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上海高三数学


闸北区 学年度第一学期高三数学 理科) 度第一学期高三数学( 闸北区 2009 学年度第一学期高三数学(理科)期末练习卷
考生注意: 1. 本次测试有试题纸和答题纸,作答必须在答题纸上,写在试题纸上的解答无效. 2. 答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号,以及试卷类型等填写清楚,并在规 定区域内贴上条形码. 3. 本试卷共有 20 道试题,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 一、填空题(本题满分 55 分)本大题共有 11 题,要求在答题纸相应题序的空格内直接填写 结果,每个空格填对得 5 分,否则一律得零分. 1.若 f ( x) = 3 x ,则 f
?1

( x) =




?x 1 2
2.若

2 x 0 = 0 ,则 x = ?1 2 0
1 4

3.若指数函数 f (x ) 的图像经过点 ( 2, ) ,则 f ( ?1) 的值为



1? ? (用数字作答) 4. ? x 2 + ? 的展开式中常数项是_________. x? ?

6

3 | a ? b | ,则 a 与 b 夹角为 . 6.某货轮在 A 处看灯塔 S 在北偏东 30 方向,它向正北方向航行 24 海里到达 B 处,看灯塔 S 在 北偏东 75 方向.则此时货轮到灯塔 S 的距离为 海里.
7.用与球心距离为 1 的平面去截球面,所得圆的面积为 π ,则球的表面积为
a

5.若 | a |= | b |= 1 ,且 | a + b |=

. .

8.若不等式 | x ? 1 | + | x + 2 |≥ 4 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为

? y =| x( x ? 2) | 10.在等比数列 {a n } 中,若 a2 = 1 ,则其前 3 项的和 S3 的取值范围是
11. b1 = 1 , 若 对于任何 n ∈ N , 都有 bn > 0 , nb 且 示整数 x 的个位数字,则 M (b2010 ) =
?

9.方程组 ?

? x 2 y = 1,

共有

组解.



2 n +1

? 2b ? (2n ? 1)bn +1bn = 0 . M (x) 表 设
2 n



二、选择题(本题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是 正确的,必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 12. lim

1 + 3 + 5 + ? + (2n ? 1) 等于 n →∞ n(2n + 1) 1 1 A. B. C. 1 4 2

【 D. 2 【



13.若 tan α = 4 , cot β A. ?

1 = ,则 tan(α + β ) = 3



7 7 7 7 B. C. ? D. 11 11 13 13 14.设 a, b 是两条直线, α , β 是两个平面,则 a ⊥ b 的一个充分条件是 A. a ⊥ α , b // β , α ⊥ β B. a // α , b ⊥ β , α // β D. a // α , b // β , α ⊥ β C. a ⊥ α , b ⊥ β , α // β





15.设 A 是整数集的一个非空子集,对于 k ∈ A ,如果 k ? 1 ? A 且 k + 1 ? A ,那么 k 是 A 的一个 “孤立元” ,给定 A = {1,2,3,4,5} ,则 A 的所有子集中,只有一个“孤立元”的集合共有 【 】 A.10 个 B.11 个 C.12 个 D.13 个 三、解答题(本题满分 75 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸的规定区域(对 应的题号)内写出必要的步骤. 16. 满分 12 分)本题有 2 小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 6 分. 小题, ( 已知复数 z1 满足 (1 + i )z1 = 3 + i ,复数 z 0 满足 z 0 ? z1 + z 0 = 4 .
2

(1)求复数 z 0 ; (2)设 z 0 是关于 x 的实系数方程 x ? px + q = 0 的一个根,求 p 、 q 的值. 17. 满分 14 分)本题有 2 小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分. ( 小题, 底面 ABCD 是菱形,PA ⊥ 平面 ABCD ,AB = 1 ,PA ? AC = 1 , 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中,

∠ABC = θ (0 < θ ≤ 90 ) .
(1)若 θ = 90 ,求二面角 A ? PC ? B 的大小; (2)试求四棱锥 P ? ABCD 的体积 V 的取值范围. P

A

D C

θ
B 18. 满分 14 分)本题有 2 小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分. ( 小题, 一校办服装厂花费 2 万元购买某品牌运动装的生产与销售权.根据以往经验,每生产 1 百套 这种品牌运动装的成本为 1 万元,每生产 x (百套)的销售额 R ( x) (万元)满足:

?? 0.4 x 2 + 4.2 x ? 0.8, < x ≤ 5, 0 ? R( x) = ? 9 , x > 5. ?14.7 ? x?3 ?
(1)该服装厂生产 750 套此种品牌运动装可获得利润多少万元? (2)该服装厂生产多少套此种品牌运动装利润最大?此时,利润是多少万元? 19. 满分 16 分)本题有 3 小题,第 1 小题 5 分,第 2 小题 5 分,第 3 小题 6 分. ( 小题, 设 f ( x) = 2 cos2 x + 3 sin 2 x , g ( x ) = (1)若 f ( x ) = 1 ? 3 , x ∈ [ ?

