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广东省潮州市2014届高三数学高考系列模拟测试(文)试题1


广东省潮州市 2014 届高三高考系列模拟测试数学文试题 1 说明:本试卷共三大题 21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。

第 I 卷(选择题) (50 分) 一、 选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分。在每小题给出的四个选项中,
学科王

只有一项是符合题目要求的 )
学科



1.已知集合 M , N ? x x 2 ? 6x ? 8 ? 0 ,则 M∩N=( ) ? { xx?3 } A.φ 2.复数 B. { x |0 ? x ? 3 } C. { x |1 ? x? 3 } D. { x |2 ? x ? 3 }

?

?

3?i 等于( 1?i

) B.1-2i C.2+i D.2-i

A.1+2i

3. “ a?? 1”是函数 y=cos2ax-sin2ax 的最小正周期为“π ”的( ) A.充分不必要条件 C. 必要不充分条件 B.充要条件 D.既不充分条件也不必要条件

4.方程 A.(0,1)

的一个根所在的区间是( B. (1,2)

) C.(2,3) D. (3,4)

5.一个算法的程序框图如下图所示,若该程序输出的结果为 是( )

5 ,则判断框中应填入的条件 6

A .i<4
学科王

B.i<5

C.i ≥5

D.i<6

6. 如果一空间几何体的正视图与侧视图均为等边三角形, 俯视图是半径为 3 的圆及其圆心, 则这个几何体的体积为( ) A. 3 ? B.3π C. 3 3? D. 9 3?

7.将函数 y ? sin 2x 的图像向左平移 解析式是 ( )

? 个单位, 再向上平移 1 个单位, 所得的图像的函数的 4

A. y ? 2cos x
2

B. y ? 2sin x
2

C. y ? 1 ? 2sin(2 x ?

?
4

)

D. y ? cos 2 x

8.若双曲线

x2 y2 ? ? 1 的一条渐近线方程为 x ? 3 y ? 0 ,则此双曲线的离心率为( ) a2 b2
B.
学科王

A.

3 10 10

10 3

C. 2 2

D. 10

9.已知函数 f ?x ? 是( -∞,+∞)上的偶函数,若对于 x≥0,都有 f (x+2)= f (x),且当 x ∈[0,2)时, f ?x ? =log2(x+1),则 f (-2012)+ f (2013)的值为( A.-2
学科王



B .-1

C.2

D.1

10.已知 命题 p :? x ? [ 1 , 2 ],x2-a≥0,命题 q:? x? R,x2+2ax+2-a=0.若命题 p 且 q 是真命 题,则实数 a 的取值范围为( A.a≤-2 或 a=1 ) C.a≥1 D.-2≤a≤1

B.a≤-2 或 1≤a≤2

第 II 卷(非选择题) (100 分 )
学科王

二、填空题: (本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分)

(一)必做题(11-13 题) 11. 已知平面向量 a ? (1,2) , b ? (?2, m) , 且 a // b ,则 2a ? 3b = 12.已知函数 f ( x) 的图像在点 M (1, f (1)) 处的切线方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 , 则
' f (1) ? f ( 1) ?

.



?x ? y ? 3 ? 13.设变量 x 、 y 满足线性约束条件 ? x ? y ? ?1 ,则目标函数 z ? 2 x ? 3 y 的最小值为 ?2 x ? y ? 3 ?

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题)如图所示,AC 和 AB 分别是 圆 O 的切线,B、C 为切点,且 OC=3,AB=4,延长 AO 到D 点,则△ABD 的面积是_______ ____.

2?cos ? ?x ?? 15 .(坐标系与参数方程选做题)设 P(x,y)是曲线 C:? (θ 为参数)上任 ? ?y ?sin
学科王

意一点,则

y 的取值范围是_____ x

______.

三.解答题: (本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 16. (本题满分 12 分)在锐角△ABC 中,已知内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 满足 2 sin B cos B ? ? 3 cos2B . (1)求 B 的大小; (2)如果 b= 7 a ? 2 ,求△ABC 的面积 S△ABC.

17.(本题满分 14 分)为了了解某年段 1000 名学生的百米成绩情 况,随机抽取了若干学生的 百米成绩,成绩全部介于 13 秒
学科王

与 18 秒之间, 将成绩按如下方式分成五组: 第一组[13, 14) ; 第二组[14,15) ;??;第五组[17,18].按上述分组方法得 到的频率分布直方图如图所示,已知图中从左到右的前 3 个 组的频率之比为 3:8:19,且第二组的频数为 8. (1)将频率当作概率,请估计该年段学生中百米成绩在[16,17)内的人数; (2)求调查中随机抽 取了多少个学生的百米成绩;
学科王

(3)若从第一、五组中随机取出两个成绩,求这两个成绩的差的绝对值 大于 1 秒的概率.

