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高一试卷习题(附答案)7


第一章

单元质量评估(一)
满分:150分

时限:120分钟

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.设集合 A={3,5,6,8},集合 B={4,5,7,8},则 A∩B 等于( ) B.{3,6} D.{5,8}

A.{3,4,5,6,7,8} C.{4,7}

>
解析:∵A={3,5,6,8},B={4,5,7,8}, ∴A∩B={5,8}. 答案:D 2.设 P={x|x<4},Q={x|x2<4},则( A.P?Q C.P??RQ )

B.Q?P D.Q??RP

解析:Q={x|-2<x<2},∴Q?P. 答案:B 3.已知全集 U=R,集合 A={x|1<x≤3},B={x|x>2},则 A∩ ?UB 等于( ) B.{x|1≤x<2} D.{x|1≤x≤3}

A.{x|1<x≤2} C.{x|1≤x≤2} 解析:?UB={x|x≤2},

易知 A∩?UB={x|1<x≤2},选 A. 答案:A
?x-5,x≥6, ? 4.已知 f(x)=? 则 f(3)等于( ?f?x+2?,x<6, ?

)

A.2 C.4

B.3 D.5

解析:f(3)=f(5)=f(7)=7-5=2,选 A. 答案:A 5.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事:领先的兔子看着慢慢爬行 的乌龟,骄傲起来,睡了一觉,当它醒来时,发现乌龟快到终点了, 于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终点??.用 S1,S2 分别表示乌龟和兔子所行的路程(t 为时间),则下图中与故事情节相 吻合的是( )

答案:B 6.函数 f(x)的定义域为[0,1],值域为[1,2],则函数 f(x+2)的定义 域,值域分别为( )

A.[0,1],[1,2] C.[-2,-1],[1,2]

B.[2,3],[3,4] D.[-2,-1],[3,4]

解析:f(x+2)的定义域即为 x+2∈[0,1],得 x∈[-2,-1],而 f(x+2)中 x+2 的取值范围与 f(x)中 x 的取值范围一样,均为[0,1],对 应法则又相同,所以值域相同,均为[1,2]. 答案:C 7.定义集合运算:A⊙B={z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B},设集 合 A={0,1},B={2,3},则集合 A⊙B 的所有元素之和为( A.0 C.12 B.6 D.18 )

解析:理解定义 A⊙B 是关键,得出 A⊙B 的元素为 0,6,12,故 所有元素之和为 18. 答案:D 8.若 x为实数,则函数 y=x2+2x+3 的值域为( A.R C.[2,+∞) B.[0,+∞) D.[3,+∞) )

解析:函数图象的对称轴是 x=-1,在定义域[0,+∞)上单调 递增,∴ymin=3.故选 D. 答案:D
?x2+4x,x≥0, ? 9.已知函数 f(x)=? 若 f(2-a)>f(a),则实数 a 2 ? ?4x-x ,x<0.

的取值范围是(

) B.(-∞,1) D.(2,+∞)

A.(-∞,1)∪(2,+∞) C.(1,2)

解析:画出 f(x)的图象知 f(x)是(-∞,+∞)的增函数,由 f(2-

a)>f(a)得,2-a>a,即 a<1,选 B. 答案:B 1 10.设函数 f(x)(x∈R)为奇函数,f(1)=2, f(x+2)=f(x)+f(2),则 f(5)等于( A.0 5 C.2 解析:∵f(x+2)=f(x)+f(2), 1 且 f(x)为奇函数,f(1)=2, ∴f(1)=f(-1+2)=f(-1)+f(2)=-f(1)+f(2). 1 ∴f(2)=2f(1)=2×2=1. 5 ∴f(5)=f(3+2)=f(3)+f(2)=f(1+2)+f(2)=2f(2)+f(1)=2. 答案:C 11.设函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),对任意实数 t 都有 f(2+t)= f(2-t)成立,则函数值 f(-1),f(1),f(2),f(5)中,最小的一个不可能 是( ) A.f(-1) C.f(2) B.f(1) D.f(5) ) B.1 D.5

解析:由题意知,函数 f(x)的图象关于直线 x=2 对称,若 a>0, 图象开口向上,则 f(2)最小,若 a<0,图象开口向下,f(-1)=f(5) 最小,故选 B. 答案:B 12.设偶函数 f(x)满足 f(x)=x3-8(x≥0),则{x|f(x-2)>0}等于 ( )

A.{x|x<-2 或 x>4} B.{x|x<0 或 x>4} C.{x|x<0 或 x>6} D.{x|x<-2 或 x>2} 解析:∵f(x)=x3-8(x≥0),∴令 f(x)>0,得 x>2. 又 f(x)为偶函数且 f(x-2)>0, ∴f(|x-2|)>0, ∴|x-2|>2,解得 x>4 或 x<0. 答案:B 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 3 13.函数 y= 的定义域为________. 1- 1-x
?1-x≥0, ? 解析:由? 得 x≤1,且 x≠0. ? ?1- 1-x≠0,

答案:(-∞,0)∪(0,1] 14.函数 y= x2-2x-3的递减区间是________,递增区间是 ________. 解析:要使函数有意义,必须满足 x2-2x-3≥0,
?x+1≥0, ?x+1≤0, ? ? ? 即(x+1)(x-3)≥0,即 或? ?x-3≥0, ?x-3≤0, ? ?

