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江苏省连云港外国语学校2012-2013学年高二数学下学期期末复习试题(10)理 苏教版


连云港外国语学校 2012~2013 学年度高二年级数学理科期末复习 卷(十)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在相应位置.Y 1.命题“ 存在 x ? R , x ? 2 x ? 1 ? 0 ”的否定是
2



C Y

2.(1+x)+(1+x)

+(1+x) +??+(1+x) 展开式中 x 项的系数为 . 3.将 5 名大学生毕业生分配到某公司所属的三个部门中去,要求每个部门至少分配一人, 则不同的分配方案共有______种。 4.在极坐标系中,点 P ( 2 , ? ) 与点 Q 关于射线 ? ?
2? 3

2

3

6

2

对称,则 | P Q | =________.

5.若 (1 ? 2 x ) 2004 ? a 0 ? a 1 x ? a 2 x 2 ? ...... ? a 2004 x 2004 , x ? R , 求( a 0 ? a 1 )+( a 0 ? a 2 )+??+ ( a 0 ? a 2004 ) .
? ?

6.若两条曲线的极坐标方程分别为 ? ? 1 与 ? ? 2 cos ? ? ? 线段 AB 的长为 7.求经过极点 O (0 , 0 ), A (6 , 8. ( x ?
1 x
?x ? y ? 2 ? 0 ? 9. 过平面区域 ? y ? 2 ? 0 ?x ? y ? 2 ? 0 ?
6

? ?

? ,它们相交于 A, B 3 ?

两点,则


?
2 ), B (6 2, 9? 4 ) 三点的圆的极坐标方程

.

) 展开式的常数项为



内一点 P 作圆 O : x ? y ? 1 的两条切线, 切点分别为 A , B ,
2 2

记 ? A P B ? ? ,则当 ? 最小时 co s ? ?



10.已知整数数对如下排列: (1,1), (1, 2 ), ( 2 ,1), (1, 3 ), ( 2 , 2 ), ( 3 ,1), (1, 4 ), ( 2 , 3 ), ( 3 , 2 ), ( 4 ,1) ? , 按此规律,则第 60 个数对为__________. 11.将甲、乙、丙、丁四名老师分配到三个不同的学校,每个学校至少分到一名老师,且 甲、乙两名老师不能分配到同一个学校,则不同分法的种数为 . 12. 已知曲线 C 的方程为 ?
? x ? 8t
2

? y ? 8t

( t 为参数) 过点 F ( 2, 0 ) 作一条倾斜角为 ,

?
4

的直线交曲

线 C 于 A 、 B 两点,则 A B 的长度为


1

13. n 个正整数排列如下: 1,2,3,4,??,n 2,3,4,5,??,n+1 ??

2

n,n+1,n+2,n+3,??,2n-1
14.已知函数
f ( x ) ? x ? 1 ,关于 x

则这 n 个正整数的和 S ?
2



的方程

f

2

(x) ? f (x) ? k ? 0

,给出下列四个命题:

① 存在实数 k ,使得方程恰有 2 个不同的实根;② 存在实数 k ,使得方程恰有 3 个 不同的实根;③ 存在实数 k ,使得方程恰有 5 个不同的实根;④ 存在实数 k ,使得 方程恰有 8 个不同的实根.其中真命题的序号为______ ______ . 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 14 分) 已知二阶矩阵 M 属于特征值-1 的一个特征向量为 ? ? ,属于特征值 2 的一个特征 ??2? 向量为 ? ? ,求矩阵 M 及其逆矩阵 M 1
? ? ?1 ?
?1

? 1 ?



16.(本题满分 14 分)
? x ? 1 ? t cos ? ? y ? t sin ? ? x ? cos ? :? (? ? y ? s in ?

已知直线 C 1 : ?
?
3

(t

为参数) C 2 ,

为参数) 。

(1)当 ?

?

