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【解析】浙江省嘉兴市第一中学等五校2015届高三上学期第一次联考数学(理)试题


浙江省嘉兴市第一中学等五校 2015 届高三上学期第一次联考数学(理)试题 【试卷综析】本试卷是高三理科试卷,以基础知识和基本技能为载体,以能力测试为主导,在注重考查 学科核心知识的同时,突出考查考纲要求的基本能力,重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重 常规、注重主干知识,兼顾覆盖面.试题重点考查:集合、不等式、函数的性质及图象、三角函数、解三角 形、数列、平面向量、立体几何等;考查学生解决实际问题的综合能力,是份较好的试卷. 【题文】一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 【题文】1.已知全集为 R ,集合 A ? x 2 ? 1 , B ? x x ? 6 x ? 8 ? 0 ,则 A
x 2

?

?

?

?

CR B ? (



(A) x x ? 0

?

?

(B)

?x 2 ? x ? 4?

(C) x 0 ? x ? 2或x ? 4

?

?

(D) x 0 ? x ? 2或x ? 4

?

?

【知识点】集合的运算 A1 【答案】 【解析】C 解析:因为 A ? x 2 ? 1 ? x x ? 0 , B ? x x ? 6x ? 8 ? 0 ? x 2 ? x ? 4 ,所以
x 2

?

? ?

?

?

? ?

?

CR B ? ? x x ? 2或x ? 4? , A CR B ? ? x 0 ? x ? 2或x ? 4? ,则选 C.
【思路点拨】遇到不等式解集之间的关系时,可先对不等式求解,再对集合进行运算. 【题文】2.在等差数列 ?an ? 中, a4 ? 2 ? a3 ,则此数列 ?an ? 的前 6 项和为( (A) 12 【知识点】等差数列 D2 (B) 3 (C) 36 ) (D) 6

【答案】 【解析】D 解析:因为 a4 ? 2 ? a3 ,所以 a4 ? a3 ? 2, S6 ? 3? a4 ? a3 ? ? 6 ,所以选 D.. 【思路点拨】遇到等差数列问题,可先观察其项数,根据项数之间的关系判断有无性质特征,有性质特征 的用性质解答. 【题文】3.已知函数 y ? f ( x) ? x 是偶函数,且 f (2) ? 1 ,则 f (?2) ? ( (A) ?1 【知识点】偶函数 B4 【答案】 【解析】D 解析:因为函数 y ? f ( x) ? x 是偶函数,所以 f ? ?2? ? 2 ? f ? 2? ? 2 ? 3, f ? ?2? ? 5 , 所以选 D. 【思路点拨】抓住偶函数的性质,即可得到 f(2)与 f(-2)的关系,求值即可. 【题文】4.已知直线 l , m ,平面 ? , ? 满足 l ? ? , m ? ? ,则“ l ? m ”是“ ? / / ? ”的( (A)充要条件 (C)必要不充分条件 【知识点】充分、必要条件 A2 (B)充分不必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (B) 1 (C) ?5 ) (D) 5



【答案】 【解析】C 解析:因为 l ? ? , m ? ? ,若 l ? m ,两面α 、β 可能平行可能相交,所以充分性不 满足,若 ? / / ? ,则 l⊥β ,由线面垂直的性质可得 l ? m ,所以必要性满足,综上知选 C. 【思路点拨】判断充分条件与必要条件时,可先分清条件与结论,若由条件能推出结论则充分性满足,若 由结论能推出条件,则必要性满足.
-1-

【题文】5.函数 f ? x ? ? cos ? ? x ? 将函数 g ? x ? ? sin ? ? x ? (A)向左平移

? ?

??

? ( x ? R, ? ? 0) 的最小正周期为 ? ,为了得到 f ? x ? 的图象,只需 3?


? ?

??

? 的图象( 3?

? 个单位长度 2 ? (C)向左平移 个单位长度 4
【知识点】三角函数的图像 C3

? 个单位长度 2 ? (D)向右平移 个单位长度 4
(B)向右平移

【答案】 【解析】C 解析:因为函数 f ? x ? ? cos ? ? x ?

? ?

??

2? ? 的最小正周期为 ? ,所以 ? ? ? ? 2 ,则 3?

?? ?? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? f ? x ? ? cos ? 2 x ? ? , g ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? cos ? 2 x ? ? ? ? cos ?2 ? x ? ? ? ? ,则用 3? 3? 3 2? 4 ? 3? ? ? ? ? ?
x?

