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第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布(理)第八节 n次独立重复试验与二项分布(理)


第十章 计数原理、概率、随机变量及其分 布(理)
第十章 概 率(文)

第八节

n次独立重复试验与二项分布 (理)

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第十章 概 率(文)



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第十章 概 率(文)

一、条件概率及其性质

1.定义

P?AB? P?A? 为在 设A,B为两个事件,且P(A)>0,称P(B|A)=_______

事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率. 2.性质 (1)条件概率具有一般概率的性质,即0≤P(B|A)≤1;

(2) 如 果 B , C 是 两 个 互 斥 事 件 , 则 P(B∪C|A) =
_______________ P(B|A)+P(C|A) .

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第十章 概 率(文)

二、相互独立事件 1.定义 P(A)P(B) ,则称事件 设A,B为两个事件,如果P(AB)=__________ A与事件B相互独立. 2.性质

B, __ 如果事件A与B相互独立,那么__ B , __ A 和__ A与__ A 与__ B
也都相互独立.

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第十章 概 率(文)

三、独立重复试验与二项分布
独立重复试验 在相同条件下重复 定义 做的n次试验称为n 次独立重复试验 二项分布 在n次独立重复试验中,用X表示事 件A发生的次数,设每次试验中事件 A发生的概率是p,此时称随机变量 X~B(n,p), X服从二项分布,记作__________ 成功的概率 . 并称p为___________

Ai(i=1,2,?,n)表 在n次独立重复试验中,事件A恰好 计算 示第i次试验结果, 发生k次的概率为P(X=k)=Cpk(1- 公式 则P(A1A2A3?An)= p)n-k,(k=0,1,2,?,n) P(A1)P(A2)?P(An)

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第十章 概 率(文)

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)“互斥”与“相互独立”都是描述的两个事件间的关
系.( ) (2)“互斥”强调不可能同时发生,“相互独立”强调一个 事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响;因此“互 斥”和“独立”是不相同的.( 概率.( ) ) )

(3)P(B|A)的含义是表示在事件A发生的条件下事件B发生的
(4)对任意两个事件A,B,都有P(AB)=P(A)P(B).(

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第十章 概 率(文)

[答案及提示]

(1)√ (2)√ (3)√
(4)× 立. 只有当 A , B 相互独立时, P(AB) = P(A)P(B) 才成

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第十章 概 率(文)

2.同时掷4个骰子,恰好有2个出现一点的概率为(
25 A.216 5 C.324
解析: 选A
? 1? B?4,6?,所以 ? ? ? ? ?6?

)

25 B.72 25 D.108
设同时掷 4 个骰子出现一点的个数为 X, X~
? ? ?

12 12 2 P(X=2)=C4×? ? ×?1- ? = 6?

25 216.故选 A.

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第十章 概 率(文)

3.两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分 2 3 别为3和4,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零 件中恰有一个一等品的概率为( 1 A.2 1 C.4 ) 5 B.12 1 D.6

解析:选 B 记两个零件中恰有一个一等品的事件为 A, 2 1 1 3 5 则 P(A)=3×4+3×4=12.故选 B.

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第十章 概 率(文)

4.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A=“取到的2个

数之和为偶数”,事件 B =“取到的 2 个数均为偶数”,则
P(B|A)=________.
2 C2 1 2 C2 1 3+C2 2 解析:4 P(A)= C2 =5,P(AB)=C2=10, 5 5

P?AB? 1 5 1 由条件概率计算公式,得 P(B|A)= = × = . P?A? 10 2 4

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第十章 概 率(文)

5.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同,且在两次 16 罚球中至多命中一次的概率为25,则该队员每次罚球的命中率 为________. 3 16 2 解析:5 设该队员每次罚球的命中率为 p,则 1-p =25, 3 解得 p=5.

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第十章 概 率(文)

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第十章 概 率(文)

条件概率、相互独立事件的概率 (☆☆☆)

1.(2014·新课标Ⅱ)某地区空气质量监测资料表明,一天 的空气质量为优良的概率是 0.75 ,连续两天为优良的概率是 0.6 ,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为

优良的概率是(
A.0.8 C.0.6

)
B.0.75 D.0.45

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第十章 概 率(文)

解析:选 A

已知连续两天为优良的概率是 0.6,那么在前

一天空气质量为优良的前提下,要求随后一天的空气质量为优 0.6 良的概率,可根据条件概率公式,得 P=0.75=0.8.故选 A.