时,求 C 1 被 C 2 截得的弦长;

(2)过坐标原点 O 作 C 1 的垂线,垂足为 A,当 ? 变化时,求 A 点的轨迹的参数方程。

2

17. (本题满分 14 分) 已知二项式 ( x ?
2 x
2

) , (n∈N )的展开式中第 5 项的系数与第 3 项的系数的

n

*

比是 10:1, (1)求展开式中各项的系数和 (2)求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项

18. (本题满分 16 分) 某中学从高中三个年级选派 2 名教师和 10 名学生去外校考察学习,学生的名额分配 如下: 高一年级 3人 高二年级 5人 高三年级 2人

(1)若从 10 名学生中选出 2 人做组长,求他们中恰好有 1 人是高二年级学生的概率; (2)若将 2 名教师安排到三个年级(假设每名教师加入各年级是等可能的,且各位教 师的选择是相互独立的) ,记安排到高二年级的教师人数为 X ,求随机变量 X 的 分布列和数学期望.

3

19. (本题满分 16 分) 如图,在棱长为 1 的正方体 A C 1 中, E 、 F 分别为 A1 D 1 和 A 1 B 1 的中点. (1)求异面直线 A F 和 B E 所成的角的余弦值; (2)求平面 A C C 1 与平面 BFC 1 所成的锐二面角; (3)若点 P 在正方形 A B C D 内部或其边界上, E P // 平面 B F C 1 , E P 的取值范围. 且 求 D1 E 1 F C1 1 B1 1 C

A1 1

D A B (第 19 题图)

20. (本题满分 16 分)
1
2 6 已知 f ( x ) ? ( x k ? x ) ,且正整数 n 满足 C n ? C n , A ? {0,1, 2, L , n } .

n

(1)求 n; (2)若 i 、 j ? A ,是否存在 j ,当 i ? j 时, C n ? C n 恒成立?若存在,求出最小的 j ,
i j

若不存在,试说明理由; (3) k ? A , 若 f ( x ) 的展开式有且只有 6 个无理项,求 k .

4

高二年级数学理科期末复习卷参考答案(十) 命题人:刘希团

2013 年 6 月

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在相应位 Y 置. 1.命题“ 存在 x ? R , x ? 2 x ? 1 ? 0 ”的否定是
2

C Y
?x ? R, x
2

? 2x ? 1 ? 0

2.(1+x)+(1+x) +(1+x) +??+(1+x) 展开式中 x 项的系数为 .35 3.将 5 名大学生毕业生分配到某公司所属的三个部门中去,要求每个部门至少分配一人, 2 1 2 2 则不同的分配方案共有______种。解: C 53 ? 3 ? A 2 ? C 5 ? 3 ? C 4 ? C 2 ? 150 4.在极坐标系中,点 P ( 2 , ? ) 与点 Q 关于射线 ? ?
2? 3

2

3

6

2

对称,则 | P Q | =________ 2 3

5.若 (1 ? 2 x ) 2004 ? a 0 ? a 1 x ? a 2 x 2 ? ...... ? a 2004 x 2004 , x ? R , 求( a 0 ? a 1 )+( a 0 ? a 2 )+??+ ( a 0 ? a 2004 ) .2004
? ?

6.若两条曲线的极坐标方程分别为 ? ? 1 与 ? ? 2 cos ? ? ?

? ?

? ,它们相交于 A, B 3 ?
2

两点,则

线段 AB 的长为

.? A B ?
?

? 1? 3 ? ? ? ?1 ? ? ? ? 0 ? ? 2? 2 ? ? ? ?
2

?

3

, 7 . 求 经 过 极 点 O ( 0 , 0 )A ( 6 , B) , 2
? ?

(6

9? 2 , 三点的圆的极坐标方程 ) 4

.

? ? 6 2 cos ? ? ?
1 x

? ?
? 4 ?

8. ( x ?

) 展开式的常数项为

6

-20

?x ? y ? 2 ? 0 ? 2 2 9. 过平面区域 ? y ? 2 ? 0 内一点 P 作圆 O : x ? y ? 1 的两条切线, 切点分别为 A , B , ?x ? y ? 2 ? 0 ?

记 ? A P B ? ? ,则当 ? 最小时 co s ? ?



