当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学抽象函数专题


抽象函数 特殊模型 正比例函数 f(x)=kx (k≠0) 幂函数 f(x)=x
n

抽象函数 f(x+y)=f(x)+f(y) f(xy)=f(x)f(y) [或 f ( x ) ?
y f (x) f ( y)

]

指数函数 f(x)=a

x

(a

>0 且 a≠1) (a>0 且 a≠1) f(x)=cosx

f(x+y)=f(x)f(y) [ 或f ( x ? y) ? f ( x )
f ( y)

对数函数 f(x)=logax

f(xy)=f(x)+f(y) [ 或f ( x ) ? f ( x ) ? f ( y)]
y

正、余弦函数 f(x)=sinx 正切函数 f(x)=tanx 余切函数 f(x)=cotx

f(x+T)=f(x)
f ( x ? y) ?
f ( x ? y) ?

f ( x ) ? f ( y) 1 ? f ( x )f ( y )
1 ? f ( x )f ( y ) f ( x ) ? f ( y)

一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。 例 1.若函数 y = f(x)的定义域是[-2,2],则函数 y = f(x+1)+f(x-1)的定义域为 ? 1 ? x ? 1 。 解:f(x)的定义域是 ?? 2,2?,意思是凡被 f 作用的对象都在 ?? 2,2? 中。评析:已知 f(x)的定义域是 A, 求 f ?? ?x ?? 的定义域问题,相当于解内函数 ? ?x ? 的不等式问题。 练习:已知函数 f(x)的定义域是 ?? 1,2? ,求函数 f ? log1 ?3 ? x ?? 的定义域。 ? ? ? ? 2 ? ? 例 2:已知函数 f ?log3 x ? 的定义域为[3,11],求函数 f(x)的定义域 。 ? , log3 11? 1
-1 -1

评析: 已知函数 f ?? ?x ?? 的定义域是 A,求函数 f(x)的定义域。相当于求内函数 ? ?x ? 的值域。

练习: 定义在 ?3,8? 上的函数 f(x)的值域为 ?? 2,2?, 若它的反函数为 f (x), y=f (2-3x)的定义域为 则 值域为 。 ?0, 4 ?, ?3,8?
? ? 3? ?



二、求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的,可通过赋特殊值法使问题得以解决。 2 2 例 3.①对任意实数 x,y,均满足 f(x+y )=f(x)+2[f(y)] 且 f(1)≠0,则 f(2001)=_______. 解 析 : 这 种 求 较 大 自 变 量 对 应 的 函 数 值 , 一 般 从 找 周 期 或 递 推 式 着 手 :

令x ? n, y ? 1, 得f (n ? 1) ? f (n) ? 2[ f (1)]2 , 令 x=0,y=1,得 f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2, 令 x=y=0,得:f(0)=0,∴ 1 1 n 2001 f(1)= , 即 f(n ? 1) - f(n) ? , 故f (n) ? ,?f (2001) ? . 2 2 2 2
② R 上的奇函数 y=f(x)有反函数 y=f (x),由 y=f(x+1)与 y=f (x+2)互为反函数,则 f(2009)= . -1 解析:由于求的是 f(2009),可由 y=f (x+2)求其反函数 y=f(x)-2,所以 f(x+1)= f(x)-2,又 f(0)=0,通过 递推可得 f(2009)=-4918. 例 4.已知 f(x)是定义在 R 上的函数,f(1)=1,且对任意 x∈R 都有 f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若 g(x)=f(x)+1-x,则 g(2002)=_________.1 解:由 g(x)=f(x)+1-x,得 f(x)=g(x)+x-1. 而 f(x+5)≥f(x)+5, 所以 g(x+5)+(x+5)-1≥g(x)+x-1+5 , 又 f(x+1) ≤f(x)+1,所以 g(x+1)+(x+1)-1≤g(x)+x-1+1,即 g(x+5)≥g(x), g(x+1)≤g(x). 所以 g(x)≤g(x+5)≤ g(x+4)≤g(x+3)≤g(x+2)≤g(x+1), 故 g(x)=g(x+1) 又 g(1)=1, 故 g(2002)=1. 练习: 1. f(x)的定义域为 (0, ??) , 对任意正实数 x,y 都有 f(xy)=f(x)+f(y) 且 f(4)=2 , f ( 2) ? 则 2. 如果f ( x ? y) ? f ( x )f ( y), 且f (1) ? 2, 则 (
-1 -1

1 ) 2

f (2) f (4) f (6) f (2000) ? ? ??? 的值是 f (1) f (3) f (5) f (2001)
n

。2000

f 2 (1) ? f (2) f 2 (2) ? f (4) f 2 (3) ? f (6) f 2 (4) ? f (8) ? ? ? ? f (1) f (3) f (5) f (7)

.( f (n) ? 2 ,原式=16)

1

3、对任意整数 x, y 函数 y ? f (x) 满足: f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? xy ? 1,若 f (1) ? 1 ,则 f (?8) ? C A.-1 B.1 C. 19 D. 43 4、函数 f(x)为 R 上的偶函数,对 x ? R 都有 f ( x ? 6) ? f ( x) ? f (3) 成立,若 f (1) ? 2 ,则 f (2005) =( ) (B) A . 2005 B. 2 C.1 D.0 -1 -1 5、定义在 R 上的函数 Y=f(x)有反函数 Y=f (x),又 Y=f(x)过点(2,1) ,Y=f(2x)的反函数为 Y=f (2x),则 -1 Y=f (16)为( ) (A) A)

1 8

B)

1 16

C)8

D)16
1 1 3 5、 ) ? f ( ) ? a ? f ( ) ? a 2 , f ( ) ? (1 ? a )a ? a (1 2 4 4 1 3 ? 1 1 又f ( ) ? f ( 4 4 ) ? (1 ? a )a 2 ? a[a ? a (1 ? a )],可解得a ? 2 2 2 2 0? 1 1 7 ) ? 1 f (2) (2)设f ( ) ? b, 则f ( ) ? f ( 7 7 2 2 7 2 3 ? f ( ) ? 2b,同理f ( ) ? 3b, ? , f (1) ? 7b 7 7 1 1 ? f( )?b? 7 7

6、已知a为实数,且0 ? a ? 1, f ( x)是定义在[0, 1] 上的函数,满足 (0) ? 0, f (1) ? 1, 对所有x ? y, f 均有f ( x? y ) ? (1 ? a) f ( x) ? af ( y ) 2 1 (1)求a的值(2)求f ( )的值 7

三、值域问题

例 4.设函数 f(x)定义于实数集上,对于任意实数 x、y,f(x+y)=f(x)f(y)总成立,且存在 x1 ? x2 ,使得

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,求函数 f(x)的值域。
解: x=y=0, f(0)=0 或 f(0)=1。 f(0)=0, f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0 恒成立, 令 有 若 则 这与存在实数 x1 ? x2 , 使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立矛盾,故 f(0)≠0,必有 f(0)=1。由于 f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数 x、y 均成立, 因此, f ( x) ? ? f ( x ) ?2 ? 0 ,又因为若 f(x)=0,则 f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0 与 f(0)≠0 矛盾,所以 f(x)>0.
? ? ? 2 ?