1 8.(本 题满分 12 分)等差数列 {an } 中, a1 ? 3 ,前 n 项和为 Sn ,等比数列 {bn } 各项均为正

数, b1 ? 1 ,且 b2 ? S2 ? 12 , {bn } 的公比 q ? (1)求 an 与 bn ; (2)记 cn = an bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn .

S2 b2

19. (本题满分 14 分)已知如图:平行四边形 ABCD 中,BC=6,正 方形 ADEF 所在平面与平面 ABCD 垂直,G,H 分别是 DF,BE 的中点. (1)求证:GH∥平面 CDE; (2)若 CD=2, DB ?4 2,求四棱锥 F-ABCD 的体积.

2 2 y x 5 : 2? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) 20. (本题满分 14 分)已知 椭圆 C 的离心率为 ,短轴一个端点到 3 a b

右焦点的距离为 3. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过椭圆 C 上的动点 P 引圆 O:x2+y2=b2 的两条切线 PA、PB, A、B 分别为切点,试探究椭圆 C 上是否存在点 P,由点 P 向圆 O 所 引的两条切线互相垂直?若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在, 理由. 请说明

学科王

1 2 (x )? x ?x?a 21. (本题满 分 14 分) 已知 f(x)=xlnx, g 2

(1)当 a=2 时,求函数 y=g(x)在[0,3]上的值域; (2)求函数 f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;

g '( x )? 1 2 (3)证明:对一切 x∈(0,+∞),都有 x ln x? ? 成立 x e e

参考答案 一. 选择题 DCBC D DABDA
学科王 学科王

二.填空题 11.(-4,-8)

12. 5

13.7

14.

48 5

15. [?

3 3 , ] 3 3

2 B? tan 2 B?? 3??4 分 16.(1)解: 2 sin B cos B ? ? 3cos
∵0<2B<π ,?2B ?

2? ? ,? B ? 3 3

??6 分

(2)由 tan 2 B ? ?3 ? B ? 3
2 ∵b= 7 , a ? 2 ,由余弦定理,得: 7 ? 4 ? c ? 2 ? 2 ? c ? cos

?

?
3

?8 分 ?10 分

解得

c ? 3或 - 1 (舍去负 根)
学科王

∴ S ?ABC ?

1 1 3 3 3 ac sin B ? ? 2 ? 3 ? ? 2 2 2 2

( 面积单位 )

?12 分

17.解:(1)百米成绩在[16,17)内的频率为 0.32×1=0.32. 0.32×1000=320 ∴估计 该年段学生中百米成绩在[16,17)内的人数为 320 人。??3 分
学科王

(2)设图中从左到右前 3 个组的频率分别为 3x, 8x, 19x 依题意: 得 3x+8x+19x+0.32×1+0.08 ×1=1, ∴x=0.02 ??5 分

设调查中随机抽取了 n 个学生的百米成绩,则 8 ? 0.02? n=50 ∴调查中随机抽取了 5 0 个学生的百米成绩.
学科王

8 n



??7 分

(3)百米成绩在第一组的学生数有 3×0.02×1×50=3,记他们的成绩为, a,b,c

百米成绩在第五组的学生数有 0.08×1×50=4,记他们的成绩为 m,n,p,q 则从第一、五组中随机取出两个成绩包含的基本事件有 {a,b},{a,c},{a,m},{a,n},{a,p},{a,q},{b,c},{b,m},{b,n}, {b,p},{b,q} ,{c,m},{c,n},{c,p},{c,q},{m,n},{m,p},{m,q},{n,p},{n,q},
学科王

{p,q},

共 21 个??10 分

其中满足成绩的差的绝对值大于 1 秒所包含的基本事件有{a,b},{a,n},{a,p},{a,q}, {n,m},{b,n},{b,p},{b,q},{c,m},{c,n},{c,p},{c,q},共 12 个, 所以 P ? ??12 分

12 4 ? 21 7

学科王

??14 分

?q ? 3 ? a2 ? 12 ? 18.解: ( I)由已知可得 ? 3 ? a2 ?q ? q ?
学科王 学科王 学科王

??3 分
学科王

解直得, q ? 3 或 q ? ?4 (舍去) , a2 ? 6

? an ? 3 ? (n ?1)3 ? 3n
(2)由(1)得 , cn ? an bn ? n ? 3n
学科王 学科王

bn ? 3n?1

??6 分 ??8 分 ① ② ??10 分

由已知得

S n ? 1? 3 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ? ? ? n ? 3n 3S n ? 1? 32 ? 2 ? 33 ? 3 ? 34 ? ? ? n ? 3n?1

①-② 得

? 2S n ? 1? 3 ? 1? 32 ? 1? 33 ? ? ? 1? 3n ? n ? 3n?1
学科王 学科王

? Sn ?

n n ?1 3 n ?1 3 ?3 ? ?3 ? 2 4 4

??12 分

学科王

19.