?
4

换 x 即可得到 f(x)的图像,所以向左平移

? 个单位长度,则选 C. 4
4 ,则它的正视图为( ) 3

【思路点拨】判断两个函数图象的平移情况,关键是抓住解析式中的 x 的变化规律. 【题文】6.如图为一个几何体的侧视图和俯视图,若该几何体的体积为

【知识点】三视图 G2 【答案】 【解析】B 解析:由几何体的侧视图和俯视图,可知几何体为组合体,上方为棱锥,下方为正方 体,由俯视图可得,棱锥顶点在底面上的射影为正方形一边上的中点,顶点到正方体上底面的距离为 1,所以选 B. 【思路点拨】熟悉常见的几何体的三视图特征是解答本题的关键. 【题文】 7. 如图,在正四棱锥 S ? ABCD 中,E , M , N 分别是 BC, CD, SC 的中点, 动点 P 在线段 MN 上 运动时,下列四个结论:① EP ? AC ;② EP / / BD ;③ EP // 面SBD;④ EP ? 面SAC 中恒成立的为 ( )

-2-

(A)①③

(B)③④

(C)①②

(D)②③④

【知识点】平行、垂直的位置关系 G4 G5 【答案】 【解析】A 解析:如图所示,连接 AC、BD 相交于点 O,连接 EM,EN. ①由正四棱锥 S-ABCD,可 得 SO⊥底面 ABCD,AC⊥BD,∴SO⊥AC.∵SO∩BD=O,∴AC⊥平面 SBD,∵E,M,N 分别是 BC,CD,SC 的中点,∴EM∥BD,MN∥SD,而 EM∩MN=N,∴平面 EMN∥平面 SBD,∴AC⊥平面 EMN,∴AC⊥EP.故 正确.②由异面直线的定义可知:EP 与 BD 是异面直线,不可能 EP∥BD,因此不正确;③由(1)可 知:平面 EMN∥平面 SBD,∴EP∥平面 SBD,因此正确.④由(1)同理可得:EM⊥平面 SAC,若 EP⊥ 平面 SAC,则 EP∥EM,与 EP∩EM=E 相矛盾,因此当 P 与 M 不重合时,EP 与平面 SAC 不垂直.即不正 确.综上可知:①③正确.所以选 A.

. 【思路点拨】判断线线、线面位置关系能直接利用定理或性质进行推导的可直接推导,不能推导的可用反 例法排除. 【题文】8.已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 1 , an ?1 ?

an 1 (n ? N ? ) .若 bn?1 ? (n ? 2? ) ? ( ? 1) an ? 2 an


(n ? N ? ) , b1 ? ?? ,且数列 ?bn ? 是单调递增数列,则实数 ? 的取值范围是(
(A) ?

?

2 3

(B) ?

?

3 2

(C) ?

?

2 3

(D) ?

?

3 2

【知识点】数列的表示 D1 【答案】 【解析】C 解析:由 an ?1 ?

?1 ? an 1 2 1 得 ? ? 1, ? 1 ? 2 ? ? 1? ,所以 an ? 2 an?1 an an?1 ? an ?

1 1 ? 1 ? 2 ? 2n?1 ? 2n ,则 bn?1 ? (n ? 2 ?) ?( ?1) ?( n ?2 ? ) ? 2 n ,则 b2 ? 2 ?1 ?2 ? ? 若数列 ?bn ? 是 an an

-3-

单调递增数列,则 b2 ? b1 ,整理得 ?

?

2 ,则排除 A,B,D,所以选 C. 3

【思路点拨】由递推关系求通项公式时,通常构造等差数列或等比数列进行解答,本题也可直接用排除法解 答. 【题文】9.定义 max{a, b} ? ?

?x ?2 ?a, a ? b ? ,设实数 x , y 满足约束条件 ? ,则 y ? 2 ?b, a ? b ? ?
) (C) [?6,8] (D) [?7,8]

z ? max{4 x ? y,3x ? y} 的取值范围是(
(A) [ ?8,10] (B) [ ?7,10]

【知识点】简单的线性规划 B5

【答案】【解析】B 解析:如图,令 z1=4x+y,点(x,y)在四边形 ABCD 上及其内部,求得-7≤z1≤10;
令 z2=3x-y,点(x,y)在四边形 ABEF 上及其内部(除 AB 边),求得-7≤z2≤8. 综上可知,z 的取值范围为[-7,10].故选 B.

