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第5讲 函数的单调性与最值


学案 5 函数的单调性与最值 【自主梳理】 1.单调性 (1)定义:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两 个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2)) ,那么就说 f(x)在区间 D 上是 ______________. f?x1?-f?x2? (2)单调性的定义的等价形式:设 x1,x2∈[a,b],那么(x1-x2)(f(x1)-f(x2))>0? >0 x1-x2 f?x1?-f?x2? ? f(x) 在 [a , b] 上是 ________ ; (x1 - x2)(f(x1) - f(x2))<0 ? <0 ? f(x) 在 [a , b] 上是 x1-x2 ________. (3)单调区间:如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数,那么说函数 y=f(x)在这一 区间具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的__________. a (4)函数 y=x+ (a>0)在 (-∞, - a), ( a, +∞)上是单调________; 在(- a, 0), (0, a) x a 上是单调______________;函数 y=x+ (a<0)在______________上单调递增. x 2.最值 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:①对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M(f(x)≥M);②存在 x0∈I,使得 f(x0)=M.那么,称 M 是函数 y=f(x)的____________. 【题组一】 1.(2014· 高考北京卷)下列函数中,定义域是 R 且为增函数的是( ) - A.y=e x B.y=x3 C.y=ln x D.y=|x| 2.函数 f(x)=x2-2x(x∈[-2,4])的单调增区间为________;f(x)max=________. 1 3.函数 y=1- ( ) x-1 A.在(-1,+∞)上单调递增 B.在(-1,+∞)上单调递减 C.在(1,+∞)上单调递增 D.在(1,+∞)上单调递减 1 3.函数 y=1- ( ) x-1 A.在(-1,+∞)上单调递增 B.在(-1,+∞)上单调递减 C.在(1,+∞)上单调递增 D.在(1,+∞)上单调递减 4. 已知函数 y=f(x)在 R 上是减函数, 点 A(0, -2), B(-3, 2)在其图象上, 则不等式-2<f(x)<2 的解集为________. 1 5.函数 f(x)= 2 在区间[2,3]上的最大值是________,最小值是________. x +1 【题组二】 1.[2015· 辽宁实验中学月考] 函数 y= 是( ) A.a>3 x-5 在(-1,+∞)上单调递增,则 a 的取值范围 x-a-2 C.a≤-3 1 B.a<3 D.a≥-3 x ?1 2. [2014· 大连模拟] 给定下列函数: ① y ? x2 ; ② y ? log 1 ? x ? 1? ; ③y=|x-1|; ④y?x 2 . 其中,在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( ) A.①② B.②③ C.③④ 3.函数 y= 4-2x的值域是( ) 13 D.①④ A.[0,+∞) B.[0,2] C.[0,2) D.(0,2) 2 4. 已知函数 f(x)=ax -2ax+3-b(a>0)在区间[1, 3]上有最大值 5 和最小值 2, 则 a+b=( ) A.0 B.1 C.-1

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