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2.2.1等差数列的概念和通项公式


北京市朝阳外国语学校教案

数学教研组郝永军

课题 课型 课时 教材分析

2.2 等差数列
新授 授课时间 2010-12

教案编号 授课班级 授课人 郝永军

本节内容分为两课时,一节为等差数列的定义与表示法,一节为等差数列通项公 式的应用.等差数列定义的引出可先给出几组等差数列,让学生观察、比较,概 括共同规律,再由学生尝试说出等差数列的定义,对程度差的学生可以提示定义 的结构: “……的数列叫做等差数列” ,由学生把限定条件一一列举出来,为等比 数列的定义作准备.如果学生给出的定义不准确,可让学生研究讨论,用符合学 生的定义但不是等差数列的数列作为反例,再由学生修改其定义,逐步完善定 义.等差数列的定义归纳出来后,由学生举一些等差数列的例子,以此让学生思 考确定一个等差数列的条件.由学生根据一般数列的表示法尝试表示等差数列, 前提条件是已知数列的首项与公差.明确指出其图像是一条直线上的一些点,根 据图像观察项随项数的变化规律;再看通项公式,项 a n 可看作项数 n 的一次型 ( d ≠ 0 )函数,这与其图像的形状相对应.有穷等差数列的末项与通项是有区 别的,数列的通项公式 a n = a1 + ( n ? 1) d 是数列第 n 项 a n 与项数 n 之间的函数 关系式,有穷等差数列的项数未必是 n ,即其末项未必是该数列的第 n 项,在教 学中一定要强调这一点.

学情分析 学法指导 类比等差数列与一次函数的联系,这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认 识等差数列的性质:从图象上看,为什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一 条直线上,为什么两项可以决定一个等差数列(从几何上看两点可以决定一条直 线) 等差数列的概 、等差中项的概 , 等差数列的通项公式 导 法, 用定义 数列{ an }是 为等差数列, 用用通项公式 有关的 :
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知识 与


a1 , d , n, an ,
过程 与 法


1 通过教与学的 动, 学生加 对等差数列通项公式的认识, 与编 一些 的 题, 决这些 题; 2 利用通项公式 等差数列的项、项数、公差、首项, 学生 一步 程思 ; 通过 与编题 题, 学生学 的

情 度


与 观 教学 点 差数列, 教学 点 教学 教学 法 知识结构 板 等差数列的概 通项公式、等差中项,用通项 数列{ an }是 为等

用通项公式 决有关 题.

等差数列“等差”性的 点

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教学过程 教学环节 所需时间 教学内容 教师活动 学生活动 探究任务一:等差数列的概念 问题 1:请同学们仔细观察,看看以下四个数列有 什么共同特征? ① 0,5,10,15,20,25,… ② 48,53,58,63 ③ 18,15.5,13,10.5,8,5.5 ④ 10072,10144,10216,10288,10366 在这一段的教学中,一定要重视归纳的过程, 在这一段的教学中,一定要重视归纳的过程,这是学生能理解 等差数列的所必须的,不要一笔带过! 等差数列的所必须的,不要一笔带过! 1.等差数列:一般地,如果一个数列从第 项起,每一项与它 一项 1. 的 等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等 差数列的公差, 常用字母d表示. ⑴.公差 d 一定是由后项减前项所得,而不能用前项减后项来求; ⑵.对于数列{ a n },若 a n - a n ?1 =d (与 n 无关的数或字母),n≥2,n ∈N + ,则此数列是等差数列,d 为公差 探究任务二:等差数列的通项公式 从定义的数学表达式: an ? an ?1 = d (n=2,3,4……)得:
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设计意图 教学反馈

an = an ?1 + d

表明从第二项起, 等差数列的任意项都可以表示为它

的前一项与公差的和,因此,等差数列的任意项也就应该可以用首项 和公差来表示.

a2 = a1 + d , a3 = a2 + d = a1 + 2d ,......an = a1 + (n ? 1)d
以上体现了归纳的过程,能否由递推式得出其通项呢?

