x2 ? y2 ? 0 ? xy 2 2 ( B ) f ( x, y ) ? ? x ? y ?0, x2 ? y2 ? 0 ?

(C )

? (?1)
n ?1

?

n ?1

n3 2n

( D)

? (?1)
n ?1

n n ? 100
- 68 -

《微积分(二)》同步练习册

班级

姓名

学号

x? y ? , x2 ? y2 ? 0 ? xy 2 2 x ? y (C ) f ( x, y ) ? ? ?0, x2 ? y2 ? 0 ?
x? y ? xy , x2 ? y2 ? 0 ? 2 2 ( D ) f ( x, y ) ? ? x ?y ? x2 ? y2 ? 0 ?0,
5.

2.求 x ? y 2 , x ? y ? 2 所围成图形的面积,并求此图形绕 y 轴旋转生成的 旋转体体积.

?

b

a

f ?(2 x)dx ? (



( A) f (b) ? f (a) 1 (C ) [ f (2b) ? f (2a)] 2

( B ) f (2b) ? f (2a) ( D) 2[ f (2b) ? f (2a)]

3.求

?? xydxdy, D 是由 x ? 2, y ? 0, y ? x
D

2

? x 围成的图形.

三、计算题(共 8 题,每题 6 分,满分 48 分) 1. f ( x) ? ?
2 ? 3 ?1 ? x , x ? 0 ,求 f ?x ? 2?dx . ? ?x 1 ? e , x ? 0 ?

4. z ? f ( x, y) 由 xyz ?

x 2 ? y 2 ? z 2 ? 2 确定,求 dz (1, 0, ?1) .

- 69 -

《微积分(二)》同步练习册

班级

姓名

学号

(2 x ? 5) n 5.级数 ? (?1) 的收敛域. 2n ? 1 n ?1
? n

8. f ( x) 在 (??,??) 连续,并且

? f ?x ? u ?e du ? sin x ,求 f ( x) .
x u 0

6.计算定积分

?

ln 2

0

e x ? 1dx .

四、 (满分 7 分)求二元函数 z ? f ?x, y ? 的极值,其中,

f ( x, y) ? ? x 3 ? y 3 ? 9x 2 ? 3 y 2 ? 24x ? 9 y ? 1.

7.已知 z ? ln(x ? y ) ,求
2 2

?2z ?2z , . ?x 2 ?x ?y

- 70 -

《微积分(二)》同步练习册

班级

姓名
?

学号

? tan(x 2 ? y 2 ) , ( x, y ) ? (0,0) ? 五、 (满分 7 分)设函数 f ( x, y ) ? ? x 2 ? y 2 ,问: ?1, ( x, y ) ? (0,0) ?
(1) f ( x, y) 在 (0,0) 是否连续?

七、综合题(5 分)求级数

? (?1) n?1
n ?1

x n?1 的和函数 S ( x) . n

(2) f ( x, y) 在 (0,0) 是否存在偏导数?

八.应用题(6 分)某厂家生产的一种产品分别在两个市场销售,销售量 ? ( x) ? 120 ? 10x ,R2 ? ( y) ? 200? 40y , 分别为 x 和 y , 边际收益分别为 R1 总成本函数为 C ( x, y) ? 35 ? 40( x ? y) ,问厂家如何确定两个市场的销售 量,能使其获得的总利润最大?最大利润是多少?此时两市场的销售价格 是多少?

y z z x ?z ?z ?y ? z. 连续的偏导数,试证: x ?x ?y

六、证明题(满分 5 分)方程 F ( , ) ? 0 确定的 z ? f ( x, y) , F (u , v) 有

- 71 -

《微积分(二)》同步练习册

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南 京 审 计 学 院 2011—2012 学年第二学期《微积分二》试卷
一、填空题(共 5 小题,每小题 2 分,满分 10 分) 1.定积分

1) 设 f ?x ? 连续于 ?0,??? 且严格大于零,则 a ? ?? 时

? f ?x?dx ? ?? .
a 0

2) 若 f ? x, y ? 在 ?x0 , y0 ? 处的两个偏导 f x??x0 , y0 ?, f y? ?x0 , y0 ?均存在, 则极 限
? x , y ??? x0 , y0 ?

?

1 ?1

x ? 2x ?
5 2

x 1? x2

lim

f ?x, y ? 也存在.

dx ?

.

3)若 f ? x, y ? 在 ?x0 , y0 ? 处取得极小值,则 f ?x0 , y ? 也在 y0 处取得极小值. . 4)若 ?x0 , y0 ? 是可微函数 f ? x, y ? 在有界闭区域 D 内部的唯一驻点且极小 值点,则 ?x0 , y0 ? 是 f ? x, y ? 在 D 上的最小值点. 3.反常积分 . (A) p ? 1 .

2.设 f ?x ? ?

?
x

0 x2

ln 1 ? t 2 dt ,则导数 f ??1? ?
4

?

?

3.将函数 xe 展开成 x 的幂级数后,其中 x 的系数等于 4.交换积分次序



? dy?
0

1

y y

f ?x, y ?dx ?

?

??

1

x p dx 收敛的充要条件是 [
(C) p ? ?1 ]

]

(B) p ? 1

(D) p ? ?1

5. 微分方程 y ? ? y ? e

?x

满足 y?0? ? 1 的解为

4.下列级数收敛的是 [ (A)
n ? ?? 1? n ?1 ? ?

