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2.2.2对数函数及其性质hjh


2.2.2 对数函数及其性质

复习回顾:函数 y = ax ( a > 0, 且 a ≠ 1 ) 叫做指数
函数,其中x是自变量.函数的定义域是 R.

a > 1
y

0 < a < 1
y
y=1
(0,1)

图 象

/>y=1
(0,1)

0

x

0

x

性 质

定义域:R 值 域 : (0 ,+∞) 过点(0,1),即x=0 时,y = 1.
在R上是增函数 在R上是减函数

考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗 址上死亡的残留物,利用 t ? log P 估计出土文物或古遗址的年代。
5730

1 2

t 能不能看成是 P 的函数? 根据问题的实际意义可知,对于每一个碳14 含量P,通过对应关系 t ? log P ,都有唯
5730

1 2

一确定的年代 t 与它对应,所以,t 是P的函数。

一般地,函数y = loga x (a>0,且a≠ 1)叫 做对数函数.其中 x是自变量, 函数的定义 域是( 0 , +∞)
判断:以下函数是对数函数的是 ( )

A y=log2(3x-2) C y=log1/3x2

B y=log(x-1)x D y=lnx

例1 求下列函数的定义域:

(1) y ? log a x

2

(2) y ? log a (4 ? x)

1 (3) y ? log 7 1 ? 3x

1 (4) y ? log2 x

求定义域:(4)对数的真数大于零,底数大于零不等于1.

对数函数: y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与性质
在同一坐标系中用描点法画出对数函数

y ? log 2 x和y ? log 1 x 的图象。
2

作图步骤:

①确定定义域; ②列表; ③描点、连线。

y ? log 2 x

和 y ? log 1 x 的图象: 0.5 -1 1
y=log2x

列 表

y ? log 2 x
y ? log 1 x
y
5 4 3 2 1
-1 -2 -3

x

1 0 0

2

2 1

4 2 -2

8 3 -3

2

-1

-3 -2 -10 1 2 3 4 5 6 7 8 x

y= log 1x
2

这两个函 数的图象 有什么关 系呢?

关于x轴对称

对数函数的图象和性质
a>1 y 图 x=1 y=logax (a>1) y x=1 0<a<1



o

(1, 0)

x

o

(1, 0)

y=logax (0<a<1)

x

(1)定义域: (0, +∞) 性 (2)值 域: R 质 (3)过点 (1, 0), 即 x=1 时, y=0. (4)在 (0, +∞) 上是增函数. (4)在 (0, +∞) 上是减函数.

底数大小 对图象的 影响

y

y ? log2 x y ? log3 x
1

y ? log5 x

o

1

x

当底数大于1时,底数越大, 图象越靠近 x 轴

底数大小 对图象的 影响

y

1

o

1

log1 x

x

log1 x
log1 x
2

5

3

底数大于零不等于1时,底数越小, 图象越靠近 x 轴

y

图 形

y=log x
2

y=log x
10

0

1
y=log x
0.5

y=log 0.1 x

x

底数互为倒数的两个对数函数的 补充 性质 图像关于x轴对称。 一 底数a>1时,底数越大,其图像越接 补充 性质 近x轴。 二 底数0<a<1时,底数越小,其图像越 接近x轴。

例8、比较下列各组数中两个数的大小:
(1)log 2 3 . 4 与 log 2 8 . 5 解:∵ y = log 2 x 在 ( 0 , + ∞) 上是增函数
4

且 3 . 4 <8 . 5

∴ log 2 3 . 4 < log 2 8 . 5

3

2

1

2

3.4

4

6

8.5
8

10

-1

-2

y=log2x

-3

例8、比较下列各组数中两个数的大小: (2)log 0 . 3 1 . 8 与 log 0 . 3 2 . 7 解:∵ y = log 0 . 3 x 在 ( 0 , + ∞) 上是减函数
1.4

且 1 . 8 <2 . 7

∴ log 0 . 3 1 . 8 > log 0 . 3 2 . 7

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

1.8
0.5 1 1.5 2

2.7
2.5 3 3.5

-0.5 -0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1

-1.2

-1.4

若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直 接进行判断.

y=log0.3x

例8、比较下列各组数中两个数的大小: (3)log a 5 . 1 与 log a 5 . 9

( a > 0, 且 a ≠ 1 )

若底数为同一字母,则按对数函数的单调性对底数进 行分类讨论.

