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(全程复习构想)2014年高考数学一轮复习 6.1不等关系与不等式课件 理


6.1 不等关系与不等式

考纲点击 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系. 2.了解不等式(组)的实际背景.

说基础
课前预习读教材

考点梳理 1.实数 a,b 的大小比较: a-b>0?;①________ a-b=0?②________; a-b<0?③________. 2.不等式的性质: (1)性质 1:a>b?④________(对称性). (2)性质 2:a>b,b>c?⑤________(传递性). (3)性质 3:a>b?⑥________(可加性). a+b>c?a>c-⑦________(移项法则).

(4)性质 4:a>b,c>0?⑧________. a>b,c<0?⑨________.(可乘性) (5)性质 5:a>b,c>d?⑩________(加法法则). (6)性质 6:a>b>0,c>d>0??________(乘法法则). (7)性质 7: a>b>0, n∈N 且 n≥2??______(乘方法则). (8)性质 8: a>b>0, n∈N 且 n≥2??______(开方法则).

答案:①a>b ②a=b ③a<b ④b<a ⑤a>c ⑥a +c>b+c ⑦b ⑧ac>bc ⑨ac<bc ⑩a+c>b+d ?ac >bd ?a >b
n n

? a> b

n

n

考点自测 1.x=(a+3)(a-5)与 y=(a+2)(a-4)的大小关系是( A.x>y B.x=y C.x<y D.不能确定

)

解析:∵x-y=a2+3a-5a-15-a2-2a+4a+8=-7< 0, ∴x<y. 答案:C

1 2.设 a,b 为实数,则“0<ab<1”是“b< ”的( a A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

)

1 解析:一方面,若 0<ab<1,则当 a<0 时,0>b> ,∴ a 1 1 b< 不成立;另一方面,若 b< ,则当 a<0 时,ab>1,∴0 a a <ab<1 不成立,故选 D. 答案:D

3.已知 a,b,c,d 均为实数,有下列命题: c d ①若 ab>0,bc-ad>0,则a-b>0; c d ②若 ab>0, - >0,则 bc-ad>0; a b c d ③若 bc-ad>0,a-b>0,则 ab>0. 其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3

c d bc-ad 解析:①a-b= ab >0,成立. c d bc-ad ②∵a-b= ab >0,ab>0, ∴bc-ad>0 成立. c d bc-ad ③∵bc-ad>0,a-b= ab >0, ∴ab>0 成立. 答案:D

4.给出如下四个命题: ①若 a>b,c>d,e>0,则 d-ae>c-be; ②若 a>b,c<0,d∈R,则(a-d)c<(b-d)c; ③若 a<b<0,c<d<0,则 ac<bd; e e ④若 a>b>0,c<d<0,e∈R,则 < . a-c b-d 其中真命题是__________.

解析:a>b,d∈R?a-d>b-d. 又 c<0,所以(a-d)c<(b-d)c. 答案:②

5.以下四个不等式①a<0<b;②b<a<0;③b<0<a; 1 1 ④0<b<a.其中使a<b成立的充分条件有____________.

1 1 b-a 解析:a<b? ab <0?b-a 与 ab 异号,因此①、②、④ 能使 b-a 与 ab 异号. 答案:①②④

说考点
拓展延伸串知识

疑点清源 1.在学习不等式的性质时,要特别注意下面几点 (1)不等式的性质是解、 证不等式的基础, 对任意两实数 a、 b 有 a-b>0?a>b,a-b=0?a=b,a-b<0?a<b,这是 比较两数(式)大小的理论根据,也是学习不等式的基石. (2)一定要在理解的基础上记准、记熟不等式的性质,并注 意在解题中灵活、准确地加以应用.

(3)不等式的传递性:若 a>b,b>c,则 a>c,这是放缩 法的依据,在运用传递性时,要注意不等式的方向,否则易产 生这样的错误:为证明 a>c,选择中间量 b,在证出 a>b,c >b 后,就误认为能得到 a>c. (4)同向不等式可相加,但不能相减,即由 a>b,c>d, 可以得出 a+c>b+d,但不能得 a-c>b-d.

2.理解不等式的思想和方法 (1)作差法是证明不等式的最基本也是很重要的方法, 应引 起高度注意,要注意强化. (2)加强化归意识,把比较大小问题转化为实数的运算. (3)通过复习要强化不等式“运算”的条件.如 a>b、c> d 在什么条件下才能推出 ac>bd. (4)强化函数的性质在大小比较中的重要作用, 加强知识间 的联系.

题型探究 题型一 用不等式表示不等关系 例 1 某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车,计划使 用不超过 1 000 万元的资金购买单价分别为 40 万元、90 万元 的 A 型汽车和 B 型汽车.根据需要,A 型汽车至少买 5 辆、B 型汽车至少买 6 辆,写出满足上述所有不等关系的不等式.

