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一元一次不等式基础知识归纳


一元一次不等式基础知识点及例题、练习
现代双语实验学校 曹伟
1.用不等号>、<表示不等关系的式子,叫不等式。 如 120>135 ,x<30 ,120<5x 例题:用不等式表示下列数量关系。 (1)a 的一半与-3 的和小于或等于 1。

3 ( 2 )a的 与 2 的差的相反数不小于 ? 5。 5 1 ( 3)x的相反数的 不大于x的5

倍加16。 7 1 1 1 (1)a的一半: a 与- 3的和: a ? ( ?3) 小于或等于1: a ? ( ?3) ? 1 2 2 2 解: 1 故: a ? ( ?3) ? 1 2 3 3 ( 2 )a的 与 2 的差: a ? 2 5 5 3 不小于-5: ? ( a ? 2) ? ?5 5 3 故: ? ( ? a ? 2) ? ?5 5

3 相反数:-( a ? 2) 5

1 1 ( 3)x的相反数的 : ? x 7 7 x 的 5 倍 加 16 : 5x + 16 ? 1 1 x ? 5x ? 16 故: ? x ? 5x ? 16 7 7

其关系不大于:

练习 用不等式表示:x 的 2 倍与 1 的和大于-1 为__________,y 的与 t 的差的一半是负 数为_________ 2.能使不等式成立的未知数的值,叫不等式的解。 例题:下列各数中,哪些是不等式 x+2>5 的解?那些不是? -3,-2,-1,0,1.5,2.5,3,3.5,5,7 3.一个不等式的所有解,组成这个不等式的解的集合,简称为这个不等式的解集。 例题:两个不等式的解集分别为 x<2 和 x≦2,他们有什么不同?在数组上怎么表示他们 的区别? 练习:两个不等式的解集分别为 x≦1 和 x>1,他们有什么不同?在数组上怎么表示他们 的区别? 4.不等式的性质。如果(1)a>b,那么 a+c>b+c,a-c>b-c.(2).如果 a>b,并且 c>0,那 么 ac>bc. (3).如果 a>c,并且 c<0,那么 ac<bc. 例题: 指出下列各题中不等式的变形依据 1)由 3a>2 得 a> 2 3 3)由-5a<1 得 a>- 1 5 2) 由 3+7>0 得 a>-7 4)由 4a>3a+1 得 a>1

练习: 把下列不等式变成 x>a X+4>7 5x<1+4x

x<a 的形式。
4 - 5 x>-1

2x+5<4x-2

5 不等号的两边都是整数,而且只含有一个未知数,未知数的最高次数是一次,这样的不等 式叫做一元一次不等式。 例题判断下列属于一元一次不等式的是 ( ) 10>8 2x+1>3y+2

2(1 ? y ) ?

1 y ?1 2

x 2 +3>5

判断下列哪些是一元一次方程,哪些是一元一次不等式 x+1<6 x+8=2 x 30 x ≥90 x+1<6 x+2 x ≦3 13 x+1=6 6 一元一次方程的解法解一元一次方程有哪些步骤 ⑴去分母——方程两边同乘以各分母的最小公倍数. ⑵去括号——应用分配律、去括号法则, ⑶移项—一般把含未知数的项移到方程的左边,常数项移到方程的右边。 ⑷合并同类项——要注意只是系数相加减,字母及其指数不变. b ⑸系数化为 1——同除以未知数前面的系数或乘以系数的倒数,即 ax=b→x= a 例题联系上面一元一次方程的解法 ,解一元一次不等式,并将它的解集在数轴上表示出来 (1) 2x+1>3 (2) 3x+1>2x-5 (说出变形的方法和其依据)(不等式的 性质几) 练习联系上面一元一次方程的解法 ,解一元一次不等式,并将它的解集在数轴上表示出来 (1) 2x+1>3 (2) 3x+1>2x-5 (说出变形的方法和其依据)(不等式的 性质几) 7 一元一次方程和一元一次不等式解法的比较 解方程的一般步骤: 1. 去分母 2. 去括号 3. 移项 4. 合并同类项 5. 系数化为 1 解不等式的一般步骤 1. 去分母 2. 去括号 3. 移项 4. 合并同类项 5. 系数化为 1