四、求解析式问题(换元法,解方程组,待定系数法,递推法,区间转移法, 2 例 5. 已知 f(1+sinx)=2+sinx+cos x, 求 f(x) 2 2 解:令 u=1+sinx,则 sinx=u-1 (0≤u≤2),则 f(u)=-u +3u+1 (0≤u≤2)故 f(x)=-x +3x+1 (0≤u≤2) 例 6、设对满足 x≠0,x≠1 的所有实数 x,函数 f(x)满足, f ?x ? ? f ? x ? 1 ? ? 1 ? x ,求 f(x)的解析式。 ? ? ? x ? 解:?f (x) ? f ( x ? 1) ? 1 ? x (x ? 0且x ? 1), (1) ---- 用 x - 1 代换 x得 : f ( x ? 1) ? f ( 1 ) ? 2 x ? 1 , (2)
x x 1 1 2? x 再以 代换 (1)中的 x得 : f( ) ? f ( x) ? . 1- x 1- x 1? x
2

x

1? x

x

3 2 ---(3)由 (1) ? (3) ? (2) 得 : f (x) ? x ? x ? 1 (x ? 0且x ? 1) 2 2 2x ? 2x

例 7.已知 f(x)是多项式函数,且 f(x+1)+f(x-1)=2x -4x,求 f(x). 2 2 解:易知 f(x)是二次多项式,设 f(x)=ax +bx+c (a≠0),代入比较系数得:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x -2x-1. 例 8.是否存在这样的函数 f(x),使下列三个条件: ①f(n)>0,n∈N;②f(n1+n2)=f(n1)f(n2),n1,n2∈N*;③f(2)=4 同时成立? 若存在,求出函数 f(x)的解析式; 若不存在,说明理由. 2 3 解:假设存在这样的函数 f(x),满足条件,得 f(2)=f(1+1)=4,解得 f(1)=2.又 f(2)=4=2 ,f(3)=2 ,?,由此猜 x 想:f(x)=2 (x∈N*) 小结:对于定义在正整数集 N*上的抽象函数,用数列中的递推法来探究,如果给出的关系式具有递推性,也 常用递推法来求解. 例9、已知 f (x) 是定义在R上的偶函数,且 f ( x ? ) ? f ( x ? ) 恒成立,当 x ? ?2, 3? 时, f ( x) ? x ,则

3 2

1 2

x ? (?2, 0) 时,函数 f (x) 的解析式为( D )
D. 3 ? x ? 1

A. x ? 2

B. x ? 4

C. 2 ? x ? 1

2 ? x ? ?2,3? ,∴ f (2 ? x) ? 2 ? x ? f (? x) ? f ( x) .故选 D。

解 : 易 知 T=2 , 当 x ? (?2, ? 1) 时 , x ? 4? ?2,3? , ∴ f ( x ? 4) ? x ? 4 ? f ( x) ; 当 x ? (?1, 0) 时

练习:1、 设y ? f (x)是实数函数 即x, f (x)为实数), 且f (x) ? 2f ( ) ? x, 求证 :| f (x) |? (

1 x

2 2. 3
2

解: 用 1 代换x, 得f ( 1 ) ? 2f (x) ? 1 , 与已知得
x x x

2 | x2 ? 3xf (x) ? 2 ? 0 ,由? ? 0得 9f (x) ? 4 ? 2 ? 0,? f (x) |?

2.(重庆)已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(f(x)-x +x)=f(x)-x +x. (Ⅰ)若 f(2)=3,求 f(1);又若 f(0)=a,求 f(a); (Ⅱ)设有且仅有一个实数 x0,使得 f(x0)=x0,求函数 f(x) 的解析表达式。
解: )因为对任意x ? R, 有f ( f ( x ) - x 2 ? x ) ? f ( x ) ? x 2 ? x (I 所以f ( f (2) - 2 2 ? 2) ? f (2) ? 2 2 ? 2 又由f (2) ? 3, 得f (3 - 2 2 ? 2 ? 3 ? 2 2 ? 2,即f (1) ? 1 ) 若f (0) ? a , 则f (a ? 02 ? 0) ? a ? 02 ? 0,即f (a ) ? a (II)因为对任意x ? R,有f ( f ( x ) ? x 2 ? x ) ? f ( x ) ? x 2 ? x.

2

2

2 2. 3

又因为有且只有一个实数x0,使得f ( x0 ) ? x0 所以对任意x ? R, 有f ( x ) ? x 2 ? x ? x0
2 在上式中令x ? x0,有f ( x0 ) ? x0 ? x0 ? x0 2 再代f ( x0 ) ? x0,得x0 ? x0 ? 0,故x0 =0或x0 =1

若x0 =0,则f ( x ) ? x 2 ? x ? 0,即f ( x ) ? x 2 ? x 但方程x 2 ? x ? x有两个不相同实根,与题设条件矛盾。故x0 ? 0 若x0 =1,则有f ( x ) ? x 2 ? x ? 1, 即f ( x) ? x 2 ? x ? 1.易验证该函数满足题设条件。 综上,所求函数为f ( x ) ? x 2 ? x ? 1 (x ? R )

3、函数 f(x)对一切实数 x,y 均有 f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x 成立,且 f(1)=0,

(1)求 f (0) 的值;

1 1 2 2 解: (1) 由已知等式 f ( x ? y) ? f ( y) ? ( x ? 2 y ? 1) x , x ? 1 , y ? 0 得 f (1) ? f (0) ? 2 , 令 又∵ f (1) ? 0 , f (0) ? ?2 . ∴ ( 2 ) 由 f ( x ? y) ? f ( y) ? ( x? 2 y? 1) x 令 y ? 0 得 f ( x) ? f (0) ? ( x ? 1) x , 由 ( 1 ) 知 f (0)? ? 2, , 1 12 1 2 2 ∴ f ( x) ? 2 ? x ? x . ∵ x1 ? ( 0 1 , ∴ f ( x1 ) ? 2 ? x1 ? x1 ? ( x1 ? ) ? 在 x1 ? (0, ) 上 单 调 递 增 , , ) 2 2 4 2 3 3 1 1 ∴ f ( x1 ) ? 2 ? (0, ) .要使任意 x1 ? (0, ) , x2 ? (0, ) 都有 f ( x1 ) ? 2 ? loga x2 成立,必有 ? log a x2 都 4 2 2 4 1 3 1 成 立 . 当 a ? 1 时 , l o g x2 ? l o g , 显 然 不 成 立 . 当 0 ? a ? 1 时 , (log a x2 ?) log a ? , 解 得 a a 2 2 4 3 3 4 4 ,1) . ? a ? 1∴ a 的取值范围是 [ 4 4
(2)对任意的 x1 ? (0, ) , x2 ? (0, ) ,都有 f(x1)+2<logax2 成立时,求 a 的取值范围. 五、单调性问题 (抽象函数的单调性多用定义法解决) 例 10.设函数 f(x)对任意实数 x,y, 都有 f(x+y)=f(x)+f(y),若 x>0 时 f(x)<0,且 f(1)= -2,求 f(x)在[-3, 3]上的最大值和最小值. 解析:由单调性的定义步骤设 x1<x2, 则 f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1)< f(x1). (∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0) 所以 f(x)是 R 上的减函数, 故 f(x)在[-3,3]上的最大值为 f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=-6,最小值为 f(-3), 令 x=y=0,得 f(0)=0,令 y=-x,得 f(-x)+f(x)=f(0)=0,即 f(x)为奇函数.∴f(-3)=-f(3)=6. 练习:设 f(x)定义于实数集上,当 x>0 时,f(x)>1,且对于任意实数 x、y,有 f(x+y)=f(x)f(y),求证: f(x)在 R 上为增函数。 证明:设 R 上 x1<x2,则 f(x2-x1)>1, f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)f(x1),(注意此处不能直接得大于 f(x1),因为 f(x1)的正负还没确定) 。 取 x=y=0 得 f(0)=0 或 f(0)=1;若 f(0)=0,令 x>0,y=0,则 f(x)=0 与 x>0 时,f(x)>1 矛盾,所以 f(0)=1, x>0 时,f(x)>1>0,x<0 时,-x>0,f(-x)>1,∴由 f (0) ? f ( x) f (? x) ? 1得f ( x) ? 1 ? 0 ,故 f(x)>0,从
f ( ? x)