解析:设购买 A 型汽车和 B 型汽车分别为 x 辆、y 辆,则 ?40x+90y≤1 000, ? ?x≥5, ? ?y≥6, ?x,y∈N*, ? ?4x+9y≤100, ? ?x≥5, 即? ?y≥6, ?x,y∈N*. ?

点评:将实际的不等关系写成对应的不等式时,应注意实 际问题中关键性的文字语言与对应的数学符号之间的正确转 换,这关系到能否正确地用不等式表示出不等关系.

变式探究 1 用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板,随着铁 钉的深入,铁钉所受的阻力会越来越大,使得每次钉入木板的 1 钉子长度后一次为前一次的 k(k∈N*),已知一个铁钉受击 3 次 后全部进入木板,且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是 4 钉长的7,请从这个实例中提炼出一个不等式组.

解析:依题意得,第二次钉子没有全部入木板;第三次入 板, ?4 4 ?7+7k<1, ? 4 ∴?4 4 ?7+7k+7k2≥1, ? ?k∈N+.

题型二 比较大小 例 2 若 x<y<0, 试比较(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)(x+y)的大 小.

解析:根据题目的结构特点,可考虑用作差比较法. (x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y) =(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2] =-2xy(x-y). ∵x<y<0, ∴xy>0,x-y<0, ∴-2xy(x-y)>0, ∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).

点评:比较法的关键是第二步的变形,一般来说,变形越 彻底,越有利于下一步的判断.

变式探究 2 a-1的大小.

若 a≥1, 试比较 M= a+1- a和 N= a-

解析:M-N=( 1 = - a+1+ a a-1- = ? a+1+ a?? 故 M<N.

a+1- a)-( a- a-1) 1 a+ a-1 a+1 <0. a+ a-1?

题型三 利用不等式的性质判断命题真假 例 3 对于实数 a、b、c,判断下列命题的真假. (1)若 a>b,则 ac<bc; (2)若 a>b,则 ac2>bc2; (3)若 ac2>bc2,则 a>b; (4)若 a<b<0,则 a2>ab>b2; 1 1 (5)若 a<b<0,则a<b; b a (6)若 a<b<0,则a>b.

解析:(1)因 c 的正负或是否为零未知,无法判断 ac 与 bc 的大小,所以是假命题; (2)因 c2≥0,所以 c=0 时,有 ac2=bc2,故为假命题; (3)由 ac2>bc2,知 c≠0,c2>0,所以为真命题; ?a<b, ?a<b, ? ? 2 (4)由? ?a >ab,又? ?ab>b2,所以为真 ?a<0, ?b<0, ? ? 命题;

1 1 (5)例如:-3<-2<0,但- >- ,所以为假命题. 3 2 ?-a>-b>0 ?-a>-b>0 ? ? a b (6)因 a<b<0??1 1 ?? 1 ? > . 1 b a ?a>b ?-b>-a>0 ? ? 所以为假命题.

点评:不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论基 础,必须熟练掌握.还要注意不等式性质定理中的条件是否为 充要条件,不能用充分不必要条件的性质定理解不等式.

变式探究 3 下列各命题是否成立?如不成立,能否适当 添加条件使命题成立? (1)若 ac2>bc2,则 a>b; (2)若 a>b,则-ac>-bc; 1 1 (3)若 a>b,则a<b; (4)若 a>b,c>d,则 ac>bd.

解析:(1)∵c2≠0?c2>0, 1 ∴可以在不等式 ac >bc 两边同乘以c2, 即得 a>b,故命题成立. (2)∵-ac-(-bc)=bc-ac=c(b-a),故需添加“c<0” 这个条件才能使命题成立. 1 1 b-a (3)∵ - = , 对照条件和不等式的性质要求可知需添 a b ab 加“ab>0”这个条件才能使命题成立.
2 2

(4)∵a-b>0,c-d>0, 又 ac-bd=ac-bc+bc-bd=c(a-b)+b(c-d), ∴需添加“c>0,b>0”或“a>0 且 d≥0”或“c>0 且 b≥0”可使命题成立.对照不等式的运算性质,还可添加 “b≥0 且 d≥0”使命题成立.

题型四 利用不等式性质求范围 例 4 设 f(x)=ax2+bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求 f(-2)的 取值范围.

解析:方法一:设 f(-2)=mf(-1)+nf(1) (m,n 为待定系数),则 4a-2b=m(a-b)+n(a+b), 即 4a-2b=(m+n)a+(n-m)b, ?m+n=4, ?m=3, ? ? ? 于是得 解得? ?n-m=-2, ?n=1, ? ? ∴f(-2)=3f(-1)+f(1). 又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, ∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,故 5≤f(-2)≤10.

? 1 ?f?-1?=a-b, ?a=2[f?-1?+f?1?], ? 方法二:由? 得? ?f?1?=a+b, ? ?b=1[f?1?-f?-1?], ? 2 ∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1). 又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, ∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,故 5≤f(-2)≤10.

?1≤a-b≤2, ? 方法三:由? ?2≤a+b≤4, ?

确定的平面区域如图.

?3 1? 3 1 当 f(-2)=4a-2b 过点 A?2,2?时, 取得最小值 4× -2× 2 2 ? ?

