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2013年4月潮阳实验学校高三数学复习参考题(解析几何专题)


2013 年 4 月潮阳实验学校高三数学复习参考题

-------解析几何专题
1 设椭圆 C:
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的左焦点为 F,上顶点为 A,过点 A 作垂直于 AF

/>的直线交椭圆 C 于另外一点 P,交 x 轴正半轴于点 Q, 且 AP ? (1)求椭圆 C 的离心率; (2)若过 A、Q、F 三点的圆恰好与直线 l:
x ? 3y ? 5 ? 0

8 5

PQ

相切,求椭圆 C 的方程. y A P F O Q x

2

已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴,离心率为

2 3

,且过点 ( 2 , )
3

5

(I)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若过点(0,-6)的直线 l 与椭圆 C 相交于 A 、 B 两点( A 、 B 不是左右顶点) , 且以 A 、 B 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点,求直线 l 的方程。 3 已知 M 是以点 C 为圆心的圆 ( x ? 1) ? y ? 8 上的动点,定点 D (1, 0 ) .点 P 在 D M 上,
2 2

点 N 在 C M 上,且满足 D M ? 2 D P , N P ? D M ? 0 .动点 N 的轨迹为曲线 E . (Ⅰ)求曲线 E 的方程; (Ⅱ)线段 A B 是曲线 E 的长为 2 的动弦, O 为坐标原点,求 ? A O B 面积 S 的取值范围. 4 已知一椭圆经过点(2,—3)且与椭圆 9 x ? 4 y ? 3 6 有共同的焦点
2 2

?????

???? ???? ?????

(1)求椭圆方程; (2)若 P 为椭圆上一点,且,P, F 1 , F 2 是一个直角三角形的顶点,且 | P F1 | ? | P F 2 | ,求
| P F1 |:| P F 2 | 的值。
?x ? 0 ? 已知平面区域 ? y ? 0 ? ?x ? 2y ? 4 ? 0

5

恰好被面积最小的圆 C : ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r 及其内部所覆
2 2 2

盖.

⑴ 试求圆 C 的方程. ⑵ 若斜率为 1 的直线 l 与圆 C 交于不同两点 A , B . 满足 C A ? C B ,求直线 l 的方程. 6 已知椭圆 x 2
? y b
2 2

? 1( 0 ? b ? 1)

的左焦点为 F,左、右顶点分别为 A、C,上顶点为 B.过 F、

B、C 作⊙P,其中圆心 P 的坐标为(m,n) . ⑴ 当 m+n>0 时,求椭圆离心率的范围; ⑵ 直线 AB 与⊙P 能否相切?证明你的结论. 7
2 2 已知过点 A(0,1) ,且方向向量为 a ? (1, k ) 的直线 l 与⊙ C : ( x ? 2 ) ? ( y ? 3 ) ? 1 ,

相交于 M、N 两点. ⑴ 求实数 k 的取值范围; ⑵ 求证: A M ? A N ? 定 值 ;
???? ???? ?

⑶ 若 O 为坐标原点,且 O M ? O N ? 1 2 , 求 k 的 值 . 8.已知圆 C1 的方程为(x-2)2+(y-1)2=
20 3
2 2

???? ???? ?

,椭圆 C2 的方程为

x a

2 2

+

y b

2 2

=1(a>b>0) 2 的离 ,C

心率为

,如果 C1 与 C2 相交于 A、B 两点,且线段 AB 恰为圆 C1 的直径,求直线 AB 的

方程和椭圆 C2 的方程。

9 已知向量 O A ? ( 2 , 0 ) , O C ? A B ? ( 0 , 1) ,动点 M 到定直线 y ? 1 的距离等于 d ,并且满
2 足 O M ? A M ? k ( C M ? B M ? d ) ,其中 O 为坐标原点, k 为非负实数。

??? ?

????

??? ?

???? ???? ? ?

???? ???? ? ?

(I)求动点 M 的轨迹方程 C 1 ; (Ⅱ)若将曲线 C 1 向左平移一个单位,得曲线 C 2 ,试判断曲线 C 2 为何种类型; (Ⅲ)若(Ⅱ)中曲线 C 2 为圆锥曲线,其离心率满足 0 ? e ? 1 ,当 F1 , F 2 是曲线 C 2 的两个焦点时,则圆锥曲线上恒存在点 P ,使得 P F1 ? P F 2 ? 0 成立,求实数 k 的取 值范围 10.已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点 M ? 1, 2 ? ,它们在 x 轴上有共同焦点,椭圆和双曲 线的对称轴是坐标轴,抛物线的顶点为坐标原点。 (Ⅰ)求这三条曲线的方程;
???? ???? ?

