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2013-2014学年高一数学同步课件:函数与方程方程的根与函数的零点(新人教A版必修1)


? 3.1 函数与方程 ? 3.1.1 方程的根与函数的零点

? 【课标要求】 ? 1.结合二次函数的图象,判断一元二次方 程根的存在性及个数;体会数形结合思想 与函数与方程思想的应用. ? 2.理解函数零点的概念,掌握函数零点的 存在性定理. ? 【核心扫描】 ? 1.求函数的零点.(重点) ? 2.零点存在性及零点个数的判定.(难点) ? 3.函数的

零点与方程根的关系.(易混点)

? ?
? ?

? 新知导学 1.函数的零点 f(x)=0 对于函数y=f(x),把使 的实数 x叫做函数y=f(x)的零点. 2.方程、函数、图象之间的关系 x轴 方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图 有零点 象与 有交点?函数y=f(x) .

? 3.函数零点存在的判定方法 连续不断 ? 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象 f(a)·f(b)<0 的一条曲线,并且 是 有 .那么,函数y=f(x)在区 f(c)=0 间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使 得 . ? 温馨提示:判定函数零点的两个条件缺 一不可,否则不一定存在零点;反过来, 若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,则 f(a)·f(b)<0不一定成立.

? ?

?

?

? 互动探究 探究点1 函数的零点是函数y=f(x)与x轴的 交点吗? 提示 函数的零点不是函数y=f(x)与x轴的 交点,而是y=f(x)与x轴交点的横坐标,也 就是说函数的零点不是一个点,而是一个 实数. 探究点2 若连续不断的曲线y=f(x),在区间 [a,b]上有f(a)·f(b)<0,那么y=f(x)在(a, b)内一定有零点,但能确定零点的个数吗? 提示 不能,仅能确定一定有零点,但究

? 探究点3 如果函数y=f(x)在[a,b]上是连续 不断的曲线,且f(a)·f(b)>0,则y=f(x)在 (a,b)内一定没有零点吗? ? 提示 不一定,如y=f(x)=x2在[-1,1]上, 虽有f(-1)·f(1)=1>0,但其有零点x=0.

? 类型一 求函数的零点 ? 【例1】 判断下列函数是否存在零点,如果 存在,请求出. ? (1)f(x)=-x2+2x-1;(2)f(x)=x4-x2; ? (3)f(x)=4x+5;(4)f(x)=log3(x+1). ? [思路探索] 求函数的零点,就是求相应方 程的根.

? ? ? ? ? ?

解 (1)令-x2+2x-1=0,解得x=1, 所以函数f(x)=-x2+2x-1的零点为1. (2)∵f(x)=x2(x-1)(x+1)=0, ∴x=0或x=1或x=-1, 故函数f(x)=x4-x2的零点为0,-1和1. (3)令4x+5=0,则4x=-5<0,方程4x+5 =0无解. ? 所以函数f(x)=4x+5不存在零点. ? (4)令log3(x+1)=0,解得x=0, ? 所以函数f(x)=log3(x+1)的零点为0.

? [规律方法] 1.本题通过求方程f(x)=0的根 得出函数的零点,准确进行因式分解与变 形是求方程根的关键. ? 2.求函数y=f(x)的零点通常有两种方法: 其一是令f(x)=0,根据解方程f(x)=0的根 求得函数的零点;其二是画出函数y=f(x)的 图象,图象与x轴的交点的横坐标即为函数 的零点.

【活学活用1】 求下列函数的零点: (1)y=x-1;(2)y=1+log3x; (3)y=x2-x-6. 解 (1)令x-1=0,得x=1,故函数的零点是1.

1 (2)令1+log3x=0,∴log3x=-1,解得x= , 3 1 故函数的零点是 . 3 (3)令x2-x-6=0,得(x-3)(x+2)=0, 解得x=3或x=-2,∴函数的零点为-2和3.

? 类型二 判断函数零点的个数 ? 【例2】 判断函数f(x)=ln x+x2-3的零点 的个数. ? [思路探索] ? 解 法一 可以运用数形结合法或零点存 函数对应的方程为ln x+x2 -3 在的判定方法解决. =0,所以原函数零点的个数即为函数y=ln x与y=3-x2 ? 的图象交点个数.

? 法二 由于f(1)=ln 1+12-3=-2<0, ? f(2)=ln 2+22-3=ln 2+1>0, ? ∴f(1)·f(2)<0, ? 又f(x)=ln x+x2-3的图象在(1,2)上是不间 断的,所以f(x)在(1,2)上必有零点, ? 又f(x)在(0,+∞)上是递增的,所以零点只 有一个.

? [规律方法] 判断函数零点个数的方法主要 有: ? (1)对于一般函数的零点个数的判断问题, 可以先确定零点存在,然后借助于函数的 单调性判断零点的个数; ? (2)由f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x), 在同一坐标系下作出y1 =g(x)和y2 =h(x)的 图象,利用图象判定方程根的个数; ? (3)解方程,解得方程根的个数即为函数零 点的个数.

2 【活学活用2】 (1)函数f(x)=ln x-x的零点所在的大致区间是 ( A.(1,2) C.(3,4)
2

).

B.(2,3) D.(e,3)

1 (2)判断函数f(x)=x -x的零点的个数. (1)解析 2 ∵f(2)=ln 2-1<0,f(3)=ln 3- >0, 3

∴f(2)· f(3)<0.∴f(x)在(2,3)内有零点. 答案 B

(2)解

法一
2

1 1 2 由 x -x=0,得 x =x.
2

1 令 h(x)=x (x≠0),g(x)=x, 在同一坐标系中画出 h(x)和 g(x)的图象, 由图可知两函数图象只有 1 一个交点,故函数 f(x)=x -x只有一个零点.
2

法二
3

1 1 2 令 f(x)=x -x=0,得 x =x(x≠0),
2 2

1 即 x =1,∴x=1,即函数 f(x)=x -x只有一个零点.

