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高等工程数学课后答案


第六章 7、设 X1,X2,…Xn 为总体 X~N(μ ,σ 2)的样本,求 E[
n

? ( xi ? x) 2 ],D[ ? ( xi ? x)2 ]。
i ?1 i ?1

n

n

解:E[

? ( x ? x)
i i ?1
n i ?1

2

]=(n-1)E[

1 n ?1

? ( x ? x)
i i ?1

n

2

]=(n-1)σ

2

因为

? (x
n

i

? x) 2 ~ X 2 ( n ? 1)

?2
2

所以 D[

? ( x ? x)
i ?1 i

]= D[

? (x
i ?1

n

i

? x) 2
2

?

2 ] =σ 2(n-1)

8、设 X1,X2,…X5 为总体 X~N(0,1)的样本, (1)试确定常数 c1、d1,使得 c1 ( x1 ? x2 )2 ? d1 ( x3 ? x4 ? x5 )2 ~ ? 2 (n) 并求出 n;

c2 ( x1 ? x2 ) (2)试确定常数 c2、d2,使得 ~ F (m, n) 。 d 2 ( x3 ? x4 ? x5 ) 2
解: (1) S ?
2

2

2

1 1 1 n ,所以 c1= ,d1= ( xi ? x) 2 且总体为 X~N(0,1) ? 2 3 n i ?1
2

因为 ? 分布具有可加性,即若 Xi~ ? (i=1,……k) ,且各样本相互独立,则
2

?x
i ?1

k

i

~ ? 2 (? ni ) ,所以 n=2。
i ?1

k

(2)因 为 x1 ? x2 ~ N (0,2) , ( x3 ? x4 ? x5 ) ~ N (0,3) ,

x1 ? x2 ~ N (0,1) , 2


x3 ? x4 ? x5 x ?x ?x x ?x ~ N (0,1) 且 相 互 独 立 , 所 以 [ 1 2 ]2 + [ 3 4 5 ]2 ~ ? 2 (2) 3 2 3
2 1 2

( x3 ? x4 ? x5 ) 2 3( x1 ? x2 ) ~ ? 2 (1) , 所 x ? x2 ~ ? (2) , ~ F (2,1) , 所 以 3 2( x3 ? x4 ? x5 ) 2
2

2

2

c2 3 ? , F (2,1) d2 2

10、设 X1 , X2 ,… Xn , Xn+1 为总体 X~N ( μ , σ 2 )的样本的容量为 n+1 的样本,

x?

2 1 n 1 xi , ~ s2 ? ( xi ? x ) 试证: ? n i ?1 n ?1

(1) T ? ?

n xn?1 ? x n ? 1 2 (3) x ? x ~ N (0, n ? 1 ? 2 ) ~ t (n ? 1) (2) x ? xn ?1 ~ N (0, ? ) 1 ~ n n n ?1 s

证明: (1)因为 x ~ N ( ? ,

? 2 (n ? 1)~ s2 ), ~ ? 2 (n ? 1), xn ?1 ~ N ( ? , ? 2 ) 2 n ?
n ? 1 2 xn ?1 ? x ? ), ~ N (0,1) n n ?1 ? n

所以 xn ?1 ? x ~ N (0,

xn ?1 ? x n ?1 ? n xn?1 ? x n 所以 ~ t (n ? 1) ~ t (n ? 1) ,即 T ? ? n ?1 ~ s (n ? 1)~ s2 ? 2 (n ? 1)
(2)因为 x ~ N ( ? ,

?2
n

), xn ?1 ~ N ( ? , ? 2 )

所以 x ? xn ?1 ~ N (0,

n ?1 2 ? ) n

(3)因为 x1 ? x ? x1 ?

1 n n ?1 1 n xi ? x1 ? ? xi , ? n i ?1 n n i ?2

n ?1 1 n n ?1 1 n n ?1 1 n E( x1 ? ? xi ) ? E ( x1 ) ? ? E ( xi ) ? ? ? ?? ? 0 n n i ?2 n n i ?2 n n i ?2 D( n ?1 1 n n ?1 2 2 1 x1 ? ? xi ) ? ( )? ? 2 n n i ?2 n n
n ?1 2 ? ) n

?? 2 ?
i ?2

n

n ?1 2 ? n

所以 x1 ? x ~ N (0,

15、设 X1,X2,…Xn,1 为总体 X 的样本,如果 X 具有下列密度函数(其中参数均未知) 试分别求这些参数的矩估计量与极大似然估计量。

??2 e ? ?x , x ? 0 ? ( x, ? ) ? ? ? ?0 (1) ?0, x ? 0

? 1 ? ( x?? 2) ,x ? 2 ? e (2) ? ( x, ? ) ? ? ? ?0, x ? 2 ?
解: (1) E ( X ) ?