(Ⅱ)已知动直线 l 过点 P ? 3 , 0 ? ,交抛物线于 A , B 两点,是否存在垂直于 x 轴的直线 l ? 被以 A P 为直径的圆截得的弦长为定值?若存在,求出 l ? 的方程;若不存在,说明理 由。 11 抛物线 y
2

? 2 px 的准线的方程为 x ? ? 2 ,该抛物线上的每个点到准线 x ? ? 2 的距

离都与到定点 N 的距离相等,圆 N 是以 N 为圆心,同时与直线 l 1 : y ? x 和 l 2 : y ? ? x 相 切的圆, ⑴ 求定点 N 的坐标; ⑵ 是否存在一条直线 l 同时满足下列条件: ① l 分别与直线 l 1 和 l 2 交于 A、B 两点,且 AB 中点为 E ( 4 ,1 ) ; ② l 被圆 N 截得的弦长为 2. 12 已知以向量 v ? (1, ) 为方向向量的直线 l 过点 ( 0 , ) , 抛物线 C : y
2 4 1 5
2

? 2 px ( p ? 0 ) 的

顶点关于直线 l 的对称点在该抛物线的准线上. (1) 求抛物线 C 的方程; (2) 设 A 、 B 是抛物线 C 上的两个动点,过 A 作平行于 x 轴的直线 m ,直线 OB 与直 线 m 交于点 N ,若 OA ? OB ? p 2 ? 0 ( O 为坐标原点, A 、 B 异于点 O ) ,试求 点 N 的轨迹方程。 13 抛物线 y 2
? 4x

的焦点为 F, A ( x1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 )
???? ? ? BF ?

( x1 ? x 2 , y 1 ? 0 , y 2 ? 0 )

在抛物线上,且存

在实数 λ,使 A F

????

0, |

??? ? 25 A B |? 4

.学科网

⑴ 求直线 AB 的方程; 学 科网 ⑵求△AOB 的外接圆的方程. 14 已知抛物线 y ?
1 2 x 的焦点 F ,过 F 的直线 l 交抛物线于 A , B 两点,过 A 、 B 的两条
2
王新敞
奎屯 新疆

抛物线的切线交于点 P (Ⅰ)求证:点 P 在抛物线的准线上; (Ⅱ)是否存在常数 ? ,使得等式 FA ? FB ? ? FP 存在,请说明理由
王新敞
奎屯 新疆

? ?

2

恒成立,若存在,求出 ? 的值,若不

2009 届高三级数学复习参考题

-------解析几何专题答案
潮阳实验学校
1 解:⑴设 Q(x0,0) ,由 F(-c,0) A(0,b)知 FA ? ( c , b ), AQ ? ( x 0 , ? b ) ? FA ? AQ , ? cx
8 5
8b
2

杨启富

0

? b

2

? 0, x0 ?

b

2

…2 分

c

设 P ( x 1 , y 1 ), 由 AP ?

PQ ,得 x 1 ?
2

1 3c

, y1 ?

5 13

b ………4 分

(
因为点 P 在椭圆上,所以

8b

)
2

2

( ?

5 13 b

b)
2

2

13 c a

? 1 ………6 分

1 2 整理得 2b2=3ac,即 2(a2-c2)=3ac, 2 e ? 3 e ? 2 ? 0 ,故椭圆的离心率 e= …分 2
b
2

⑵由⑴知 2 b

2

? 3 ac ,得

?

3 2

a;



c a

?

1 2

,得 c ?

1 2

a ,

c

3 1 1 1 于是 F(- a,0) Q ( a , 0 ) AQF 的外接圆圆心为( a,0) , ,半径 r= |FQ|=a…… 2 2 2 2

|
△ 2
x a
2 2

1 2

a ?5| ? a ,解得 a=2,∴c=1,b= 2
: ( I
2

所以 解
? y b
2 2

3 ,所求椭圆方程为

x

2

?

y

2

?1

4

3


a ? b ,则
2







C
2 2




2





? 1( a ? b ? 0 ).c ? x a
2 2

c a

?

