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2015-2016学年高中数学 2.3.3、2.3.4 直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质课件


2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质

2.3.4 │ 三维目标 三维目标
【知识与技能】 (1)掌握直线与平面垂直,平面与平面垂直的性质定理. (2)能运用性质定理解决一些简单问题. (3)了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理 间的相互关系. 【过程与方法】 让学生在观察物体模型的基础上进行操作确认,获得对性质定 理的正确认识. 【情感、态度与价值观】 通过“直观感知、操作确认,推理证明”,培养学生空间概念、 空间想象能力以及逻辑推理能力.

2.3.4 │ 重点难点 重点难点
【重点】 直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质定理及其应用. 【难点】 直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质定理及其应用.

2.3.4 │ 教学建议 教学建议
(1)在证明直线与平面垂直的性质定理时教材中使用了反证法, 而学生对反证法不太熟悉,在教学中教师应当进行适当引导. (2)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的又 一种方法,显然,在立体几何中判定两条直线平行的方法比在 平面几何中多,可让学生归纳总结,但解题的基本思路还是通 过平面或直线为桥梁,在“平行”与“平行”、“平行”与 “垂直”之间相互转化来实现. (3)学完了直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定 理,教学中可以引导学生思考这些定理之间的相互联系.

2.3.4 │ 新课导入 新课导入
【导入一】 (情境导入) 大家都读过茅盾先生的《白杨礼赞》,在广阔的西北平原上, 矗立着一排排白杨树,它们像哨兵一样守卫着祖国疆土.一排 排的白杨树,它们都垂直于地面,那么它们之间的位置关系如 何呢? [解析] 由直观可得这些白杨树都是平行的. 【导入二】 (情境导入) 黑板所在平面与地面所在平面垂直,你能否在黑板上画一条直 线与地面垂直? [解析] 在黑板所在平面内作一条直线和黑板与地面的交线垂 直即可.

2.3.4 │ 预习探究 预习探究
? 知识点一 文字语言 直线和平面垂直的性质定理 图形语言 符号语言 巧记方法

垂直 ________ 于 同一个平面 的两条直线 平行 ________

a⊥α ? ? 线面垂直?线 ??a∥b 线平行 b⊥α ? ?

2.3.4 │ 预习探究
前面我们学习了空间中两直线的平行,现在让我们回顾一下 证明两直线平行的方法: (1)平面几何知识:在同一平面内没有公共点的两条直线互相 平行; (2)公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行; (3)线面平行的性质:一条直线与一个平面平行,则过这条直 线的任一平面与此平面的交线与该直线平行; (4)面面平行的性质:如果两个平行平面同时和第三个平面相 交,那么它们的交线平行; (5)线面垂直的性质:垂直于同一个平面的两条直线平行.

2.3.4 │ 预习探究

[思考] 由线面垂直的性质定理知垂直于同一个平面的两 条直线平行,试问垂直于同一个平面的两个平面平行吗?

解:这两个平面平行或相交,可借助教室墙壁间的关系 来判断.

2.3.4 │ 预习探究
? 知识点二 两个平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 两个平 面垂直, 则一个平 面内垂直 于交线的 直线与另 一个平面 ________ 垂直

巧记方法

α⊥β ? ? α∩β=b? ??a⊥α a?β ? ? a⊥b ?

面面垂直? 线面垂直

2.3.4 │ 预习探究
面面垂直的性质定理的作用: (1)判定直线与平面垂直; (2)由平面外一点作平面的垂线时,确定垂足的位置.

2.3.4 │ 备课素材 备课素材
1.直线与平面垂直的性质理解 (1)直线与平面垂直的性质定理给出了一种证明两直线平行的方法, 即只需证明两 条直线均与同一个平面垂直即可,反映了线线平行与线面垂直逻辑上的相互转化,即 “若线面垂直,则线线平行”. (2)利用直线与平面垂直的性质定理可构造平行线, 即使这些直线都垂直于同一个 平面. 2.面面垂直性质定理的理解 (1)平面与平面垂直的性质定理成立的条件有三个: ①两个平面垂直; ②有一条直 线在一个平面内(或与平面平行);③这条直线垂直于两个平面的交线. (2)两个平面垂直,分别在两个平面内的两条直线可能平行、相交(含垂直相交)或 异面.

