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厦门市2017届高中毕业班第一次质量检查数学


厦门市 2017 届高中毕业班第一次质量检查

数学(文科)试题
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.已知集合 A={x|x2-3x+2<0},B={x|y=lg(3-x)},则 A∩B= A.{x|1<x<2} B.{x|1<x<3} C.{x|2<x<3} D.{x|x<3}

x2 y 2 2.已知双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的一条渐进线为 y ? 5x ,则双曲线的离心率为 a b
A.

6 6

B. 2

C. 5

D. 6

3.如图,函数 f(x)的图象是折线段 ABC,其中 A,B,C 的坐标分别为(0,4),(2, 0),(6,4),则 f’(1)+f(3)= A. ?1 B. 0 C. 1 D. 2 4.中国将于今年 9 月 3 日至 5 日在福建省厦门市主办金砖国家领导人第九次会晤.某志愿者队伍共有 5 人负责接 待,其中 3 人担任英语翻译,另 2 人担任俄语翻译,现从中随机选取 2 人,恰有 1 个英语翻译,1 个俄语翻译 的概率是 A.

1 3

B.

1 2

C.

3 5

D.

2 3

5.已知角 ? 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边经过点 (? 3, 2) ,则 tan(? ? A. ?3 3 B. ?

?
6

) 的值为

3 5

C. ?

5 3 3

D. ?

3 3 5

6.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一问题: “今有蒲生一日,长三尺.莞生一日,长一尺.蒲生日自半.莞生日自倍.问几何日 而长等?” (蒲常指一种多年生草本植物,莞指水葱一类的植物) 现欲知几日后,莞高超过蒲高一倍,为了解决这个新问题,设计如图的程序框图,输 入 A=3,a=1,那么在①处应填 A.T>2S? B.S>2T? C.S<2T? D.T<2S?

? x ? y ? 1, ? 7.实数 x , y 满足 ? x ? y ? ?1, 则 z ? 4 x ? 3 y 的最大值为 ? 2 x ? y ? 2, ?
A.3 B.4 C.18 D.24

??? ? 1 ??? ? ???? 1 ???? ??? ? ??? ? 8.平行四边形 ABCD 中, AB ? 3 , AD ? 2 , AP ? AB , AQ ? AD ,若 CP ? CQ ? 12 ,则 ?BAD ? 3 2 ? ? ? 2? A. B. C. D. 3 4 3 2
9.当 x>0 时,函数 f(x)=(aex+b)(x-2)单调递增,且函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于直线 x=1 对称,则使得 f(2-m)>0 成立的实数 m 的取值范围是 A.{m|m<-2 或 m>2} B.{m|-2<m<2} C.{m|m<0 或 m>4} D.{m|0<m<4}
高三数学(文科)试题第 1 页(共 4 页)

10.如图,格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某四棱锥的三视图,已知其俯视 图是正三角形,则该四棱锥的外接球的表面积是 A.

19? 3

B.

22? 3

C. 19?

D. 22?

11.抛物线 C:y2=2px 的焦点为 F,准线为 l,A,B 是 C 上两动点,且∠AFB=α(α 为 常数),线段 AB 中点为 M,过点 M 作 l 的垂线,垂足为 N,若

| AB | 的最小值为 1,则 α= | MN |

A.

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2

12.数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,直线 y ? x ? 2 2 与圆 x2 ? y 2 ? 2an ? 2 交于 An , Bn ( n ? N * )两点,且

1 | An Bn |2 .若 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ?? nan ? ?an2 ? 2 对任意 n ? N * 恒成立,则实数 ? 的取值范围是 4 1 1 A. (0, ??) B. ( , ??) C. [0, ??) D. [ , ??) 2 2 Sn ?

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.复数 z 满足 z(1+i)=2-i(i 为虚数单位),则 z 的模为. 14.已知{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,a1+a3+a5=15,a2+a4+a6=0,则 Sn 的最大值为. 15.直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90°,BC=2,CC1=1,直线 B1C 与平面 A1ABB1 所成角等于 60°,则三 棱柱 ABC-A1B1C1 的侧面积为. 16.? x0∈(2,+∞),k(x0-2)>x0(lnx0+1),则正整数 k 的最小值为. (参考数据:ln2≈0.6931,ln3≈1.0986,ln5≈1.6094) 三、解答题 :本大题共 6 小题,每小题分数见旁注,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? M sin(? x ? ? ) ( M ? 0 , ? ? 0 , | ? |?