2 3

,c ?
2

2 3

a .? b

? a ?c

?

5 9

a

2

? 椭圆方程化为

? x
2

9y 5a ?

2 2

? 1 将点 ( 2 ,
2

5 3

) 代入,解得 a

? 9,

? 椭圆 C 的方程为

y

?1

9

5

(Ⅱ) 显然, 直线 l 存在斜率 (否则不满足题意, 分) 设其斜率为 k , 5 , 则直线 l 的方程为 y ? k x ? 6 。 代入椭圆 C 的方程,消去 y 并整理得
(5 ? 9 k ) x ? 1 0 8 k x ? 2 7 9 ? 0
2 2

由方程判别式 ? ? 1 0 8 k
2

2

? 4 ? 2 7 9 ? (5 ? 9 k ) ? 0 ,
2

得k

2

?

31 9



( 设 A、 B 两点的坐标为 ( x 1 , y 1 )、 x 2 , y 2 ) ,则由韦达定理得

x1 ? x 2 ?

108k 5 ? 9k
2

, x1 x 2 ?

279 5 ? 9k
2

? 以 A、 B 为 直 径 的 圆 过 椭 圆 C 的 右 顶 点 , 且 易 知 右 顶 点 坐 标 为 ( 3 , 0 ) , ? y1 x1 ? 3 ? y2 x2 ? 3 ? ? 1, 即 y 1 y 2 ? ( x 1 ? 3 ) ( x 2 ? 3 ) ? 0

? ( k x1 ? 6 ) ( k x 2 ? 6 ) ? ( x1 ? 3 ) ( x 2 ? 3 ) ? 0 展 开 整 理 , 得

(k

2

? 1) x 1 x 2 ? ( 6 k ? 3 ) ( x 1 ? x 2 ) ? 4 5 ? 0 将上面使用韦达定理所得的结果代入,

k

2

? 9k ? 14 ? 0

? k ? 7或 k ? 2

检验①式,均符合;再检验当 k ? 7 或 k ? 2 时,直线 l 是否与椭圆 C 相交于左右两个顶点,显然直 线 y ? 2 x ? 6 过椭圆 C 的右顶点。
? 直线 l 的方程为 y ? 7 x ? 6 ? k ? 2 不满足题意,舍去 ? k ? 7 ????? ???? ???? ????? 3 解: (Ⅰ)? D M ? 2 D P , N P ? D M ? 0 .

∴ N P 为 D M 的垂直平分线,∴ | N D | ? | N M | , 又? | C N | ? | N M | ? 2
2 ,? | C N | ? | D N |? 2 2 ? 2.

∴动点 N 的轨迹是以点 C ( ? 1, 0 ), D (1, 0 ) 为焦点的长轴为 2 ∴轨迹 E 的方程为
x
2

2 的椭圆.

? y

2

? 1 . ……5 分

2

(Ⅱ)∵线段 A B 的长等于椭圆短轴的长, 要使三点 A、 O 、 B 能构成三角形, 则弦 AB 不能与 x 轴垂直, 故可设直线 AB 的方程为 y ? k x ? b ,

? y ? kx ? b, ? 2 2 2 由? x2 ,消去 y ,并整理,得 (1 ? 2 k ) x ? 4 k b x ? 2 b ? 2 ? 0 . 2 ? y ? 1. ? ? 2
4 kb 1 ? 2k
2
2

设 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,则 x 1 ? x 2 ? ?

, x1 x 2 ?

2 ( b ? 1)
2

1 ? 2k

2

?| A B |? 2 ,

?

(1 ? k )( x 2 ? x 1 )
2

2

? 2 . ? (1 ? k ) ? ( x 1 ? x 2 ) ? 4 x 1 x 2 ? ? 4 , ? ?
2
2

2 ?? 4 kb ? 8 ( b ? 1) ? 2 ? (1 ? k ) ? ? ? ? ? 4, 2 ? 2 ? 1 ? 2k ? ?? 1 ? 2 k ? ? ?

?

1 1? k
2

? 2 (1 ? b ) ,
2

?1? k
|b | 1? k
2

2

?1

?

1 2

?b

2

?1 .

