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三角函数公式及图像[2]


锐角三角函数公式 sin α =∠α 的对边 / 斜边 cos α =∠α 的邻边 / 斜边 tan α =∠α 的对边 / ∠α 的邻边 cot α =∠α 的邻边 / ∠α 的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2) (注:SinA^2 是

sinA 的平方 sin2(A) ) 三倍角公式 sin3α =4sinα ?sin(π /3+α )sin(π /3-α ) cos3α =4cosα ?cos(π /3+α )cos(π /3-α ) tan3a = tan a ? tan(π /3+a)? tan(π /3-a) 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα +Bcosα =(A^2+B^2)^(1/2)sin(α +t),其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα +Bcosα =(A^2+B^2)^(1/2)cos(α -t),tant=A/B

降幂公式 sin^2(α )=(1-cos(2α ))/2=versin(2α )/2 cos^2(α )=(1+cos(2α ))/2=covers(2α )/2 tan^2(α )=(1-cos(2α ))/(1+cos(2α )) 推导公式 tanα +cotα =2/sin2α tanα -cotα =-2cot2α 1+cos2α =2cos^2α 1-cos2α =2sin^2α 1+sinα =(sinα /2+cosα /2)^2 =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin³a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa =4cos³a-3cosa sin3a=3sina-4sin³a =4sina(3/4-sin²a) =4sina[(√3/2)²-sin²a] =4sina(sin²60°-sin²a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)

=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]

=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos³a-3cosa =4cosa(cos²a-3/4) =4cosa[cos²a-(√3/2)²] =4cosa(cos²a-cos²30°) =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)

=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°) /2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 上述两式相比可得 tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 半角公式 tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2 cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2 tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a)) 三角和

sin(α +β +γ )=sinα ?cosβ ?cosγ +cosα ?sinβ ?cosγ +cosα ?cosβ ?s inγ -sinα ?sinβ ?sinγ

cos(α +β +γ )=cosα ?cosβ ?cosγ -cosα ?sinβ ?sinγ -sinα ?cosβ ?s inγ -sinα ?sinβ ?cosγ

tan(α +β +γ )=(tanα +tanβ +tanγ -tanα ?tanβ ?tanγ )/(1-tanα ?tanβ -tanβ ?tanγ -tanγ ?tanα ) 两角和差 cos(α +β )=cosα ?cosβ -sinα ?sinβ cos(α -β )=cosα ?cosβ +sinα ?sinβ sin(α ±β )=sinα ?cosβ ±cosα ?sinβ tan(α +β )=(tanα +tanβ )/(1-tanα ?tanβ ) tan(α -β )=(tanα -tanβ )/(1+tanα ?tanβ ) 和差化积 sinθ +sinφ = 2 sin[(θ +φ )/2] cos[(θ -φ )/2] sinθ -sinφ = 2 cos[(θ +φ )/2] sin[(θ -φ )/2] cosθ +cosφ = 2 cos[(θ +φ )/2] cos[(θ -φ )/2] cosθ -cosφ = -2 sin[(θ +φ )/2] sin[(θ -φ )/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 积化和差 sinα sinβ = [cos(α -β )-cos(α +β )] /2 cosα cosβ = [cos(α +β )+cos(α -β )]/2 sinα cosβ = [sin(α +β )+sin(α -β )]/2 cosα sinβ = [sin(α +β )-sin(α -β )]/2 诱导公式

sin(-α ) = -sinα cos(-α ) = cosα tan (—a)=-tanα sin(π /2-α ) = cosα cos(π /2-α ) = sinα sin(π /2+α ) = cosα cos(π /2+α ) = -sinα sin(π -α ) = sinα cos(π -α ) = -cosα sin(π +α ) = -sinα cos(π +α ) = -cosα tanA= sinA/cosA tan(π /2+α )=-cotα tan(π /2-α )=cotα tan(π -α )=-tanα tan(π +α )=tanα 诱导公式记背诀窍:奇变偶不变,符号看象限 万能公式 sinα =2tan(α /2)/[1+tan^(α /2)] cosα =[1-tan^(α /2)]/1+tan^(α /2)] tanα =2tan(α /2)/[1-tan^(α /2)] 其它公式 (1)(sinα )^2+(cosα )^2=1 (2)1+(tanα )^2=(secα )^2

(3)1+(cotα )^2=(cscα )^2 证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα )^2,第二个除(cosα )^2 即可 (4)对于任意非直角三角形,总有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 证: A+B=π -C tan(A+B)=tan(π -C) (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ -tanC)/(1+tanπ tanC) 整理可得 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 得证 同样可以得证,当 x+y+z=nπ (n∈Z)时,该关系式也成立 由 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 可得出以下结论 (5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1 (6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) (7)(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC (8)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC

