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20140518高一数学联赛答案


2014 年全国高中数学联合竞赛初赛
新疆赛区高一年级试卷答案 题号 得分 评卷人 复核人 一 9 10 二 11 12 合计

1

填空题

(本 大 题共 8 小题, 每小题 9 分 , 共 72 分)

1. 已知直线 y = 4 ? x 与函数 f (x) = ex 和 g (x)

= ln x 的图像分别交于 点 P (x1 , y2 ) 和 Q(x2 , y2 ), 则 x1 + x2 = a a a a a a a a a a a. 答 案 : 4. 解 1: 依题意得: 由 (2) 得: x2 = e4?x2 · · · (3) (1) 与 (3) 合并得到: x1 + ex1 = (4 ? x2 ) + e4?x2 由于 H (x) = x + ex 是严格单调增函数, 所以 x1 = 4 ? x2 , 即 x1 + x2 = 4. 解 2: 曲线 y = ex 与曲线 y = ln x 关于直线 y = x 对称. { { y =4?x x =2 因为由 解得 y =x y = 2, 所以由对称性得 x1 + x2 = 2x = 4. b 2. 已知一次函数 y = ? x + b (a > 0, b > 0) 经过点 (1, 1), 则 ab 的最小值为 a a a a a a a a a a a a. 答 案 : 4. {

ex1 = 4 ? x1

· · · · · · · · · (1)

ln x2 = 4 ? x2 · · · · · · · · · (2)

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b 解: 依题意知 1 = ? + b, 即 b(a ? 1) = a (注意到由 a > 0, b > 0 得 a > 1), a a 所以 b = . 因此 a?1 √ a 1 1 ab = a · =a+1+ ≥ 2 (a ? 1) · + 2 = 4. a?1 a?1 a?1 1 , 由此解得 a = 2, 或 a = 0. 又 a?1 因为 a > 1, 所以当且仅当 a = 2 时不等式取等号. 因此当且仅当 a = b = 2 上述不等式等号成立当且仅当 a ? 1 = 时, ab 有最小值 4. 3. 定义在实数集上的函数 f (x) = √ 答 案 : ?1. x2 cos πx 的最小值是 + 2x + 2 .

√ √ 解: 因为对任意 x ∈ R, 有 | cos πx| ≤ 1, x2 + 2x + 2 = (x + 1)2 + 1 ≥ 1, | cos πx| 所以 √ ≤ 1. 又因为 f (?1) = ?1, 所以函数 y = f (x) (x ∈ R) 的 x2 + 2x + 2 最小值为 ?1. 4. 已知对任意 a, b ∈ R, 有 f (a + b) = f (a)f (b), 且 f (1) = 2, 则 f (9) f (14) f (2015) + + ··· + =a a a a a a a a a a a. f (6) f (10) f (1953) 答 案 : 263 ? 2. 解: 在 f (a + b) = f (a)f (b) 中令 b = 1, 得 f (a + 1) = f (a)f (1) = 2f (a). 由此 可知数列 {f (n)} 是首项为 2, 公比为 2 的等比数列, 所以 f (n) = 2n . 故 f (2) f (5) f (2015) 22 25 22015 + +· · ·+ = + 3 + · · · + 1953 = 2+22 + · · · +262 = 263 ? 2. f (1) f (3) f (1953) 2 2 2 5. 已知 x1 = 211, x2 = 375, x3 = 420, x4 = 523, 且 xn = xn?1 ? xn?2 + xn?3 ? xn?4 (n ≥ 5), 则 x531 + x753 + x975 = a a a a a a a a a a a. 答 案 : 898. 解: 由已知, 当 n > 5 时, 有 xn = xn?1 ? xn?2 + xn?3 ? xn?4 = (xn?2 ? xn?3 + xn?4 ? xn?5 ) ? xn?2 + xn?3 ? xn?4 = ?xn?5 因此 xn = ?xn?5 = xn?10 = . . . = xn?10k (k 为整数). 故 x531 + x753 + x975 = x1 + x3 + x5 = x1 + x3 + (x4 ? x3 + x2 ? x1 ) = x2 + x4 = 898. f (2) f (5) + + f (1) f (3)

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6. 已知定义在 R 上的函数 f (x) 对任意实数 x, y , 恒有 f (x)+ f (y ) = f (x + y ), 且 当 x > 0 时, f (x) < 0. 若 f (1) = ?2014, 则 f (x) 在 [?3, 2015] 上的最大值 为 a a a a a a a a a a a. 答案 案: 6042. 解: 设 x1 , x2 ∈ R, 且 x1 > x2 . 因为 x1 ? x2 > 0, 所以 f (x1 ? x2 ) < 0. 故 f (x1 ) ? f (x2 ) = f [(x1 ? x2 ) + x2 ] ? f (x2 ) = f (x1 ? x2 ) + f (x2 ) ? f (x2 ) = f (x1 ? x2 ) < 0. 因此 f (x) 为减函数. 又由 f (x1 ? x2 ) = f (x1 ) + f (?x2 ) 和 f (x1 ) ? f (x2 ) = f (x1 ? x2 ) 得到 f (?x2 ) = ?f (x2 ), 故 f (x) 为奇函数. 因此
x∈[?3,2015]

max

f (x) = f (?3) = ?f (3) = ?[f (1) + f (2)] = ?3f (1) = 6042.

