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广西桂林市第十八中学2016届高三第一次月考数学(理)试题


桂林市第十八中学 2013 级高三第一次月考 数学(理) 第I卷
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.若集合 M ? {x | ? x ? 4?? x ? 1? ? 0} , N ? {x | ? x ? 4?? x ? 1? ? 0} ,则 M ? N ? ( A.{1,4} 2.已知复数 1

? i ? A. ?1 ? 3i B.{-1,-4} C.{0} D.φ )

2 ? 4i ( i 为虚数单位),则 z 等于( ) z B. ?1 ? 2i C. 1 ? 3i

D. 1 ? 2i

3.设 A,B 是两个集合,则 " A ? B ? A " 是 " A ? B " 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.在等差数列 {an } 中,已知 a3 ? a8 ? 10 ,则 3a5 ? a7 =( A.10 B.18 C.20
x

) D.28 )

5.设 a ? sin ? 2015? ? A.

? ?

1 4

? 1? ? a , x?0 ? ? ,函数 f ? x ? ? ? f ? x , x ? 0 ,则 f ? log 2 ? ? ( 6? 6? ? ? ? ? ? 1 B.4 C. D.6 6

??

6.三棱锥 S-ABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示,则棱 SB 的长为(

)

D 4 A B
A. 2 11 B. 4 2

C

2 正视图
C. 38

2

2 3 侧视图
D. 16 3 )

2 2 7.直线 x ? y ? 2 ? 0 与圆 ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 相交于 A,B 两点,则弦|AB|=(

A.

2 2

B.

3 2

C. 3

D. 2

8.给出一个如图所示的流程图,若要使输入的 x 值与输出的 y 值相等, 则这样的 x 值的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 9. 点 A,B,C,D 均 在 同 一 球 面 上 , 且 AB,AC,AD 两 两 垂 直 , 且 AB=1,AC=2,AD=3,则该球的表面积为( ) A. 7? B. 14? C.

7? 2

D.

7 14? 3

10.函数 f ? x ? ? ln ? x ?

? ?

1? ? 的图像是( x?

)

11.已知 F1 , F2 分别是椭圆的左 ,右焦点,现以 F 2 为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭 圆于点 M,N,若过 F1 的直线 MF1 是圆 F 2 的切线,则椭圆的离心率为( A. 3 ? 1 B. 2 ? 3 C. )

2 2

D.

3 2

12.定义在 (0, ( )

?
2

) 上的函数 f ? x ? , f ' ? x ? 是它的导函数,且恒有 f ' ? x ? ? f ? x ? ? tan x 成立.则

A. 3 f ( ) ? f ( ) C. 6 f ( ) ? 2 f ( )

?

?

?

6

3

B. 3 ? f ( ) ? 2 cos 1 ? f (1) D. 2 f ( ) ? f ( )

?

?

?

6

?

6

4

4

3

第 II 卷
二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.已知向量 a ? ? 2, ?7 ? , b ? ? ?2, ?4 ? ,若存在实数 ? ,使得 a ? ? b ? b ,则实数 ? 为____.

?

?

?

?

?

?

?

? x? y ?5? 0 ? 14.已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最大值是_______. ? x ?1 ? 0 ?
15.若 (1 ? 2x)
2004

? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ... ? a2004 x 2004 ( x ? R) ,



(a0 ? a1 ) ? (a0 ? a2 ) ? (a0 ? a3 ) ? ... ? (a0 ? a2004 ) ? _______.( 用 数
*

字作答) 16.数列 {an } 中, a1 ? 1 ,且对所有 n ? N ,满足 a1 ? a2 ?an ? n2 ,则 a3 ? a5 ? _____. 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 如 图 所 示 , 在 四 边 形 A D=1,CD=3, cos B ? ⑴求△ACD 的面积; ⑵若 BC ? 2 3 ,求 AB 的长.

ABCD

中 , ∠ D=2 ∠ B, 且

3 . 3

18.(本小题满分 12 分) 某班 50 位学生 2015 届中考试数学成绩的频率直方分布图 如图所示, 其中成绩分组区间是:. ⑴求图中 x 的值; ⑵从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人,这 2 人中成绩在 90 分以上(含 90 分)的人数记为 ξ ,求 ξ 的数学期望.

