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1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第一课时 问题提出 ? 1 ? 5730 p?? ? ?2? t 1. 正弦函数和余弦函数的图象分别是什 么?二者有何相互联系? 1 -6π y y=sinx π 3π 2π 4π 5π -4π -5π -3π -2π -π O x 6π -1 ?? ? 2 ?? ? 2 ?? ? 2 ?? ? 2 ? ? 1 2 O y ? 2 ?? 2 y=cosx ?? 2 ?? 2 ?? 2 x ??? ? 2 -1 ??? 2 2. 世界上有许多事物都呈现“周而复始” 的变化规律,如年有四季更替,月有阴 晴圆缺.这种现象在数学上称为周期性, 在函数领域里,周期性是函数的一个重 要性质. ? 1 ? 5730 p?? ? ?2? t 知识探究(一):周期函数的概念 思考1:由正弦函数的图象可知, 正弦曲 线每相隔 2π 个单位重复出现, 这一规 律的理论依据是什么? . sin( x ? 2k? ) ? sin x (k ? Z ) 思考2:设f(x)=sinx,则sin( x ? 2k? ) ? sin x 可以怎样表示?其数学意义如何? 思考3:为了突出函数的这个特性,我们 把函数f(x)=sinx称为周期函数,2kπ 为 这个函数的周期.一般地,如何定义周期 函数? 对于函数 f(x) ,如果存在一个非 零常数 T ,使得当 x 取定义域内的每一 个值时,都有 f(x+T)=f(x), 那么函数 f(x)就叫做周期函数,非零常数 T就叫 做这个函数的周期. 思考4:周期函数的周期是否惟一?正弦 函数的周期有哪些? 思考5:如果在周期函数f(x)的所有周期 中存在一个最小的正数 , 则这个最小正 数叫做f(x)的最小正周期.那么, 正弦函 数的最小正周期是多少?为什么? 思考 6 :就周期性而言,对正弦函数有 什么结论?对余弦函数呢? 正、余弦函数是周期函数,2kπ (k∈Z, k≠0 )都是它的周期,最小 正周期是2π . 知识探究(二):周期概念的拓展 思考1:函数f(x)=sinx(x≥0)是否为 周期函数?函数 f(x)=sinx (x≤0 )是 否为周期函数? 思考 2 :函数 f(x)=sinx ( x>0 )是否为 周期函数?函数f(x)=sinx(x≠3kπ ) 是否为周期函数? 思考 3 :函数 f(x)=sinx ,x∈[0 , 10π ] 是否为周期函数?周期函数的定义域有 什么特点? 思考 4 :函数 y=3sin(2x + 4) 的最小正 周期是多少? 思考5:一般地,函数 y = A sin( wx + j ) (A ? 0, w 0) 的最小正周期是多少? 思考 6 :如果函数 y=f(x) 的周期是 T ,那 么函数y=f(ω x+φ )的周期是多少? 理论迁移 例1 求下列函数的周期: (1)y=3cosx; x∈R (2)y=sin2x,x∈R x p (3) y = 2 sin( 2 - 6 ) , x∈R ; (4)y=|sinx| x∈R. ; 例2 已知定义在R上的函数f(x)满足 f(x+2)+f(x)=0,试判断f(x)是否为周 期函数? 例3 已知定义在R上的函数f(x)满足 f(x + 1)=f(x - 1) ,且当x∈[0 , 2] 时, f(x)=x-4,求f(10)的值. 小结作业 1. 函数的周期性是函数的一个基本性质, 判断一个函数是否为周期

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