?
2

)的图象与 x 轴的两个相邻交点是 A(0,0),

B(6,0),C 是函数 f(x)图象的一个最高点.a,b,c 分别为△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,满足 (a+c)(sinC-sinA)=(a+b)sinB. (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)将函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位后,纵坐标不变,横坐标伸长为原来的 的图象,求函数 g(x)的单调递减区间.

? 倍,得到函数 g(x) 3

高三数学(文科)试题第 2 页(共 4 页)

18.(本小题满分 12 分) 为了响应厦门市政府“低碳生活,绿色出行”的号召,思明区委文明办率先全市发起“少开一天车,呵护厦 门蓝”绿色出行活动.“从今天开始,从我做起,力争每周至少一天不开车,上下班或公务活动带头选择步 行、骑车或乘坐公交车,鼓励拼车??”.铿锵有力的话语,传递了低碳生活、绿色出行的理念. 某机构随机调查了本市部分成年市民某月骑车次数,统计如下:

联合国世界卫生组织于 2013 年确定新的年龄分段:44 岁及以下为青年人,45 岁至 59 岁为中年人,60 岁及以 上为老年人. 用样本估计总体,解决如下问题: (Ⅰ)估计本市一个年满 18 岁的青年人每月骑车的平均次数; (Ⅱ)月骑车次数不少于 30 次者称为“骑行爱好者”.根据以上数据,能否在犯错误的概率不超过 0.005 的 前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关? 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 P(k2≥k) 0.50 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

n(ad ? bc)2 K ? (a ? c)(a ? b)(b ? d )(c ? d )
2

19.(本小题满分 12 分) 如图,正方形 ABCD 的边长等于 2,平面 ABCD ? 平面 ABEF , AF / / BE , BE ? 2 AF ? 2 , EF ? 3 . (Ⅰ)求证: AC / / 平面 DEF ; (Ⅱ)求三棱锥 C ? DEF 的体积.

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20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=(x2-ax+a+1)ex. (Ⅰ)讨论函数 f(x)的单调性; (Ⅱ)函数 f(x)有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ),其中 a ? 0 ,若 mx1 ? 值范围.

f ( x2 ) ? 0 恒成立,求实数 m 的取 e x2

21.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 ? :

x2 3 ? y 2 ? 1 ( a ? 1 )与圆 E : x 2 ? ( y ? ) 2 ? 4 相交于 A , B 两点,且 | AB |? 2 3 ,圆 E 交 y 2 2 a

轴负半轴于点 D . (Ⅰ)求椭圆 ? 的离心率; (Ⅱ)过点 D 的直线交椭圆 ? 于 M , N 两点,点 N 与点 N ' 关于 y 轴对称,求证:直线 MN ' 过定点,并求 该定点坐标.

选考题(请考生在 22、23 两题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目,如果多做,则按所做的第一题记分, 作答时,请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? 为 ( ? ? R ). (Ⅰ)求曲线 C1 的极坐标方程与直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 与 C1 , C2 在第一象限分别交于 A , B 两点, P 为 C2 上的动点,求 ?PAB 面积的最大值. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? m | ( m ? 1 ),若 f ( x) ? 4 的解集是 ?x | x ? 0或x ? 4? . (Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ( x) ? a2 ? a ? 4 有解,求实数 a 的取值范围.

? ? x ? 2 ? 7 cos ? ? ? y ? 7 sin ?

( ? 为参数).以 O 为极点, x 轴的正半轴

极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 8cos ? ,直线 l 的极坐标方程为 ? ?

?
3

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厦门市 2017 届高中毕业班第一次质量检查数学(文科)试题答案 一、选择题 1-5: ADACA 二、填空题 13. 6-10: BDBCA 11、12: CB

10 2

14.30

15.

5 ? 15 2

16.5

三、解答题 17.解:(Ⅰ)由题意得 ? ? 0 ,

T 2? 2? ? ? 6 ,即 T ? 12 , ? ? ? ? , 2 T 12 6

由正弦定理得 (c ? a)(c ? a) ? (a ? b)b ,整理得: 即 cos C ? ?

b2 ? a 2 ? c2 1 ?? , 2ab 2

1 2? ,又 C ? (0, ? ) ,所以 C ? , 2 3

在 ?ABC 中,易知 AC ? BC ,取 AB 中点 D 易得 CD ? 3 ,即 M ? 3 , ∴ f ( x) ? 3 sin

?x
6



(Ⅱ)函数 f ( x) 图象向左平移 1 个单位,得 f ( x ? 1) ? 3 sin( 纵坐标不变,横坐标伸长为原来的

?
6

x?