而 f(x2)>f(x1).即 f(x)在 R 上是增函数。(注意与例 4 的解答相比较,体会解答的灵活性) 例 11、 已知偶函数 f(x)的定义域是 x≠0 的一切实数, 对定义域内的任意 x1,x2 都有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,
2 且当 x ? 1 时 f ( x) ? 0, f (2) ? 1 , (1)f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)解不等式 f (2 x ? 1) ? 2

3

解: (1)设 x2 ? x1 ? 0 ,则 f (x ) ? f (x ) ? f (x ? x2) ? f (x ) ? f ( x ) ? f ( x2 ) ? f ( x ) ? f ( x2 ) ∵ x2 ? x1 ? 0 , 2 1 1 1 1 1
x1 x1 x1



x2 x ? 1 ,∴ f ( 2 ) ? 0 ,即 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,∴ f ( x2 ) ? f ( x1 ) ∴ f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数 (2) x1 x1
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

? f (2) ? 1 ,∴ f (4) ? f(2) ? f (2) ? 2

,∵ f ( x) 是偶函数∴不等式 f (2 x2 ? 1) ? 2 可化为 f (| 2x2 ?1|) ? f (4) ,
2 2 2

又∵函数在 (0, ??) 上是增函数,∴0≠ | 2 x2 ?1|? 4 ,解得: {x | ? 10 ? x ? 10 且x ? ? 2 } 练习:已知函数 f(x)的定义域为 R,且对 m、n∈R,恒有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且 f(-

1 1 )=0,当 x>- 时, 2 2

f(x)>0.求证:f(x)是单调递增函数; 1 1 1 证明:设 x1<x2,则 x2-x1- >- ,由题意 f(x2-x1- )>0,∵f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2 2 2 2 1 1 -x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1=f(x2-x1)+f(- )-1=f[(x2-x1)- ]>0,∴f(x)是单调递增函数. 2 2
例 12、定义在 R 上的函数 f(x)满足: ①对任意实数 m,f(x )=mf(x); ②f(2)=1。(1)求证:f(xy)=f(x)+f(y) + 对任意正数 x,y 都成立; (2)证明 f(x)是 R 上的单调增函数; (3)若 f(x)+f(x-3)≤2,求 x 的取值范 围. m n m+n 解:(1)令 x=2 ,y=2 ,其中 m,n 为实数,则 f(xy)=f(2 )=(m+n)f(2)=m+n,又 m n f(x)+f(y)=f(2 )+f(2 )=mf(2)+nf(2)=m+n,所以 f(xy)=f(x)+f(y)
+ m

(2)证明: 设0 ? x1 ? x 2 , 可令m ? n且使x1 ? 2 m , x 2 ? 2 n ,
+

由(1)得f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? f (

x1 ) ? f (2 m ? n ) ? (m ? n )f (2) ? m ? n ? 0 x2





f(x1)<f(x2),即 f(x)是 R 上的增函数。(3)由 f(x)+f(x-3)≤2 及 f(x)的性质,得 f[x(x-3)]≤2f(2)=f(2),解 得 3<x≤4.
练习 : 1 已知f ( x)是定义在(0,??)上的单调增函数,对于 任意的m、n(m, n ? (0,??))满足 f ( m) ? f ( n) ? f ( m n), 且a、b(0 ? a ? b)满足 f ( a ) ? f (b) ? 2 f ( a?b ) 2 2

(1)求f (1);.......( )若f ( 2) ? 1 2 ,解不等式 ( x) ? 2;......... 3)求证:? b ? 2 ? f ..( 3
解:) f (1) ? 0 ? ? ? ? ? ?( 2) f ( x ) ? 2的解集为 0,4) (1 (

(3) ? f (1) ? 0, f ( x )在(0, ?)上单调递增, x ? (0,1)时,f ( x ) ? 0,x ? (1,??)时,f ( x ) ? 0 ? ? 又 f ( a ) ? f (b) 且0 ? a ? b,? f ( a ) ? ? f (b)即f ( a b) ? 0,? a b ? 1? 0 ? a ? 1 ? b ? f (b) ? 2 f ( a?b a?b ), ? 2 2 a b ? 1? f (b) ? 2 f ( a?b a?b 2 ? a ? b 2? ) ? f ?( ) ? ?b ? ( ) 2 2 2 ? ? 2

? a 2 ? 4b ? b 2 ? 2, 而0 ? a ? 1? 0 ? 4b ? b 2 ? 2 ? 1又b ? 1? 3 ? b ? 2 ?

练习 2 定义在 R 上的函数 y=f(x),f(0)≠0,当 x>0 时,f(x)>1,且对任意的 a、b∈R,有 f(a+b) =f(a)·f(b). (1)求证:f(0)=1;(2)求证:对任意的 x∈R,恒有 f(x)>0;(3)求证:f(x)是 R 上的增函数; 2 (4)若 f(x)·f(2x-x )>1,求 x 的取值范围. 2 解:(1)证明:令 a=b=0,则 f(0)=f (0).又 f(0)≠0,∴f(0)=1.(2)证明:当 x<0 时,-x>0, ∴f(0)=f(x)·f(-x)=1.∴f(-x)= 1 >0.又 x≥0 时 f(x)≥1>0,∴x∈R 时,恒有 f(x)>
f ( x)

0。(3)证明:设 x1<x2,则 x2-x1>0.∴f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)·f(x1).∵x2-x1>0,∴f (x2-x1)>1.又 f(x1)>0,∴f(x2-x1)·f(x1)>f(x1).∴f(x2)>f(x1).∴f(x)是 R 上的增 2 2 函数。(4)解:由 f(x)·f(2x-x )>1,f(0)=1 得 f(3x-x )>f(0).又 f(x)是 R 上的增函数, 2 ∴3x-x >0.∴0<x<3. 练习 3.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意 a,b,当 a+b≠0,都有 f ( a ) ? f (b) >0
a?b

(1).若 a>b,试比较 f(a)与 f(b)的大小; (2).若 f(k? 3 x ) ? f (3 x ? 9 x ? 2) <0 对 x∈ [-1,1]恒成立,求实数 k 的取值范围。
f ( a ) ? f ( ?b )

(由 >0 可得 f(a)>f(b). k ? 2 2 ? 1 ) a?b 练习 4、已知函数 f(x)对任何正数 x,y 都有 f(xy)=f(x)f(y),且 f(x)≠0,当 x>1 时,f(x)<1。试判断 f(x)在
4

(0,+∞)上的单调性。 解: 对x ? R ? 有f (x) ? f ( x ? x ) ? f 2 ( x ) ? 0, 又f (x) ? 0, 故f (x) ? 0 , 设x 1 , x 2 ? R ? , 且x 1 ? x 2 , 则 x 2 ? 1, 则
x1
x x f ( 2 ? x1 ) f ( 2 ) ? f (x1 ) f (x 2 ) x1 x1 x ? ? ? f ( 2 ) ? 1 ,所以 f (x 1 ) f (x 1 ) f (x1 ) x1

f(x1)>f(x2),故 f(x)在 R 上为减函数.
)

+

练习 、奇函数f ( x)在(??,0)上单调递减,且 (2) ? 0,则( x ? 1) f ( x ? 1) ? 0的解集为 C 5 f ( A、 2,?1) ? (1,2) (? B、 3,1) ? (2, ?) ??C、 3,?1) (? ? (? D、 2,0) ? (2, ?) (? ?