. 【思路点拨】由线性约束条件求最值问题,通常结合目标函数的几何意义数形结合进行解答. 【题文】10.已知函数 f ( x) ? ? 可能 为( .. (A) 5 个 ) (B) 6 个 (C) 7 个 (D) 8 个

? log5 (1 ? x) ??( x ? 2) ? 2
2

( x ? 1) ( x ? 1)

,则关于 x 的方程 f ( x ?

1 ? 2) ? a 的实根个数不 . x

【知识点】函数与方程 B9 【答案】 【解析】A 解析:因为 f(x)=1 时,x=1 或 x=3 或 x= 或-4,又因为 x ?

4 1 4 或 x=-4,则当 a=1 时 x ? ? 2 ? 或 1 或 3 5 x 5

1 1 1 ? 2 ? 0或x ? ? 2 ? -4 ,则当 x ? ? 2=-4 时只有一个 x x x

x=-2 与之对应其它情况都有两个 x 值与之对应, 所以此时所求方程有 7 个根, 当 1<a<2 时因为函数 f(x) 与 y=a 有 4 个交点,每个交点对应两个 x,则此时所求方程有 8 个解,当 a=2 时函数 f(x)与 y=a 有 3 个交 点,每个交点对应两个 x,则此时所求方程有 6 个解,所以 B,C,D 都有可能,则选 A.
-4-

【思路点拨】一般判断方程根的个数问题通常转化为函数的图象的交点个数问题进行解答..

非选择题部分(共 100 分)
【题文】二、填空题 本大题共 7 小题, 每小题 4 分, 共 28 分. 【题文】11.函数 f ( x) ?

1 的定义域为_____▲ ____. log2 ( x ? 2)
? ? x-2 ? 0 , ? ?log 2 ? x ? 2 ? ? 0

【知识点】函数的定义域 B1 【答案】 【解析】{x▏x>2 且 x≠3} 解析:由题意得 ?

解得 x>2 且 x≠3.所以函数的定义域为{x▏x>2 且 x≠3}. 【思路点拨】求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量构成的集合. 【题文】12.已知三棱锥 A ? BCD 中, AB ? AC ? BD ? CD ? 2 , BC ? 2 AD ? 2 2 ,则直线 AD 与 底面 BCD 所成角为_____▲ ____. 【知识点】线面所成的角 G11 【答案】 【解析】60° 解析:取 BC 中点 E,连接 AE,DE,因为 AB ? AC ? BD ? CD ? 2 ,所以 BC⊥平 面 AED,得平面 AED⊥平面 BCD,所以∠ADE 即为直线 AD 与底面 BCD 所成角,又

AE ? DE ? 4 ? 2 ? 2 , AD ? 2 ,所以△AED 为等边三角形,则
∠ADE=60°.

【思路点拨】求线面所成角时,可利用线面所成角的定义寻求直线在平面内的射影,进而得到其平面角, 再利用其所在的三角形解答. 【题文】13.已知 cos(? ?

?
4

)?

3 ? 3? , ?? ? ,则 cos 2? ? _____▲ ____. 5 2 2

【知识点】诱导公式 倍角公式 C2 C6 【答案】 【解析】 ?

24 25

解析:因为

?
2

?? ?

3? 3? ? 7? ?? 4 ? , ?? ? ? ,所以 sin ? ? ? ? ? ? ,则 2 4 4 4 4? 5 ?

?? ? ?? 24 ?? ? ? ? 4? 3 cos 2? ? sin ? ? 2? ? ? 2sin ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? . 4? 4? 25 ?2 ? ? ? ? 5? 5
【思路点拨】遇到给值求值问题,通常从角入手,观察所求角与已知角之间是否具有和差倍角关系,再利 用相应的公式计算. 【题文】14.定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 3) ? ? f ( x) ,且 f (1) ? 2 ,则

f (2013) ? f (2015) ? _____▲ ____.
-5-

【知识点】奇函数 函数的周期性 B4 【答案】 【解析】-2 解析:因为 f ( x ? 3) ? ? f ( x),f ? x ? 6 ? ? ? f ? x ? 3 ? ? f ?x ? ,又函数为奇函数, 则 f(0)=0,所以 f (2013) ? f (2015) ? f ?3? ? f ? ?1? ? ? f ? 0? ? f ?1? ? ?2 . 【思路点拨】熟悉常见的周期性条件是解答本题的关键,先利用周期性把所求值向已知条件靠拢,再利用 已知条件转化成已知函数值. 【题文】15.设 a1 ,a2 ,???,an ,??? 是按先后顺序排列的一列向量,若 a1 ? (?2014,13) , 且 an ? an?1 ? (1,1) ,则其中模最小的一个向量的序号 n ? ___▲ ____. 【知识点】向量的坐标运算 F2 【答案】 【解析】1002 或 1001 解析:因为 an ? a1 ? ? n ? 1, n ? 1? ? ? n ? 2005, n ? 12 ? ,所以

an ?

