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等差数列优秀课件最终版


一 教学目标
?本节课学习的主要内容有:
?等差数列的定义和等差中项

?等差数列的通项公式
?等差数列的性质

?本节课的能力要求是:

(1)理解等差数列的概念;

(2)掌握等差数列的通项公式;
(3) 能用函数的观点来理解等差数列的通项公式.

>
研究发现我国儿童年 龄在2-12周岁之间, 其标准的身高、体重 大致成规律性变化:
相差7
年龄 2 3 4 5 6 … 11 12

身高 84 91 98 105 112 … 147 154 (cm) 体重 12 14 16 18 20 … 30 32 (kg)

相差2

你能预测12岁儿童 的身高和体重吗?

(1)84,91,98,105,112,…,147,154. (2)12,14,16,18,20,…,30,32

1896年,雅典举 行第一届现代奥 运会,到2008年 的北京奥运会已 经是第29届奥运 会。

相差4

(3)1896,1900,1904,…,2008,2012,( 2016 )

你能预测出第31届 奥运会的时间吗?

为迎接世界田径 锦标赛,刘翔的 教练为他安排了 为期一周的赛前 热身,逐渐加大 慢跑路程
相差3
星期

一 4

二 7

三 10

四 13




19

日 22

路程(km)

16

(4) 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22.

(1) (2) 12,14,16,18,20,…,30,32d=4 (3) 1996,2000,2004,2008,2012,d=3 2016 (4) 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22. 定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的 前一项 的差都等于 同一个常数,那么这个数列 请问: 它们有什么共同特点? 共同特点:从第2项起,每一项 就叫做等差数列. 与它的前一项的差等于同一个 这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用 d 常数。 表示.

d=7 d=2 84,91,98,105,112,…,147, 154.

即an ? an?1 ? d (n ? 2) 或an?1 ? an ? d (n ? 1)

判断下列各组数列中哪些是等差数列,哪些不是?如果是, 写出首项a1和公差d, 如果不是,说明理由。

(1)1,3,5,7,… (2)9,6,3,0,-3… (4)3,3,3,3,…

是 是

a1=1,d=2

a1=9,d=-3 a1=-8,d=2 (3)-8,-6,-4,-2,0,… 是


1 1 1 1小结:判断一个数列是不是等差数 不是 (5)1, , , , 列,主要是由定义进行判断: ,? 2 3 4 5 a, -a n+16 n是不是同一个常数? (6)15,12,10,8 , … 不是

a1=3,d=0

在如下的两个数之间,插入一个什么数后这三个数就会成为 一个等差数列: (1)2 ,( 3 ) , 4 (3)a , ( a?b ) , b
2

(2)-12,( -6 ) ,0

如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列, 那么A叫做a与b的 a?b A? 2

等差中项。
an ?1 an ? an ? 2 ? 2

请试着找规律填空:
1,4,7,10,13,16,(

19 22
),(

)……

思 考:在这个数 列中,a20=? 如何求解?

an ??

an , 如果一个数列 a1 , a 2 , a3 , …, 是等差数列,它的公差是d,那么 an ? ?



通项公式: an ? a1 ? (n ?1)d .

试一试

an ? a1 ? (n ?1)d

例1 (1) 求等差数列8,5,2,…,的第20项。
解: ? a1

? 8 , d ? 5 ? 8 ? ?3, n ? 20 ,

? a20 ? 8 ? (20 ?1) ? (?3) ? ?49
(2)-401是不是等差数列-5,-9,-13…的项?如果 是,是第几项?
解: ?a
1

? ?5, d ? ?9 ? (?5) ? ?4, an ? ?401 ,
?5 ? (n ? 1) ? (?4)

? 401? 因此,
解得

n ? 100

练一练
在等差数列中,已知a5=10,a12=31, 求首项a1与公差d. an ? a1 ? (n ?1)d 解:由题意可知
a1 ? 4 d ?10 a1 ?11d ? 31

?

a1 ? ? 2 解得: d ?3

?

即这个等差数列的首项是-2,公差是3. 说明:由此可以看到:已知等差数列的两项就 可以确定这个数列.

用一下
例2.某出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为 10元,即最初的4km(不含4千米)计费10元。如果 某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地,且 一路畅通,等候时间为0,需要支付多少车费?

练一练
在等差数列中

(1)已知a4 ? 10, a7 ? 19, 求a1与d .
a1 ? 1, d ? 3
(2)已知a3 ? 9, a9 ? 3,求a12

a1 ? 11, d ? ?1

? a12 ? 0

例3、已知数列的通项公式为 an ? pn ? q ,其中p,q是常数,那么这种数列是 否一定是等差数列?如果是,其首项 与公差是什么? 探究:在坐标系中画出下列数列的图像 (1)数列:-2,0,2,4,6,8,10,… (2)数列:7,4,1,-2,… (3)数列:4,4,4,4,4,4,4,…

等差数列的图象1
10 9 8 7 6 5 4
3 2 1 0 1
● ● ● ●



(1)数列:-2,0,2,4,6,8,10,…




an ? f (n)

2

3

4

5

6

7

8

9

10

等差数列的图象 2 10
9 8 (2)数列:7,4,1,-2,…


7 6 5 4
3 2 1 0 1





2

3

4


5

6

7

8

9

10

等差数列的图象 3 10
9 8 (3)数列:4,4,4,4,4,4,4,…

7 6 5 4
3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

通项公式: an ? a1 ? (n ?1)d .
从函数的角度来看等差数列通项公式:

an ? a1 ? (n ? 1)d ? d ? n ? a1 ? d
*

an ? d ? n ? a1 ? d (n ? N ) 是关于 n 的一次式 ,
所以等差数列通项公式也可以表示为:

b ? a1 ? d ) an ? kn ? b ( k ? d ,
{an } 是等差数列 ? an ? kn ? b (k , b 是常数)

二、新课内容归纳

?定义 — 如果一个数列从第2项起,每一项与 ? 它前一项的差 等于同一个常数 . . . . . . ? ? ㈠等差数列 ?公差 — d =an+1-an ?通项 — an=a1+(n-1)d ? ? ?几何意义 — 等差数列各项对应的点都
在同一条直线上.

【说明】①数列{ an }为等差数列? an+1-an=d 或an+1=an+d ;
②公差是 唯一 的常数;

③推导等差数列通项公式的方法叫做 递推 法.

等差数列的通项公式为:

an ? d ? n ? (a1 ? d )

an ? pn ? q
直线的一般形式:

y ? kx ? b

等差数列的图象为相应直线上的点。


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