(9)sinα +sin(α +2π /n)+sin(α +2π *2/n)+sin(α +2π *3/n)+……+sin[α +2 π *(n-1)/n]=0

cosα +cos(α +2π /n)+cos(α +2π *2/n)+cos(α +2π *3/n)+……+cos[α +2π *( n-1)/n]=0 以及 sin^2(α )+sin^2(α -2π /3)+sin^2(α +2π /3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

三角、反三角函数图像
六个三角函数值在每个象限的符号:

sinα·cscα 三角函数的图像和性质:

cosα·secα

tanα·cotα

y=sinx
-5? 2 -4? -7? -3? 2 -2? -3? -? 2 -

y
? 2

1 o -1 y
? 2 ?

3? 2 2? 5? 2 3?

7? 2 4?

x

y=cosx
-3? -4? -7? 2 -5? 2 -2? -3? 2 -? -

? 2

1 o -1
? 2

?

3? 2 2? 5? 2

3?

7? 2 4?

x

y

y

y=tanx

y=cotx

-

3? 2

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

x

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

2?

x

函数 定义域

y=sinx R

y=cosx R

y=tanx {x|x∈R 且 ? x≠kπ+ ,k∈Z} 2 R 无最大值 无最小值

y=cotx {x|x∈R 且 x≠kπ,k∈Z}

[-1,1]x=2kπ+ 值域 ymax=1 x=2kπ-

?
2



?
2

时 ymin=-1

[-1,1] x=2kπ 时 ymax=1 x=2kπ+π 时 ymin=-1

R 无最大值 无最小值

周期性 奇偶性

周期为 2π 奇函数

周期为 2π 偶函数

周期为 π 奇函数

周期为 π 奇函数

在[2kπ单调性

?

2 2 上都是增函数;在 ? 2 [2kπ+ ,2kπ+ π] 3 2 上都是减函数(k∈Z)

,2kπ+

?



? 在 [2kπ-π, 2kπ] 在(kπ- , 上都是增函数; 2 ? 在 [2kπ, 2kπ+π] kπ+ )内都是增 上都是减函数(k 2 ∈Z) 函数(k∈Z)

在(kπ,kπ+π) 内都是减函数(k ∈Z)

.反三角函数:

arcsinx

arccosx

arctanx 名称 反正弦函数 y=sinx(x∈ ? ? 〔- , 〕的反函 2 2 数,叫做反正弦函 数,记作 x=arsiny arcsinx 表示属于 ? ? [- , ] 2 2 且正弦值等于 x 的 角 定义域 性 质 值域 单调性 [-1,1] [反余弦函数 y=cosx(x∈ 〔0,π〕)的反函 数,叫做反余弦 函数,记作 x=arccosy arccosx 表示属 于[0,π] ,且 余弦值等于 x 的 角 [-1,1] ] [0,π] 在[-1,1]上是 减函数

arccotx 反正切函数 y=tanx(x∈(反余切函数

?
2

,

定义

)的反函数,叫 2 做反正切函数, 记作 x=arctany arctanx 表示属于 ? ? (- , ), 且正切值 2 2 等于 x 的角 (-∞,+∞) () 2 2 在(-∞,+∞)上是增 , 数

?

y=cotx(x∈(0,π)) 的反函数,叫做 反余切函数,记 作 x=arccoty

理解

arccotx 表示属于 (0, π)且余切值等 于 x 的角

(-∞,+∞) (0,π) 在(-∞,+∞)上是 减函数

?



?

?

?

2 2 在〔-1,1〕上是增

函数

奇偶性 周期性

arcsin(-x)=-arcsinx 都不是同期函数 sin(arcsinx)=x(x∈ [-1, 1] )arcsin(sinx)=x(x ? ? ∈[- , ]) 2 2 ? arcsinx+arccosx= 2

arccos(-x)=π-ar ccosx cos(arccosx)=x( x∈[-1,1]) arccos(cosx)=x( x∈[0,π])

arctan(-x)=-arctanx

arccot(-x)=π-arc cotx cot(arccotx)=x(x ∈R) arccot(cotx)=x(x ∈(0,π))

恒等式

tan(arctanx)=x(x∈ R)arctan(tanx)=x x ( ? ? ∈(- , )) 2 2 arctanx+arccotx=

互余恒等式

(x∈[-1,1])

?
2

(X∈R)


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