? n ? 2015? ? ? n ? 12?
2

2

? 2n2 ? 4006n ? 20152 ? 122 ,因为二次函数

1 y ? 2n2 ? 4006n ? 20152 ? 122 的对称轴方程为 x ? 1001 ,又 n 为正整数,所以当 n=1002 或 1001 2
时模最小. 【思路点拨】可以借助于等差数列的通项公式求出向量的一般形式,再借助于二次函数求最值. 【题文】16.设向量 a ? (? ? 2, ? 2 ? 3 cos 2? ) , b = (m,

a ? 2b ,则

?
m

m ? sin ? cos ? ) ,其中 ? , m, ? 为实数.若 2

的取值范围为_____▲ ____.

【知识点】三角函数的性质 向量相等 函数的单调性 F1 C3 B3 【答案】 【解析】[-6,1] 解析:由 a ? 2b 得 ?

? ?? ? 2 ? 2 m ,得 2 ? ?? ? 3 cos 2? ? m ? sin 2?

?2 ?

??2
2

3 ?? ? 2? 4 ? ? 2sin ? 2? ? ? ? ? ?2, 2? ,解得 ? ? ? ? 2 ,则 t ? ? ,t ' ? ? 0 ,所 2 2 3? m ??2 ? ? ? ? 2?

以函数在区间上单调递增, 当x??

3 时得最小值为-6,当 x=2 时得最大值为 1,所以所求的范围是[- 2

6,1]. 【思路点拨】利用向量相等等到变量之间的关系,再利用三角函数的性质求出λ 的范围,再利用导数判断 单调性,利用单调性求函数的值域. 【题文】17.若实数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 1 ,则 3ab ? 3bc ? 2c 的最大值为____▲ ____.
2 2 2 2

【知识点】基本不等式 E6 【答案】 【解析】3 解析:

3ab ? 3bc ? 2c 2 ? 3

?

? 2 ? ? 3 ?? 6 ? 2a ? b ? 3 b ? ? 2c 2 ? ? ?? 3 c? ? 2 ? ? ? ? ? ? 6 ?? ?

?

3? 1 ? 3?3 2 ? ? ? 2a 2 ? b2 ? ? ? b2 ? c 2 ? ? 2c 2 ? 3 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? 3 2? 2 ? 2?2 3 ?
【思路点拨】可结合基本不等式对所求式子用基本不等式凑出已知条件中的定值进行解答.
-6-

【题文】三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【题文】18. (本题满分 14 分)在 ? ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 ?B ? 30 , ? ABC 的 面积为

3 . 2

(Ⅰ)当 a, b, c 成等差数列时,求 b ; (Ⅱ)求 AC 边上的中线 BD 的最小值. 【知识点】解三角形 C8 【答案】 【解析】 (Ⅰ) b ? 1 ? 3 ; (Ⅱ)
2

3? 3 2
2 2 2

解析: (Ⅰ)由已知得 a+c+2b,ac=6,而 b ? a ? c ? 3ac ? ? a ? c ? ? 2 ? 3 ac ? 4b ? 6 2 ? 3 ,得
2

?

?

?

?

b ? 1? 3 ;

? BA ? BC ? BA ? BC BA ? BC ? 2BA ? BC (Ⅱ)因为 BD ? , BD ? ? ? ? 2 2 4 ? ?
a 2 ? c2 ? 3ac 2ac ? 3ac 12 ? 6 3 3 ? 3 = ,当 a ? c ? 6 时等号成立. ? ? ? 2 2 2 2
【思路点拨】计算中线的长度时,可利用向量巧妙的转化为三角形边之间的关系进行解答. 【题文】19. (本题满分 14 分)四棱锥 P ? ABCD 如图放置, AB / /CD, BC ? CD , AB ? BC ? 2 ,

2

2

2

CD ? PD ? 1 , ? PAB 为等边三角形.
(Ⅰ)证明: PD ? 面PAB ; (Ⅱ)求二面角 P ? CB ? A 的平面角的余弦值.

