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两条直线的位置关系


教学目标

(1)熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件,能够根据直线的方程判断两条直线的 位置关系. (2)理解一条直线到另一条直线的角的概念,掌握两条直线的夹角. (3)能够根据两条直线的方程求出它们的交点坐标. (4)掌握点到直线距离公式的推导和应用. (5)进一步掌握求直线方程的方法. (6)进一步理解直线方程的概念,理解运用直线的方程讨论两条直线位置关

系的思想 方法. (7)通过点到直线距离公式的多种推导方法的探求,培养学生发散思维能力,理解数 形结合的思想方法.

教学建议 一、教材分析 1.知识结构

2.重点、难点分析

重点是两条直线的平行与垂直的判断;两条直线的夹角;点到直线的距离.

难点是两条直线垂直条件的推导; 一条直线到另一条直线的角的概念和点到直线距离公式的 推导.

本节内容与后边内容联系十分紧密, 两条直线平行与垂直的条件和点到直线的距离公式在圆 锥曲线中都有广泛的应用,因此非常重要.

(1)平行与垂直

①平行

在讨论两条直线平行的问题时, 教材先假定了两条直线有斜截式方程, 根据倾斜角与斜率的 对应关系,将初中学过的两直线平行的充要条件(即判定定理和性质定理)转化为坐标系中的语 言,用斜率和截距重新加以刻画,教学中应注意斜率不存在的情况.

②垂直

教材上将直线的斜率转化成方向向量,然后利用向量垂直的条件推出两条直线垂直的条 件.结合斜率不存在的情况,两条直线垂直的充要条件可叙述为:



一个为 0,另一个不存在.

(2)夹角

①应正确区分直线



的角、直线



的角、直线



的夹角这三个概念.

到 到 于

的角是带方向的角, 它是指

按逆时针方向旋转到与 ,则 + =

重合时所转的角, 它与 . 与 所夹的不大

的角是不同的,如果设前者是 的角成为 和

,后者是

的夹角,夹角不带方向.

当 则 和



的角为锐角

时,则 .



的夹角也是

;当



的角为钝角

时,

的夹角也是

②在求直线 ,



的角

时,应注意分析图形的几何性质,找出 或





的倾斜角

关系,得出 ,

,然后由

联想差角的正切公式,便可把图形的几何性质转化为坐标语言来

表示,推导出



再由



的夹角与



的角之间的关系,而得出夹角计算公式

这种把“形”转化为“数”的方法,是解析几何的基本方法,要认真揣摩.

③对于以上两个求角公式,在解决实际问题时,要注意根据具体情况选用.

(3)交点

①求两条直线的交点问题就是求它们的方程的公共解的问题, 这可以由直线的方程与方程的 直线的定义来理解.

②在同一平面内,两条直线有三种位置关系:相交、平行、重合,相应的由直线方程组成的 二元一次方程组的解有三种情况:有惟一解、无解、无数多个解.但在实际判定时,利用直线的 斜率和截距更方便.若 , ,则:



相交









重合





(4)点到直线的距离

①点到直线的距离公式是研究点与直线位置关系的重要工具. 教科书借助于直角三角形的面 积公式,推导出点到直线的距离公式.在推导过程中,把与两条坐标轴都不平行的线段的长度的 计算,转化为与坐标轴平等或垂直的线段长度的计算,从而简化了运算过程.

②利用点到直线的距离公式可推出两平行线



间的距离公式:



③点到直线距离公式的推导,有多种方法,应鼓励同学们思 考,下面介绍一种较简便的方法.

如右图,设

,过点 的垂线,垂足为

作直线 ,则有















时,上述公式也成立.

(5)当直线中有一条没有斜率时,讨论平行、垂直、角、距离的问题,不必套用以上结论,这 时可结合图形几何性质;直接求解.

二、教法建议

1.本节知识与初中所学的平面几何知识和三角知识联系非常紧密,教学时应加强启发和引 导.如学生对两条直线的平行同位角相等(http://luntan.flycity.cn )的条件已经非常熟悉, 因此在研究两直线平行时,应引导学生迅速建立联系:同位角—倾斜角—斜率(直线方程).又 如,在求 有 到 的角 或 时,根据图形中角的关系,建立 与倾斜角 和 的联系(有且只

两种情况),进而借助三角建立与斜率的关系,得出公式.

2.本节内容中在研究两直线的垂直条件时,由于采用向量这一更高级的工具来处理,显得 既简单又深刻. 所以教学中应注意向量工具的运用, 可让学生尝试用向量推导两直线平行的条件 和点到直线距离公式的推导.