?
6

),

? x ? 倍,得 g ( x) ? 3 sin( ? ) , 2 6 3 ? x ? 3? 2? 8? ? x ? 4k? ? 由 2 k? ? ? ? 2 k? ? ( k ? Z ),解得 4k? ? ( k ? Z ), 2 2 6 2 3 3 2? 8? , 4k? ? ] ( k ? Z ). 所以函数 g ( x) 单调递减区间为 [4k? ? 3 3 20 ? 5 ? 40 ?15 ? 40 ? 25 ? 200 ? 35 ? 200 ? 45 ? 300 ? 55 34200 ? ? 42.75 ; 18.解:(Ⅰ) 20 ? 40 ? 40 ? 200 ? 200 ? 300 800
(Ⅱ)根据题意,得出 2 ? 2 列联表: 骑行爱好者 700 青年人 800 非青年人 300 总计 非骑行爱好者 100 200 1500 总计 800 1000 1800

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1800 ? (100 ? 800 ? 700 ? 200)2 K ? ? 18 ? 7.879 , 300 ?1500 ? 800 ?1000
2

根据这些数据,能在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关. 19.(Ⅰ)证明:连接 BD ,记 AC ? BD ? O ,取 DE 的中点 G ,连接 OG 、 FG . ∵点 O 、 G 分别是 BD 和 ED 的中点,∴ OG ?

1 1 BE , OG / / BE ,又 AF ? BE , AF / / BE , 2 2

∴ OG ? AF ,且 OG / / AF ,∴四边形 AOGF 是平行四边形. ∴ AO / / FG ,即 AC / / FG . 又 AC ? 平面 DEF , FG ? 平面 DEF ,∴ AC / / 平面 DEF .

(Ⅱ)解:在平面 ABEF 内,过点 F 作 FH / / AB ,交 BE 于点 H . 由已知条件可知,在梯形 ABEF 中 AB ? FH ? 2 , EF ? 3 , EH ? 1, ∴ FH 2 ? EF 2 ? EH 2 ,即 FE ? EB ,从而 FE ? AF ,∴ ?AFE ? 90? ∴ S?AEF ?

1 1 3 , AF ? EF ? ?1? 3 ? 2 2 2

∵面 ABCD ? 平面 ABEF ,平面 ABCD ? 平面 ABEF ? AB , DA ? AB ,∴ DA ? 面 ABEF , ∵ AC / / 平面 DEF ,∴点 C 到平面 DEF 的距离等于点 A 到平面 DEF 的距离. ∴ VC ? DEF ? VA? DEF ? VD ? AEF ?

1 1 3 3 . DA ? S?AEF ? ? 2 ? ? 3 3 2 3

2 x 20.解:(Ⅰ) f '( x) ? ? ? x ? (2 ? a ) x ? 1? ?e .

令 x2 ? (2 ? a) x ? 1 ? 0 () (1)当 ? ? (2 ? a)2 ? 4 ? 0 时,即 a ? 0 或 a ? 4 时,
高三数学(文科)试题第 6 页(共 4 页)

方程()有两根, x1 ?

a ? 2 ? a 2 ? 4a a ? 2 ? a 2 ? 4a , x2 ? , 2 2

函数 f ( x) 的递增区间是 (??, x1 ) , ( x2 , ??) ,减区间是 ( x1 , x2 ) . (2)当 ? ? 0 时,即 0 ? a ? 4 时, f '( x) ? 0 在 R 上恒成立, 函数 f ( x) 的增区间为 (??, ??) . 综上所述, a ? 0 或 a ? 4 时,函数 f ( x) 的增区间是 (??, x1 ) , ( x2 , ??) ,减区间是 ( x1 , x2 ) ;

0 ? a ? 4 时,函数 f ( x) 的增区间为 (??, ??) .
(Ⅱ)∵ f '( x) ? 0 有两根 x1 , x2 且 a ? 0 ,∴ a ? 4 且 ?