a2 ? a1 = d a3 ? a2 = d a4 ? a3 = d ....... an ? an ?1 = d
由于有了第一节递推公式的基础,这种做法学生能很快接受, 甚至能主动提出这种想法. 1)第一通项公式: a n = a1 + ( n ? 1) d n∈N* 例 1 ⑴求等差数列 8,5,2…的第 20 项 ⑵ -401 是不是等差数列-5,-9,-13…的项?如果是,是第几项? 解:⑴由 a1 = 8, d = 5 ? 8 = 2 ? 5 = ?3
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? an = a1 + (n ? 1)d

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n=20,得 a 20 = 8 + ( 20 ? 1) × ( ?3) = ?49 ⑵由 a1 = ?5, d = ?9 ? ( ?5) = ?4 得数列通项公式为: a n = ?5 ? 4( n ? 1) 由题意可知,本题是要回答是否存在正整数 n,使得 即-401 是这个数列的第 100 ? 401 = ?5 ? 4(n ? 1) 成立解之得 n=100, 项
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注: 通项公式 a n = a1 + ( n ? 1) d 反映了项 a n 与项数 n 之间的函数关 系,当等差数列的首项与公差确定后,数列的每一项便确定了,可 以求指定的项(即已知 a1 , d , n 求 a n ).找学生试举一例如: “已知等 差数列 {a n }中,首项 a1 = 1 ,公差 d = ?2 ,求 a 200 .”这是通项公 式的简单应用。 要求分组举出一些运用等差数列通项公式的题目,包括正用、 要求分组举出一些运用等差数列通项公式的题目,包括正用、 反用与变用,简单、复杂,定量、定性的均可, 反用与变用,简单、复杂,定量、定性的均可,教师巡视将好题搜 集起来,分类投影在屏幕上. 集起来,分类投影在屏幕上. 1.方程思想的运用 1.方程思想的运用 (1)已知等差数列 {a n }中,首项 a1 = 1 ,公差 d = ?2 ,则-397 是 该数列的第______项. ( 2 ) 已 知 等 差 数 列 {a n } 中 , 首 项 a1 = 1 , a 20 = ?37, 则 公 差

d = ______ .
( 3 ) 已 知 等 差 数 列 {a n } 中 , 公 差 d = ?2 , a 20 = ?37, 则 首 项

a1 = ________ .
这一类问题先由学生解决,之后教师点评,四个量 a1 , d , n ,a n 四个量 在一个等式中,运用方程的思想方法,已知其中三个量的值, 在一个等式中,运用方程的思想方法,已知其中三个量的值,可以 求得第四个量. 求得第四个量. 2.基本量方法的使用 2.基本量方法的使用 (1)已知等差数列 {a n }中, a 3 = 9, a 9 = ?3 ,求 a17 的值. (2) 已知等差数列 {a n }中,a 3 + a5 = ?14 ,2a 2 + a 6 = ?15, 求 a8 . 若学生的题目只有这两种类型,教师可以小结(最好请出题者、 解题者概括) :因为已知条件可以化为关于 a1 和 d 的二元方程组,所 以这些等差数列是确定的,由 a1 和 d 写出通项公式,便可归结为前

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一类问题.解决这类问题只需把两个条件(等式)化为关于 a1 和 d 的 二元方程组,以求得 a1 和 d , a1 和 d 称作基本量.(还可以得出 d 称作基本量. 的几何意义法,即第二通项公式法) 的几何意义法,即第二通项公式法) 教师提出新的问题,已知等差数列的一个条件(等式) ,能否确 教师提出新的问题,已知等差数列的一个条件(等式) 能否确 , 定一个等差数列? 定一个等差数列? 学生回答后,教师再启发,由这一个条件可得到关于 a1 和 d 的 二元方程,这是一个 a1 和 d 的制约关系,从这个关系可以得到什么 结论?举例说明(例题可由学生或教师给出,视具体情况而定). 如:已知等差数列 {a n }中, a 3 + a15 = 30, … 由条件可得 2a1 + 16d = 30, 即 a1 + 8d = 15 ,可知 a 9 = 15 , 这是比较显然的,与之相关的还能有什么结论?若学生答不出可提 示,一定得某一项的值么?能否与两项有关?多项有关?由学生发 现规律,完善问题 ( 3 ) 已 知 等 差 数 列 {a n } 中 , a 3 + a15 = 30, 求 a 9 ; a 7 + a11 ;