又点 O 到直线 A B 的距离 h ?



? S ?

1 2

| A B | ?h ? h

?S

2

? h

2

? 2 b (1 ? b ) ? ? 2 ( b ?
2 2

2

1 2

) ?
2

1 2

? 0 ? S

2

?

1 2

,? 0 ? S ?

2 2

.

4. ( 1 ) ? 9 x ? 4 y
2

2

? 3 6 ? a ? 3, b ? 2 , c ?

5

与 之 有 共 同 焦 点 的 椭 圆 可 设 为

x

2

?

y

2

m

m ?5 x
2

? 1( m ? 0 ) 代入(2,—3)点,解得 m=10 或 m=—2(舍) ,

故所求方程为

?

y

2

?1

10

15

(2)1、若∠ P F 2 F1 ? 9 0
b
2

0



| P F 2 |?

?

10 15

?

2 3

a

1 5 ? | P F1 | ? 2 a ? | P F 2 | ? 2 1 5 ?

2 3

15 ?

4 3

15





| P F1 |:| P F 2 | ? 2

? | P F | ? | P F |? 2 1 5 ? 0 1 2 2、若 ∠ F1 P F 2 ? 9 0 ,则 ? 2 2 2 ( ? | P F1 | ? | P F 2 | ? 2 c ) ? 2 0 ?

? a+ b= 2 5 2 ? a ? 2 15 ? a ? 2 ? 2 ? a ? b ? 20

?

?

2

? 2 0 ? △< 0 ? 无解即这样的三角形不存在,综合 1,2 知

| P F1 |:| P F 2 | ? 2

5 解:(1)由题意知此平面区域表示的是以 O ( 0 , 0 ), P ( 4 , 0 ), Q ( 0 , 2 ) 构成的三角形及其内部,且△ O P Q

是直角三角形,
2

所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),半径是
2

5 ,所以圆 C 的方

程是 ( x ? 2 ) ? ( y ? 1)

? 5.

(2)设直线 l 的方程是: y ? x ? b .

??? ? ??? ? 10 因为 C A ? C B ,所以圆心 C 到直线 l 的距离是 , -------------------10 分
2
|2 ?1? b | 1 ?1
2 2



?

10 2

解得: b ? ? 1 ?

5 .

所以直线 l 的方程是: y ? x ? 1 ?

5 .

6 解: (Ⅰ)设 F、B、C 的坐标分别为(-c,0)(0,b)(1,0) , , ,则 FC、BC 的中垂线分别为 x ?
y ? b 2 ? 1 b (x ? 1 2 ).

1? c 2



-------------------2 分

1? c ? x ? , ? ? 2 联立方程组,解出 ? 2 ?y ? b ? c. ? 2b ?

m ? n ?

1? c 2

?

b ? c
2

? 0 ,即 b ? bc ? b

2

(b ? c ? 0 ,即(1+b)

2b

- c ) >0 , ∴
0? e?
2 2

b>c . 从 而 b ? c
2

2

即 有 a ? 2c
2

2

, ∴ e ?
2

1 2



又 e?0 , ∴



-------------------8 分

(Ⅱ)直线 AB 与⊙P 不能相切.
b ? b
2

? c

由 k AB ? b , k PB ?
0 ?

2b 1? c 2



b

2

? c

b ( c ? 1)



-------------------10 分

如果直线 AB 与⊙P 相切,则 b ·

b

2

? c

b ( c ? 1)

=-1.

-------------------12 分

解出 c=0 或 2,与 0<c<1 矛盾, 所以直线 AB 与⊙P 不能相切.

-------------------14 分

? 7 解: (1)? 直 线 l 过 点 ( 0 , 1 ) 且 方 向 向 量 a ? (1, k ) ,

? 直 线 l的 方 程 为 y ? k x ? 1
4? 3 7 4? 3 7



2k ? 3 ? 1 k
2

? 1, 得

?1

? k ?

-------------------5 分
2

C的 一 条 切 线 为 A T , T 为 切 点 , 则 A T = 7 ???? ???? ? ???? ???? ? ???? ???? ? 2 ? A M ? A N ? A M A N cos 0? ? A T ? 7 ? A M ? A N 为 定 值 .
(3 ) 设 M ( x 1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2 ) 将 y ? k x ? 1代 入 方 程 ( x - 2 ) + ( y - 3 ) = 1 得
2 2

?2?设 焦 点 的 ?