练习 6、 已知函数 f ( x ) 的定义域为 ?0,1? , . 且同时满足: (1)对任意 x ??0,1? , 总有 f ( x) ? 2 ; (2) f (1) ? 3 , (3)若 x1 ? 0, x2 ? 0 且 x1 ? x2 ? 1 ,则有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 . (I) 求 f (0) 的 值 ; (II) 求 f ( x ) 的 最 大 值 ; (III) 设 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 且 满 足
1 . 2?3n?1

解 :( I ) 令 x1 ? x2 ? 0 , 由 (3), 则 f (0) ? 2 f (0) ? 2,? f (0) ? 2 , 由 对 任 意 x ??0 , ? , 总 有 1

Sn ? ? 1 (an ? 3), n ? N * .求证: f (a1 ) ? f (a2 ) ? f (a3 ) ? ? ? f (an ) ? 3 ? 2n ? 2 2
f ( x)? 2? f ( 0 ) , ? 2

( II ) 任 意 x1 , x2 ??0,1? 且 x1 ? x2 , 则

( ? x x ) f ) 0 ? x2 ? x1 ?1, ?f ( x ? x ) ? 2 ? f ( x ) ? f ( x ? 1 ? 1 ) ? f( 2x ? 1x ? ( 1 x ? 2 ? f(1 x) ? f m a x x) ? f (1) 3 2 2 2 1
1 (III)? Sn ? ? 1 (an ? 3)(n ? N * ) ? Sn?1 ? ? 1 (an?1 ? 3)(n ? 2) ?an ? 1 an?1 (n ? 2),?a1 ? 1 ? 0?an ? n?1 2 2 3 3

? f (an ) ? f (
1 ? f ( 3n ) ?

1 ) ? f ( 1 ? 1 ? 1 ) ? f ( 2 )? f ( 1 )?2?3f ( 1 )?4 3n 3n 3n 3n 3n 3n 3n?1 1 f ( 1 ) ? 4 ,即 4 f (an?1 ) ? 1 n) ? 3 。 3 3 3 3n?1

f (a

4 ? f (an ) ? 1 f (an?1) ? 4 ? 312 f (an?2 ) ? 342 ? 3 ? ? ? 3n1?1 f (a1) ? 3n4?1 ? 3n4?2 ??? 342 ? 4 ? 2 ? 3n1?1 3 3 3

1 故 f (an ) ? 2 ? n?1 3

? f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? ? f (an ) ?

1?( 1 )n 2n ? 1?31 3

即原式成立。

六、奇偶性问题 例 13. (1)已知函数 f(x)(x≠0 的实数)对任意不等于零的实数 x、y 都有 f(x﹒y)=f(x)+f(y),试判断函 数 f(x)的奇偶性。 解析:函数具备奇偶性的前提是定义域关于原点对称,再考虑 f(-x)与 f(x)的关系:取 y=-1 有 f(-x)=f(x)+f(-1),取 x=y=-1 有 f(1)=2f(-1),取 x=y=1 有 f(1)=0.所以 f(-x)=f(x),即 f(x)为偶函数。 (2)已知 y=f(2x+1)是偶函数,则函数 y=f(2x)的图象的对称轴是( D ) A.x=1 B.x=2 C.x=-

1 2

D.x=

1 2

解析:f(2x+1)关于 x=0 对称,则 f(x)关于 x=1 对称,故 f(2x)关于 2x=1 对称. 注:若由奇偶性的定义看复合函数,一般用一个简单函数来表示复合函数,化繁为简。F(x)=f(2x+1)为 偶函数,则 f(-2x+1)=f(2x+1)→f(x)关于 x=1 对称。 例 14:已知函数 f(x)的定义域关于原点对称且满足 ?1? f ( x ? y ) ? f(a)=1.求证:f(x)是奇函数。

f ( x) f ( y ) ? 1 ,(2)存在正常数 a,使 f ( y ) ? f ( x)

f ( y ) f ( x) ? 1 f ( y ) f ( x) ? 1 ?? ? ? f (t ) ,所以 f(x)为奇函数。 f ( x) ? f ( y ) f ( y ) ? f ( x) 2 2 例 15:设 f (x) 是定义在 R 上的偶函数,且在 (??,0) 上是增函数,又 f (2a ? a ? 1) ? f (3a ? 2a ? 1) 。求实数 a 的取值范围。 2 2 解 析 : 又 偶 函 数 的 性 质 知 道 : f (x) 在 (0,??) 上 减 , 而 2a ? a ? 1 ? 0 , 3a ? 2a ? 1 ? 0 , 所 以 由 f (2a 2 ? a ? 1) ? f (3a 2 ? 2a ? 1) 得 2a 2 ? a ? 1 ? 3a 2 ? 2a ? 1 ,解得 0 ? a ? 3 。
证明:设 t=x-y,则 f (?t ) ? f ( y ? x) ? (设计理由:此类题源于变量与单调区间的分类讨论问题,所以本题弹性较大,可以作一些条件变换如: f (a ? 1) ? f (1)或f (a ? 1) ? f (1 ? 2a) 等;也可将定义域作一些调整)

5

例 16:定义在 R 上的单调函数 f(x)满足 f(3)=log 2 3 且对任意 x,y∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求证 f(x)为奇函数;(2)若 f(k·3 )+f(3 -9 -2)<0 对任意 x∈R 恒成立,求实数 k 的取值范围. 解答:(1)证明:f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R)---- ①令 y=-x,代入①式,得 f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0), 令 x=y=0,代入①式,得 f(0+0)=f(0)+f(0),即 f(0)=0.即 f(-x)=-f(x)对任意 x∈R 成立,∴f(x)是奇函 数. (2)解: f(3)=log 2 3>0, f(3)>f(0), f(x)在 R 上是单调函数, 即 又 所以 f(x)在 R 上是增函数, 又由(1)f(x) 是奇函数.f(k·3 )<-f(3 -9 -2)=f(-3 +9 +2), k·3 <-3 +9 +2,3 ∈R 成立.令 t=3 >0,即 t -(1+k)t+2>0 对任意 t>0 恒成立.
令f (t ) ? t 2 ? (1 ? k )t ? 2, 其对称轴x ? 当 1? k ? 0 即 k ? ?1 时,f (0) ? 2 ? 0, 符合题意; 故: k 2 1+k 当 ? 0时, 2 ?1 ? k ?0 ? 对任意t ? 0, f (t ) ? 0恒成立 ? ? 2 ? ? ? (1 ? k ) 2 ? 8 ? 0 ? 解得-1 ? k ? ?1 ? 2 2 1? k 2
x 2 x x x x x x x x 2x x x x