=5; 当 f(-2)=4a-2b 过点 B(3,1)时,取得最大值 4×3-2×1 =10. ∴5≤f(-2)≤10.

点评:方法一、方法二是利用不等式的性质来求 f(-2)的 范围,注意不等式性质的应用条件及可逆性(是否可逆).方法 三是运用线性规划知识求解.

变 式 探 究 4 已 知 f(x) = kx + b(k≠0) , 1≤f(1)≤2,2≤f(2)≤3,求 f(3)的取值范围.

解析:由 f(1)=k+b,f(2)=2k+b, 得 k=f(2)-f(1),b=2f(1)-f(2), ∴f(3)=3k+b=2f(2)-f(1). 又 2≤f(2)≤3,1≤f(1)≤2, ∴2≤f(3)≤5.

归纳总结 ?方法与技巧 1.用同向不等式求差的范围. ?a<x<b, ?a<x<b, ? ? ? ?? ?a-d<x-y<b-c ?c<y<d ?-d<-y<-c ? ? 这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到.

2.放缩法:等式?不等式.如: 1 1 1 1 + +?+ =1- <1. 1×2 2×3 n?n+1? n+1 3.倒数关系在不等式中的作用. ?ab>0, ? ? 1 1 ?ab>0, 1 1 ? ? ?a<b; ?a>b. ?a>b ?a<b ? ? 4.作差法:判定不等式关系的基本方法. a>b?a-b>0,a<b?a-b<0.

?失误与防范 1.a>b?ac>bc 或 a<b?ac<bc,当 c≤0 时不成立. 1 1 1 1 2.a>b?a<b或 a<b?a>b,当 ab≤0 时不成立. 3.a>b?an>bn 对于正数 a、b 才成立. a 4.b>1?a>b,对于正数 a、b 才成立. 5.注意不等式性质中“?”与“?”区别,如:a>b,b ?a>b, ? >c?a>c,其中 a>c 不能推出? ?b>c. ?

(

新题速递 1.(2013· 济南模拟)若 a>b>0,则下列不等式不成立的是 ) 1 1 A.a+b<2 ab B.a2>b2 C.lna>lnb D.0.3a<0.3b

解析:由不等式的性质知 a+b>2 ab,故不成立的不等 式为 A. 答案:A

2.(2013· 临沂调研)已知 0<a<b,且 a+b=1,则下列不 等式中,正确的是( ) 1 a-b A.log2a>0 B.2 <2 a b ? 1 b a C.2 <2 D.log2a+log2b<-2
?a+b? ?2 解析: ∵log2a+log2b=log2(ab)≤log2? “=” ? 2 ? =-2, ? ?

仅当 a=b 时成立,又 0<a<b,∴log2a+log2b<-2.故选 D. 答案:D

3. (2013· 成都月考)设 x>0, P=2x+2-x, Q=(sinx+cosx)2, 则( ) A.P≥Q B.P≤Q C.P>Q D.P<Q

解析:P=2x+2 x≥2 2x· x=2(当且仅当 x=0 时等号成 2 立), x>0, P>2.Q=(sinx+cosx)2=1+sin2x, sin2x≤1, 而 故 而 ∴Q≤2,∴P>Q,故选 C. 答案:C





4.(2012· 湖南卷)设 a>b>1,c<0,给出下列三个结论: c c ①a>b;②ac<bc;③logb(a-c)>loga(b-c). 其中所有的正确结论的序号是( ) A.① B.①② C.②③ D.①②③

1 1 c c 解析:因为 a>b>1,所以a<b,又因为 c<0,所以a>b;因 为 y=xα(α<0)在(0,+∞)上是减函数,所以 ac<bc;因为 c<0, 所以 a-c>b-c,因为 a>b>1,所以 logba>1,所以 loga(b-c) logb?b-c? = log a <logb(b-c)<logb(a-c),故选 D. b 答案:D

5.(2012· 四川卷)设 a,b 为正实数.现有下列命题: 1 1 2 2 ①若 a -b =1,则 a-b<1;②若b-a=1,则 a-b<1; ③若| a- b|=1,则|a-b|<1;④若|a3 -b3|=1,则|a-b|<1. 其中的真命题有__________.(写出所有真命题的编号)

解析:①,因为 a2-b2=(a-b)(a+b)=1,又由 a,b 为正 实数知 a+b>a-b, 则必须 a+b>1, a-b<1, 所以①是真命题; 1 1 3 9 ②,由b-a=1,取 a=3,b=4,则 a-b=4>1,所以②是假 命题;③,由| a- b|=1,取 a=9,b=4,则|a-b|=5>1, 所以③是假命题;④,由|a3 -b3|=1,得|(a-b)(a2 +ab+b2)| =1,且 a,b 中必有一个大于 1,则 a2+ab+b2>1,于是|a- 1 b|= 2 2<1,所以④是真命题.综上可知,①④是真命 a +ab+b 题. 答案:①④


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