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第十章 概 率(文)

2.某工厂生产了一批产品共有20件,其中5件是次品,其 余都是合格品,现不放回地从中依次抽取2件.求: (1)第一次抽到次品的概率;

(2)第一次和第二次都抽到次品的概率;
(3)在第一次抽到次品的条件下,第二次抽到次品的概率.

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第十章 概 率(文)

解:设“第一次抽到次品”为事件 A,“第二次抽到次品”为 事件 B,事件 A 和事件 B 相互独立. 依题意得: 5 1 (1)第一次抽到次品的概率为 P(A)=20=4. 5 4 1 (2)第一次和第二次都抽到次品的概率为 P(AB)= × = . 20 19 19

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第十章 概 率(文)

(3)方法一:在第一次抽到次品的条件下,第二次抽到 P?AB? 1 1 4 次品的概率为 P(B|A)= = ÷= . P?A? 19 4 19 方法二:第一次抽到次品后,还剩余产品 19 件,其中次品 4 4 件,故第二次抽到次品的概率为 P(B)=19.

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第十章 概 率(文)

条件概率的求法
P?AB? (1)利用定义, 分别求 P(A)和 P(AB), 得 P(B|A)= .注意: P?A? 事件 A 与事件 B 有时是相互独立事件,有时不是相互独立事件, 要弄清 P(AB)的求法. (2)当基本事件适合有限性和等可能性时,可借助古典概型 概率公式,先求事件 A 包含的基本事件数 n(A),再在事件 A 发 生的条件下求事件 B 包含的基本事件数,即 n(AB),得 P(B|A)= n?AB? . n?A?

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第十章 概 率(文)

相互独立事件的概率 (☆☆☆☆☆)

[典例 1] (2015· 吉林模拟)甲、 乙、 丙 3 位大学生同时应聘某 2 3 1 个用人单位的职位,3 人能被选中的概率分别为5,4,3,且各 自能否被选中互不影响. (1)求 3 人同时被选中的概率; (2)3 人中有几人被选中的情况最易出现?

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第十章 概 率(文)

解:记甲、乙、丙能被选中的事件分别为 A,B,C,则 P(A) 2 3 1 =5,P(B)=4,P(C)=3. (1)3 人同时被选中的概率 2 3 1 1 P1=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=5×4×3=10. (2)3 人中有 2 人被选中的概率
? 1? 3? 2 3 ? ? ? 2 ? ? 1 P2=P(AB C ∪A B C∪ A BC)= × ×?1- ?+ ×?1- ?× + 5 4 ? 3? 5 ? 4? 3 ? 2? ? ? 3 1 23 ?1-5?×4×3=60. ? ?

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第十章 概 率(文)

3 人中只有 1 人被选中的概率 P3=P(AB]C]∪ A B C ∪A]B]C) 2 ? 3? ? 1? ? 2? 3 ? 1? ? 2? ? 3? = 5 × ?1-4? × ?1-3? + ?1-5? × 4 × ?1-3? + ?1-5? × ?1-4? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 5 ×3=12. 3 人均未被选中的概率为 P4=P( A B
? 2? ? 3? ? 1? 1 C )=?1-5?×?1-4?×?1-3?=10. ? ? ? ? ? ?

由于 P3>P2>P1=P4,即 P3 最大. 综上可知,3 人中只有 1 人被选中的情况最易出现.

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第十章 概 率(文)

相互独立事件概率的求法 (1)首先要搞清事件间的关系 (是互斥事件、是相互独立事 件、还是对立事件),正确区分“互斥事件”与“对立事

件 ” . 只 有 当 事 件 A 和 事 件 B 相 互 独 立 时 , 才 有 P(AB) =
P(A)P(B). (2)A,B中至少有一个发生:A∪B. ①若A,B互斥:P(A∪B)=P(A)+P(B),否则不成立. ②若A,B相互独立(不互斥),则概率的求法:

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第十章 概 率(文)

方法一:P(A∪B)=P(AB)+P(A B )+P( A B); 方法二:P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) =1-P( A )P( B ). (3)某些事件若含有较多的互斥事件,求概率时可考虑其对 立事件的概率,这样可减少运算量,提高准确率.要注意“至 多”“至少”等题型的转化.

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第十章 概 率(文)

1.如图,由M到N的电路中有4 个元件,分别标为T1,T2,T3, T4,电流能通过T1,T2,T3的概率 都是p,电流能通过T4的概率是0.9.电流能否通过各元件相互独

立.已知T1,T2,T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.
(1)求p; (2)求电流能在M与N之间通过的概率.