(B)

? cos
n ?1

1 n

(C)

?2 1 ? ? ? n? ? 2 ? n?2 ? n

?

(D)

?2
n ?1

?

n
n

二、单项选择题(共 5 小题,每小题 2 分,满分 10 分) 1.由曲线 y ? 体的体积等于 [ (A)

x , x ? 0 , y ? 1 围成的平面图形绕 y 旋转一周后所成立
]

5.下列命题错误的个数是[ ] (A)1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4 个 1)绝对收敛的级数必然条件收敛.
n 2) 若数列 ?u n ? 单调递减、 各项恒正且 lim u n ? 0 , 则交错级数 ? ?? 1? u n
n ??

? 5

(B)

4? 5

(C)

? 2

?

(D)

?

n ?1

2.下列命题正确的个数是 [ ] (A) 0 个 (B) 1 个 (C) 2 个 (D) 3 个

条件收敛.

- 72 -

《微积分(二)》同步练习册

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3)若

? ?u 2n?1 ? u 2n ? 收敛,则 ? un 也收敛.
n ?1 n ?1 ? ? u n ?1 ? 2 ,则 ? u n 发散,但 ? u n 可能收敛. n?? u n ?1 n ?1 n

?

?

3.设 z ? cos x 2 y ,求

? ?

?2z . ?x ?y

4)若 lim

三、计算题(共 7 小题,每小题 6 分,满分 42 分)

1.求

?2 ? x, x ? 1 . 2 ? ?1 f ?x?dx ,其中 f ?x? ? ? ? x , x ?1
2

4.设 z ? z ?x, y ? 由方程 x 2 z ? ye z 所确定,求 dz ?1, 0, 0 ?

5.求 2.判断

?

?? 0

?

?
2 0

dx?

?
2 x

xe?2 x dx 的敛散性.若收敛,求其值.

sin y dy . y

- 73 -

《微积分(二)》同步练习册

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6.求

?? y ? x dxdy,其中 D ? ??x, y?0 ? x ? 2, 1 ? y ? 2?.
D

四、 (8 分)判定级数 还是条件收敛.

? ?? 1?
n?2

?

n

tan

?
2n

的敛散性.若收敛,指明是绝对收敛

? 7.试求由曲面 z ? e
积.

? x2 ? y 2

? , x 2 ? y 2 ? 4 , z ? 0 所围成的封闭立体的体

五、 (8 分)设有幂级数 1)该级数的收敛域;

?n x
n ?1

?

1

n

,试求:

2)该级数在收敛域上的和函数.

- 74 -

《微积分(二)》同步练习册

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六、 (7 分)设某产品的生产仅需耗费资本和劳动力两种要素.经统计,该 产品的产量 Q 与这两种要素投入量 K , L 的依赖关系为 Q ? K L . 已知资 本要素的价格为 8 ,劳动力要素的价格为 2 .当产量限定为 240 时,试问: 使得总成本最小的资本要素投入量 K 与劳动力要素投入量 L 各自为多 少?
1 3 2 3

八、 (共 2 小题,每小题 5 分,满分 10 分) 1、已知 f ?x ? 在 ?? ?,??? 上连续,试证:
1 1 3 f ? x ?dx ? ? f ?1 ? 2 x ?dx . ? 0 2 1

2、已知 f ?x ? 在 ?a, b? 上连续, f ?a ? ? a ,且

?

b a

f ?x ?dx ?

b2 ? a2 ,试证: 2

存在 ? ? ?a, b ?,使得 f ?? ? ? f ??? ? ? ? ? 1 .

七、 (5 分)设函数 f ? x ? 在 ?0,1? 上连续,且满足 f ?x ? ? x 2 ? 3x 试求 f ? x ? .

? f ?t ?dt ,
1 0

- 75 -

《微积分(二)》同步练习册

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第二版修订说明
为配合《微积分二》课程的日常教学, 《微积分(二)同步练习册》第一 版于 2012 年 3 月投入使用。根据 2011 级学生在使用过程中的反馈,以及 授课教师在作业批改中发现的问题,进行了以下几方面的修订,在此基础 上整编为第二版: 一、为保证与课程教学内容对接,根据 2012 级《微积分二》课程教学 进度,在同步练习题模块删除了第五章“不定积分”的内容。考虑到这部分 在后继章节学习中的重要性,特将其缩编并置于第 36 页后,并附上参考答 案; 二、为强化与后继课程《概率论与数理统计》的衔接,对积分部分的 练习进行了较大幅度修改,尤其是在 7.7 节“二重积分”部分增加了一道 取材于“二维随机变量和的分布函数与密度函数”的习题; 三、对其它各章节同步练习、自测题的题量、难易度分布以及版面布 局进行了调整; 四、在与本版配套的电子版中,增加了各章节同步练习、自测题以及 近年期末试卷的参考答案。详情参见学校毕博平台各任课教师主页。 本次修订由《微积分》课程组的以下几位老师分工合作完成:李想、 胡锐负责第六章,周海阳、高庆武负责第七章,唐东磊、冯郁负责第八章, 曾阳负责第九、十两章。李想、胡锐对整个练习册的格式排版及其它内容
- 76 -

进行了校对和整编。 《微积分》课程组 2013 年 1 月 15 日


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