【知识点】线面垂直 二面角 G5 G11 【答案】 【解析】 (Ⅰ)略; (Ⅱ)

2 7 7
D N
-7-

解析: ( Ⅰ ) 易 知 在 梯 形 ABCD 中 , AD= 5 , 而

PD ? 1,AP ? 2 ,则 PD ? PA
同理 PD ? PB ,故 PD ? 面PAB ;

C

P A M

H B

(Ⅱ)取 AB 中点 M ,连 PM , DM , 作 PN ? DM ,垂足为 N ,再作 NH ? BC ,连 HN 。 易得 AB ? 面DPM ,则 面ABCD ? 面DPM 于是 PN ? 面ABCD , BC ? 面NPH 即 ?NHP 二面角 P ? CB ? A 的平面角。 在 ?NHP 中, PN ?

2 7 3 7 , ,PH ? , NH ? 1, ∴ cos ?NHP= 2 2 7 2 7 . 7

故二面角 A ? PB ? C 的平面角的余弦值为

【思路点拨】证明直线与平面垂直通常利用其判定定理进行证明,求二面角一般先结合二面角的平面角的 定义作出其平面角,再利用其所在的三角形求值,本题也可以用向量解答. 【题文】20.本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? x ? 2x x ? a ,其中 a ? R .
2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若不等式 4 ? f ( x) ? 16 在 x ? [1, 2] 上恒成立,求 a 的取值范围. 【知识点】函数的单调性 函数的最值 B3 【答案】 【解析】 (Ⅰ)当 a ? 0 时,在 R 上递增 ,当 a ? 0 时,在 ( ??, a ) 和 ( , ??) 上递增,在在 (a, ) 上递减(Ⅱ) ?1 ? a ? ?

a 3

a 3

1 5 或 ?a?5. 2 2

? ?( x ? a)2 ? a 2 ? 解析: (Ⅰ) f ( x) ? ? a 2 a2 3( x ? ) ? ? 3 3 ?

( x ? a) ( x ? a)

当 a ? 0 时, f ( x ) 在 ( ??, a ) 和 ( a, ??) 上均递增,∵ f (a) ? a2 ,则 f ( x ) 在 R 上递增 当 a ? 0 时, f ( x ) 在 ( ??, a ) 和 ( , ??) 上递增,在在 (a, ) 上递减 (Ⅱ)由题意只需 f min ( x) ? 4, f max ( x) ? 16 首先,由(Ⅰ)可知, f ( x ) 在 x ? [1, 2] 上恒递增 则 fmin ( x) ? f (1) ? 1 ? 2 1 ? a ? 4 ,解得 a ? ? 其次,当 a ? 当a ? ?

a 3

a 3

1 5 或a ? 2 2

5 5 时, f ( x ) 在 R 上递增,故 f max ( x) ? f (2) ? 4a ? 4 ? 16 ,解得 ? a ? 5 2 2

1 1 时, f ( x ) 在 [1, 2] 上递增,故 f max ( x) ? f (2) ? 12 ? 4a ? 16 ,解得 ?1 ? a ? ? 2 2
-8-

综上: ?1 ? a ? ?

1 5 或 ?a?5. 2 2

【思路点拨】一般遇到由不等式恒成立求参数范围问题,通常转化为函数的最值问题进行解答. 【题文】21. (本题满分 15 分)已知数列 (Ⅰ)求数列 (Ⅱ)设 bn

?an? 的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? 2an ? n .

?an? 的通项公式;
1 n an ,记数列 ?bn ? 的前 n 和为 Tn ,证明: ? ? Tn ? ? 0 . 3 2 an?1

?

【知识点】数列的通项公式 数列求和 D1 D4 【答案】 【解析】 (Ⅰ) an ? 2n ? 1; (Ⅱ)略 解析: (Ⅰ) 因为 Sn 当 n=1 时 S1 ? a1 ? 2a1 ?1, a1 ? 1 , 又 Sn?1 ? 2an?1 ? n ? 1与 Sn ? 2an ? n ? 2an ? n ,

两边分别相减得 an?1 ? 2an?1 ? 2an ?1 得 an?1 ?1 ? 2 ? an ?1? ,又 a1 ? 1 ? 2 ,所以 an ? 1 ? 2n ,得

an ? 2n ?1;
(Ⅱ)因为 bn

?

an 2n ? 1 ? n ?1 ,所以 an ?1 2 ? 1
? 1 2
n?2

bn ?