3.本节内容新概念不多,但要求推导的内容不少,教学时要坚持启发式的教学思想,重点 放在思路的探求和结论或公式的运用上. 本节不少内容可安排学生自学和讨论, 还要适当增加练 习,使学生能熟练地掌握公式,增强学生动手计算的能力.本节还要加强根据已知条件求直线方 程的教学.

4.不仅要使学生熟悉用斜率求两直线夹角的公式,也要掌握根据直线方程系数求夹角的方 法(即教材中例 6 的方法),同时会根据所给条件选用.

5.已知两直线的方程会求其交点即可,不必研究两直线方程系数与位置关系之间的关系.

6.在学习点到直线距离公式时,可利用课余时间发动学生寻找更多的推导公式的方法,并 通过寻找多种推导公式的方法,锻炼思维,培养能力.

7.本节学完以后学生可以解决很多较复杂、较综合的问题,如对称问题、直线系过定点问 题、光路最短与足球射门角度最大等最值问题.教学中应适当安排一些这样的内容,以训练学生 思维和培养学生分析问题、解决问题的能力.

教学设计方案

课题:点到直线的距离

教学目标:(1)理解点到直线距离公式的推导过程.

(2)会求点到直线的距离.

(3)在探索点到直线距离公式推导思路的过程中,培养学生发散思维、积极探索的 精神.

教学用具:计算机

教学方法:启发引导法,讨论法

教学过程:

一、引入

点到直线的距离是指过点



的垂线,

与垂足

之间的长度

【问题 1】已知点

(-1,2)和直线



,求

点到直线

的距离.

(由学生分析、解答)

分析:先求出过

点和

垂直的直线:



,再求出



的交点



如果把问题 1 一般化就有如下问题:

【问题 2】已知: ),试求

和直线 点到直线





不在直线

上,且



的距离.

二、点到直线距离

分析 1:要求 长度.

的长度可以象问题 1 的解法一样,利用两点的距离公式可以求



问:这种解法好不好,为什么?

根据学生讨论,教师适时启发、引导,得出

分析 2:如果

垂直坐标轴,则交点和

距离都容易求出,那么不妨(http://tuan.flyci ty.cn )做出与坐标轴垂直的线段 如图 1 所示,显然相对而言 一些, 事实上, 设 ,和 , 和 , 好求 坐

到直线的距离为

标为



坐标为

,则易求:



所以:



所以:

根据三角形面积公式:

所以:

(至此问题 2 已经解决)

公式

的完善.

容易验证(由学生完成):



,即

轴时,公式成立;



,即

轴时,公式成立;



点在

上时,公式成立.

公式

结构特点

师生一起总结:

(1)分子是

点坐标代入直线方程;

(2)分母是直线未知数



系数平方和的算术根.

类似于勾股定理求斜边的长

三、检测与巩固

练习 1

(1)

到直线

的距离是________.

(2)

到直线

的距离是_______.

(3)用公式解

到直线

的距离是______.

(4)

到直线

的距离是_________.

订正答案:(1)5;(2)0;(3)

;(4)



练习 2

1.求平行直线



的距离.

解:在直线 直线 的距离.

上任取一点,如

,则两平行线的距离就是点



因此,





【问题 3】

两条平行直线的距离是否有公式可以推出呢?求两条平行直线 0 的距离.



解:在直线上

任取一点,如

则两平行线的距离就是点

到直线

的距离,(如图 2).

因此,





注意:用公式时,注意一次项系数是否一致.

四、小结作业

1、点到直线的距离公式及其推导;

师生一起总结点到直线距离公式的推导过程:

2、利用公式求点到直线的距离.

3、探索两平行直线的距离

4、探索“已知点到直线的距离及一条直线求另一条直线距离.

作业:P54 13、14、16 思考研究:运用多种方法推导点到直线的距离公式.

探究活动

研究性学习

点到直线距离公式是本节的重点和难点之一, 公式的推导历来是探索的重点. 教材上的第二 种方法较传统已有不少改进, 但运用向量的理论研究两条直线的位置关系的新思想在这一问题上 没有体现,而运用向量理论推(http://www.flycity.cn )点到直线的距离公式又是可行的,因 此尝试用向量推导距离公式是很有意义的.为此设计如下研究性题目:

试用向量的理论推导(或证明)点到直线的距离公式.

简要思路:

首先规定直线的法向量.设直线 一点,则 的方程可表示为 是与直线的方向向量 法向量.

的方程为





上任意

的形式.由向量内积的概念可知向量 垂直的向量, 我们把 称为直线 的

其次推导点到直线的距离公式.设 是 量到 上的任一点, ,则不论 垂直 于

是直线 .则所求为



外的一点, .如图5,不妨 l 的法向 ,因为:

的角为

为锐角还是钝角,总有

所以:

=




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