-(1+k)·3 +2>0 对任意 x

x

? ?1 ? 2 2时,f (k ? 3x ) ? f (3x ? 93 ? 2) ? 0 对任意 x∈R 恒成立。

说明:问题(2)的上述解法是根据函数的性质.f(x)是奇函数且在 x∈R 上是增函数,把问题转化成二次函 数 f(t)=t -(1+k)t+2 对于任意 t>0 恒成立.对二次函数 f(t)进行研究求解.本题还有更简捷的解法:分离 2 2 2 x x x x x 系数由 k· <-3 +9 +2 得 k ? 3 ? x ? 1, 而u ? 3 ? x ? 1 ? 2 2 ? 1, 要使对 x ? R 不等式 k ? 3x ? x ? 1. 3 3 3 3 恒成立,只需 k< 2 2 ? 1 练习:1、已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对于任意的函数 a,b 都满足 f(ab)=af(b)+bf(a). n (1)求 f(0),f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性,并证明你的结论;(3)若 f(2)=2,un=f(2 ) (n∈N*),求 证:un+1>un (n∈N*). 解:(1)、令 a=b=0,得 f(0)=0,令 a=b=1,得 f(1)=0。(2)、令 a=b=-1,得 f[(-1)(-1)]=-f(-1)-f(-1),f(-1)=0, n 故 f(-x)=f[(-1)(x)]= -f(x)+xf(-1)= -f(x),故 f(x)为奇函数. (3)先用数学归纳法证明:un=f(2 )>0 (n ∈N*)(略) 2. 定义域为R的函数f(x)满足: 对于任意的实数x, y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立, 且当x>0时f(x)<0恒成立. (1)判断函数f(x)的奇偶性,并证明你的结论;(2)证明f(x)为减函数;若函数f(x)在[-3,3)上总有f(x)≤6 成 立 , 试 确 定 f(1) 应 满 足 的 条 件 ; 1 1 2 2 (3)解关于x的不等式 f (ax ) ? f (x) ? f (a x) ? f (a), (n是一个给定的自然数 a ? 0) , n n 解:(2)设任意x1,x2∈R且x1<x2,则x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0,而f(x2-x1)= f(x2)+ f(-x1)= f (x2)-f(x1)<0;∴f(x1)>f(x2),即f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.∴f(x)在[-3,3]上的最大值为f(-3). 要使f(x)≤6恒成立,当且仅当 f(-3)≤6,又∵f(-3)= - f(3)= - f(2+1)=-[ f(2)+ f 1 1 (1)]= -[ f(1)+ f(1)+ f(1)]= -3 f(1) ,∴f(1)≥-2.(3) f(ax2)- f(x)> f(a2x) n n 2)- f(a2x)>n[f(x)- f(a)] ? f ax2-a2x) (x-a) 由已知得: (x-a) - f(a) ? f(ax ( >nf , f[n ]=nf (x-a)∴f(ax2-a2x)>f[n(x-a)]∵f(x)在(-∞,+∞)上是减函数∴ax2-a2x<n(x-a).即(x-a) n n (ax-n)<0,∵a<0,∴(x-a) (x- )>0,讨论: (1)当a< <0,即a<- n 时,原不等式解集为{x | a a n n n x> 或x<a}; (2)当a= <0即a=- n 时,原不等式的解集为φ ; (3)当 <a<0时,即- n <a<0时, a a a n 原不等式的解集为{x | x>a或x< } a 3、已知 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且 f(1)=1,若 a,b∈[-1,1],a+b≠0 时,有
2

f ( a ) ? f (b ) >0. a?b 1 (1)判断函数 f(x)在[-1,1]上是增函数,还是减函数,并证明你的结论;(2)解不等式:f(x+ )< 2
6

f(

1 ); x ?1
2

(3)若 f(x)≤m -2pm+1 对所有 x∈[-1,1],p∈[-1,1](p 是常数)恒成立,求实数 m 的取值范围. .解: 设任意 x1,x2∈ (1) [-1,1] x1<x2.由于 f(x)是定义在 ,且 [-1, 上的奇函数, f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(- 1] ∴ x1). 因为 x1<x2,所以 x2+(-x1)≠0,由已知有 f ( x2 ) ? f (? x1 ) >0, x2+(-x1)=x2-x1>0, f(x2)+f(-x1)>0, ∵ ∴
x2 ? (? x1 )

即 f(x2)>f(x1), 所 以 函 数 f(x) 在 [ - 1 , 1 ] 上 是 增 函 数 。 ( 2 ) 由 不 等 式 f(x+
1 ? ?? 1 ? x ? 2 ? 1 ,解得-1<x<0,即为所求. ? 1 ? ?1 ?? 1 ? x ?1 ? 1 1 ? ?x ? 2 ? x ? 1 ?

1 1 ) < f( )得 2 x ?1
2

(3)由以上知 f(x)最大值为 f(1)=1,所以要 f(x)≤m -

2pm+1 对所有 x∈[-1,1],p∈[-1,1](p 是常数)恒成立,只需 1≤m -2pm+1 恒成立,得实数 m 的取值范 围为 m≤0 或 m≥2p. 七、周期性与对称性问题(由恒等式简单判断:同号看周期,异号看对称) ... 编 号 周 期 性

2

f ?x ? a? ? f ?? x ? a? → 对 称 轴 x ? a ? y ? f ? x ? a? 是 偶 函
数; 函数







1

f ?x ? a ? ? f ?x ? a ? →T=2 a

f ?x ? a? ? ? f ?? x ? a? →对称中心(a,0)? y ? f ? x ? a? 是奇
f ?a ? x ? ? f ?b ? x ? →对称轴 x ?
a?b ; 2

2

f ?a ? x? ? f ?b ? x? →T= b ? a

f ?a ? x? ? ? f ?b ? x? →对称中心 (

a?b ,0) ; 2

3

f(x)= -f(x+a)→T=2 a

4 5

f ?a ? x? ? ? f ?b ? x? →T=2 b ? a
f(x)=± f(x)=1-

1 →T=2 a f ?x ? 1 ? f ( x) ? 0? → f ?x ? a ?

?a ? ,0 ? ?2 ? ?a?b ? ,0 ? f ?a ? x? ? ? f ?b ? x? →对称中心 ? ? 2 ? ?a b? f(x)= b-f(-x+a)→对称中心 ? , ? ? 2 2?
f(x)= -f(-x+a)→对称中心 ?

T=3 a 6 结论:(1) 函数图象关于两条直线 x=a,x=b 对称,则函数 y=f(x)是周期函数,且 T=2|a-b| (2) 函数图象关于点 M(a,0)和点 N(b,0)对称,则函数 y=f(x)是周期函数,且 T=2|a-b| (3) 函数图象关于直线 x=a,及点 M(b,0)对称,则函数 y=f(x)是周期函数,且 T=4|a-b| (4) 应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别: y=f(a+x)与 y=f(b-x)关于 x ?

b?a b?a ,0) 对称 对称;y=f(a+x)与 y=-f(b-x)关于点 ( 2 2

(可以简单的认为:一个函数的恒等式,对应法则下的两式相加和的一半为对称轴:两个同法则不同表达 式的函数,对应法则下的两式相减等于 0,解得的 x 为对称轴) 例 17:①已知定义在 R 上的奇函数 f (x)满足 f (x+2) = – f (x),则 f (6)的值为( B ) A. –1 B. 0 C. 1 D. 2 解: 因为 f (x)是定义在 R 上的奇函数,所以 f (0) = 0,又 T=4,所以 f (6) = f (2) = – f (0) = 0。 ②函数 f(x)对于任意的实数 x 都有 f(1+2x)=f(1-2x),则 f(2x)的图像关于 对称。(x=1/2)

7

( 重 庆 ) 已 知 函 数 f ? x ? 满 足 : f ?1? ?

f ? 2010? =_____________.
解析:取 x=1 y=0 得 f (0) ?