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第十章 概 率(文)

解:记 Ai 表示事件:电流能通过 Ti,i=1,2,3,4,A 表示事 件:T1,T2,T3 中至少有一个能通过电流, B 表示事件:电流能在 M 与 N 之间通过.(1) A = A 1 A 3,A1,A2,A3 相互独立, P( A )=P( A 1 A 2 A 3) =P( A 1)P( A 2)P( A 3)=(1-p)3, 又 P( A )=1-P(A)=1-0.999=0.001, 故(1-p)3=0.001,p=0.9. A2

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第十章 概 率(文)

(2)B=A4∪ A 4A1A3∪ A 4 A 1A2A3, P(B)=P(A4∪ A 4A1A3∪ A 4 A 1A2A3) =P(A4)+P( A 4A1A3)+P( A 4 A 1A2A3)

=P(A4)+P( A 4)P(A1)P(A3)+P( A 4)P( A 1)P(A2)P(A3) =0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9 =0.989 1.

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第十章 概 率(文)

独立重复试验与二项分布 (☆☆☆☆)

[典例 2] (2015· 太原模拟)甲、乙两人各射击一次,击中目标 2 3 的概率分别是 3和 4 .假设两人射击是否击中目标相互之间没有 影响,每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响.

(1)求甲射击4次,至少有1次未击中目标的概率; (2)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目 标3次的概率;

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第十章 概 率(文)

(3)假设每人连续2次未击中目标,则终止其射击. 问:乙恰好射击5次后,被终止射击的概率是多少?
解:(1)记“甲连续射击 4 次,至少有 1 次未击中目标”为 事件 A1,则事件 A1 的对立事件 A 1 为“甲连续射击 4 次,全部 击中目标”. 由题意知, 射击 4 次相当于做 4 次独立重复试验. 故
?2? 16 4 P( A 1)=?3? =81. ? ?

16 65 所以 P(A1)=1-P( A 1)=1-81=81. 65 所以甲连续射击 4 次,至少有一次未击中目标的概率为81.

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第十章 概 率(文)

(2)记“甲射击 4 次, 恰好有 2 次击中目标”为事件 A2, “乙 射击 4 次,恰好有 3 次击中目标”为事件 B2, 则 22 2 4-2 2 P(A2)=C4×? ? ×?1- ? =
?3? ? ? ? ? ? ? ?

3?

8 27,

3 4-3 27 3 3 3 P(B2)=C4? ? ×?1- ? = .
?4?

? ?

?

4?

64

由于甲、乙射击相互独立, 8 27 1 故 P(A2B2)=P(A2)P(B2)=27×64=8. 所以两人各射击 4 次,甲恰有 2 次击中目标且乙恰有 3 次 1 击中目标的概率为8.

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第十章 概 率(文)

(3)记“乙恰好射击 5 次后,被终止射击”为事件 A3,“乙 第 i 次射击未击中”为事件 Di(i=1,2,3,4,5),则 1 D D A3=D5D4 D 3( 2 1∪ D 2D1∪D2 D 1),且 P(Di)= . 4 由于各事件相互独立, 1 故 P(A3) = P(D5)P(D4)P( D 3)P( D 2 D 1 + D 2D1 + D2 D 1) = 4 1 3 ? 1 1? 45 ? ? ×4×4× 1-4×4 =1 024. ? ? 45 所以乙恰好射击 5 次后,被终止射击的概率为1 024.

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第十章 概 率(文)

1.n次独立重复试验中事件 A恰好发生k次可看作是C个互斥

事件的和,其中每一个事件都可看作是k个A事件与n-k个事件同
时发生,只是发生的次序不同,其发生的概率都是pk(1-p)n-k.因 此n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为Cpk(1-p)n-k. 2.判断某随机变量是否服从二项分布的方法 (1)在每一次试验中,事件发生的概率相同. (2)各次试验中的事件是相互独立的. (3) 在每一次试验中,试验的结果只有两个,即发生与不发 生.

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第十章 概 率(文)

2.一个袋中装有形状大小完全相同的球 9个,其中红球3
个,白球6个,每次随机取1个,直到取出3次红球即停止. (1)从袋中不放回地取球,求恰好取4次停止的概率P1; (2)从袋中有放回地取球. ①求恰好取5次停止的概率P2;

②记5次之内(含5次)取到红球的个数为ξ,求随机变量ξ的
分布列.

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第十章 概 率(文)

解:(1)“恰好取 4 次停止”表示第 4 次取到红球,前 3 次
1 3 中两次取红球,一次取白球,共 C1 C 3 6A3种取法,故 1 3 C1 C 1 3 6A3 P1= A4 =28. 9

1 即恰好取 4 次停止的概率为28. (2)①“恰好取 5 次停止”表示第 5 次取到红球,前 4 次中 有 2 次取到红球,则 12 22 1 2 P2=C4×? ? ×? ? × =
?3? ?3? ? ? ? ?