? 类型三 函数零点的应用 ? 【例3】 已知关于x的二次方程ax2 -2(a+ 1)x+a-1=0有两根,且一根大于2,另一 根小于2,试求实数a的取值范围. ? [思路探索] 根据二次方程根的分布画出相 应的函数图象,数形结合建立关于a的不等 式.

? 解 令f(x)=ax2-2(a+1)x+a-1,依题意 知,函数f(x)有两个零点,且一零点大于2, 一零点小于2. ? ∴f(x)的图象大致如图所示:

? 当a>0时,应有f(2)=4a-4(a+1)+a-1 <0, ? ∴0<a<5. ? 当a<0时,应有f(2)=4a-4(a+1)+a-1 >0,无解.

? [规律方法] (1)解决此类问题可设出方程对 应的函数,根据函数的零点所在的区间分 析区间端点函数值的符号,建立不等式, 使问题得解.当函数解析式中含有参数时, 要注意分类讨论. ? (2)二次函数的零点分布抓住:对称轴、判 别式Δ,图象开口方向与区间端点函数值的 符号,利用数形结合直观求解.

【活学活用3】 若函数f(x)=ax2-x-1仅有一个零点,求实数 a的取值范围. 解 (1)若a=0,则f(x)=-x-1为一次函数,易知函数只有一

个零点. (2)若a≠0,则函数f(x)为二次函数,若其只有一个零点,则方 程ax2-x-1=0有两个相等的实数根, 1 故判别式Δ=1+4a=0,得a=- . 4 1 综上,当a=0或- 时, 4 函数仅有一个零点.

1 【示例】 函数 f(x)=x+x的零点个数为( A.0 B.1 C.2 D.3 [错解] 因为 f(-1)=-2<0,f(1)=2>0, 所以函数 f(x)有一个零点,故选 B.

? 易错辨析 件致误

忽视零点存在性定理的使用条
).

[错因分析] 函数的定义域决定了函数的一切性质,分析函数 的有关问题时必须先求出定义域.通过作图(图略),可知函数 1 f(x)=x+x的图象不是连续不断的,而零点存在性定理不能在 包含间断点的区间内使用.

? [ 正 解 ] 函 数 f(x) 的 定 义 域 为 {x|x∈R , 且 x≠0}. ? 当x>0时,f(x)>0,∴f(x)=0无实根. ? 当x<0时,f(x)<0,∴f(x)=0无实根. ? 综上,函数f(x)没有零点. ? 答案 A

? [防范措施] (1)零点存在性定理成立的条件 有两个:一是函数y=f(x)在区间[a,b]上的 图象是连续不断的一条曲线;二是f(a)·f(b) <0.这两个条件缺一不可,如果其中一个条 件不成立,那么就不能使用该定理. ? (2)零点存在定理只能用来判定函数y=f(x) 在区间(a,b)上零点的存在性,但不能确定 其零点的个数.

? 课堂达标 ? 1.函数y=4x-2的零点是
? (
A.2 B.(-2,0) 解析
?1 ? C.?2,0? ? ?

).

1 D. 2

令y=4x-2=0,得x=2.

∴函数y=4x-2的零点为2. 答案 A

2.函数f(x)=

?1? -?2?x的零点个数为 ? ?

( A.0 解析 B.1 令f(x)=0,得 C.2
?1? =?2?x, ? ? ?1? 与y=?2?x的图象(略), ? ?

).

D.3

在同一坐标系中,作出y=

数形结合,两图象有一个交点, ∴函数f(x)= 答案 B
?1? -?2?x有一个零点. ? ?

? 3.二次函数y=ax2+bx+c中,a·c<0, 则函数零点的个数是________. ? 解析 ∵a·c<0,∴Δ=b2 -4ac>0, ∴二次函数y=ax2 +bx+c的图象与x轴有 两个交点,则函数有2个零点. ? 答案 2

? 4.函数f(x)=ex +x-2的零点所在的一个 区间是________(填序号). ? ①(-2,-1);②(-1,0);③(0,1);④ (1,2). ? 解析 ∵f(x)=ex+x-2. ? ∴f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0. ? ∴ 函 数 f(x) 的 零 点 所 在 的 一 个 区 间 是 (0,1). ? 答案 ③

? 5.若函数f(x)=|x2-2x|-a没有零点,求 实数a的取值范围. ? 解 令g(x)=|x2-2x|=|(x-1)2-1|. ? 由于(x-1)2≥0,知(x-1)2 -1≥-1,从 而g(x)≥0. ? 令f(x)=0,则a=|x2-2x|. ? 当直线y=a与g(x)的图象没有交点时, 函数f(x)无零点,∴a<0.故实数a的取值范 围是(-∞,0).

? 课堂小结 ? 1.在函数零点存在性定理中,要注意三点: (1)函数是连续的;(2)定理不可逆;(3)至少 存在一个零点. ? 2.方程f(x)=g(x)的根是函数f(x)与g(x)的 图象交点的横坐标,也是函数y=f(x)-g(x) 的图象与x轴交点的横坐标. ? 3.函数与方程有着密切的联系,有些方程 问题可以转化为函数问题求解,同样,函 数问题有时化为方程问题,这正是函数与 方程思想的基础.


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