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金石为开2014年寒假几何讲义叶中豪


高中提高班几何讲义 例题和习题

(叶中豪)

1.在锐角△ABC 中,AB>AC,M、N 是 BC 边上两个不同的点,使得∠BAM=∠CAN。 设△ABC 和△AMN 的外心分别为 O1、O2。求证:O1、O2、A 三点共线。 (2012 年全国联赛)
A

O2 O1 B M N C

2.已知 O 是△ABC 的外心,P 是圆 OBC 上任一点,过 O 作 AB 垂线交直线 PB 于 E,过 O 作 AC 垂线交直线 PC 于 F。求证:A、E、F 三点共线。
A

F O E B C P

3.已知 AB、CD 分别是相离两圆圆 O1、圆 O2 的外公切线和内公切线,直线 AC、BD 交 于 P。求证:O1、P、O2 三点共线。
A B C O1 D P O2

4.如图,P 是线段 AB 上任一点,AC=AP,且 AC⊥AB,BD=BP,且 BD⊥AB,作 AE⊥BC 于 E,
BF⊥AD 于 F。求证:E、P、F 三点共线。
C E

P A

B

F D

5.如果四边形有一角是直角,两对角线相等。求证:对边中垂线交点与该直角顶点共线。
A D Q P

C B

6.设有一直线与两同心圆相截,交点顺次为 A、B、C、D,过 A、B 各引大圆及小圆的平行弦 AE、
BF,过 C 作 BF 的垂线,垂足为 G,过 D 作 AE 的垂线,垂足为 H。求证:EH=FG。
E H F O A B G

C

D

7.已知 H 是△ABC 的垂心,M、N 分别是 BC 和 AH 的中点,直线 MN 交以 AH 为直径的圆于点 S、
T。求证:AT、AS 平分∠BAC 及其外角。
A S

N

T

H C

B

M

8.如图,设 N 是△ABC 的弧 BAC 的中点,M 是 BC 边中点,I 是△ABC 的内心。求证: ∠ANI=2∠IMC。
N

A

I B M C

9.AC 是与 BD 垂直于 E 的直径,G 是 BA 延长线上一点,过 B 作 BF∥DG 交 DA 延长线于 F,作 CH
⊥GF 于 H。求证:B、E、F、H 四点共圆。

G

F H B E O D A

C

10.已知 Rt△ABD∽Rt△ADC,M 是 BC 中点,AD 与 BC 交于 E,自 C 作 AM 垂线交 AD 于 F。求证:DE=EF。
A

F M E C D

B

11.设 KL、KN 是圆 O 的切线,M 是 KN 延长线上一点,过 K、L、M 三点的圆与圆 O 交于 P,作 NQ⊥LM 于 Q。求证:∠MPQ=2∠NMQ。

L

O Q P

K

N

M

12.已知四边形 ABCD,满足 AC⊥BD,自对角线交点 O 向 AB、BC、CD 三边作垂线, 垂足分别为 E、 F、 G, 反向延长 OE、 OF 分别与对边交于 P、 Q。 求证: PF⊥FQ。 (10020801.gsp)
A E Q B D G F P

O

C

13. (帕普斯定理)设 A、B、C,D、E、F 分别是两条直线上的点,交错联结 AE、BD; AF、CD; BF、CE 分别交于 P、Q、R 三点。求证:P、Q、R 三点共线。
B A R P Q C

D

E

F

14. (阿波罗尼斯定理)已知 E、F、G、H 分别在四边形 ABCD 各边上,满足 AE = DG =s, AH =
EB
GC

HD

BF =t,联结 EG、FH 相交于 P 点。求证: HP =s, EP =t。 PG FC PF
D A H

G E P

B

F

C

15.已知:BE、CD 是△ABC 的高,直线 DE、BC 交于 T 点,过 D、E 作 BC 垂线分别交 BE、CE 于 点 F、G。求证:F、G、T 三点共线。
A

D E F B G C T

16. 在△ABC 中,AD1、BE、CF 共点于 P,D2、E、F 三点共线。
A

求证: BD1 = BD2 。 D1C D2 C

F E P

B

D1

C

D2

17. 如图,△ABC 中,AD、BE、CF 共点于 P,联结 EF 交 AD 于 G。 求证: AG = AD 。
GP

DP

A

F

G E P

B

D

C

18.已知:E、F 是平行四边形 ABCD 的 BC、CD 边上任意两点,AE、DC 延长交于 G,AF、BC 延 长交于 H,联结 EF、GH 并延长交于 K。求证:BD∥CK。
A

B E

D

F C H K

G

19.在△ABC 的边 BC 的延长线上取一点 D,使 CD=AC,△ACD 的外接圆与以 BC 边为直径的圆交
于 C、G 两点,直线 BG、AC 交于 E,直线 CG、AB 交于 F。求证:D、E、F 三点共线。
A

F E G

B

C

D

20. 已知 AD 是△ABC 的高,P 是 AD 上任一点,BP、CP 延长交对边于 E、F,联结 DE、DF。求证: ∠ADF=∠ADE。
A

E O F G

B

D

C

21.已知 C、D 是线段 AB 的内分点和外分点,且 P 是该圆上任意一点。求证: PA =k。
PB

AC CB



AD DB

=k,以 CD 为直径作圆,设

P

C A B D

22.梯形 ABCD 中,AD∥BC,BA、CD 延长交于 E,过 C 作 AC 垂线,过 D 作 BD 垂线,两条垂线 交于 F。求证:EF⊥AD 的充要条件是 CF=DF。
E

A

D

F B C

23.BD、CE 是△ABC 的内角平分线,分别过 D、E 作 AC、AB 的垂线相交于点 P,过 A 作 AQ⊥AP 交直线 ED 于点 Q,直线 ED 与 BC 相交于点 T。求证:AQ=QT。
A

E D P Q

B

C

T

24.已知△ABC 中,BE、CF 是角平分线,I 是内心,自 I 作 IP⊥EF 于 P,反向延长 IP 交 BC 于 Q。若 IQ=2IP,求证:∠A=60°。
A

F

P E I

B

Q

C


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