解得 x≥3 或 x≤-1. ∴函数的定义域为 D=(-∞,-1]∪[3,+∞). 设 y= u,u=x2-2x-3. ∵y= u是增函数,u=x2-2x-3 在区间(-∞,1]上是减函数, 在区间[1,+∞)上是增函数. ∴原函数在(-∞,1]∩D=(-∞,-1]上递减,在[1,+∞)∩D

=[3,+∞)上递增,即函数的递减区间为(-∞,-1],递增区间为 [3,+∞). 答案:(-∞,-1] [3,+∞)

15.已知偶函数 f(x)的图象与 x 轴有 5 个交点,则方程 f(x)=0 的 所有实根之和为________. 解析:∵偶函数的图象关于 y 轴对称,∴5 个根必须是两两关于 y 轴对称的值,这样一定有一个根为 0,故所有实根之和为 0. 答案:0 16. S 为实数集 R 的非空子集, 设 若对任意 x, y∈S, 都有 x+y, x-y,xy∈S,则称 S 为封闭集.下列命题: ①集合 S={a+b 3|a,b 为整数}为封闭集; ②若 S 为封闭集,则一定有 0∈S; ③封闭集一定是无限集; ④若 S 为封闭集,则满足 S?T?R 的任意集合 T 也是封闭集. 其中的真命题是________.(写出所有真命题的序号) 解析:对于整数 a1,b1,a2,b2,有 a1+b1 3+a2+b2 3=(a1+ a2)+(b1+b2) 3∈S,a1+b1 3-(a2+b2 3)=(a1-a2)+(b1-b2) 3∈ S,(a1+b1 3)(a2+b2 3)=(a1a2+3b1b2)+(a1b2+a2b1) 3∈S,所以① 正确. 当 a1=a2, 1=b2 时, 1+b1 3-(a2+b2 3)=0∈S, b a 所以②正确.

当 S={0}时,S 为封闭集,所以③错误. 取 S={0},T={0,1,2,3}时,显然 2×3=6?T,所以④错误.

答案:①② 三、解答题(写出必要的计算步骤、解答过程,只写最后结果的 不得分,共 70 分) 17.(10 分)已知集合 A={x|4≤-2x≤8},集合 B={x|x-a≥0}, 若全集 U=R,且 A??UB,求 a 的范围. 解:∵A={x|-4≤x≤-2}, B={x|x≥a},∴?UB={x|x<a}, ∵A??UB,由数轴可知,a>-2.
2 ? ?3-x ,x∈[-1,2], 18.(12 分)已知函数 f(x)=? ? ?x-3,x∈?2,5],

(1)在如图给定的直角坐标系内画出 f(x)的图象;

(2)写出 f(x)的单调递增区间. 解:(1)函数 f(x)的图象如下图所示:

(2)函数的单调递增区间为[-1,0],[2,5]. 1+x2 19.(12 分)设函数 f(x)= . 1-x2 (1)求它的定义域; (2)判断它的奇偶性; 1 (3)求证:f(x)=-f(x). 解:(1)由条件知函数应满足 1-x2≠0, ∴x≠± 1. ∴函数 f(x)的定义域为{x∈R|x≠± 1}. (2)∵定义域关于原点对称, 1+?-x?2 1+x2 f(-x)= = =f(x). 1-?-x?2 1-x2 ∴函数 f(x)为偶函数. 1 1+?x?2 2 x +1 x2+1 1 (3)证明:∵f(x )= 1 2=x2-1,-f(x)=x2-1, 1-?x? 1 ∴f(x )=-f(x). 20.(12 分)已知 f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,它在区间[0,1) 上单调递减,且 f(1-a)+f(1-a2)<0,求实数 a 的取值范围. 解:∵f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,且在[0,1)上单调递减, ∴f(x)在(-1,0]上也单调递减. ∴f(x)在(-1,1)上单调递减. ∵f(1-a)+f(1-a2)<0, ∴f(1-a)<-f(1-a2). ∴f(1-a)<f(a2-1).

?1-a>a -1, ?2 ∴?a -1>-1, ?1-a<1, ?
2

解之,得 0<a<1.

21.(12 分)经市场调查,某超市的一种小商品在过去的近 20 天 内的销售量(件)与价格(元)均为时间 t(天)的函数,且销售量近似满足 1 g(t)=80-2t(件),价格近似满足 f(t)=20-2|t-10|(元). (1)试写出该种商品的日销售额 y 与时间 t(0≤t≤20)的函数表达 式; (2)求该种商品的日销售额 y 的最大值与最小值. 1 解:(1)y=g(t)f(t)=(80-2t)(20-2|t-10|)=(40-t)(40-|t-10|)
??30+t??40-t?,0≤t<10, ? =? ? ??40-t??50-t?,10≤t≤20,

(2)当 0≤t<10 时,y=-t2+10t+1200, 当 t=5 时,y 取得最大值 1225,当 t=0 时,y 取最小值 1200. 当 10≤t≤20 时, 2-90t+2000, y=t 其在区间[10,20]上单调递减, 当 t=20 时 y 取得最小值 600,当 t=10 时,y 取得最大值 1200. 所以第 5 天日销售额取得最大值 1225 元, 第 20 天日销售额取得最小值 600 元. 1 22.(12 分)已知函数 f(x)=a-|x|. (1)求证:函数 y=f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)若 f(x)<2x 在(1,+∞)上恒成立,求实数 a 的取值范围. 1 解:(1)证明:当 x∈(0,+∞)时,f(x)=a-x.任取 x1,x2∈(0, +∞),且 x1<x2.

1 1 1 1 则 x1-x2<0,x1x2>0,从而 f(x1)-f(x2)=a-x -(a-x )=x -x
1 2 2

1

x1-x2 = x x <0,
1 2

所以 y=f(x)在(0,+∞)上是增函数. 1 (2)设 h(x)=2x+x , 1 a-x <2x 在(1, +∞)上恒成立, a<h(x)在(1, 即 +∞)上恒成立. 可证 h(x)在(1,+∞)上单调递增.故 a≤h(1)即 a≤3,∴a 的取 值范围为(-∞,3].


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