1 1 n 1 ? 1 ? ? n?2 , Tn ? ? ? ? 3 ? 4 ? 2 2 ?2 2 ? 2 ?2 2 ?2
?

n ? ? ? 0 ,得 Tn ? ? 0 ,又 ?2? 2

1 2
n?2

?2

n 1? 1 1 1 1 ? ,所以 Tn ? ? ? ? ? 2 ? n n 2 ? 2 ? 3? 2 3? 2 2 3? 2 2
n

?

1? 1 1 1 ?? ? ?? , n ? n 2 ? 3 3? 2 3

所以 ?

1 n ? Tn ? ? 0 . 3 2

【思路点拨】遇到由数列的 n 项和与通项之间的递推公式可先转化为通项之间的递推关系再进行解答. 【题文】22. (本题满分 14 分)给定函数 f ( x ) 和常数 a , b ,若 f (2 x) ? af ( x) ? b 恒成立,则称 ( a, b) 为 函数 f ( x ) 的一个 “好数对” ; 若 f (2 x) ? af ( x) ? b 恒成立, 则称 ( a, b) 为函数 f ( x ) 的一个 “类好数对” . 已 知函数 f ( x ) 的定义域为 [1, ??) . (Ⅰ)若 (1,1) 是函数 f ( x ) 的一个“好数对” ,且 f (1) ? 3 ,求 f (16) ; (Ⅱ)若 (2, 0) 是函数 f ( x ) 的一个“好数对” ,且当 1 ? x ? 2 时, f ( x) ? 2 x ? x 2 ,求证: 函数 y ? f ( x) ? x 在区间 (1, ??) 上无零点; (Ⅲ)若 (2, ?2) 是函数 f ( x ) 的一个“类好数对” , f (1) ? 3 ,且函数 f ( x ) 单调递增,比较 f ( x ) 与
-9-

x ?2 2

的大小,并说明理由. 【知识点】函数的单调性 函数与方程 不等式的证明 B9 B3 E7 【答案】 【解析】 (Ⅰ)7; (Ⅱ)略; (Ⅲ) f ? x ? ?

x ?2 2

【解析】 (Ⅰ)由题意, f (2 x) ? f ( x) ? 1 ,且 f (1) ? 3 ,则 f (2n ) ? f (2n?1 ) ? 1
n 则数列 f (2 ) 成等差数列,公差为 d ? 1 ,首项 f (1) ? 3 ,于是 f (16) ? 7

?

?

(Ⅱ)当 2 ? x ? 2
n

n ?1

时, 1 ?

x ? 2 ,则由题意得 2n

x x f ( x) ? 2 f ( ) ? 22 f ( 2 )= 2 2

=2n f (

x 2x x ) ? 2n n ? ( n ) 2 ? 2n?1 x ? x 2 n 2 2 2
n

由 f ( x) ? x ? 0 得, 2n?1 x ? x2 ? x ,解得 x ? 0 或 x ? 2 即当 2 ? x ? 2
n n ?1

均不符合条件

时,函数 y ? f ( x) ? x 在区间 (1, ??) 上无零点;

注意到 (1, ??) ? (1, 2]

(2, 22 ]

(2n , 2n?1 ]

故函数 y ? f ( x) ? x 在区间 (1, ??) 上无零点;
n n ?1 ? 2 ,即 f 2n ? 2 ? 2 ? f 2n?1 ? 2 ? ,得 (Ⅲ)由题意得 f ? 2x ? ? 2 f ? x ? ? 2 ,则 f 2 ? 2 f 2

? ?

?

?

? ?

?

?

?

?

n ?1 2 n?2 ? ? ? f ? 2n ? ? 2 ? 2 ? ? f ? 2 ? ? 2? ? 2 ? f ? 2 ? ? 2? ?

n n 0 n ? ? 2n ? ? f ? 2 ? ? 2? ? 2 ,即 f ? 2 ? ? 2 ?2 ,而对任

意 x>1,必存在 n ? N ,使得 2
*

n ?1

? x ? 2n ,由 f(x)单调递增得 f ? 2n ?1 ? ? f ? x ? ? f ? 2n ? ,则

f ? x ? ? f ? 2n ?1 ? ? 2n ?1 ? 2 ?

x 2n x ? 2 ? ? 2 ,所以 f ? x ? ? ? 2 . 2 2 2

【思路点拨】对于新定义函数,理解其含义是解题的关键,再多步问答问题中,解下一问时注意上一问的 结论或过程的应用.

- 10 -


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