19.(本小题满分 12 分) 已知正方体 ABCD? A 1 B 1 C 1 D 1的棱长为 2, O 是 AC 的中点 ,E 是线段 D 1O 上一点 , 且

???? ? ??? ? D1 E ? ? EO . ⑴求证: D1O ⊥ AC;

⑵若平面 CDE⊥平面 CD1O ,求 ? 的值,并求二面角 E-CD-A 的余弦值.

20.(本小题满分 12 分)

如图,已知点 A 1, 2 是离心率为

?

?

2 y 2 x2 的椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )上的一点,斜率 2 a b

为 2 的直线 BD 交椭圆 C 于 B,D 两点,且 A,B,D 三点互不重合. ⑴求椭圆 C 的方程; ⑵求证:直线 AB,AD 的斜率之和为定值.

21.(本小题满分 12 分) ⑴若函数 题号 答案 13

设函数 f ? x ? ? x2 ? a ln ? x ? 1? ( a 为常数).

y ? f ? x?
14 9

在区间 16

6 5

15 (理)2004

24 (文) ? 25

61 16

解析:
2 2 16.由 a1a2 ?an ? n ,得 a1 a2 ? an ?1 ? ? n ? 1? ,两式相除得 an ?

n2

? n ? 1?

2

.

三.解答题 17.解:⑴因为∠D=2∠B, cos B ?

1 3 2 ,所以 cos D ? cos 2 B ? 2 cos B ? 1 ? ? . 3 3 1 2 2 因为 ?D ? ? 0, ? ? ,所以 sin D ? ,所以△ACD 的面积 S ? ? AD ? CD ? sin D ? 2 . 2 3 2 2 2 ⑵在△ACD 中, AC ? AD ? DC ? 2 ? AD ? DC ? cos D ? 12 ,所以 AC ? 2 3 .
因为 BC ? 2 3 ,

AC AB 2 3 AB ? ,所以 ,得 AB=4. ? sin B sin ?ACB sin B sin ?? ? 2B ?

18.解:⑴由 30×0.006+10×0.01+10×0.054+10x=1,得 x=0.018. (理)⑵由题意知道:不低于 80 分的学生有 12 人,90 分以上的学生有 3 人随机变量 ξ 的可能 取值有 0,1,2;
1 1 C92 C9 C3 C32 6 9 1 ; ; , P ?? ? 0 ? ? 2 ? P ?? ? 1? ? 2 ? P ?? ? 2 ? ? 2 ? 22 C12 11 C12 C12 22 6 9 1 1 ? 2? ? . ∴ E? ? 0 ? ? 1 ? 11 22 22 2

ξ

0

1

2

P

6 11

9 22

1 22

(文)由题意知道成绩在[50,60)的学生有 3 个,分别设为 A1 , A2 , A3 ;成绩在[60,70)的学生有 5 个,分别设为 B1 , B2 , B3 , B4 , B5 .随机选取两人有 A1 A2 , A1 A3 , A2 A3 ,

B1 B2 , B1 B3 , B1 B4 , B1 B5 , B2 B3 , B2 B4 , B2 B5 , B3 B4 , B3 B5 , B4 B5 , A1 B1 , A1 B2 , A1 B3 , A1 B4 , A1 B5 A2 B1 , A2 B2 , A2 B3 , A2 B4 , A2 B5 , , A3 B1 , A3 B2 , A3 B3 , A3 B4 , A3 B5 28 种情况. 2 人成绩都在[60,70)的有 B1 B2 , B1 B3 , B1 B4 , B1 B5 , B2 B3 , B2 B4 , B2 B5 , B3 B4 , B3 B5 , B4 B5 10
种情况. 故概率为

10 5 ? . 28 14

19.解:⑴∵ AC ? DO , AC ? DD1 ,∴ AC ⊥面 D1OD . ∵ D1O ? 面 D1OD ,∴ AC ⊥ D1O . (理)⑵∵AC⊥平面 D1OD ,∴AC⊥DE,要使平面 CDE⊥平面 CD1O ,只需 DE⊥平面 CD1O ,即 需 DE⊥ D1O , ( ∵ DE ⊥ AC, ∴ DE ⊥ 平 面 C D 1 O, 由 D 1 D ? 2 , 则 DO ? 中, OD1 ? ∴ DE ? 以

2 , ∴ 在 Rt △ D1 DO

6,

D(0,0,0),C(0,2,0),O(1,1,0), D1 ? 0,0, 2? .

