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高三-最新教案-数学-5数列的通项与求和


科组长签名: 第四节
一、 知识清单
1.求数列的前 n 项的和 (1)公式法 ①等差数列前 n 项和 Sn=____________=________________, 推导方法: ____________; ②等比数列前 n 项和 Sn=?
? ? ? ?

数列求和

,q=1, = ,q≠1.

推导方法:乘公比,错位相减法. ③常见数列的前 n 项和: a.1+2+3+?+n=__________; b.2+4+6+?+2n=__________; c.1+3+5+?+(2n-1)=______; d.1 +2 +3 +?+n =__________; e.1 +2 +3 +?+n =__________________. (2)分组求和:把一个数列分成几个可以直接求和的数列. (3)裂项(相消)法:有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式,相加过程消去中间 项,只剩有限项再求和. 常见的裂项公式有: ① ② ③ 1 1 1 = - ; n?n+1? n n+1 1 ? 1 1? 1 - = ? ; 2 n - 1 2 n +1? ?2n-1??2n+1? 2? ? 1
3 3 3 3 2 2 2 2

n+ n+1

= n+1- n.

(4)错位相减:适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和. (5)倒序相加:例如,等差数列前 n 项和公式的推导.

自我检测

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) a1-an+1 (1)如果数列{an}为等比数列,且公比不等于 1,则其前 n 项和 Sn= .() 1-q

(2)当 n≥2 时,

1 1 1 1 =2( - ).() n -1 n-1 n+1
2

(3)求 Sn=a+2a2+3a3+?+nan 之和时只要把上式等号两边同时乘以 a 即可 根据错位相减法求得.( )

(4)若数列 a1,a2-a1,?,an-an-1 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,则数 3n-1 列{an}的通项公式是 an= 2 .( A.2n+n2-1 C.2n+1+n2-2 B.2n 1+n2-1


) )

2.若数列{an}的通项公式为 an=2n+2n-1,则数列{an}的前 n 项和为(

D.2n+n-2

3.数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 Sn=1-2+3-4+?+(-1)n-1·n,则 S17 =( A.9 ) B.8 C.17 D.16

? ? 1 ? ? 4.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a5=5,S5=15,则数列?a a ?的前 ? n n+1? ? ?

100 项和为( 100 A. 101 B. 99 101

) C. 99 100 D. 101 100

5.(人教 A 必修 5P61A4(3)改编)1+2x+3x2+?+nxn-1=________(x≠0 且 x≠1).

二、典例精讲 知识点一 分组转化法求和

【例 1】 设数列{an}满足 a1=2,a2+a4=8,且对任意 n∈N*, ?π ? 函数 f(x)=(an-an+1+an+2)x+an+1cos x-an+2sin x 满足 f′? ?=0. ?2? 1 ? ? (1)求数列{an} 的通项公式; (2)若 bn=2?an+2a ?, 求数列{bn}的前 n 项和 Sn. ? n?

规律方法

常见可以使用公式求和的数列:(1)等差数列、等比数列以及由等

差数列、等比数列通过加、减构成的数列,它们可以使用等差数列、等比数 列的求和公式求解;(2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或等比数列的,可 以分项数为奇数和偶数时,分别使用等差数列或等比数列的求和公式. 【变式训练】 在等差数列{an}中,已知公差 d=2,a2 是 a1 与 a4 的等比中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=a n(n+1) ,记 Tn=-b1+b2-b3+b4-?+(-1)nbn,求 Tn. 2

考点二 错位相减法求和 【例 2】 (2014· 江西卷)已知首项都是 1 的两个数列{an},{bn}(bn≠0,n∈N*) 满足 anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0. an (1)令 cn=b ,求数列{cn}的通项公式;
n

(2)若 bn=3n-1,求数列{an}的前 n 项和 Sn.

规律方法

(1)一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列

{an·bn}的前 n 项和时,可采用错位相减法求和,一般是和式两边同乘以等比

数列{bn}的公比,然后作差求解;(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别 注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式. 【变式训练】 数列{an}满足 a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),n∈N*.
?an? (1)证明:数列? n ?是等差数列; ? ?

(2)设 bn=3n· an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

知识点三

裂项相消法求和

2 2 【例 3】 正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:S2 n-(n +n-1)Sn-(n +n)=0.

(1)求数列{an}的通项公式 an; (2)令 bn= n+1 ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,证明:对于任意的 n∈N*, (n+2)2a2 n

5 都有 Tn<64.