9 10

10.已知整数数对如下排列: (1,1), (1, 2 ), ( 2 ,1), (1, 3 ), ( 2 , 2 ), ( 3 ,1), (1, 4 ), ( 2 , 3 ), ( 3 , 2 ), ( 4 ,1) ? , 按此规律,则第 60 个数对为__________(5,7) 11.将甲、乙、丙、丁四名老师分配到三个不同的学校,每个学校至少分到一名老师,且
5

甲、乙两名老师不能分配到同一个学校,则不同分法的种数为 12. 已知曲线 C 的方程为 ?
? x ? 8t
2

30
?
4

? y ? 8t

( t 为参数) 过点 F ( 2, 0 ) 作一条倾斜角为 ,

的直线交曲

线 C 于 A 、 B 两点,则 A B 的长度为 13. n 个正整数排列如下: 1,2,3,4,??,n 2,3,4,5,??,n+1 3,4,5,6,??,n+2 ?? n,n+1,n+2,n+3,??,2n-1 则这 n 个正整数的和 S ?
2 2

16

.n 的方程

3

14.已知函数

f ( x ) ? x ? 1 ,关于 x

f

2

(x) ? f (x) ? k ? 0

,给出下列四个命题:

① 存在实数 k ,使得方程恰有 2 个不同的实根; ② 存在实数 k ,使得方程恰有 3 个不同的实根; ③ 存在实数 k ,使得方程恰有 5 个不同的实根; ④ 存在实数 k ,使得方程恰有 8 个不同的实根. 其中真命题的序号为______ ______ ①③④

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 14 分) 已知二阶矩阵 M 属于特征值-1 的一个特征向量为 ?
?1 ? ? ?
?1

? 1 ? ? ??2?

,属于特征值 2 的一个特征

向量为 ? ? ,求矩阵 M 及其逆矩阵 M 1
?1 解:M= ? ?2 1? ? ?????7 分 0?



M

?1

?0 =? ?1

? ? .?????7 分 ? 1? 2
1 2

16.(本题满分 14 分)
? x ? 1 ? t cos ? ? y ? t sin ? ? x ? cos ? :? (? ? y ? s in ?

已知直线 C 1 : ?

(t

为参数) C 2 ,

为参数) 。

6

(1)当 ?

?

?
3

时,求 C 1 被 C 2 截得的弦长;

(2)过坐标原点 O 作 C 1 的垂线,垂足为 A,当 ? 变化时,求 A 点的轨迹的参数方程。 解: (1) C 1 的普通方程为 y
? 3 ( x ? 1)

, C 2 的普通方程为 x 2

? y ?1,
2

????2 分 ???? 4 分 ,???6 分

∴圆心 O 到直线 C 1 的距离 d

?

3 2

,∴ C 1 被 C 2 截得的弦长 2

1?

3 4

?1。
cos ? sin ?

(2) C 1 的普通方程为 x sin ? 由?
? x s in ? ? y c o s ? ? s in ? ? 0 ? cos ? x ?y ? ? s in ? ?

? y co s ? ? sin ? ? 0, ∴直线 O A : y ? ?

x

得 A (sin 2 ? , ? sin ?

co s ? )

????8 分

解∴A 点的轨迹的参数方程 ?

? x ? sin ?
2

? y ? ? sin ? c o s ?

(?

为参数) 。

????10 分

17. (本题满分 14 分) 已知二项式 ( x ?
2 x
2

) , (n∈N )的展开式中第 5 项的系数与第 3 项的系数的

n

*

比是 10:1, (1)求展开式中各项的系数和 (2)求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项 解: (1)∵第 5 项的系数与第 3 项的系数的比是 10:1,

C ∴ C

4 n 2

? (?2)

4

? (?2) n

?
2

10 1

,解得 n=8

令 x=1 得到展开式中各项的系数和为(1-2) =1 (2) 展开式中第 r 项, 第 r+1 项,第 r+2 项的系数绝对值分别为

8

C C

r ?1 8

?2

n?r

,C 8 ? 2 ,C
r

r

r ?1 8

?2

r ?1

,

若第 r+1 项的系数绝对值最大,则必须满足:
r ?1 8

?2

n?r

≤C 8 ? 2

r

r

并且 C

r ?1 8

?2

r ?1

≤ C 8 ? 2 ,解得 5≤r≤6;
r

r

所以系数最大的项为 T 7 =1792 ? 变式训练 4:①已知(
x ? 1 3x
2

1 x
n
11

;二项式系数最大的项为 T 5 =1120 ?