-------------------9 分

(1+k )x -4(1+k )x+7=0
? x1 + x 2 = 4(1+k )
2 2

2

2

-------------------11 分
7

-------------------12 分 2 1? k 1? k ???? ???? ? 4 k( 1 + k ) 2 ? O M ? O N ? x 1 x 2 ? y 1 y 2 ? (1 ? k ) x 1 x 2 ? k ( x 1 ? x 2 ) ? 1 ? ? 8 ? 12 2 1? k

, x1 x 2 ?

?

4 k( 1 + k ) 1? k
8解
2

? 4 , 解 得 k ? 1 又 当 k ? 1时 , ? ? 0 , ? k ? 1
2 2

-------------------14 分
2 2

由 e=

2 2

,得

c a

=

2 2

,a2=2c2,b2=c2。设椭圆方程为

x

+

y b

=1。

2b

又设 A(x1,y1),B(x2,y2)。由圆心为(2,1),得 x1+x2=4,y1+y2=2。 又
x1 2b
2 2

+

y1 b

2

2

=1,

x2 2b

2 2

+

y2 b

2

2

=1,

两式相减,得

x1 ? x 2
2

2

2b

2

+

y1 ? y 2
2

2

b

2

=0。∴

y1 ? y 2 x1 ? x 2

? ?

x1 ? x 2 2( y1 ? y 2 )

? ?1

∴直线 AB 的方程为 y-1= -(x-2),即 y= -x+3。将 y= -x+3 代入 3x2-12x+18-2b2=0 又直线 AB 与椭圆 C2 相交,∴Δ =24b2-72>0。 由|AB|=

x

2 2

+

y b

2 2

=1,得

2b

2 |x1-x2|=

2

( x1 ? x 2 )

2

? 4 x1 x 2 =

2 20 3

,

解得 b =8,故所求椭圆方程为 + =1。 3 16 8 ??? ? ???? ??? ? ( 0 O ( 1) 9.解(I)设 M ( x , y ), 则 由 O A ? 2 ,) , C ? A B ? 0 , =
3



2 ·

24 b

2

? 72

20

2

x

2

y

2

且 O 为 原 点 得 A 2 ,) , B 2 , , C 0 , , ( 0 ( 1) ( 1) ???? ? ???? ? ???? ? 从 而 O M ? x , y ), A M ? ( x ? 2 , y ), C M ? ( x , y ? 1) ( ???? ? B M ? x ? 2 , y ? 1), d ? | y ? 1 |, ( ???? ???? ? ? ???? ???? ? ? 2 代 入 O M ? A M ? k (C M ? B M ? d )得 (1 ? k ) x ? 2 ( k ? 1) x ? y
2 2

? 0为 所 求 轨 迹 方 程
2 2

(Ⅱ)曲线 C 1 向左平移 1 一个单位,得到曲线 C 2 的方程为 (1 ? k ) x ? y (1)当 k ? 1时 , 得 y ? 0, 轨 迹 为 一 条 直 线 (2)当 k ? 1时 , 得 x ?
2

? 1? k

y

2

1? k

?1

① 若 k ? 0时 , 则 所 求 轨 迹 C 2 为 圆 ; ② 若 k ? 1时 , 则 所 求 轨 迹 C 2 为 双 曲 线 ; ③ 若 0 ? k ? 1, 则 所 求 轨 迹 C 2 为 焦 点 在 x 轴 上 的 椭 圆

(Ⅲ)? 0 ? e ? 1, ? 曲 线 C 2 为 椭 圆
???? ???? ? 又 ? 0 ? k ? 1, ? 椭 圆 的 焦 点 在 x 轴 上 , P F1 ? P F 2 ? 0 恒 成 立 , ? ? 以 F1 F 2 为 直 径 的 圆 恒 与 椭 圆 有 交 点 ? c ? b, c
2

? b ,? c
2

2

? a ? c ,? e
2 2

2

?

1 2

又 ? 1 ? (1 ? k ) ?

1 2

,? k ?

1 2

,此 时 1 2

1 2

? k ?1

综 上 所 述 , 实 数 k的 取 值 范 围

? k ? 1为 所 求

10 解: (Ⅰ)设抛物线方程为 y ? 2 p x ? p ? 0 ? ,将 M ? 1, 2 ? 代入方程得 p ? 2
2

?