√ 7. 已知函数 f (x) = ?2x2 + 7x ? 3 的定义域为 P , 函数 g (x) = log2 (ax2 ? 2x +2) 的定义域为 Q; 若 P ∩ Q = ?, 则实数 a 的取值范围是 答 案 : a ≤ ?4. 1 解: 由题解得 P = {x | ≤ x ≤ 3}. 要使得 P ∩ Q = ?, 则 ax2 ? 2x + 2 ≤ 0 2 1 2 2 1 1 1 1 对 x ∈ [ , 3] 恒成立, 即 a ≤ ? 2 , ∈ [ , 2]. 令 = t (t ∈ [ , 2]), 则 2 x x x 3 x 3 a≤ 2 2 1 1 ? 2 = ?2(t2 ? t) = ?2(t ? )2 + x x 2 2
t∈[ 3 ,2]

.

h(t).

h(t) = h(2) = ?4, 所以 a ≤ ?4. 因为 t = 2 时, h(t) 最小, 且最小值为 min 1 8. 将所有三边长为连续自然数的锐角三角形按周长由小到大排列, 则前 100 个 锐角三角形中锐角最大的三角形的周长为 a a a a a a a a a a a. 答 案 : 15. 解: 设三角形的三边长分别为 n ? 1, n, n + 1 (n 为大于 1 的自然数). 因为 两边之和大于第三边, 所以 (n ? 1) + n > n + 1, 得 n ≥ 3. 设三角形中最长 边 n + 1 对应的角为 θ, 则由余弦定理可得: (n ? 1)2 + n2 ? (n + 1)2 1 3 = ? 2n(n ? 1) 2 2(n ? 1) 第3页 , 共 6 页

cos θ =

f (n)

π 显然 f (n) 是增函数, 余弦函数在区间 (0, ) 上是减函数. 因为锐角的余弦值 2 大于 0 且小于 1, 所以 0 < cos θ = f (n) < 1 解得 n ≥ 5. 所以 n 最小时所对 应的三角形中的锐角最大, 即 n = 5 时取得最大的锐角. 因此三角形三边长 分别为 4, 5, 6. 周长为 15.

2

解答题

(本 大 题共 4 小题, 第 9 题 18分 , 第 10–12 题, 各 20 分)

√ √ (a + b)2 a+b 9. 已知 a > 0, b > 0. 求证: + ≥ a b + b a (等号成立当且仅 2 4 1 当 a = b = ). 4 √ √ 证 明 : 原不等式等价于: 2(a + b)2 + a + b ≥ 4a b + 4b a. 不等式左边 = 2(a + b)2 + a + b = 2a2 + 4ab + 2b2 + a + b b a a b = (2a2 + ) + (2b2 + ) + (2ab + ) + (2ab + ) 2 √ 2 √ √ 2 √ 2 b a a b ≥ 2 2a2 · + 2 2b2 · + 2 2ab · + 2 2ab · 2 2 2 2 √ √ √ √ = 2a b + 2b a + 2a b + 2b a √ √ = 4a b + 4b a = 不等式右边 b a a b 等号成立当且仅当 2a2 = , 2b2 = , 2ab = , 2ab = 同时成立. 由此解得 2 2 2 2 1 当且仅当 a = b = 时, 等号成立. 4 π 10. 设 a, b > 0 且 a2 + b2 = 1. 已知 sin α + sin β + sin γ ≥ 3a (0 < α, β, γ < ). 2 证明: cos α + cos β + cos γ ≤ 3b, 并求不等式取等号的条件. 证 明 : 令 A = (sin α + sin β + sin γ )2 + (cos α + cos β + cos γ )2 , 则 A = (sin2 α + cos2 α) + (sin2 β + cos2 β ) + (sin2 γ + cos2 γ ) + 2(sin α sin β + cos α cos β ) + 2(sin β sin γ + cos β cos γ ) + 2(sin γ sin α + cos γ cos α) = 3 + 2 cos(α ? β ) + 2 cos(β ? γ ) + 2 cos(α ? γ ) ≤ 3 + 2 + 2 + 2 = 9 (当且仅当 α = β = γ 时不等式取等号) 所以 (cos α + cos β + cos γ )2 = A ? (sin α + sin β + sin γ )2 ≤ 9 ? 9a2 = 9b2 . 由 此得 cos α + cos β + cos γ ≤ 3b, 当且仅当 cos α = cos β = cos γ = b 时不等式 取等号.