例2:比较下列各组数中两个值的大小:
(1)log 6 7 与 log 7 6 解:∵ log 6 7 > log 6 6 = 1 且 log 7 6 < log 7 7 = 1 ∴ log 6 7 > log 7 6 (2) log 3 π 与 log 2 0 . 8 解:∵ log 3 π > log 3 1 = 0 且 log 2 0 . 8 < log 2 1 = 0 ∴ log 3 π > log 2 0 . 8

若底数、真数都不相同,则常借助1、0、-1等中间 量进行比较

例2:比较下列各组数中两个值的大小: (3) log 2 7 与 log 3 7 (4) log 0 . 2 0 . 8 与 log 0 . 3 0 . 8

解:∵ log 7 3 > log 7 2 >0
? 1 1 ? l og7 2 l og7 3

解:∵ log 0 . 8 0 . 2 > log 0 . 8 0 . 3
且 log 0 . 8 0 . 2 、 log 0 . 8 0 . 3 >0
? 1 l og0.8 0.2 ? 1 l og0.8 0.3

∴ log 2 7 > log 3 7

∴ log 0 . 2 0 . 8 < log 0 . 3 0 . 8

若真数为同一常数,先用公式变为底数为同一常数, 再利用对数函数的单调性进行判断.

口答:比较下列各题中两个值的大小

(1) lg 6 < lg 8

(2) log 0.1 0.5 > log 0.1 0.6

(3) log 0.5 6 < log 0.5 4 (4) log 1.5 1.6 > log 1.5 1.4

比较两个对数值的大小的方法:
(1)若底数为同一常数,则可由对数函数 的单调性直接进行判断. (2)若真数为同一常数,先用公式变为底 数为同一常数,再利用对数函数的单调 性进行判断. (3)若底数为同一字母,则按对数函数的 单调性对底数进行分类讨论. (4)若底数、真数都不相同,则常借助1、 0、-1等中间量进行比较

例9:溶液酸碱度是通过pH刻画的。pH的计算公式 为pH=-lg[H+],其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度, 单位是摩尔/升。 (1)、根据对数函数性质及上述pH的计算公式,说明 溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系;
解: 根据对数的运算性质,有
?

1 pH ? ? lg[ H ] ? lg[ H ] ? lg [H ? ]
? ?1

在(0,+∞)上,随着[H+]的增大, 减少,相应地, 1 +]的增大,pH减 lg 也减少,即 pH 减少.所以,随着 [H [H ? ] 少.即溶液中氢离子的浓度越大,溶液的酸度就越 小.

1 [H ? ]

(2)、已知纯净水中氢离子的浓度为[H+]=10-7摩尔/升, 计算纯净水的pH。

解:当[H+]=10-7时,pH= -lg10-7=7.所以,纯净水 的pH是7.
胃酸中氢离子的浓度是 2.5×10-2摩尔/升,胃 酸的pH是多少? 胃酸pH= -lg 2.5×10-2 = -lg2.5 +2≈1.6

探究
在指数函数y=2x中,x为自变量,y为因变 量.如果把y当成自变量,x当成因变量,那么x 是y的函数吗?如果是,那么对应关系是什么? 如果不是,请说明理由. 根据指数与对数的关系:

y ? 2 ? x ? log2 y
x

对于任意一个y∈(0,+∞),通过式子x=log2y,x在 R中都有唯一确定的的值和它对应.也就是说, 可以把y看作为自变量,x作为y的函数.

这时我们就说x=log2y (y∈(0,+∞))是函数 y=2x(x ∈R)的反函数. 习惯上,我们用x表示自变量,y表示因变 量,y是x的函数

把x=log2y 写成y=log2x
因此,对数函数y=log2x (x∈(0,+∞))是指数 函数y=2x(x ∈R)的反函数.

指数函数y=2x(x ∈R)与对数函数y=log2x (x∈(0,+∞)) 互为反函数.

一般地,指数函数y=ax(x ∈R, a > 0 且 a ≠ 1 )与对数函数y=logax (x∈(0,+∞),a > 0 且 a ≠ 1 ) 互为反函数.

对数函数y=log2x与指数函数y=2x的图象

y

y ? 2x

y=x
y ? log2 x

x

对数函数y=log x与指数函数y= ( )x的图象
1 x y?( ) 2

y

y=x

x
y=log x

一般地,指数函数y=ax(x ∈R, a > 0 且 a ≠ 1 )与对数函数y=logax (x∈(0,+∞),a > 0 且 a ≠ 1 ) 互为反函数.

互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x 对称。

一、对数函数的定义; 二、对数函数的图象和性质;

三、比较两个对数值的大小.


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