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全国高中数学竞赛讲义-不等式的证明练习题


§14 不等式的证明 课后练习 1.选择题 (1)方程 x -y =105 的正整数解有( (A)一组 (B)二组 (C)三组 2 2 ). (D)四组 ). (2)在 0,1,2,…,50 这 51 个整数中,能同时被 2,3,4 整除的有( (A)3 个 (B)4 个 2.填空题 (1)的个位数分别为_________及_________. 4 5 4 (C)5 个 (D)6 个 (2)满足不 ________. 等式 10 ?A?10 的整数 A 的个数是 x×10 +1,则 x 的值 (3)已知整数 y 被 7 除余数为 5,那么 y 被 7 除时余数为________. (4)求出任何一组满足方程 x -51y =1 的自然数解 x 和 y_________. 3.求三个正整数 x、y、z 满足 2 2 3 . 4.在数列 4,8,17,77,97,106,125,238 中相邻若干个数之和是 3 的倍数,而 不是 9 的倍数的数组共有多少组? 5.求 的整数解. 6.求证 可被 37 整除. 7.求满足条件 的整数 x,y 的所有可能的值. 8.已知直角三角形的两直角边长分别为 l 厘米、m 厘米,斜边长为 n 厘米,且 l,m, n 均为正整数,l 为质数.证明:2(l+m+n)是完全平方数. 9.如果 p、q、 、 都是整数,并且 p>1,q>1,试求 p+q 的值. 课后练习答案 1.D.C. 2.(1)9 及 1. (2)9. (3)4. (4)原方程可变形为 x =(7y+1) +2y(y-7),令 y=7 可得 x=50. 2 2 3.不妨设 x?y?z,则 ,故 x?3.又有 故 x?2.若 x=2,则 , 故 y?6.又有 ,故 y?4.若 y=4,则 z=20.若 y=5,则 z=10.若 y=6,则 z 无整数 解.若 x=3,类似可以确定 3?y?4,y=3 或 4,z 都不能是整数. 4.可仿例 2 解. 5. 分析:左边三项直接用基本不等式显然不行,考察到不等式的对称性,可用轮换 的方法. .. 略解: a ? b ? 2ab,同理b ? c ? 2bc, c ? a ? 2ca ;三式相加再除以 2 即得证. 2 2 2 3 2 2 评述: (1)利用基本不等式时,除了本题的轮换外,一般还须掌握添项、连用等技巧. 如 2 2 xn x12 x2 ? ??? ? x1 ? x2 ? ? ? xn , 可 在 不 等 式 两 边 同 时 加 上 x 2 x3 x1 x2 ? x3 ? ? ? xn ? x1. 再如证 (a ? 1)(b ? 1)(a ? c) (b ? c) ? 256a b c (a, b, c ? 0) 时,可连续使用基本不 3 3 2 2 3 等式. (2)基本不等式有各种变式 如( a ? b 2 a2 ? b2 ) ? 等.但其本质特征不等式两边的次 2 2 数及系数是相等的.如上式左右两边次数均为 2,系数和为 1. 6.8888≡8(mod37),∴8888 3333 2222 ≡8 (mod37). 2222 2 7777≡7(mod37),7777 ≡7 (mod37),8888 2 3 8 +7 =407,37|407,∴37|N. 2 2 3 +7777 3333 ≡(8 +7 )(mod37),而 2 3 7.简解:原方程变形为 3x -(3y+7)x+3y -7y=0 由关于

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