, ] ,求 x ; 3 3 (2)若 x ∈ R ,试讨论函数 g (x ) 的奇偶性,并证明你的结论; (3)已知:对于任意 x1 , x2 ∈ R ,恒有 | sin 2 x1 ? sin 2 x2 |≤ 2 | x1 ? x2 | ,当且仅当 x1 = x2 时, 等号成立.若 a ≥ 2 ,求证:函数 g (x ) 在 R 上是递增函数.

π π

1 5π f ( x + ) + ax + b ,其中 a, b 为非零实常数. 2 12

20. 满分 19 分)本题有 3 小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 7 分,第 3 小题 8 分. ( 小题, ' '' 记数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,所有奇数项之和为 S ,所有偶数项之和为 S . (1)若 {a n } 是等差数列,项数 n 为偶数,首项 a1 = 1 ,公差 d =

3 '' ' ,且 S ? S = 15 ,求 S n ; 2 ? ' '' (2)若 {a n } 是等差数列,首项 a1 > 0 ,公差 d ∈ N ,且 S = 36 , S = 27 ,请写出所有满足条
件的数列; (3)若数列 {a n } 的首项 a1 = 1 ,满足 2tSn +1 ? 3(t ? 1) S n = 2t ( n ∈ N ) ,其中实常数 t ∈ ( ,3) ,
?

3 5

且S ? S =
' ''

5 ,请写出满足上述条件常数 t 的两个不同的值和它们所对应的数列. 2

高三数学( 高三数学(理科)评分标准与参考答案(2010) 评分标准与参考答案(2010)
一、1. 0 ; 4.15; 10. ( ?∞, ?1] ∪ [ 3, +∞ ) ; 7.8 π ; 2. ? 4 ; 5.

π

3. 2 ; 6. 12 2 ; 9.4;

3 8. (?∞, log 4 3] ;



11.2.

10.【解】∵等比数列 ( an ) 中 a2 = 1 ∴ S3 = a1 + a2 + a3 = a2 ? 1 + q +

? ?

1? 1 ? = 1+ q + q? q

∴当公比 q > 0 时, S3 = 1 + q +

1 1 ≥ 1+ 2 q ? = 3 ; q q

当公比 q < 0 时, S3 = 1 ? ? ? q ?

?

?

? 1? 1? ? ≤ 1 ? 2 ? q ? ? ? ? = ?1 q? ? q?

二、12.B; 13.A ; 14.B; 15.D 15. 【解】 “孤立元”是 1 的集合: {1} ; {1,3,4} ; {1,4,5} ; {1,3,4,5} ; “孤立元”是 2 的集合: {2} ; {2,4,5} ; “孤立元”是 3 的集合: {3} ; “孤立元”是 4 的集合: {4} ; {1,2,4} ; “孤立元”是 5 的集合: {5} ; {1,2,5} ; {2,3,5} ; {1,2,3,5} ; 三、16.解: (1)因为 (1 + i )z1 = 3 + i ,所以 z1 =

所以 (a + bi )(2 ? i ) + a ? bi = 4 ? (3a + b ) + (b ? a )i = 4 …………………2 分 由两复数相等的定义得: ? 所以复数 z 0 = 1 + i .
2

3+i = 2 ? i ,…………………2 分 1+ i 设 z 0 = a + bi (a , b ∈ R ) ,且 z 0 ? z1 + z 0 = 4 . ?3a + b = 4 ?a = 1 ,解得 ? ………………………1 分 ?b?a =0 ?b = 1
…………………………1 分 …………………………………………………………2 分 ……………………………………………………………2 分 P

(2)由题意,得 1 ? i 是实系数方程 x ? px + q = 0 的根, ………………………2 分 所以 p = (1 + i ) + (1 ? i ) = 2

q = (1 + i ) ? (1 ? i ) = 2

1 2 17. 解: (1)由题意,得 PA = = ,…… AC 2
由已知,以 A 为坐标原点,分别以 AB 、 AD 、 AP 为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系.……………1 分 可求得 A D C