DE 2 3 2 6 6 ,∴ D1 E ? ,∴ EO ? ,∴ 1 ? 2 ,∴ ? ? 2 . EO 3 3 3 DA,DC, DD1 分 别 为 x,y,z 轴 建 立 直 角 坐 标 系 , 则

?? ???? ?? ? ?0 ?m ? D E ?2 2 2? ,得 E ? , , ? , 设 平 面 EDC 的 法 向 量 为 m ? ? x, y, z ? , 则 有 ? ?? ???? ?3 3 3? m ? D C ? 0 ? ? 2 2 ?2 ? x? y? z ?0 , 3 3 ?3 ? ?0 ? x ? 2 y ? 0 ? z ? 0 ?? ? ?x ? ?z 得? ,令 z ? 1 ,得 m ? ? ?1,0,1? .又平面 CDA 的法向量为 n ? ? 0,0,1? ,设 E-CD-A 的平 ? y?0 面角为 ? , ?? ? m?n 1 2 故 cos ? ? ?? . ? ? ? | m|?| n| 2 ?1 2
( 文 ) 由 D1 D ? 2 , 则 DO ?

2 , ∴ 在 Rt △ D1 DO 中 , OD1 ? 6 , ∴ DE ?

2 3 ,∴ 3

D1 E ?

2 6 , 3 DE 6 ∴ EO ? ,∴ 1 ? 2 ,∴ ? ? 2 . EO 3 1 1 2 1 VC ? DEO ? VE ? DOC ? ? S ?DOC ? h ,易知 S ?DOC ? S ABCD ? 1 , h ? DD1 ? , 4 3 3 3

故 VC ? DEO ? VE ? DOC ?

1 2 ? S?DOC ? h ? . 3 9

21.解:(理)⑴即 f ' ? x ? ?
2

2 x2 ? 2x ? a ? 0 在[1,+∞)上恒成立, x ?1

即 a ? ?2 x ? 2 x 在区间[1,+∞)上恒成立.
2 ∵ ?2 x ? 2 x 在区间[1,+∞)上的最大值为﹣4,∴ a ? ?4 .

( 文 ) ⑴当 a ? ?4 时 , f ' ? x ? ? 调递增.

2 x 2 ? 2 x ? 4 ? x ? 2 ?? x ? 1? ? ? 0 , x ? [1, ??) , ∴ f ? x ? 单 x ?1 x ?1

2 x2 ? 2x ? a ? 0 在区间(﹣1,+∞)上有两个不相等的实数根, x ?1 2 即方程 2 x ? 2 x ? a ? 0 在区间(﹣1,+∞)上有两个不相等的实数根. ? ? 1? 1 ?g ? ? ? ? 0 2 记 g ? x ? ? 2x ? 2x ? a ,则有 ? ? 2 ? ,解得 0 ? a ? . 2 ? g ? ?1? ? 0 ?
⑵ f '? x? ? ∴ x1 ? x2 ? ?1 , x1 x2 ? ∴

f ? x2 ? x2

?

a 1 1 1 ? 2a , x2 ? ? ? , ? ? x2 ? 0 . 2 2 2 2 2 2 x2 ? ? 2 x2 ? 2 x2 ? ln ? x2 ? 1?

令 G ? x? ?

x2 ? ? 2 x2 ? 2 x ? ln ? x ? 1?

?1 ? x2

.

?1 ? x x2 G ' ? x ? ? 2 ln ? x ? 1? ? 2 ?1 ? x ?

, x???

,(

1 ? 1 ? , 0 ? ,只须证 0 ? G ? x ? ? ? ? ln 2 . 2 ? 2 ? ? 1? 观 察 , 猜 G?? ? G ? 0? ? 2?



G '?

? ?x

2 ?

x2 l?? xn ?2 ?1 ? x ? x2

1)

?