8 3 81,

8 即恰好取 5 次停止的概率为81.

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第十章 概 率(文)

②随机变量 ξ 的取值为 0,1,2,3,
k n-k 由 n 次独立重复试验概率公式 Pn(k)=Ck p (1 - p ) ,得 n

15 0 P(ξ=0)=C5×?1- ? =
?

?

?

3?

32 243; 80 243; 80 243;

14 1 1 P(ξ=1)=C5× ×?1- ? = 3
?

?

?

3?

12 13 2 ? ? ? P(ξ=2)=C5× × 1- ? =
?3? ?

? ?

?

?

3?

32+80×2 17 P(ξ=3)=1- 243 =81.

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第十章 概 率(文)

随机变量ξ的分布列是 ξ 0
32 243

1
80 243

2
80 243

3
17 81

P(ξ)

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第十章 概 率(文)

易错易误系列之(二十五)

对“二项分布与超几何分布”

分辨不清致误
[典例] 某高校设计了一个实验学科的实验考查方案:考生 从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 题,按照题目要求独立完成 全部实验操作.规定:至少正确完成其中 2 题的便可提交通 过.已知 6 道备选题中考生甲有 4 道题能正确完成,2 道题不 2 能完成;考生乙每题正确完成的概率都是3,且每题正确完成与 否互不影响.

(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列,并

计算均值;

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第十章 概 率(文)

(2)试从两位考生正确完成题数的均值及至少正确完成2题 的概率分析比较两位考生的实验操作能力. [易错分析] 本题容易误认为甲、乙两考生正确完成的题 数均服从二项分布,实际上题目中已知甲、乙两考生按照题目 要求独立完成全部实验操作,甲考生正确完成的题数服从超几 何分布,乙考生正确完成的题数服从二项分布.

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第十章 概 率(文)

解: (1)设考生甲、 乙正确完成实验操作的题数分别为 ξ, η, 则 ξ 的所有可能取值分别为 1,2,3;η 的所有可能取值分别为 0,1,2,3.
2 C1 1 4C2 P(ξ=1)= C3 =5, 6 1 C2 C 3 4 2 P(ξ=2)= C3 =5, 6 0 C3 1 4C2 P(ξ=3)= C3 =5. 6

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第十章 概 率(文)

所以考生甲正确完成题数的概率分布列为 ξ P 1
1 5

2
3 5

3
1 5

1 3 1 E(ξ)=1×5+2×5+3×5=2. 因为 23 0 ? P(η=0)=C3 1- ? =
? ? ?

3?

1 27,

2 同理 P(η=1)=9,

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第十章 概 率(文)

4 P(η=2)=9, 8 P(η=3)=27. 所以考生乙完成题数的概率分布列为

η P

0
1 27

1
2 9

2
4 9

3
8 27

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第十章 概 率(文)

1 2 4 8 E(η)=0×27+1×9+2×9+3×27=2. 3 1 (2)因为 P(ξ≥2)=5+5=0.8, 4 8 P(η≥2)=9+27≈0.74, 所以 P(ξ≥2)>P(η≥2). 故从正确完成题数的均值考察,两人水平相当;从至少完 成 2 题的概率考察,甲通过的可能性大. 因此可以判断甲的实验操作能力较强.

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第十章 概 率(文)

[题后总结]

二项分布和超几何分布是两类重要的概率分

布模型,这两种分布存在着很多的相似之处,在应用时应注意

各自的适用条件和情景,分清类型,以免出错.

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第十章 概 率(文)

[针对训练]
在某校老师趣味投篮比赛中,比赛规则是:每场投 6 个球, 至少投进 4 个球且最后 2 个球都投进者获奖;否则不获奖.已 2 知教师甲投进每个球的概率都是3.则教师甲在一场比赛中获奖 的概率为________.

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第十章 概 率(文)

32 解析:81 则

设“教师甲在一场比赛中获奖”为事件 A,
? ? ? ? ?3? ?3? ? ? ? ? ?3?

2 6 32 2 1 2 2 4 11 2 5 ? ? ? ? ? ? ? P(A)=C4· · +C4·· + ? = , 3 ?3? 81

32 即教师甲在一场比赛中获奖的概率为81.

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n次独立重复试验的模型及二项分布
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第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布(10课时)
第十一章 计数原理概率随机变量及其分布(10课时...理解 n 次独立重复试验模型及二项分布, 并能解决一些...同理, 后面的 4 封信也都各有 3 种投法.所以...
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