2 平面 PBC 的法向量 n1 = (1,0, ) , ……………2 分 2

B

θ

平面 PAC 的法向量 n 2 = (1,?1,0) ,

……………2 分

所以,二面角 A ? PC ? B 的平面角 α = arccos 故,所求二面角 A ? PC ? B 的大小为 arccos

n1 ? n 2 | n1 | ? | n 2 |

= arccos

3 .…………1 分 3

3 . 3

(2)由已知,四边形 ABCD 的面积 S = sin θ , ………………………………………1 分 由余弦定理可求得 AC =

2 ? 2 cos θ ,…………………………………………………1 分

1 ,……………………………………………………………………1 分 2 ? 2 cosθ 1 sin θ ∴V = ? ……………………………………………………………………1 分 3 2 ? 2 cos θ
∴ PA =
解 1: V =

2 sin 2 θ 2 ? = ? 1 + cos θ …………………………………………2 分 6 1 ? cos θ 6

2 1 ≤V < . 6 3 2 1 所以,四棱锥 V ? ABCD 的体积 V 的取值范围是 [ , ) .…………………………2 分 6 3 2 sin θ 2 sin θ 解 2: V = = ? ? θ 6 6 1 ? cosθ 2 sin 2
∵ 0 < θ ≤ 90 ,∴ 0 ≤ cosθ < 1 .∴

2 sin cos 2 2 = 1 cos θ …………………………………………………2 分 θ 3 2 2 sin 2 2 θ ∵ 0 < θ ≤ 90 ,∴ ≤ cos < 1 . 2 2 2 1 ∴ ≤V < . 6 3 2 1 所以,四棱锥 V ? ABCD 的体积 V 的取值范围是 [ , ) . …………………………2 分 6 3 18.解: (1) R (7.5) ? 1 × 7.5 ? 2 = 3.2 , ……………………………………………4 分 所以,生产 750 套此种品牌运动装可获得利润 3.2 万元.………………………………1 分 (2)由题意,每生产 x (百件)该品牌运动装的成本函数 G ( x ) = x + 2 ,所以, 2 = ? 6

θ

θ

?? 0.4 x 2 + 3.2 x ? 2.8,    ≤ x ≤ 5) (0 ? 利润函数 f ( x ) = R ( x ) ? G ( x ) = ? 9 ,     > 5) (x ?12.7 ? x ? x?3 ? 当 0 ≤ x ≤ 5 时, f ( x ) = ?0.4( x ? 4) 2 + 3.6 , …………………………………3 分 故当 x = 4 时, f (x ) 的最大值为 3.6 . ……………………………………………1 分

当 x > 5 时, f ( x ) = 9.7 ? [( x ? 3) +

故当 x = 6 时, f (x ) 的最大值为 3.7 . ……………………………………………1 分 所以,生产 600 件该品牌运动装利润最大为 3.7 万元 …………1 分 19.解: (1)由已知 f ( x) = 2 cos 2 x + 3 sin 2 x

9 ] ≤ 3.7 ,……………………………………3 分 x?3

= 1 + 2 sin(2 x +
由 1 + 2 sin( 2 x +

π
6

) , ………………………………………………2 分

π
6

) = 1 ? 3 得: sin(2 x +

π
6

)=?

∵?

π
3

≤x≤

π
3

,?

π
2

≤ 2x +

π
6



∴ 2x +

π
6

=?

π
3

,x=?

π
4

5π 6

3 ,…………………………………1 分 2

…………………………………………………1 分 …………………………………………………1 分



(2)由已知,得 g ( x ) = ax ? sin 2 x + b + ①∵ 当 b = ?

1 , …………………………………………1 分 2

1 时,对于任意的 x ∈ R ,总有 2 g (? x) = ? ax ? sin(?2 x) = ?(ax ? sin 2 x) = ? g ( x) ,

∴ g (x) 是奇函数.…………………………………………………… 2 分(没有过程扣 1 分) π π 1 ②当 b ≠ ? 时,∵ g ( ) ≠ ± g (? ) 或 g (π ) ≠ ± g ( ?π ) 等 2 2 2 所以, g (x ) 既不是奇函数,又不是偶函数. ………………………2 分(没有过程扣 1 分) (3)对于任意 x1 , x2 ∈ R ,且 x1 < x2 ,由已知,有 sin 2 x2 ? sin 2 x1 < 2( x2 ? x1 ) , …………………………2 分 ∴ g ( x1 ) ? g ( x2 ) = a( x1 ? x2 ) + (sin 2 x2 ? sin 2 x1 ) < (a ? 2)( x1 ? x2 ) , ∵ a ≥ 2 ,∴ g ( x1 ) ? g ( x2 ) < 0 . ……………………………………………………3 分 故,函数 g (x ) 是递增函数. ……………………………………………………1 分
注:由于用求导的方法证明不用已知条件,不给分。 20.解: (1)若数列 {a n } 项数 n 为偶数,由已知,得 S ? S = 15 =
''