1 , 4 f ? x ? f ? y ? ? f ? x ? y ? ? f ? x ? y ?? x, y ? R ? , 则 4

1 2

法一:通过计算 f (2), f (3), f (4)........ ,寻得周期为 6

法二: x=n y=1,有 f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理 f(n+1)=f(n+2)+f(n), 取 联立得 f(n+2)= —f(n-1) 所以 T=6 故

f ? 2010? =f(0)=

例 18. 已知函数 y=f(x)满足 f ( x) ? f (? x) ? 2002,求 f ?1 ?x? ? f ?1 ?2002? x ? 的值。 -1 解:由已知式知函数的图象关于点(0,1001)对称。据原函数与其反函数的关系,知函数 y=f (x) 的

1 2

图象关于点(1001,0)对称,所以 f ?1 ?x ? 1001 ? f ?1 ?1001? x? ? 0 ,即 f ?1 ?x? ? f ?1 ?2002? x ? =0 ? 例 19. 奇函数 f (x)定义在 R 上,且对常数 T > 0,恒有 f (x + T ) = f (x),则在区间[0,2T]上,方程 f (x) = 0 根的个数最小值为( ) A. 3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 解:∵f (0) = 0→x1= 0, 又 f (2T ) = f (T ) = f (0) = 0→ x2 = T,x3 = 2T.又因为 f ? x ? T ? ? f ? x ? T ? ? ? ? ? 2? 2? ? ? 令 x = 0 得 f ??

? T? ?T ? ?T ? ? ? f ? ? ? ? f ? ? ,∴ ? 2? ?2? ?2?

?T ? f? ?? ?2?

? 3T ? f ? ? =0.(本题 C ? 2 ?

易错选为 A)

例 20.① f(x)满足 f(x) =-f(6-x),f(x)= f(2-x),若 f(a) =-f(2000),a∈[5,9]且 f(x)在[5,9]上单调。 求 a 的值。 解:∵ f(x)=-f(6-x) ∴f(x)关于(3,0)对称 又∵ f(x)= f(2-x) ∴ f(x)关于 x=1 对称 ∴ T=8 ∴ f(2000)= f(0) 又 ∵ f(a) =-f(2000) ∴ f(a)=-f(0) 又 ∵ f(x) =-f(6-x) ∴ f(0)=-f(6) ∴ f(a)=f(6) ∴a =6 ②设 y=f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数,函数 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象关于直线 x=1 对称,且当 x 3 [2,3]时, g(x)=2a(x-2)-4(x-2) (a 为常数且 a R) (1) f(x); (2) 求 是否存在 a [2,6]或 a (6,+∞), 使函数 f(x)的图象的最高点位于直线 y=12 上?若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由. 解: (1)设点 M(x,f(x))为函数 y=f(x)图象上任意一点,则点 M 关于直线 x=1 的对称点为 N(2-x,f(x)). ∵y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象关于直线 x=1 对称. ∴点 N(2-x,f(x))在 y=g(x)图象上. 由此得 f(x)=g(2-x)(利用结论 4 的命题易得这一结果:y=g(x)与 y=g(2-x)的图象关于直线 x=1 对称) 3 设 x [-1,0],则 2-x [2,3].此时 f(x)=g(2-x)=-2ax+4x 3 又 f(x)为偶函数 ? f(-x)=f(x),x ? [-1,1]. ∴当 x ? [0,1]时,f(x)=2ax-4 x

(2)注意到 f(x)为偶函数,只须研究 f(x)在[0,1]上的最大值. (ⅰ)当 a 2 得 a-2x >0, f(x)=2x(a-2 x )=
2

(2,6]时,由 0

x

1



=

(当且仅当 4 =12 得 =486>

=a-2

,即 x= (2,6]

[0,1]时等号成立). 由题意知,f(x)的最大值为 12,令 矛盾,故此时满足条件的 a 不存在. (当且仅当 2 0 题设 0< f( )<f( 适合题意. + ,则 f( + )-f( )=2a(

,∴a>6,这与 a )

(ⅱ)当 a=2 且 0≤x≤1 时,f(x)=4x(1- =1,即 x= )-4( + +

同理可证 f(x)=

时等号成立),也与已知矛盾.(ⅲ)当 a>6 时,设 )=2( )[a-2( + + )-f( )], 由 )<0 即 (6,+∞),

<3,a>6,∴a-2(

)>0,又

<0∴f(

), ∴f(x)在[0,1]上为增函数. ∴此时

=f(1)=2a-4。 2a-4=12,解得 a=8 令

8

因此,综合(ⅰ) (ⅱ) (ⅲ)知,存在 a=8 (6,+∞),使得函数 f(x)的图象的最高点位于直线 y=12 上. 练习 1、函数 y ? f ( x ? 1) 是偶函数,则 y ? f (x) 的图象关于 x=1 对称。

1 ,且 f (3) ? 1 ,则 f (2010 ? -1 。 ) f ( x) 1 1 3、函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f ( ? x) ? f ( ? x) ,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f (5) ? 2 2 1 解析:法一:因 f(x)为奇函数且关于 x ? 对称,T=2,可借助图象解答,得结果为 0. 小结:此方法为数形 2
2、函数 y ? f (x) 满足 f ( x ? 3) ? ? 结合法 法 二 : 因 f(x) 为 奇 函 数 且 关 于 x ?

?

1 对 称 , 类 比 f ( x) ? sin x 联 想 函 数 f ( x) ? sin ? x 2

f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f (5) ? 0,

小结:此方法为抽象函数具体化法

4 、 已 知 函 数 y ? f (2 x ? 1) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 函 数 y ? g ( x) 是 y ? f ( x) 的 反 函 数 , 若 x1 ? x2 ? 0 则

g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? ( )
A)2 B)0 C)1 D)-2 解析:法一:(函数具体化)设 f ( x) ? x ? 1符合题意,则 g ( x) ? x ?1 则 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? ( x1 ?1) ? ( x2 ?1) ? ( x1 ? x2 ) ? 2 ? ?2 , 法二:y=f(2x-1)是 R 上的奇函数→f(-2x-1)=-f(2x-1),即 f(-2x-1)+f(2x-1)=0,由反函数的关系就 可以取 x1= f(-2x-1),x2= f(2x-1),所以 g(x1)+g(x2)=-2x-1+(2x-1)=-2. 5.设 f(x)是 R 的奇函数,f(x+2)= — f(x),当 0≤x≤1,时,f(x)=x,则 f(7.5)= - 0.5 -1 -1 6.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)+f(x)=3,则 f (x)+f (3-x)= .0 7、 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,且 f(2)=0,则方程 f(x)=0 在区间(0,6)内解的个 数的最小值是( D ) A.4 B.5 C.6 D.7 8、设函数 f(x)的定义域为[1,3],且函数 f(x)的图象关于点(2,0)成中心对称,已知当 x 2x,求当 x [1,2]时,f(x)的解析式. 解:由已知得 f(x)=-f(4-x)① 又当 x [1,2]时,4-x [2,3],∴f(4-x)=(4-x) [2,3]时 f(x)= -2(4-x) ②

∴由①②得 f(x)=- (x- 4) +2(4-x) ∴当 x [1,2]时,f(x)=-x +6x-8 9、(山东)已知定义在 R 上的奇函数 f (x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2]上是增函数,若方程 f(x)=m(m>0)在区间 ?? 8,8? 上有四个不同的根 x1 , x2 , x3 , x4 ,则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? _________. -8 八、综合问题 例 21. 定义在 R 上的函数 f(x)满足:对任意实数 m,n,总 0<f(x)<1。(1)判断 f(x)的单调性; (2)设 , 解:(1)在 在 所以当 时 中,令 中,令 ,而 ,所以,综上可知,对于任意 ,则 .所以 在 R 上为减函数。 ,即有

有,且当 x>0 时,

,若 A ? B ? ? ,试确定 a 的取值范围。 ,得 ,因为当 ,因为 时, ,所以 ,均有 。 ,所以 。

又当 x=0 时, 设 所以

(2)由于函数 y=f(x)在 R 上为减函数,所以

9



,根据函数的单调性,有

,由

,所以直线

与圆面 无公共点。因此有 ,解得 。 评析:(1)要讨论函数的单调性必然涉及到两个问题:一是 f(0)的取值问题,二是 f(x)>0 的结论。这是解 题的关键性步骤,完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思想,联想类比思维都有助于问题 的思考和解决。 例 22.设定义在 R 上的函数 f(x),满足当 x>0 时,f(x)>1,且对任意 x,y∈R,有 f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=2