2.3.4 │ 考点类析 考点类析
? 考点一 线面垂直的性质应用

例 1 已知平面 α⊥平面 β, 平面 α⊥平面 γ, 且 β∩γ=a, 求证:a⊥平面 α.
证明:在平面 β,γ 内分别作 α,β 的交线 l 和 α,γ 的交 线 m 的垂线 c,d,且 c,d 均不与 a 重合,则 c⊥α,d⊥α, ∴c∥d,∴c∥平面 γ,∴c∥a,∴a⊥l,∴a⊥平面 α.

2.3.4 │ 考点类析
【变式】 已知 a,b 是两条异面直线,a⊥α,b⊥β,α∩β =l,AB 是直线 a,b 的公垂线,交直线 a 于点 A,交直线 b 于 点 B.求证:AB∥l.

证明:过点 A 作 b′∥b,则 a,b′可确定一个平面 γ. ∵AB 是异面直线 a,b 的公垂线, ∴ AB ⊥ a , AB⊥b , ∴AB⊥b′ , 又 ∵a∩b′ = A , ∴AB⊥γ.∵a⊥α,b⊥β,l?α ,l?β,∴l⊥a,l⊥b,∴l⊥b′, ∴l⊥γ,∴AB∥l.

2.3.4 │ 考点类析
? 考点二 面面垂直的性质定理的应用
[导入] 线线、线面、面面垂直相互间是如何转化的?

解:在证明线面垂直、面面垂直时,一定要注意判定定理成 立的条件.同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系,即:

2.3.4 │ 考点类析
例 2 如图 2318(a)所示, 在直角梯形 ABCD 中, ∠ADC =90°,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2.将△ADC 沿 AC 折 起,使平面 ADC⊥平面 ABC,得到几何体 D ABC,如图 2318(b)所示. (1)求证:BC⊥平面 ACD; (2)求几何体 D ABC 的体积.

图 2318

2.3.4 │ 考点类析
解:(1)证明:在图(a)中,可得 AC=BC=2 2,从而 AC 2 +BC 2=AB 2,故 AC⊥BC.因为平面 ADC⊥平面 ABC,平面 ADC∩平面 ABC=AC,BC⊥AC,BC?平面 ABC,所以 BC⊥ 平面 ACD. (2)由(1)可知 BC 为三棱锥 BACD 的高, BC=2 2, S△ACD 1 1 4 2 =2, 所以 V 三棱锥 B 所以几何体 ACD= Sh= ×2×2 2= 3 3 3 , 4 2 D?ABC 的体积为 3 .

2.3.4 │ 考点类析
【变式】 如图 2319 所示,边长为 2 的等边△PCD 所在的 平面垂直于矩形 ABCD 所在的平面, BC=2 2, M 为 BC 的中点. (1)证明:AM⊥PM; (2)求二面角 P -AM -D 的大小.

图 2319

2.3.4 │ 考点类析
解: (1)证明:如图所示,取CD的中点E,连接PE,EM,EA. ∵△PCD为正三角形, ∴PE⊥CD,PE=PDsin∠PDE= 3. ∵平面PCD⊥平面ABCD,∴PE⊥平面ABCD. 又AM?平面ABCD,∴PE⊥AM. ∵四边形ABCD是矩形, ∴△ADE,△ECM,△ABM均为直角三角形. 由勾股定理可求得EM= 3,AM= 6,AE=3, ∴EM2+AM2=AE2,∴AM⊥EM. ∵PE∩EM=E,∴AM⊥平面PEM,∴AM⊥PM.

2.3.4 │ 考点类析
(2)由(1)可知 EM⊥AM,PM⊥AM, ∴∠PME 是二面角 PAMD 的平面角. 3 PE ∴tan∠PME=EM= =1,∴∠PME=45°, 3 ∴二面角 PAMD 的大小为 45°. 小结 在证明两平面垂直时,一般从其中一个平面内寻找另一 个平面的垂线,若这样的直线图中不存在,则可通过作辅助线来解 决.如有两平面垂直时,一般要用性质定理,从其中一个平面内寻 找与交线垂直的直线,如果这样的直线在图中不存在,也需通过作 辅助线来解决.

2.3.4 │ 考点类析
【拓展】正四棱锥 SABCD 底面边长为 2,高为 2,E 是边 BC 的中点,动点 P 在表面上运动,并且总保持 PE⊥AC,则动 点 P 的轨迹的周长为________.

2.3.4 │ 考点类析
6+ 2 [解析] 如图所示,分别取 CD,SC 的中点 F,G,连 接 EF,GF,GE. 则 AC⊥平面 GEF,故动点 P 的轨迹是△EFG 的三边. 1 又 EF= DB= 2, 2 1 6 GF=GE=2SB= 2 , ∴EF+FG+GE= 6+ 2.