抛物线方程为:

y

2

? 4x …

由题意知椭圆、双曲线的焦点为 F ? ? 1, 0 ? 1 , F 2 ? 1, 0 ? , 对于椭圆, 2 a ? M F1 ? M F 2 ?
? ? ? ? a ?1? a b
2

?

c = 1 ……

?1 ? 1 ?

2

? 2

2

?

?1 ? 1 ?

2

? 4 ? 2? 2

2

2 2
2

? 1? ? a ? c
2

?

?

2

? 3? 2 2 x
2

2

2

? 2? 2

………………………………(4 分)
? 2 y
2

椭圆方程为:

3? 2

2 ? 2

?1 2

对于双曲线, 2 a ? ? M F1 ? M F 2 ? 2 2 ? 2

? ? ? ?

a? ?
2

2 ?1 2
2

a? ? 3 ? 2
2 2

b? ? c? ? a? ? 2 双曲线方程为:

2 ? 2 x
2

………………………………(6 分)
? 2 2 y
2

3? 2

2 ? 2

?1

(Ⅱ) A P 的中点为 C ,l ? 的方程为:x ? a , A P 为直径的圆交 l ? 于 D , E 两点,D E 中点为 H 设 以 令 A ? x1 , y 1 ? ,
? ? x1 ? 3 y 1 ? C? , ? ………………………………………………(7 分) 2 2 ? ?

?

DC ? CH ?

1 2

AP ? x1 ? 3 2

1 2

?x

1

? 3 ? ? y1
2

2

? a ?

1 2

?x

1

? 2a ? ? 3

?

2

DH

? DC

2

? CH

2

?

1

2 1 2 ?? x ? 3 ? ? y 2 ? ? ?? x ? 2a ? ? 3? 1 ? 1 ? ? 1 ? 4 4

? ? a - 2 ? x1 ? a ? 3 a
2

当 a ? 2时 , D H ?

2

? ? 4 ? 6 ? 2为 定 值 ; 2为 定 值

DE ? 2 DH ? 2

此 时 l ?的 方 程 为 : x ? 2

11 解: (1)因为抛物线 所以
p ? 4

y

2

? 2 px

的准线的方程为 x ? ? 2 -----------2 分 ----------------------------3 分 -----------4 分

,根据抛物线的定义可知点 N 是抛物线的焦点,
( 2 ,0 )

所以定点 N 的坐标为

(2)假设存在直线 l 满足两个条件,显然 l 斜率存在, 设 l 的方程为
y ? 1 ? k ( x ? 4)



?k

? ? 1?

------------------------5 分 相切的圆 N 的半径为
2 , ----6 分

以 N 为圆心,同时与直线

l1 : y ? x 和 l 2 : y ? ? x

方法 1:因为 l 被圆 N 截得的弦长为 2,所以圆心到直线的距离等于 1,

-------7 分

d ?


2k ? 1 1? k
2

?1
,解得

k ? 0或

4 3 ,
-------------------------------8 分 --------------9 分

E ( 4 ,1 ) 当 k ? 0 时,显然不合 AB 中点为 的条件,矛盾!

k ?


4 3 时, l 的方程为 4 x ? 3 y ? 13 ? 0
----------------------------10 分

? 4 x ? 3 y ? 13 ? 0 ? y ? x ?13 ,13 ? , 由? ,解得点 A 坐标为 ? 4 x ? 3 y ? 13 ? 0 13 ? ? 13 ,? ? ? ? y ? ?x 7 7 ? 由? ,解得点 B 坐标为 ? ,
显然 AB 中点不是
E ( 4 ,1 )

------------------11 分

------------------13 分

,矛盾!

----------------------------------14 分 ------------------------------------15 分

所以不存在满足条件的直线 l . 12.解: (1)由题意可得直线 l : y ?

1 2

x ?

5 4

① ②

过原点垂直于 l 的直线方程为 y ? ? 2 x 由①、②得 x ? ?

1 2

∵抛物线的顶点(即原点)关于直线 l 的对称点在该抛物线的准线上。 ∴?

p 2

? ?