1 x
6

) 的第 5 项的二项式系数与第三项的二项系数的比是 14:3,

求展开式中不含 x 的项.
7

②求(x-1)-(x-1) +(x-1) -(x-1) +(x-1) 的展开式中 x 项的系数. 解: (1 ?
? ? Cn
(1 ? 1 n
n

2

3

4

5

2

1 n 1

)

n

? 1? Cn
1

1

1 n

? Cn

2

1 n
2

?

n
n

n

? 1? Cn
1

1 n

? 2
2

)

? 1? Cn
n

1 n

? Cn

1 n
2

?? ? Cn ??
2? 1 n?

1 n
2

? 1?1?

n ( n ? 1) 2 ? ?n
2

?

n ( n ? 1)( n ? 2 ) ? 2 ? 1 n ? ?n
1 2? ? 1 3? 1 2 ?
n

?? 1 2
2

? 2?

?? ? 2

1
n ?1

? 3? 2

1
n ?1

? 3

18. (本题满分 16 分) 某中学从高中三个年级选派 2 名教师和 10 名学生去外校考察学习,学生的名额分配 如下: 高一年级 3人 高二年级 5人 高三年级 2人

(1)若从 10 名学生中选出 2 人做组长,求他们中恰好有 1 人是高二年级学生的概率; (2)若将 2 名教师安排到三个年级(假设每名教师加入各年级是等可能的,且各位教 师的选择是相互独立的) ,记安排到高二年级的教师人数为 X ,求随机变量 X 的 分布列和数学期望. .解: (1)设“他们中恰好有 1 人是高一年级学生”为事件 A ,则
P ( A) ? C 5C 5 C 10
2 1 1

=

25 45

?

5 9

,故所求概率为

5 9



???????6 分
1 3

(2)解法 1: ? 的所有取值为 0,1,2.每位教师选择高二年级的概率均为
4 4 ?1? ?2? 1 ? 1 ? ? 2 ? 所以 P ? ? ? 0 ? ? C 2 ? ? ? ? ? , P ? ? ? 1 ? ? C 2 ? ? ? ? ? , 9 9 ?3? ?3? ?3? ?3?
0 0 2

.

1

1

8

1 ?1? ?2? P ?? ? 2 ? ? C 2 ? ? ? ? ? . 9 ?3? ?3?
2

2

0

????????..10 分

随机变量 ? 的分布列为:
?
P

0
4 9

1
4 9

2
1 9

所以 E ? ? 0 ?

4 9

? 1?

4 9

? 2?

1 9

?

2 3



????????16 分
1 3 1

解法 2:由题意可知,每位教师选择高二年级的概率均为 则随机变量 ? 服从参数为 2, 随机变量 ? 的分布列为:
?
P

.

1 3

的二项分布,即 ? ~ B ( 2 , ) .
3

0
4 9 1 3 ? 2 3

1
4 9

2
1 9

所以 E ? ? n p ? 2 ?



19. (本题满分 16 分) 如图,在棱长为 1 的正方体 A C 1 中, E 、 F 分别为 A1 D 1 和 A 1 B 1 的中点. (1)求异面直线 A F 和 B E 所成的角的余弦值; (2)求平面 A C C 1 与平面 BFC 1 所成的锐二面角; (3)若点 P 在正方形 A B C D 内部或其边界上, E P // 平面 B F C 1 , E P 的取值范围. 且 求 D1 E 1 C1 1 B1 1

A1 1

F

D 解: (1)以 D 为原点,DA,DC,DD1 分别为轴,建立如图所示的直角坐标系, A B (第 18 题图)

C
9

则 A (1, 0 , 0 ) , E ( , 0 ,1) , B (1,1, 0 ) , F (1,
2 AF ? ( 0 , 1 2 ,1 ) , BE ? ( ? 1 2 , ? 1,1 ) ,

1

1 2

,1) .?????2 分

1 uuu uur r ? co s( A F , B E ) ? 5 4 2 9 4
uuu r

?