2.3.4 │ 备课素材 备课素材
1.线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系,提 供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据. [例]如图 2354 所示,四棱锥 PABCD 中,PA⊥底面 ABCD,PA=2 3,BC= π CD=2,∠ACB=∠ACD= 3 .

图 2354 (1)求证:BD⊥平面 PAC; (2)若侧棱 PC 上的点 F 满足 PF=7FC,求三棱锥 P -BDF 的体积.

2.3.4 │ 备课素材
解:(1)证明:因为 BC=CD,即△BCD 为等腰三角形. 又∠ACB=∠ACD,故 BD⊥AC.因为 PA⊥底面 ABCD, 所以 PA⊥BD, 从而 BD 与平面 PAC 内两条相交直线 PA, AC 都垂 直,所以 BD⊥平面 PAC. 1 (2)三棱锥 PBCD 的底面 BCD 的面积 S△BCD=2BC· CD· sin∠BCD= 2π 1 2×2×2×sin 3 = 3.由 PA⊥底面 ABCD,得 1 1 VP ? BCD = 3 · S △ BCD · PA = 3 × 3 ×2 3 = 2. 由 PF = 7FC , 得三棱锥 1 FBCD 的高为8PA, 1 1 1 1 1 故 VF ? BCD=3· S△BCD·8PA=3× 3×8×2 3=4,所以 VP ? BDF= 1 7 VP ? BCD-VF ? BCD=2-4=4.

2.3.4 │ 备课素材
2.运用面面垂直的性质时,一般需作辅助线.若已知有面面垂直的条件,可设 法找出一平面上的一条直线垂直于它们的交线,这样就能得到线面垂直的结论. [例]如图 2355,已知 PA⊥平面 ABC,平面 PAB⊥平面 PBC,求证:BC⊥平面 PAB.

图 2355 证明:过点 A 作 AE⊥PB,垂足为 E, ∵平面 PAB⊥平面 PBC,平面 PAB∩平面 PBC=PB,∴AE⊥平面 PBC. ∵BC?平面 PBC,∴AE⊥BC.∵PA⊥平面 ABC,BC?平面 ABC,∴PA⊥BC. ∵PA∩AE=A,∴BC⊥平面 PAB.

2.3.4 │ 当堂自测 当堂自测
1.已知直线 b⊥平面 α,直线 a?α,则 a 与 b 的位置关系 是( ) A.a∥b B.a⊥b C.a 与 b 垂直相交 D.a 与 b 垂直且异面

[答案]B

2.3.4 │ 当堂自测
2.已知平面 α,β,直线 l,若 α⊥β,α∩β=l,则( A.垂直于平面 β 的平面一定平行于平面 α B.垂直于直线 l 的直线一定垂直于平面 α C.垂直于平面 β 的平面一定平行于直线 l D.垂直于直线 l 的平面一定与平面 α、β 都垂直 )

D [解析] 对于 A, 该平面可与 α 平行或相交, 故 A 不正 确. 对于 B, 该直线可与 α 垂直或斜交, 故 B 不正确. 对于 C, 该平面可与直线 l 平行或相交,故 C 不正确.

2.3.4 │ 当堂自测
3.两个平面互相垂直,一条直线和其中一个平面平行,则 相交、 平行、 在平面内 . 这条直线和另一个平面的位置关系是_____________________ 4.已知六棱锥 PABCDEF 的底面是正六边形,PA⊥平面 ABC,PA=2AB.则下列命题中正确的有___________.(填序号) ①PA⊥AD; ②平面 ABC⊥平面 PBC; ③直线 BC∥平面 PAE; ④直线 PD 与平面 ABC 所成角为 30°.

①③ [解析] 由 PA⊥平面 ABC,∴PA⊥AD,故①正确; ②中两平面不垂直;③中 BC∥AE,故 BC∥平面 PAE,故③ 正确;④中直线 PD 与平面 ABC 所成角为 45°.

2.3.4 │ 备课素材 备课素材
一、归纳感悟 1. 直线与平面垂直的性质定理给出了判定两直线平行的又一种方 法.在立体几何中判定两直线平行,主要从两个方面来实现:一是从 “平行”与“平行”之间转化; 二是从“平行”与“垂直”之间转化. 2. 两个平面垂直的性质定理也是直线和平面垂直的判定定理.当 两个平面垂直时,常添加的辅助线是在一个平面内作两个平面交线的 垂线. 二、下节课任务: 1.梳理垂直问题中的线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化 关系. 2.归纳总结线面角、二面角的作(找)、证、求、答.


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