(1) 证法 : ∵ EF//A

学科王

D, AD//BC

∴ EF//BC 且

EF=AD=BC

∴四边形 EFBC 是平行四边形 ∴H 为 FC 的中点 ???2 分 又∵G 是 FD 的中点 ∴ HG//CD
学科王

???4 分

? HG ? ?平面 CDE ? 平面 CDE, CD
∴GH//平面 CDE
学科王

???7 分 ∴G 是 AE 的中点 ???1 分

证法 2:连结 EA,∵ADEF 是正方形
学科王

∴在△EAB 中,GH//AB ? ??????3 分 又∵AB//CD,∴GH//CD,??????????4 分

? HG ? ?平面 CDE ? 平面 CDE, CD
∴GH//平面 CDE (2)∵平面 ADEF⊥平面 ABCD,交线为 AD 且 FA⊥AD, ∴FA⊥平面 ABCD. ???9 分 ???7 分

∵BC=6, ∴FA=6 又∵CD=2, DB ?4 2, CD2+DB2=BC2 ∴BD⊥CD ???11 分

? S ? CD ? BD ? 8 2 口 A BCD
1 1 ? V ? S ?FA ? ? 82 ? 6 ? 16 2 F ? ABCD 口 ABCD 3 3
???????14 分

20 .解:(1)设椭圆的半焦距为
学科王

? ? c ? ? ? a ? c,依题意 ?? a ? 3 ? ? 2 ? ?a ? ? ?

5 3
???3 分

b

2

? c

2

∴b=2, ∴所求椭圆方程为
学科王

???????4 分

x2 y2 ? ? ?1 9 4

?????5 分

(2)如图,设 P 点坐标为(x0,y0),?????6 分

|? | AP | 若∠APB=900,则有 |OA

???7 分 ???8 分

| ? |OP |2 ? |OA |2 即 |OA
2 2 ? x 4 有2 0 ?y 0?

2 2 两边平方得 x 8 0 ?y 0?

??①???9 分 ??②??10 分

2 2 又因为 P(x0,y0)在椭圆上,所以 4 x 9 y 36 0? 0?

2 ①,②联立解得 x 0 ?

36 4 , y 02 ? 5 5

??11 分

所以满足条件的有以下四组解

? ? 6 5 ? ? 6 5 6 5 6 5 x0 ? ?x0 ? ? x ? ? ? ? 0 5 ? ?x0 ? ? 5 ? ? 5 5 ,? ,? ,? ? 2 5 2 5 2 5 ? ? ?y ? ? 2 5 ? y ? y0 ? ? y0 ? 0 ? ? ? ? 5 5 ? 0 ? 5 ? 2 ?
所以, 椭圆 C 上存在四个点 (

???13 分

6 5 2 5 6 5 2 5 6 5 2 5 6 5 2 5 , ) ,( ,? ), ,? ) ,(? , ) ,(? 5 5 5 5 5 5 5 5
??????14 分

分别由这四个点向圆 O 所引的两条切线均互相垂直.

1 2 3 21.解(1)? ???1 分 g ( x )? ( x ? 1 ) ? ,x∈[0,3] 2 2 3 7 当 x=1 时,gmin(x)=g(1)= ;当 x=3 时, g (x )?g ( 3 )? max 2 2 3 7 故 g(x)值域为 [ , ] ??????3 分 2 2 1 1 (2) f'(x)=lnx+l, 当 x ? (0, ) f'(x)<0 , f(x) 单 调 递 减 , 当 x ? ( ,??) , f'(x)>0 , f(x) 单 调 递 e e
增. ????5 分

1 ① 0?t ?t ?2? ,t 无解; ??? 6 分 e 1 1 1 1 ② 0?t ? ?t ?2.即 0 ? t ? 时, f( ??????7 分 x )min ?f( )? ? e e e e 1 1 ③ ? t ? t ? 2 ,即 t ? 时,f(x)在[t,t+2]上单调递增,f(x)min=f(t)=tlnt;??8 分 e e
1 ? 1 ?? e , 0 ? t ? e 所以 f (x)min ? ? 1 ?t lnt, t? e ?
学科王

??9 分

x 2 ln x ? x? ( x ? ( 0 , ?? )) (3)g'(x )+1=x,所以问题等价于证明 x ,由(2)可知 f(x)=xlnx(x∈(0,+ e e 1 1 ∞))的最小值是 ? ,当且仅当 x ? 时取到; ????11 分 e e 1? x x 2 1 ' (x) ? x ,易得 m ( x )? x ? ( x ? ( 0 , ?? )) ( x ) ? m ( 1 )? ? ,当且仅当 设m ,则 m max e e e e g ( x )? 1 2 ln x? x ? 成立. x=1 时取到,从而对一切 x∈(0,+∞),都有 x ???14 分 e e


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