a 7 + a9 + a11 ; a 7 + a8 + a10 + a11 ;….
类似的还有

a (4) 已知等差数列 {a n }中, 3 + a 4 + a5 + a 6 + a 7 = 150, 求 a 2 + a8
的值.以上属于对数列的项进行定量的研究,有无定性的判断?引出 等差数列的性质。 3.研究等差数列的单调性 3.研究等差数列的单调性

a n = a1 + ( n ? 1)d = dn + ( a1 ? d ) , 考察 a n 随项数 n 的变化规
律.着重考虑 d ≠ 0 的情况. 此时 a n 是 n 的一次函数, 其单调性取决 于 d 的符号,由学生叙述结果.这个结果与考察相邻两项的差所得结 果是一致的. 4.研究项的符号 4.研究项的符号 这是为研究等差数列前 n 项和的最值所做的准备工作.可配备 的题目如 (1)已知数列 {a n }的通项公式为 a n = 19 ? 2n( n ∈ N ) ,问数列从
*

第几项开始小于 0? (2)等差数列 84,80, ? 从第________项起以后每项均为负数.

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+

课堂小结

1、理解与掌握等差数列的定义及数学表达式: a n - a n ?1 =d , (n≥2,n∈N ). 2、 用方程思想认识等差数列通项公式; 3、 用函数思想解决等差数列问题.

课堂检测 教学效果 自 我 评 估: 分层作业 课后反思 改进设想 ⑴教学任务完成情况 ⑵学生掌握情况

由等差数列的定义和通项公式,你能推出等差数列的什么性质?请写出 3 条。

是否一定要用首项来表示数列? 可以补充: an = am + ( n ? m) d (第二通项公式) 从函数的观点进行等差数列的教学 函数观点不能当点缀、 作标签, 而应贯彻教学的始终。 在第一节的学习中, 学生对于数列是函数已经有了比 较深刻的印象,所以,当等差数列的通项公式

an = a1 + (n ? 1)d 得到之后,就应不失时机地引导学生对它的函数的类型做出判断。
得到结论: {an } 是等差数列 ? an = dn + b (第三通项公式) 这样, 由于公差不为零的等差数列的每一项 an 是关于项数 n 的一次函数式。 于是可以利用一 次函数的性质来认识等差数列。 例如,理解为什么 d > 0, {an } 递增; d < 0, {an } 递减。 根据一次函数的图象是一条直线和直线由两个点唯一确定的性质,就容易理解为什么两项可 以确定一个等差数列。 由 an = am + ( n ? m ) d 得 d =

an ? am ,它的含义是什么呢?直线的斜率 n?m

(可以适当拓展到直线斜率的计算方法)

例 在等差数列 {a n } 中,已知 a5 = 10 , a12 = 31 ,求 a1 , d , a 20 , a n
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解法一:∵ a5 = 10 , a12 = 31 , ∴ ?

?a1 + 4d = 10 ?a1 = ?2 ∴? ?d = 3 ?a1 + 11d = 31

∴ a n = a1 + ( n ? 1) d = 3n ? 5 ∴ a 20 = a1 + 19d = 55 注:用解方程组的思想是解决此类问题的基本思想和方法 解法二:∵ a12 =

a 5 + (12 ? 5) ∴d= d

a12 ? a 5
12 ? 5

=

31 ? 10 = 3 7
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∴ a 20 = a12 + 8d = 55

∴ a n = a12 + ( n ? 12)d = 3n ? 5

n +2 ,求证:数列 lg a n 例 1 已知数列 {a n } 的通项公式是 a n = 7

{

}

是等差数列。

例 4 已知 5 个数成等差数列,它们的和为 5,平方和为

85 ,求这 5 个数。 9

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