'

20 × 19 3 × = 305. ……………………………………………………………1 分 2 2 (2)假设数列 {a n } 项数 n 为偶数, n S'' ? S' = ? d > 0 与 S'' ? S ' = ?9 矛盾.故数列 {a n } 项数 n 不为偶数,………………1 分 2 解法 1:设数列 {a n } 项数 n = 2k + 1 ( k ∈ N ) , a + a 2 k +1 ' 则 S = a1 + a3 + ? ? ? + a2 k +1 = 1 ? (k + 1) 2 Sn = 1 × 20 +
错误!不能通过编辑域代码创建对象。 错误!不能通过编辑域代码创建对象。

解得 n = 20 ,…………………………………………………………………………………1 分

3 n ? ,…………2 分 2 2

∵ a1 + a2 k +1 = a2 + a2 k ,∴

S ' k + 1 36 = = , S '' k 27

7×6 ? d ,∴ a1 + 3d = 9 , 2 ∵ a1 = 9 ? 3d > 0 ,∴ d < 3 .又 d ∈ N * ,所以, d = 1 或 d = 2 . 当 d = 1 时, a1 = 6 ,此时, an = 6 + ( n ? 1) ? 1 = n + 5 , ∵ S 7 = S ' + S '' = 63 = 7 a1 +
所以,该数列为:6,7,8,9,10,11,12.……………………………………………2 分 当 d = 2 时, a1 = 3 ,此时, an = 3 + ( n ? 1) ? 2 = 2n + 1 所以,该数列为:3,5,7,9,11,13,15.……………………………………………2 分

解得 k = 3 ,项数 n = 2 × 3 + 1 = 7 ,

……………………………………………2 分

(k + 1)(k + 1 ? 1) ? ? 2d = 36 ?(k + 1)a1 + ? 2 解法 2: ? ?k (a + d ) + k (k ? 1) 2d = 27 ? ? 1 ? 2 ?(k + 1)a1 + (k + 1)kd = 36 ,解得 k = 3 ,项数 n = 2 × 3 + 1 = 7 ,……………………2 分 ? 2 ?ka1 + k ? d = 27
以下同解法 1 (3)在 2tSn +1 ? 3(t ? 1) S n = 2t ( n ∈ N ) 中,令 n = 1 ,得 a 2 =
?

3(t ? 1) . 2t

∵ 2tSn +1 ? 3(t ? 1) S n = 2t (n ∈ N ? )
可得 2tSn ? 3(t ? 1) S n ?1 = 2t (n ∈ N ? , n > 1) ①减去②得:

① ②

a 3(t ? 1) an +1 3(t ? 1) = ,且 2 = .………………………………………2 分 an 2t a1 2t 3 3(t ? 1) ∵ < t < 3 ,∴ 0 <| |< 1 . t = 1 时,数列为 1,0,0 ? ? ? ,显然不合题意) (当 5 2t
所以, {a n } 是首项 a1 = 1 ,公比 q =

设项数 n = 3 ,

3(t ? 1) 的等比数列,且公比 0 <| q |< 1 .…2 分 2t

5 5 2 ,∴1 ? q + q = , 2 2 3 1? 7 1+ 7 ∴ q 2 ? q ? = 0 ,解得 q = 或q = (舍) 2 2 2 1 ? 7 3(t ? 1) 3 由 = 解得 t = 7 ? 2 ∈ ( ,3) 2 2t 5 1? 7 1? 7 2 所以,当 t = 7 ? 2 时,对应的数列为 1, ,( ) . …………………………2 分 2 2 设数列 {a n } 为无穷数列, 1 q 由题意,得 S' = , S'' = , 2 1? q 1 ? q2 1 5 5 3 ∵ S' ? S '' = ,∴ = ,∴ q = ? 2 1+ q 2 5 3(t ? 1) 3 5 3 ∵ = ? ,∴ t = ∈ ( ,3) . 2t 5 7 5
∵ S' ? S '' =

所以,当 t =

5 3 3 2 3 n ?1 时,对应的数列为 1,? , (? ) ,? ? ?, ( ? ) ,? ? ? 7 5 5 5

…………………2 分

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