1 2

? 2,p ? 2

∴抛物线 C 的方程为 y

2

? 4 x ……………………………6 分
2

(2)设 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) , N ( x , y ) ,由 OA ? OB ? p 又 y1
2

? 0 ,得 x 1 x 2 ? y 1 y 2 ? 4 ? 0

? 4 x1 , y 2

2

? 4 x 2 ,解得 y 1 y 2 ? ? 8



直线 ON : y ?

y2 x2

x ,即 y ?

4 y2

x



由③、④及 y ? y 1 ,得点 N 的轨迹方程为 x ? ? 2 ( y ? 0 ) ……………………………12 分 13 解: (1)抛物线 y ? 4 x 的准线方程为 x ? ? 1 .
2

∵ A F ? ? B F ? 0 ,∴A,B,F 三点共线.由抛物线的定义,得| A B |= x 1 ? x 2 ? 2 . …1 分 设直线 AB: y ? k ( x ? 1) ,而 k ?
? y ? k ( x ? 1) , ?y
2

????

????

??? ?

y1 ? y 2 x1 ? x 2

, x1 ? x 2 , y 1 ? 0 , y 2 ? 0 , ? k ? 0 .

由?

? 4 x,

得 k x ? 2(k ? 2) x ? k ? 0 .
2 2 2 2

-------------------3 分

? 2(k ? 2) 2 ? , ??? 2(k ? 2) 25 16 ? x ? x2 ? 2 2 ∴? 1 | A B |= x 1 ? x 2 ? 2 = .∴ k ? .-? 2 ? k 2 k 4 9 ? x ? x ? 1, ? 1 2
2

从而 k ?

4 3

,故直线 AB 的方程为 y ?

4 3

( x ? 1) ,即 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 .---------8 分

(2)由 ?

? 4 x ? 3 y ? 4 ? 0, ?y
2

? 4 x,

求得 A(4,4) ,B(

1 4

,-1) .

-------------------10 分

设△AOB 的外接圆方程为 x ? y ? D x ? E y ? F ? 0 ,则
2 2

? ? F ? 0, ? ?1 6 ? 1 6 ? 4 D ? 4 E ? F ? 0 , ? 1 1 ? ?1? D ? (? E ) ? F ? 0. 4 ?16

29 ? D ? ? , ? 4 ? 解得 ? E ? ? 3 , ? 4 ? ? F ? 0. ? ?

-------------------14 分

故△AOB 的外接圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 14 (1)由已知可得 F ( 0 ,

29 4

x?

3 4

y ? 0 .

-------------------15

1 2

) ,抛物线的准线方程为 y ? ? 1 2 x ,得
x2 2
2

1 2

,设 AB 的斜率为 k ,则 AB

的方程为

y ? kx ?

1 2

,代入方程 y ?
x1 2
2
2

2

1 2

x

2

? kx ?

1 2

? 0,

设 A ( x1 ,

), B ( x 2 ,

) ,则有 x 1 x 2 ? ? 1 , x 1 ? x 2 ? 2 k

对y ?

1 2

x 求导有 y ? ? x ,故 k AP ? x 1 , k BP ? x 2 1 2 1 2

AP , BP 的方程分别为 y ?

x1 1 2

2

? x 1 ( x ? x 1 ), 1 2

y ?

x2

2

? x2 (x ? x2 )

联立它们得 P 的纵坐标 y

p

?

x1 x 2 ? ?

,故点 P 在抛物线的准线上.

(2)将 y

p

? ?

1 2

代入方程 y ?

1 2

x1

2

? x 1 ( x ? x 1 ) ,得

1 xp ? 2

x1 ?
2

1 2 ? x1 2 ? 1 2 x1 ? x1 ? x 2 2 ? k

x1

FA ? ( x 1 ,

1 2

( x 1 ? 1 )), FB ? ( x 2 ,
2

1 2

( x 2 ? 1 )),
2

∴ FA ? FB ? x 1 x 2 ?

1 4

( x 1 ? 1 )( x 2 ? 1 ) ? ? 1 ?
2 2

1 4

( x 1 ? x 1 x 2 )( x 2 ? x 1 x 2 ) ? ? 1 ? k ,
2 2 2

又 FP ? ? k , ? 1 ? ? FP

? ?

2

? k

2

?1



所以存在常数 ? ? ? 1 ,使得等式 FA ? FB ? ? FP

? ?

2

恒成立.


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