? ?0

?

?

0

x?2 xe ??x dx t ? ?x ? ??1t 2 e ? t dt ?
0

?

2

?
n

?? ,所以 ? 的矩估计量是: ?

2 x

似然函数 L(? )

? ? ?2 xi e ??xi ? ?2 n (? xi )e
i ?1 i ?1

n

n

??

? xi
i ?1

对数似然函数 ln L(? ) ? 2n ln ? ? ln(

? x ) ? ?? x
i i ?1 i ?1

n

n

i

d 2n n ??2 ln L(? ) ? ? ? xi ? 0 ,所以 ? 的极大似然估计是: ? d? ? i ?1 x
(2) E (? ( x, ? )) ?

?

??

x

2

?

e

?

( x ?2)

?

dxt ? x / ? ?

??

2/ ?

?te

?t ?

2

?

dt ? ? ? 2 ,所以 ? 的矩估计量

? ? x?2 是?
似然函数: L ( ? )

??
i ?1

n

xi

?

e

?

( xi ? 2 )

?

??
??
i ?1 n

?n

?

e

?
i ?1

n

xi ? 2

?

??

?n

e

2n / ?

?

e

? ?i
i ?1

n

x

对数似然函数: ln L( ? ) ? ?n ln ? ?

2n

?

xi

?

d n n x ?2 ? ? x?2 ln L( ? ) ? ? ? ? i 2 ? 0 ,所以 ? 的极大似然估计是: ? d? ? i ?1 ?

18、设总体 X~N(μ ,σ 2) ,X1,X2,…Xn,为 X 的样本

?1 ? (1)求 k,使得统计量 ? ?k
2

? ( x ? x)
i ?1 i n ?1 i ?1 i ?1

n

2

是 ? 的无偏估计,
2

?1 ? (2)求 c,使得统计量 ? ?c
2

? (x

? xi ) 2 是 ? 2 的无偏估计。
n 2 2

?2 ? k 解: (1)由于 ?

? ( xi ? x)2 ? k (? xi ? n x ) ? ( A2 ? x ) ? nk
2 i ?1 i ?1
2 2 2

n

而 E ( A2 ) ? ? 2 ? ? ? ? , E ( x ) ? D( x) ? [ E ( X )] ?
2

?2
n

? ?2

? ) ? E ( A2 ) ? E ( x ) ? nk(? ? ? ? 所以 E (?
2 2 2

2

?2
n

? ? 2 ) ? (n ? 1)k ? ? 2

所以 k ?

1 n ?1

(2) E( xi ?1 ? xi )2 ? D( xi ?1 ? xi ) ? E( xi ?1 ? xi )2 ? D( xi ?1 ) ? D( xi ) ? 2? 2 所以 c

? E ( xi?1 ? xi )2 ? c(n ? 1)2? 2 ,故当 c ?
i ?1

2

n ?1 2 1 2 2 ? 时,c ? ( xi ?1 ? xi ) 是 ? 的 2(n ? 1) n ? 1 i ?1

无偏估计。 21、设总体 X 服从二项分布 B(N,P) ,X1,X2,…Xn,为其样本,求参数 P 的最小方差 无偏估计。 解 :

? 2 ln f ( x, p) I ( p) ? ? E ( ) ?p 2
x





X















f ( x, p) ? C N p x (1 ? p) N ? x ,
I ( p) ? E[(

? ln f ( x, p) x N ? x ? 2 ln f ( x, p) x N?x ? ? , ?? 2 ? 2 ?p p 1? p ?p p (1 ? p) 2

x ? pN 2 N N Np(1 ? p) N ) ]? 2 E ( X ? p) 2 ? 2 D( X ) ? 2 ? 2 2 2 p(1 ? p) p (1 ? p) p (1 ? p) p (1 ? p) p(1 ? p)
p (1 ? p ) x ,若以样本均值 x 作为 P 的估计,显然 是 P nN N

