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2017最新幂函数知识总结












? 一、幂函数定义:形如 y ? x (? ? R) 的函数称为幂函数,其中 x 是自变量,? 是

常数。 注意:幂函数与指数函数有何不同? 【思考·提示】 本质区别在于自变量的位置不同,幂函数的自变量在底数位 置,而指数函数的自变量在指数位置. 观察图:

1

归纳:幂函数图像在第一象限的分布情况如下:

二、幂函数的性质

归纳:幂函数在第一象限的性质:

? ? 0 ,图像过定点(0,0) (1,1) ,在区间( 0,?? )上单调递增。 ? ? 0 ,图像过定点(1,1) ,在区间( 0,?? )上单调递减。
m n 探究:整数 m,n 的奇偶与幂函数 y ? x (m, n ? Z , 且m, n互质) 的定义域以及奇偶 性有什么关系?

2

m n 结果:形如 y ? x (m, n ? Z , 且m, n互质) 的幂函数的奇偶性

(1)当 m,n 都为奇数时,f(x)为奇函数,图象关于原点对称; (2)当 m 为奇数 n 为偶数时,f(x)为偶函数,图象关于 y 轴对称; (3)当 m 为偶数 n 为奇数时,f(x)是非奇非偶函数,图象只在第一象限内. 三、幂函数的图像画法: 关键先画第一象限,然后根据奇偶性和定义域画其它象限。 指数大于 1,在第一象限为抛物线型(凹) ; 指数等于 1,在第一象限为上升的射线; 指数大于 0 小于 1,在第一象限为抛物线型(凸) ; 指数等于 0,在第一象限为水平的射线; 指数小于 0,在第一象限为双曲线型;
y ? x ? (? ?

2、幂函数

q , p, q ? Z , p, q互质) p 的图像:

3、比较幂形式的两个数的大小,一般的思路是: (1)若能化为同指数,则用幂函数的单调性; (2)若能化为同底数,则用指数函数的单调性; (3)若既不能化为同指数,也不能化为同底数,则需寻找一个恰当的数作 为桥梁来比较大小. .经典例题:

3

例 1、已知函数 f ( x) ? x?2m ?m?3 (m ? Z) 为偶函数,且 f (3) ? f (5) ,求 m 的值, 并确定 f ( x) 的解析式. 例 2、若 (m ? 1)?1 ? (3 ? 2m)?1 ,试求实数 m 的取值范围. 例 3、若 (m ? 1)3 ? (3 ? 2m)3 ,试求实数 m 的取值范围. 例 4、若 (m ? 1)4 ? (3 ? 2m)4 ,试求实数 m 的取值范围. 例 5、函数 y ? (mx 2 ? 4 x ? m ? 2) 4 ? (m2 ? mx ? 1) 的定义域是全体实数,求 m 的 取值范围。
2 m ?2m?1 练习 1:已知函数 y ? (m ? m ?1) x 是幂函数,求此函数的解析式.
2

2

?

1

2 a ?9 练习 2:若函数 f (x) ? (a ? 9a ? 19) x 是幂函数,且图象不经过原点,求函数的

解析式.

题型二:幂函数性质 例 2:下列命题中正确的是(
?



A.当 ? ? 0 时,函数 y ? x 的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过(0,0) , (1,1)两点 C.幂函数的 y ? x 图象不可能在第四象限内 D.若幂函数 y ? x 为奇函数,则在定义域内是增函数 练习 3:如图,曲线 c1, c2 分别是函数 y=xm 和 y=xn 在第一象限的图象,那么 一定有( ) A.n<m<0 B.m<n<0 C.m>n>0 D.n>m>0 y c1
2 5 练习 4: . (1)函数 y= x 的单调递减区间为( ) A. (-∞,1) B. (-∞,0) C. [0,+∞) D. (-∞,+∞)
? ?

c2 0 x

4

(2) .函数 y=x

?3 4

在区间上
1

是减函数.

(3) .幂函数的图象过点(2, 4 ), 则它的单调递增区间是

5


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