例题 1.解下列不等式,并把解集在数轴上表示出来: (1)2(x+2)-6≤-3(x-4) (2)5-

3x ? 1 1 ? x ? 4 2

例、练习根据下列条件,求 x 的取值范围: (1)2x-1 的值不小于 0; (2)

8 一元一次不等式组的概念 一般地,由几个同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式叫做一元一次不等式组。 要点: (1)组成不等式组的不等式必须是同一个未知数的不等式; (2)每一个不等式必须是一元一次不等式; (3) “几个”并没有确定个数,但必须是两个或两个以上; (4)每个不等式在不等式组中的地位是相同的,并列的,缺一不可。 一元一次不等式组中各个不等式的解的公共部分叫做这个不等式组的解(

3x ? 1 2 x ? 5 ? 的值小于 1. 2 3

例题、下列不等式组是一元一次不等式组的是( )

A.

x ? y ?1 x ? y?1

B.

x 2 ? x? 2 x ? 1? 0

C.

2 x ? x? x x ? 2? 3 y
) D. ?

x ? 1? 2
D 2 x ? 3? x ? 1

x? 2

练习、下列不等式组中,解集是 2<x<3 的不等式组是( A. ?

?x ? 3 ?x ? 2

B. ?

?x ? 3 ?x ? 2

C. ?

?x ? 3 ?x ? 2

?x ? 3 ?x ? 2

不等式组 ?

?x ? 2 ? 0 的解集在数轴上表示正确的是 ? x ? ?1
-1 0 1 2

(

)

A

-1 0 1 2 B

-1 0 1 2 C

-1 0 1 2 D

9 解不等式组的步骤: 求不等式组的解的过程叫做解不等式组。 1. 分别解不等式组中的每一个不等式; 2. 将每一个不等式的解在数轴上表示出来,找出它们的公共部分; 3. 写出这个一元一次不等式组的解。 4. 由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解的四种情况见下表: 不等式 组 (a<b) 在数轴上表示 解 口诀

?x ? a ? ?x ? b ?x ? a ? ?x ? b ?x ? a ? ?x ? b ?x ? a ? ?x ? b

x≥b

同大取大

x≤a

同小取小

a≤x≤ b 无解

大小、小大中间找

小小、大大找不到

例题〔2011?芜湖市〕求满足不等式组的 ?

?3x ? 5 ? 1



?5 x ? 18 ? 12 ②

整数解

练习解下列一元一次不等式组,并把它的解在数轴上表示出来。

(1)

3x ? 5? x ? 7 5x ? 9 ? 6 x ? 1

(2)

3 ? 2x ? ?1 5 x 1 1 2x ? ? ? 3 6 2 3

一元一次方程的应用例题河北省)在一次“人与自然”知识竞赛中,竞赛试题中共有25道题, 每道题都给出4个答案,其中只有一个答案正确,要求学生把正确答案选出来,每道题选对 得4分,不选或选错倒扣2分,如果一个学生在本次竞赛中得分不低于60分,那么他至少选 对了______道题。 评析:不等式应用题的难点之一是辨别它与方程应用题的异同,如何列出不等式,要 善于抓住题中“不低于”“至少”等字词的数学含义。本题中对“倒扣2分”应理解为不选 、 或选错,实际应扣6分,故当设选对了 x 道题,则不选或选错题为(25-x)道,则有 100-6(25-x)≥60 解出:x≥18 x=19,即他至少选对了19道题。

练习:1、某市)足球比赛的计分规则为:胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分,一个队 应打15场已负3场,若要想积22分,那么这个队至少还要胜( ) A、3 场 B、4 场 C、5 场 D、6 场 练习:2、某公司为了扩大经营,决定购进 6 台机器用于生产某种活塞.?现有甲,乙两种 机器供选择,其中每台机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示.经过预算, 本次购买机器所耗资金不能超过 34 万元. 甲 价格/(万元/台) 每台日产量/个 (1)按该公司要求可以有几种购买方案? (2)若该公司购进的 6 台机器的日生产能力不低于 380 个,那么为了节约资金应选择 哪种购买方案? 练一练:1 解下列不等式并把解集在数轴上表示出来 2x+3<3x+2 -3x+2≤5 7 100 乙 5 60

1 x ≠2 3

2:x 取哪些正整数时,代数式 3-

的值不小于代数式

的值?

3:若|3x-6|+(2x-y-m)2=0,求 m 为何值时 y 为正数。


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