所以 P 的无偏估计的方差下界是

?? 的无偏估计,所以 p

x 是 P 的最小方差无偏估计。 N

第七章

8、设X 1,X 2, ? X 17为总体X ~ N(0, ? 2)的样本,假设 H 0 : ? 2 ? 9, H1 : ? 2 ? 2.9055 的拒绝域为W ? {s2 ? 4.93}.求犯两类错误的概率 ?和?。 nS 2 ~ ? 2 ( n ? 1),即? 2 ? ? nS 2

? o2

? o2

为检验统计量

? ? nS 2 2 根据题意可知,拒绝域 为:W ? ( x , x , x 3 ? , x ) : ? ? ? k1 ? ? 1 2 n 2 ?o ? ? ? nS 2 ? ? p(拒绝H 0 H 0为真) ? p? 2 ?? 2 ? 2 ? k1 ? ? ? 0 ??0 ? 2 得k1 ? ?? ( n ? 1) 故有 17 ? 4.93 2 ? ?? (16) ? ? ? 0.1 92
2

? ? p{接受H 0 H 0不真} ? p?
得k ? ?12? ? ( n ? 1),又 nS 2

? 2.9055

{

nS 2

?2

? k2 }

?

2

?

17 ? 4.93 2 ? 28.845 ? ? 0 (16) .975 2 2.9055

故? ? 1 - 0.975 ? 0.025
22、某药治疗效果如下 年龄 疗效 显著 一般 较差 58 28 23 109 38 44 18 100 32 45 14 91 儿童 成年 老年

ni?
128 117 55 300

n? j

解:题 r=s=q=3,且 n1? ? 128 , n2? ? 117, n3? ? 55, n?1 ? 109, n?2 ? 100, n?3 ? 91由此算得检验 统计量的观测值为:

128?109 2 128?100 2 128? 91 2 ) (38 ? ) (32 ? ) 2 300 300 300 ? ? 300? [ ? ? 128?109 128?100 128? 91 117?109 2 117?100 2 117? 91 2 55?109 2 55?100 2 (28 ? ) (44 ? ) (45 ? ) (23 ? ) (18 ? ) 300 300 300 300 300 ? ? ? ? ? 117?109 117?100 117? 91 55?109 55?100 55? 91 2 (14 ? ) 300 =300 ? ? 55? 91 (58 ?
(0.0095+0.0017+0.004+0.017+0.0021+0.0085+0.0015+0.0020+0.0014)=14.31 而?
2
1??

(r ?1)(s ?1)(q ?1) ? ? 2 0.95 (8) ? 15.507 ? ? 2 ? 14.31 ,所以接受 H 0 ,与年龄有关。

9.设 T~t(n),试证: T ~F(1,n). 证明:由 t 分布的定义可知,若 X~N(0,1),Y~ ? 2 (n) ,且 X,Y 相互独立,则

2

T?X

2 , 即 T 2 =,又因为 X 2 ~ ? 2 (1), 故 T 2 ~ X / 1Y / n ? F (1, n) ,故得证。 Y /n

24.在稳定生产的情况下,某厂生产的灯泡使用寿命 X~N 的使用时数计算得 X =1832,S=497,试求:

X ~ N (? , ? 2 ) ,现观察 20 个灯泡

(1) ? 的置信度为 95%的置信区间。 (2) ? 的置信度为 90%的置信区间。
2

解: (1)由 ? ? 5% ,则 ? 的置信度区间: ( X ? t1?? / 2 (n ? 1)

S ), n ?1

X =1832,S=497,n=20, t1?? / 2 (n ?1) ? t0.975 (19) ? 2.09
即 ? 的置信度区间为( 1832? 2.09?

497 ) , 19
间 为

(2) ?

2











(

nS 2 ? 21-?/2 ?n - 1?



nS 2 ) ? 2?/2 ?n - 1?



S 2 ? 4972 , ? 2 1?? / 2 (n ? 1) ? ? 2 0.9 5 (19) ? 30.14

? 2 ? (n ?1) ? ? 2 (19) ? 10.117
/2 0.05

20? 4972 ? 的置信度区间 ( 30.14
2

20? 4972 , ) 10.117


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