1 (1)解不等式f (3x ? x 2 ) ? 4, ; (2)解方程[f (x)] 2 ? f (x ? 3) ? f (2) ? 1. 2
解:(1)先证 f(x)>0,且单调递增,因为 f(x)=f(x+0)=f(x)f(0),x>0 时 f(x)>1,所以 f(0)=1.

x x x 又f (x) ? f ( ? ) ? [f ( )] 2 ? 0, 假设存在某个x o ? R, 使f (x o ) ? 0, 则 f(x)=f[(x-xo)+xo]=f(x-xo)f(xo)=0, 2 2 2
与已知矛盾,故 f(x)>0,任取 x1,x2∈R 且 x1<x2,则 x2-x1>0,f(x2-x1)>1,所以 f(x1)-f(x2)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1) =f(x2-x1)f(x1)-f(x1)=f(x1)[f(x2-x1)-1]>0. 所以 x∈R 时,f(x)为增函数. 解得:{x|1<x<2} 2 (2)f(1)=2,f(2)=2,f(3)=8,原方程可化为:[f(x)] +4f(x)-5=0,解得 f(x)=1 或 f(x)=-5(舍) 由(1)得 x=0. x?y ) 例 23. 定义在(?1,1)上的函数f ( x )满足 : (1)对任意x, y ? (?1,1), 都有f ( x ) ? f ( y) ? f ( 1 ? xy

1 1 1 1 ) ? f ( ). (2)当 x∈(-1,0)时,有 f(x)>0.求证:(Ⅰ)f(x)是奇函数; (Ⅱ) f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( 2 11 19 3 n ? 5n ? 5 解:(1)易证f(x)是奇函数。 (2)易证f(x)在(-1,0),(0,1)上是单调递减函数. 1 ? ? ? 1 1 ? ? (? ) ? (n ? 2)( n ? 3) ? ? 1 1 n?2 n ? 3 ? ? f( 1 ) ? f( 1 ) ? ?f? 又f ( 2 ) ? f( )?f? ? 1 (n ? 2)( n ? 3) ? 1 ? n?2 n?3 n ? 5n ? 5 ? ?1 ? 1 ? ( ? 1 ) ? 1? ? (n ? 2)( n ? 3) ? ? n ? 2 n?3 ? ? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ? f( ) ??? f( 2 ) ? [f ( ) ? f ( )] ? [f ( ) ? f ( )] ? ? ? f ( ) ? f ( ) 11 19 3 4 4 5 3 n?3 n ? 5n ? 5 1 1 1 1 又f ( ) ? 0,?f ( ) ? f ( ) ? f ( ).命题成立 n?3 3 n?3 3 函数综合 1.奇函数在关于原点对称的区间内单调性一致(在整个定义域内未必单调) ,推广:函数在其对称中心两侧 单调性相同。偶函数在关于原点对称的区间内单调性相反,推广:函数在其对称轴两侧的单调性相反;此时 函数值的大小取决于离对称轴的远近。解“抽象不等式(即函数不等式) ”多用函数的单调性,但必须注意 定义域。关注具体函数“抽象化” 。 [举例 1]设偶函数 f(x)=loga|x-b|在(-∞,0)上递增,则 f(a+1)与 f(b+2) 的大小关系是 A.f(a+1)=f(b+2) B.f(a+1)>f(b+2) C.f(a+1)<f(b+2) D.不确定 解析:函数 f(x)=loga|x-b|为偶函数,则 b=0,f(x)=loga|x|,令 g(x)=|x|,函数 g(x)(图象为“V”字形)在 (-∞,0)递减,而函数 f(x)=logag(x) 在(-∞,0)上递增,∴0<a<1,∴1<a+1<2=b+2,又函数 f(x)为偶函 数且在(-∞,0)上递增,∴f(x)在(0,+ ? )上递减,∴f(a+1)>f(b+2),故选 B。 ?f (
[举例 2] 设函数 f ( x) ? x ? x ,若 0 ≤ ? ≤
3

? 时, f (m sin ? ) ? f (1 ? m) ? 0 恒成立,则实数 m 的取值范 2
3

围是 解析:此题不宜将 msin ? 及 1-m 代入函数 f ( x) ? x ? x 的表达式,得到一个“庞大”的不等式,因为运算 量过大,恐怕很难进行到底。注意到:函数 f(x)为奇函数,原不等式等价于: f (m sin ? ) ? f (m ? 1) ,又函 数 f(x)递增,∴msin ? >m-1 对 0 ≤ ? ≤

? 恒成立,分离参变量 m(这是求参变量取值范围的通法)得: 2
10

1 ,(0<1- sin ? ≤1,事实上当 sin ? =1 时不等式恒成立,即对 m 没有限制,所以无需研究),记 1 ? sin ? 1 g( ? )= ,则 m<g( ? )min, 1 ? sin ? 又∵0<1- sin ? ≤1,∴g( ? )min=1(当且仅当 ? =0 时等号成立) ,∴m<1。
m< [巩固]定义在[-1,a]上的函数 f(x)满足:f(2+x)=f(2-x),且在[2,5]上递增,方程 f(x)=0 的一根为 4,解不 等式 f(3+x)>0

1 ,且 f(x)在[-3,-2]上是减函数,又 ? 、 ? 是钝角三角 f ( x) 形的两锐角,则下列结论中正确的是: A.f(sin ? )>f(cos ? ) B. f(sin ? )<f(cos ? ) C.f(sin ? )<f(sin ? ) D. f(cos ? )<f(cos ?
[提高]定义在 R 上的偶函数 f(x)满足:f(x+1)= 2.关注“分段函数” 。分段函数的反函数、值域一般分段求,分段函数的奇偶性、单调性一般要借助于图象。 f(x)=max{g(x),h(x)} 、f(x)=min{g(x),h(x)}也是一种分段函数,作出它的图象是研究这类函数的有效途 径。

?sin x 当sin x ? cos x时 给出下列四个命题: ?cos x 当sin x ? cos x时 ? ① 该函数的值域为[-1,1],②当且仅当 x ? 2k? ? ( k ? Z ) 时,该函数取得最大值 1,③该函数是以 ? 为 2 3? (k ? Z ) 时, f ( x) ? 0 最小正周期的周期函数,④当且仅当 2k? ? ? ? x ? 2k? ? 上述命题中错 . 2
[举例]对于函数 f ( x) ? ? 误的命题个数为( . A、1 B、2 ) C、3 D、4

解 析 : 作 出 函 数 y=f(x) 在 [ ?

?
2



3? ]上的图象如右(先分别作函数 2

y=sinx,y=cosx 的图象,观察图象,保留两者中之较“高”者) 。从图象上不难看出:该函数

? 2 ,1], x ? 2k? ? ( k ? Z ) 或 x ? 2k? 时函数取得最大值 1, 当 2 2 3? (k ? Z ) 时, f ( x) ? 0 , 该函数是以 2 ? 为最小正周期的周期函数, 当且仅当 2k? ? ? ? x ? 2k? ? ∴命题 2
的值域为[中错误的命题个数为 3 个,选 C。 .. [巩固]已知 f ( x) ? ?