规律方法

利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和

最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项,再就是将通项公式裂项后, 有时候需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相

等. 【变式训练】 (2014· 山东卷)已知等差数列{an}的公差为 2,前 n 项和为 Sn, 且 S1,S2,S4 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; 4n (2)令 bn=(-1)n-1 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. an an+1

三、课堂训练

(建议用时:40 分钟)
一、选择题
?Sn? 1.等差数列{an}的通项公式为 an=2n+1,其前 n 项和为 Sn,则数列? n ?的前 10 ? ?

项的和为

(

)

A.120

B.70

C.75 (当n为奇数时), (当n为偶数时),

D.100 且 an=f(n)+f(n+1),则 a1+a2+ ( )

2 ?n 2.已知函数 f(n)=? 2 ?-n

a3+?+a100 等于 A.0 C.-100 B.100 D.10 200

3.数列 a1+2,?,ak+2k,?,a10+20 共有十项,且其和为 240,则 a1+?+ ak+?+a10 的值为 A.31 C.130 B.120 D.185 ) ( )

4.已知数列{an}满足 a1=1,an+1·an=2n(n∈N*),则 S2 016=( A.22 016-1 C.3·21 008-1 B.3·21 008-3 D.3·21 007-2

1 1 2 1 2 3 1 2 3 9 5. 已知数列{an}: , + , + + , ?, + + +?+ ?, 若 bn= 2 3 3 4 4 4 10 10 10 10, 那么数列{bn}的前 n 项和 Sn 为 n A. n+1 二、填空题 B. 4n n+1 3n C. n+1 D. 5n n+1

1 , anan+1 )

(

6.在等差数列{an}中,a1>0,a10·a11<0,若此数列的前 10 项和 S10=36,前 18 项和 S18=12,则数列{|an|}的前 18 项和 T18 的值是________. 7.在数列{an}中,a1=1,an+1=(-1)n(an+1),记 Sn 为{an}的前 n 项和,则 S2 013 =________.
2 2 8.等比数列{an}的前 n 项和 Sn=2n-1,则 a2 1+a2+?+an=________.

三、解答题 1 9.已知数列{an}的前 n 项和是 Sn,且 Sn+2an=1(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 1 (2)设 bn=log3(1-Sn+1)(n∈N*),令 Tn=b b +b b +?+ ,求 Tn. bnbn+1 1 2 2 3

10.(2013· 山东卷)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S4=4S2,a2n=2an+1. (1)求数列{an}的通项公式; an+1 (2)设数列{bn}的前 n 项和为 Tn, 且 Tn+ 2n =λ(λ 为常数), 令 cn=b2n, (n∈N*), 求数列{cn}的前 n 项和 Rn.

四、课堂总结 [思想方法] 非等差、等比数列的一般数列求和,主要有两种思想 (1)转化的思想,即将一般数列设法转化为等差或等比数列,这一思想方法往 往通过通项分解或错位相消来完成; (2)不能转化为等差或等比的特殊数列,往往通过裂项相消法、错位相减法、 倒序相加法等来求和. [易错防范]

1.直接应用公式求和时,要注意公式的应用范围,如当等比数列公比为参数 (字母)时,应对其公比是否为 1 进行讨论. 2.在应用错位相减法时,要注意观察未合并项的正负号. 3.在应用裂项相消法时,要注意消项的规律具有对称性,即前剩多少项则后 剩多少项.

五、课后练习

(建议用时:25 分钟)
1 11.数列{an}满足 an+an+1=2(n∈N*),且 a1=1,Sn 是数列{an}的前 n 项和,则 S21= 21 A. 2 B.6 C.10 ( )

D.11

12.已知函数 f(n)=n2cos(nπ ),且 an=f(n)+f(n+1),则 a1+a2+a3+?+a100= ( A.-100 C.100 13.设 f(x)=
x

)

B.0 D.10 200 4x ,利用倒序相加法,可求得 f 4 +2 ?1? ?11?+f ? ? ?2? ?11?+?+f ? ? ?10? ?11?的值为 ? ?

________.

14.在等比数列{an}中,a1,a2,a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数, 且 a1,a2,a3 中的任何两个数不在下表中的同一列. 第一列 第一行 第二行 第三行 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足:bn=an+(-1)nln an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 3 6 9 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18


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