? x1 ? x2 ? a ? 2, ∴ x1 ? 0 , ? x1 x2 ? 1,

f ( x2 ) f ( x2 ) x22 ? ax2 ? a ? 1 mx1 ? x2 ? 0 恒成立等价于 m ? x ? 恒成立, e e2 x1
即 m ? ? x22 ? 2 x2 ? 1恒成立,

a ? 2 ? a 2 ? 4a t ? t2 ? 4 令 t ? a ? 2(t ? 2) ,则 x2 ? ,令 g (t ) ? , 2 2
当 t ? 2 时,函数 g (t ) ?

t ? t2 ? 4 t ? t2 ? 4 单调递增, g (t ) ? ? g (2) ? 1 ,∴ x2 ? 1 , 2 2

∴ ? x22 ? 2x2 ? 1 ? 2 ,∴ m 的取值范围是 [2, ??) . 21.(Ⅰ)由题意得 A , B 两点关于 y 轴对称,∴ xB ? 3 ,圆心 E 到 AB 距离为 1, ∴ yB ?

1 1 3 1 3 ,∴ B( 3, ) ,∴ 2 ? ? 1 ,∴ a 2 ? 4 ,∴ e ? . 2 2 a 4 2

(Ⅱ)设 M ( x1, y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则 N '(? x2 , y2 ) , 圆 E 与 y 轴负半轴的交点 D(0, ? ) , 当直线 MN 斜率存在时,设斜率为 k ,则直线方程为 y ? kx ?

1 2

1 , 2

1 4k ? ? y ? kx ? , x1 ? x2 ? , ? ? ? ? 2 1 ? 4k 2 2 2 由? 2 整理得 (1 ? 4k ) x ? 4kx ? 3 ? 0 ,∴ ? ?x x ? ? 3 , ? x ? y 2 ? 1, 1 2 ? ? 1 ? 4k 2 ? ?4
直线 MN ' : y ? y1 ?

y1 ? y2 ( x ? x1 ) , x1 ? x2

依椭圆对称性可知,若直线存在定点,则定点在 y 轴上,
高三数学(文科)试题第 7 页(共 4 页)

令 x ? 0 ,得 y ? y1 ? ∵ y1 ? kx1 ?

x1 ( y1 ? y2 ) x1 y2 ? x2 y1 , ? x1 ? x2 x1 ? x2

1 1 , y2 ? kx2 ? , 2 2 3 1 1 ? x1 (kx2 ? ) ? x2 (kx1 ? ) 2 2 ? 2kx1 x2 ? 1 ? 2k ? 1 ? 4k 2 ? 1 ? ?2 ,∴定点为 (0, ?2) , ∴y? 4k x1 ? x2 x1 ? x2 2 2 2 1 ? 4k
当直线 MN 斜率不存在时直线 MN ' 的方程为 x ? 0 显然过 (0, ?2) , 所以直线 MN ' 过定点 (0, ?2) .

22.解:(Ⅰ)依题意得,曲线 C1 的普通方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 7 , 曲线 C1 的极坐标方程为 ? 2 ? 4? cos? ? 3 ? 0 , 直线 l 的直角坐标方程为 y ? 3x . (Ⅱ)曲线 C2 的直角坐标方程为 ( x ? 4)2 ? y 2 ? 16 ,由题意设 A( ?1 , 则 ?12 ? 4 ?1 cos

?

?
3

) , B( ?2 , ) , 3 3

?

? 3 ? 0 ,即 ?12 ? 2?1 ? 3 ? 0 ,得 ?1 ? 3 或 ?1 ? ?1 (舍),

? 2 ? 8 cos

?
3

? 4 ,则 | AB |?| ?1 ? ?2 |? 1 ,

C2 (4,0) 到 l 的距离为 d ?

|4 3| ?2 3. 4

以 AB 为底边的 ?PAB 的高的最大值为 4 ? 2 3 . 则 ?PAB 的面积的最大字号为 ?1? (4 ? 2 3) ? 2 ? 3 . 23.解:(Ⅰ)∵ m ? 1 ,

1 2

高三数学(文科)试题第 8 页(共 4 页)

??2 x ? m ? 1, x ? 1, ? ∴ f ( x ) ? ?m ? 1,1 ? x ? m, ?2 x ? m ? 1, x ? m. ?
作出函数 f ( x) 的图象:

由 f ( x) ? 4 的解集为 ?x | x ? 0或x ? 4? 及函数图象得 ? (Ⅱ)由绝对值不等式几何意义得 f ( x) ? 2 ,

??2 ? 0 ? m ? 1 ? 4, 得m ?3. 2 ? 4 ? m ? 1 ? 4, ?

f ( x) ? a2 ? a ? 4 有解,
2 ? a 2 ? a ? 4 ,即 a 2 ? a ? 6 ? 0 ,

(a ? 3)(a ? 2) ? 0 ,解得 a ? ?3 或 a ? 2 ,
∴实数 a 的取值范围为 ?a | a ? ?3或a ? 2? . 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org

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