2 5 15



??????4 分

(2)平面 A C C 1 的一个法向量为 D B ? (1,1, 0 ) , 设平面 BFC 1 的法向量为 n ? ( x , y , z ) ,
1 ? ? x ? z, ? n ? BF ? ? y ? z ? 0 , 2 ∴? ? ? y ? 2 z. ? n ? BC ? ( x , y , z ) ? ( ? 1, 0 ,1 ) ? ? x ? z ? 0 , 1 ?

取 z ? 1 得平面 BFC 1 的一个法向量 n ? (1, 2 ,1) ?????7 分
uuu r r cos ? D B , n ? ? uuu r r DB ? n uuu r ? r | D B || n | 1? 2 2 ? 6 ? 3 2

,因为 ? D B , n ? 为锐角,

uuu r r

∴所求的锐二面角为

?
6



??????.9 分

(3)设 P ( x , y , 0 ) ( 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1 ) .
uur r uur 1 1 3 E P ? ( x ? , y , ? 1) ,由 E P ? n ? 0 得 ( x ? ) ? 2 y ? 1 ? 0 ,即 x ? ? 2 y ? . 2 2 2
Q 0 ? x ? 1, ? 0 ? ? 2 y ? 3 2 ? 1 ,? 1 4
2

? y ?

3 4
2


2 5 6 5

uur ?| E P | ?

(x ?

1 2

) ? y ?1 ?
2 2

( 2 y ? 1) ? y ? 1 ?

5y ? 4y ? 2 ?
2

5( y ?

) ?
2

??.12 分
Q 1 4 ? y ? 3 4

,? 当 y ?

2 5

时,?| E P | m in ?

uur

30 5

;当 y ?

3 4

时,∴ EP
max

?

29 4



10

故 EP 的取值范围为 ?
?

?

30 5

,

29 ? ? . 4 ?

????..??14 分

20. (本题满分 16 分)
1
2 6 已知 f ( x ) ? ( x k ? x ) ,且正整数 n 满足 C n ? C n , A ? {0,1, 2, L , n } .

n

(1)求 n; (2)若 i 、 j ? A ,是否存在 j ,当 i ? j 时, C n ? C n 恒成立?若存在,求出最小的 j ,
i j

若不存在,试说明理由; (3) k ? A , 若 f ( x ) 的展开式有且只有 6 个无理项,求 k . 解:(1)由 C n ? C n 可知 n=8.
2 6

????..??3 分

(2)存在.展开式中最大二项式系数满足条件, 又展开式中最大二项式系数为 C 8 ,∴j=4.
4

????..??9 分
8?r ?r

1

(3)展开式通项为 T r ? 1 ? C 8 ( x )
r k

8?r

· =C 8 x x

r

r

k

,分别令 k=1,2,3,?,8,

检验得 k=3 或 4 时 8 ? r 是 k 的整数倍的 r 有且只有三个.故 k=3 或 4??16 分 19.解:(1) e ?
3 2 ,? c a
2

?

3 2

,又 c ?

3 ,? a ? 2 , b ? 1 .

故椭圆的方程为

x

? y ? 1.
2

?????????4 分

4

圆 O 与直线 y ? x ? 4 2 相切,设圆 O 的半径为 R ,
4 2 2
? y ? kx, ? (2)设直线 l 的方程为 y ? kx ,由 ? x 2 解得 2 ? y ?1 ? ? 4

则有 R ?

? 4 ,? e O 的方程为 x ? y ? 1 6 ?????????8 分
2 2

A(

4 4k ? 1
2

,k

4 4k ? 1
2

) , B (?

4 4k ? 1
2

,?k

4 4k ? 1
2

),

11

? AB ?

(2

4 4k ? 1
2

) ? (2k
2

4 4k ? 1
2

)

2

?

4 (1 ? k ) ?
2

4 4k ? 1
2

. ????12 分

? C D 恰好被椭圆三等分,?

4 (1 ? k ) ?
2

4 4k ? 1
2

= ? 2R ?
3

1

8 3



???.14 分
35 7

?

1? k
2

2

4k ? 1

?

2 3

,? k ? ?

35 7

,? 直线 l 的方程为 y ? ?

x .?..??16 分

12


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江苏省连云港外国语学校2012-2013学年度高二下学期期末复习(六)数学(理)试题
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