?(3a ? 1) x ? 4a, x ? 1 是(- ? ,+ ? )上的减函数,那么 a 取值范围是 ?loga x, x ? 1



3.研究方程根的个数、超越方程(不等式)的解(特别是含有参量的) 、二次方程根的分布、二次函数的值 域、三角函数的性质(包括值域) 、含有绝对值的函数性质、已知函数值域研究定义域等一般用函数图象(作 图要尽可能准确) 。 [举例 1]若在 [0,

?
2

] 内有两个不同的实数值满足等式 cos2x ? 3 sin 2x ? k ? 1, 则 k 的范围是

? ? ? ? 7? ),∵ x ∈ [0, ] ,将 2 x ? 视为一个角 ? , ? ∈[ , ],作函 6 2 6 6 6 ? 7? ? 数 y ? 2 sin ? 在[ , ]上的图象(注意:无需作函数 y =2sin( 2 x ? )的图象) , 6 6 6 容易看出, y = k +1∈[1, ) 时, 当 2 函数 y ? 2 sin ? 与函数 y = k +1 的图象有两个交点,
解析: cos 2 x ? 3 sin 2 x =2sin( 2 x ? 此时 k ∈[0,1 ) 。
2

O

[举例 2]不等式 x ?1 ? ax 的解集为[1,2),则 a 的值为
11

解析:分别作函数 y ?

(函数 y ? x 2 ? 1 即 x 2 ? y 2 ? 1 , y ? 0 ,双曲 x 2 ? 1 和函数 y ? ax 的图象如右,

线在 x 轴上方的部分) 。两图象交于 M 点,要使不等式解集为[1,2),则 M(2, 3 ) ,即 a ? [巩固]已知函数 f(x)= log2 x 的定义域为[a,b],值域为[0,2],则 a,b 满足: A.a=

3 。 2 1

1 ,b=1 或 a=1,b=4, 4

B.a=

1 1 ,1≤b≤4, C. ≤a≤1,b=4, 4 4

D. a=

1 1 ,1≤b≤4 或 4 4

≤a≤1,b=4。 4. 求最值的常用方法:①单调性:研究函数在给定区间内的单调情况是求函数值域的最重要也是最根本的 方法。 ②基本不等式: 满足条件 “一正、 二定、 三相等” 时方可使用, “不相等” 常用函数 y ? x ? 如果 ,

a , ( a ? 0) x

的单调性解决。③逆求法:用 y 表示 x,使关于 x 的方程有解的 y 的范围即为值域,常用于求分式函数的值 域,判别式法就是其中的一种。 ④换元法:需要把一个式子看作一个整体即可实施换元, “三角换元”是针对“平方和 等于 1”实施的,目 的多为“降元” ;求值域时的换元主要是为了“去根号” 。⑤数形结合。

x 2 ? 2x ? 2 ( x ? ?1) ,则其图象的最低点的坐标是 [举例 1]已知函数 y ? x ?1 A、 (1,2) B、 (1,?2) C、 (0,2) D、不存在





解析:求函数图象的最低点的坐标即求函数当 x 取何值时函数取得最小值,最小值是多少; 此题不宜“逆求” (判别式法) ,因为⊿≥0 不能保证 x>-1(这是使用“判别式法”时需特别注意的) 。记

(t ? 1) 2 ? 2(t ? 1) ? 2 t 2 ? 1 1 ? ? t ? ? 2 (当且仅当 t=1 即 x=0 时等号成 x+1=t,(t>0),此时 x=t-1,设 g(t)= t t t
立, (注意这里的“换元”实质是“整体化”的具体落实,将需要“整体化”的部分换成一个变量,比“凑” 更具一般性也更易实施) ,选 C。

1 的最小值为 ab 1 解析:本题关注 ab 的取值范围,对 ab ? 使用基本不等式,当且仅当 ab =±1 时等号成立,事实上: ab a?b 2 1 1 1 1 0 ? ab ? ( ) ? , ∴等号不成立, 即不能使用基本不等式。 ab = t 0< t ≤ ) ab ? 记 ( , = t + =g( t ), 4 ab t 2 4 1 1 17 函数 g( t )在(0, ] 上递减,∴g( t )min=g( )= 。 4 4 4
[举例 2]已知 a ? b ? 1, a, b ? R ,则 ab ?
+

5.求参变量的取值范围通常采用分离参数法, 转化为求某函数的值域或最值; 也可以整体研究函数 y=f(a,x) 的最值。 2x x [举例] 关于 x 的方程 2 -m2 +4=0(x<0)有解,求实数 m 的取值范围。 x 2 解析:令 2 =t,(0<t<1),原方程变为:t -mt+4=0 在(0,1)上有解,这里显然不能简单地用判别式处理,因 为⊿≥0 不能保证方程在(0,1)上有解,还需附加更多的条件才成,繁!事实上,求参变量范围的问题首

4 = g (t ) ,所谓方程有解,即 m 在函数 g (t ) 的值域内(这也是解决方程 t 有解问题的通法) ,∵t∈(0,1) ,∴不能使用基本不等式(等号不成立) ,注意到函数 g (t ) 在(0,1)上递 减,∴ g (t ) ∈(5, ? ? )即 m ∈(5, ? ? ) 。 a 2 [迁移]若函数 f(x)=loga(x -ax+3),(a>0 且 a ? 1)满足:对任意 x1,x2,当 x1<x2 ? 时,f(x1)-f(x2)>0,则实数 a 2
先考虑的是“分离参变量” m ? t ? : 的取值范围是 A.(0,1)∪(1,3) B.(1,3) C. (0,1)∪(1, 2 3 ) D. (1, 2 3 )

12


相关文章:
高中数学专题:抽象函数常见题型解法
高中数学专题:抽象函数常见题型解法_数学_高中教育_教育专区。抽象函数常见题型解法综述抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一类...
2014高中数学抽象函数专题
2014高中数学抽象函数专题_高三数学_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档2014高中数学抽象函数专题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2014 ...
高中数学专题训练(一)——抽象函数
高中数学专题训练(一)——抽象函数 1. 已知函数 y = f (x)(x∈R,x≠0)对任意的非零实数 x 1 , x 2 ,恒有 f( x 1 x 2 )=f( x 1 )+f( ...
高中数学抽象函数专题
抽象函数 特殊模型 正比例函数 f(x)=kx 幂函数 指数函数 对数函数 f(x)=xn f(x)=ax (a>0 且 a≠1) (a>0 且 a≠1) (k≠0) f(x+y)=f(x)...
2014高中数学抽象函数专题
2014 高三数学专题 抽象函数 特殊模型和抽象函数 特殊模型 正比例函数 f(x)=kx 幂函数 指数函数 对数函数 f(x)=xn f(x)=ax (a>0 且 a≠1) (a>0 ...
2014高中数学抽象函数专题
2014高中数学抽象函数专题_数学_高中教育_教育专区。一.定义域问题 ---多为简单函数与复合函数的定义域互求。 例 1.若函数 y = f(x)的定义域是[-2,2],...
2014高中数学抽象函数专题
2014高中数学抽象函数专题_数学_高中教育_教育专区。2016 高三数学专题 一.定义域问题 ---多为简单函数与复合函数的定义域互求。 例 1.若函数 y = f(x)的定...
2014高中数学抽象函数专题[1]
2014高中数学抽象函数专题[1]_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档2014高中数学抽象函数专题[1]_数学_高中教育_教育专区。2014 高三数学...
高一数学专题讲座抽象函数
高一数学专题讲座抽象函数_数学_高中教育_教育专区。抽象函数专题讲座郑严 抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式,只是给出一些特殊条件的函数。 一.抽象函数定义...
更多相关标签:
高中数学抽象函数 | 高中数学函数专题 | 高中数学三角函数专题 | 高中数学专题精编函数 | 抽象函数专题 | 高一抽象函数专题 | 抽象函数专题视频 | 高一数学抽象函数 |