第4页 , 共 6 页

11. 设 {an }n≥1 是由递推公式 an+1 = aan + ban?1 确定的数列, α, β 是方程 x2 ? ax ? b = 0 的两个不同实根. (i) 证明: an = c1 αn + c2 β n 是数列 {an } 的通项公式, 这里 c1 , c2 ∈ R 是与 a, b 有关的待定系数. (ii) 当 a, b, a1 , a2 都为 1 时, 具体求出数列 {an } 的通项公式. (i) 证 明: 因为 α, β 是方程 x2 ? ax ? b = 0 的不同实根, 所以 { α2 ? aα ? b = 0 β 2 ? aβ ? b = 0 { =? αn = aαn?1 + bαn?2 β n = aβ n?1 + bβ n?2

要证明 an = c1 αn + c2 β n 是数列 {an }n≥1 的通项公式, 只需验证 an 满足递推 关系 an+1 = aan + ban?1 即可. 事实上 an = c1 αn + c2 β n = c1 (aαn?1 + bαn?2 ) + c2 (aβ n?1 + bβ n?2 ) = c1 aαn?1 + c1 bαn?2 + c2 aβ n?1 + c2 bβ n?2 = a(c1 αn?1 + c2 β n?1 ) + b(c1 αn?2 + c2 β n?2 ) = aan?1 + ban?2 命题得证. (ii) 解: 由 a = b = 1 和√ (i) 知 an = c1 αn + c2 β n 为该数列的通项公式, 其 √ 1? 5 1+ 5 中α= ,β = 为方程 x2 ? x ? 1 = 0 的两个不同根. 故只需确 2 2 √ 定 c1 , c2 即可. 显然 α + β = 1, β ? α = 5. 由 a1 = a2 = 1, 得 { c1 α + c2 β = a1 = 1 · · · · · · · · · (1) c1 α2 + c2 β 2 = a2 = 1 · · · · · · · · · (2) 由 (1) × β ? (2) 得: c1 = 1 同理可得: c2 = √ . 5 1?β α 1 1 = 2 = = ?√ . 2 α ? αβ α ? αβ α?β 5

√ √ 1 1 1? 5 n 1+ 5 n ) + √ ·( ) . 因此 an = ? √ · ( 2 2 5 5 12. 在四面体 ABCD 中, 已知 ∠ADB = ∠BDC = ∠CDA = 60? , AD = BD = 3, CD = 2, 求四面体 ABCD 的外接球的半径. 解: 设 O 为四面体 ABCD 的外接球球心, 则 OA = OB = OC = OD. 因为 在 △ABD 中, ∠ADB = 60? , AD = BD. 所以 △ABD 为等边三角形. 设 N 为 △ABD 的中心, P 为 AB 的中点, M 为 CD 的中点. 因为 OC = OD, 所 以 OM ⊥ CD. 第5页 , 共 6 页

图 1: 四面体 ABCD 我们先证明 CD 在平面 ADB 上的投影为 DP . 过点 C 作直线 CG ⊥ DP , 交 DP 于 G. 过点 G 作直线 EF 平行于 AB 交 AD 于 E , DB 于 F . 因 为 △ABD 为等边三角形. 所以 DE = DF . 在 △CDE 与 △CDF 中:

CD = CD ∠CDF = ∠CDE = 60? DE = DF

? ? ? ? ? ? ?

=? △CDE ? = △CDF (SAS )

因此 CE = CF . 又因为 EG = F G, 所以 CG ⊥ EF . 故 CG ⊥ EF CG ⊥ DP ? ? ? ? ? ? ? ?

? EF, DP 在平面 ABD 上? ? ? ? ? ? DP ∩ EF = G 因此 CD 在平面 ADB 上的投影为 DP .

=? CG ⊥ 平面 ABD

3 故 cos ∠CDN · cos ∠P DA = cos ∠CDA =? cos ∠CDN = . 3 √ √ 1 2 2 3 在 △DM N 中, DM = CD = 1, DN = DP = · 32 ? ( )2 = 3. 由余 2 3 3 2 弦定理得 M N 2 = DM 2 + DN 2 ? 2DM · DN cos ∠M DN = 2. 所以 M N =
2





2. 因为在 △DM N 中, DM = 1, DN =
2



3, M N =



2, 所

以 DM + M N = DN , 故 M N ⊥ CD. 又因为 OM ⊥ CD, OM 与 M N 共 √ 面, 所以点 M 与点 O 重合. 因此外接球的半径为 OD = N D = 3.
2

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