0 x2 ?0

令 g ? x ? ? 2 ln ? x ? 1? ?

?1 ? x ?

2

,下证 g ? x ? ? 2 ln ? x ? 1? ?

?1 ? x ?

2

g '? x? ?

2x2 ? 6 x ? 2

?1 ? x ?

2

,令 g ' ? x ? ? 0 ,得 x1 ?

?3 ? 5 ?3 ? 5 , x2 ? .列表得: 2 2

x
g ' ? x? g ? x?

? 1 ? ? ? , x2 ? ? 2 ?


x2
0 极小

? x2 ,0?
+ ↑

? 1? ? 1 ? g ? 0? ? 0 , g ? ? ? ? 1 ? 2ln 2 ? 0 ,所以 g ? x ? ? 0 ,所以 G ' ? x ? ? 0 ,所以 G ? x ? 在 ? ? , 0 ? ? 2 ? ? 2? 1 ? 1? 上 单 调 递 减 , 所 以 G ? 0? ? G x ?? G ? , 故 0 ? G ? x ? ? ? ? ln 2 , 故 ? ?? 2 ? 2?

0?

f ? x2 ? x2

1 ? ? ? ln 2 . 2

20.解:⑴由题意,可得 e ?

2 1 c 2 2 2 2 ,代入 A 1, 2 得 2 ? 2 ? 1 ,又 a ? b ? c , ? a b a 2 2 2 y x ? ? 1. 解得 a ? 2 , b ? c ? 2 ,所以椭圆 C 的方程 4 2 ⑵ 证 明 : 设 直 线 BD 的 方 程 为 y ? 2x ? m , 又 A,B,D 三 点 不 重 合 , ∴ m ? 0 , 设

?

?

D ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,
则由 ?

? ? y ? 2x ? m 2 2 2 得 4 x ? 2 2mx ? m ? 4 ? 0 ,所以 ? ? ?8m ? 64 ? 0 , 2 2 ? ?2 x ? y ? 4

∴所以 ?2 2 ? m ? 2 2 . x1 ? x2 ? ?

2 m2 ? 4 ,设直线 AB,AD 的斜率分别为 m , x1 x2 ? 4 2

k AB , k AD ,


k AD ? k AB ?
;

y1 ? 2 y2 ? 2 ? ? x1 ? 1 x2 ? 1

?

2 x1 ? m ? 2

?? x

2

? 1? ?

?

2 x2 ? m ? 2

x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1

? ? x ? 1? ? 0
1

所以 k AD ? k AB ? 0 ,即直线 AB,AD 的斜率之和为定值. 22. ⑴ 由

? ? 2 ? c o?? s
2 2

s n ? 2 ? 2? ? cos? ? sin ? ? , 得 直 角 坐 标 方 程 为 ??i得

x2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ,
即 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 ; ⑵将 ? 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程,化简得 t 2 ? t ? 1 ? 0 ,点 E 对应的参数 t ? 0 , 设 点 A,B 对 应 的 参 数 分 别 为 t1 , t2 , 则 t1 ? t2 ? 1 , t1t2 ? ?1 , 所 以

| E A? |

|E ? B 1|

|t ? 2|

? t| 1

|? t | 2?

? t

?1 |
2

? t 2

t?, 1

2

4t ? t

5

23.解:⑴解不等式: | x ? 1| ? | x ? 1| ? 4 , ?

得 1 ? x ? 2 或 ?1 ? x ? 1 或 ?2 ? x ? ?1 ,得 ?2 ? x ? 2 ,即 M ? ? ?2, 2? .
2 2 2 2 ⑵需证明: 4 a ? 2ab ? b ? a b ? 8ab ? 16 ,

? x ? 1 ??1 ? x ? 1 ? x ? ?1 或? 或? , ?2 x ? 4 ? 2 ? 4 ??2 x ? 4

?

?

只需证明 a b ? 4a ? 4b ? 16 ? 0 ,
2 2 2 2
2 2 即需证明 a ? 4 b ? 4 ? 0 . 2 2 2 证明: a, b ? ? ?2,2? ,故 a ? 4 , b ? 4 ,所以 a ? 4 b ? 4 ? 0 ,所以原不等式成立.

?

??

?

2

?

??

?


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