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高中数学三角函数本章小结


三角函数复习
任意角 的概念 角度制与 弧度制

任意角的 三角函数

三角函数的 图象和性质 已知三角函 数值求角

弧长与扇形 同角三角函数 面积公式 的基本关系

三角函数的 诱导公式

三角函数复习
任意角 的概念 角度制与 弧度制

/>弧长与扇形 面积公式 弧长公式: l?

? ?r

1 S ? rl 扇形面积公式: 2

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任意角 的概念 角度制与 弧度制

任意角的 三角函数

y r

弧长与扇形 面积公式

o y

y sin ? ? r P(x,y) x cos ? ? r y tan ? ? x x
? 的终边

? 的终边

P

T

正弦线MP
正切线AT

A (1,0) 余弦线OM

o

M

x

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任意角 的概念 角度制与 弧度制

任意角的 三角函数

弧长与扇形 同角三角函数 面积公式 的基本关系

sin ? ? cos ? ? 1 sin ? tan ? ? cos ? 及这两个公式的 等价变形
2 2

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任意角 的概念 角度制与 弧度制

任意角的 三角函数

弧长与扇形 同角三角函数 面积公式 的基本关系

三角函数的 诱导公式

记忆: 奇变偶不变;

符号看象限。

函数
y

三角函数的图象和性质 y ? cos ? y ? tan ? y ? sin ?
1

图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性

?

y

o?
-1

?

?

2?

1?

?

?

x

o
-1

? ? ? ?

?

y
2?

x

?

?
2

o

? 2

x

? ?1,1?
T ? 2? 奇函数
增区间
减区间
? ? ? ? ? ? 2 ? 2k? , 2 ? 2k? ? ? ?

R

? ?1,1?
T ? 2?

R

? ? ? x | x ? k ? ? ,k ? Z? ? 2 ? ?

R

偶函数
增区间

T ?? 奇函数
增区间 ? ?? ? k ? ? , k ? ? ? 2 2? ? ?
(k ? Z )

(k ? Z )

?2k? ? ? , 2k? ?
(k ? Z ) (k ? Z )

减区间

3 ?? ? ? 2 k ? , ? ? 2 k ? ?2 ? 2 ? ?

? 2k? , ? ? 2k? ?

(k ? Z )

?x ? ? )的图象(A>0, 函数 y ? A sin(
第一种变换:

? >0

)

y ? sin x

图象向左( ? 向右( ?

?0

)或

?

0 ) 平移| ? | 个单位

y ? sin(x ? ? )
1


横坐标伸长( 0 ? ? ? 1 )或缩短( ?
纵坐标不变

? 1 )到原来的 ?

y ? sin(?x ? ? )

纵坐标伸长(A>1 )或缩短( 0<A<1 )到原来的A倍

第二种变换:

横坐标不变

y ? A sin(?x ? ? )
1


y ? sin x

? 横坐标伸长(0 ? ? ? 1 )或缩短(
图象向左( ?
向右(? 纵坐标不变 ?0 )或

? 1 )到原来的 ?

y ? sin ?x

?

0 ) 平移 | ? | 个单位
?

y ? sin(?x ? ? )
y ? A sin(?x ? ? )

纵坐标伸长(A>1 )或缩短( 0<A<1 )到原来的A倍

横坐标不变

题型一、三角关系式的化简、证明、求值 3 例1.已 知tan( ? ? ? ) ? , 求1 ? sin? cos? ? cos2 ?的 值 4
3 解: tan? ? ? 4
sin2 ? ? cos2 ? ? sin? cos? ? cos2 ? 原式? sin2 ? ? cos2 ?

sin2 ? ? sin? cos? ? sin2 ? ? cos2 ?

tan2 ? ? tan? ? tan2 ? ? 1

??

3 25

已知角 ?终 边 上 一 点 P ( ?4,3), 求 sin( 2? ? ? ) cos( ? ? ) cos(?? ? ? ) 2 的值 3? cos( ? ? ) cos( ? ??) 2

?

题型二、三角函数的值域和最值问题 ? 2 例2.已 知 x ? , 求 函 数 f ( x ) ? cos x ? sin x的 最 小 值 . 4
解: y ? f ( x) ? cos2 x ? sinx ? ? sin2 x ? sinx ? 1

2 2 令t ? sin x ,? x ? ,? ? ? sin x ? 4 2 2
? 2 2 ? 1? 5? ? 则y ? ? t ? t ? 1 ? ? ? t ? ? ? ? ? ? t ? ? 2? 4? 2 2 ? ? ?
2 2

?

?当 t ? ?

2 ? 时, 即x ? ? 时, f ( x )有 最 小 值 ,且最小值为 2 4
2

? ? 5 1? 2 2 1 ? ? ? ?? ? ? ? 2 2? 4 2 ? ?

1.函数y ? cos2 x ? 3 cos x ? 2的最小值是 (

B)

A. 2

B. 0

1 C. 4

D.6

2. y ? 2 sin( x ? ), x ? [ , ], 则 函 数 的 2 3 3 3 值 域 为__________ [0, 3 ]

3 2 1 y ? (cos x ? ) ? 2 4 当cos x ? 1时,ymin ? 0 1 ? 2? 4?

题型三、三角函数的图像及变换
?? ? 例3.已 知 函 数 f ( x ) ? A si n ( ?x ? ? )? A ? 0, ? ? 0, | ? |? ? 2? ? 的图象过点( 0, 1 ),它在 y轴 右 侧 的 第 一 个 最 高 和 点第 一 个
最 低 点 的 坐 标 分 别 为x ( 0 ,2)和( x 0 ? 2? ,?2). 求f ( x )的 解 析 式

?? ? 1.已 知 如 图 是 函 数 y ? A sin( ?x ? ? )? | ? |? ? 2? ? 的图象上的一段,则( )

y 2
O
? 6
11? 12

C

x

10 ? A.? ? ,? ? 11 6 C.? ? 2,? ?

?

10 ? B.? ? ,? ? ? 11 6 D.? ? 2,? ? ?

?2

?

6

6

2.函 数y ? A sin( ?x ? ? ) ? b? A ? 0, ? ? 0? 的 图 象 如 图 , 求 函 数解 的析 式

y
4 2

y ? 2 sin(

?
4

x ??)? 2
?2
O

2

x

题型四、数形结合的应用

例4.三维设计 44页

3个 方程lg x ? sinx实根的个数为 _______

1 1.函 数y ? sinx ? cos x ? 的 定 义 域 为 2
? ? ? ?2k? , 3 ? 2k? ? k ? Z ? ?

1.要 得 到 y ? 3 sin( 2 x ? )图 象 只 需 将 y ? 3 sin2 x的 图 象 ( C) 4 ? ?
A.向 左 平 移 个 单 位 . B.向 右 平 移 个 单 位 . 4 4 C. 向左平移 个单位 . D.向 右 平 移 个 单 位 . 8 ? 8
B.关于点( D.关于直线

?

?

?

2.函 数y ? 2 sin ( 2x ?
A.关于原点对称. C.关于y轴对称
1 2

3

)的 图 象 (

) B ?

6

3.函 数y ? log sin( 2x ?
A( . k? ?

?

?

4 8 8 3? ? ? 3? C( . k? ? , k? ? ](k ? Z ) D ( . k? ? , k? ? ](k ? Z ) 8 8 8 8

, k? ](k ? Z ) B( . k? ?

4

)的单调减 区间为( B)
?
, k? ?

? x= 6

,0)对称 对称

?

](k ? Z )

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