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苍溪中学高二理科数学测试期末(答案)


四川省苍溪中学 2014-2015 学年度高 二(上)期末考试试题 数 学 试 卷(理科)
考试说明: (1)考试时间:120 分钟,试卷满分:150 分; (2)请将选择题答案涂在答题卡上,将非选择题答在答题卡相应位置上. 一.选择题(每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求. )

? x ? R,使 tan x

? 1,以下正确的是(C 1. 已知命题 p: ? x ? R,使 tan x ? 1 A. ?p: ? x ? R,使 tan x ? 1 C. ?p:



? x ? R,使 tan x ? 1 B. ?p: ? x ? R,使 tan x ? 1 D. ?p:

2.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为 120 件、80 件、60 件.为了解它们的 产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为 n 的样本进行调查,其中从丙车 间的产品中抽取了 3 件,则 n =( D ) A.9 B.10 C.12 D.13 3. 抛物线 y 2 ? x 的焦点坐标是( A A.( ) C.(0,

1 , 0) 4

B.( ?

1 , 0) 4

1 ) 4

D.(0, ?

1 ) 4


4.已知△ABC 的周长为 20,且顶点 B (0,-4),C (0,4),则顶点 A 的轨迹方程是( B x2 y2 x2 y2 ? ? 1 (x≠0) ? ? 1 (x≠0) A. B. 36 20 20 36 x2 y2 x2 y2 ? ? 1 (x≠0) ? ? 1 (x≠0) C. D. 6 20 20 6 5. 当 m ? 7, n ? 3 时,执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( C )

A.7

B.42

C.210
2 2

D.840

开始 输入m,n的值 k=m,S=1

6.过点 (1,1) 的直线与圆 x

? y ? 4x ? 6 y ? 4 ? 0 相交于 A 、B 两
B )

点,则 | AB | 的最小值为(

A.

2 3

B.4

C.

2 5
??? ? ??? ?

D.5

k=k 1 k<m n+1 否 S=S?k

? t AB 7. 设 空 间 四 点 O 、 A 、 B 、 P 满 足 OP ? OA ,其中
0 ? t ? 1 ,则有(
A.点 P 在线段 AB 上 A ) B.点 P 在线段 AB 的延长线上

??? ?

是 输出S 结束

C.点 P 在线段 BA 的延长线上 D.点 P 不一定在直线 AB 上 8.如果实数 x 、 y 满足等式 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 3 ,那么 A.

y 的最大值是( x

D )

1 2

B.

3 3

C.

3 D. 3 2
2

y2 ? 1上求一点 P,使得 2 PA ? PF 的值最小, 9.已知点 A(5,3) ,F(2,0) ,在双曲线 x ? 3
则 P 点坐标为( D A. (5, 6 2 ) ) B. (5, ?6 2 ) C. ( ?2 , 3 ) D. (2,3) ?? ?? 10.在区间[0,1]上任取三个数 a, b, c ,若向量 m ? (a, b, c) ,则 | m |? 1 的概率是(D ) A. π 24 π B. 12 3π C. 32 π D. 6

0≤a≤1 ? ? 解析:选 D 依题意得,实数 a,b,c 满足?0≤b≤1 ? ?0≤c≤1

,这样的点(a,b,c)可视为在空间

直角坐标系下的单位正方体区域(其中原点是该正方体的一个顶点)内的点,其中满足|m|≤1,即

a2+b2+c2≤1,a2+b2+c2≤1,这样的点(a,b,c)可视为在空间直角坐标系下的单位正方体区
1 域内且还在以原点为球心、1 为半径的球形区域内的点,该部分的体积恰好等于该球体积的 ,因 8 1 4 3 × π ×1 8 3 π 此|m|≤1 的概率等于 = ,选 D. 3 1 6

11.若点 P 为共焦点的椭圆 C1 和双曲线 C 2 的一个交点, F1 、F1 分别是它们的左右焦点. 设 椭圆离心率为 e1 ,双曲线离心率为 e2 ,若 PF 1 ? PF 2 ? 0 ,则

1 e1
2

?

1 e2
2

?(

B )

A.1

B. 2

C.3

D.4

12. 平 面 直 角 坐 标 系 中 , O 为 坐 标 原 点 , 已 知 两 点 A(3,1), B(?1,3) 若 点 C 满 足

??? ? ??? ? O C? 2 a O? A

2 0 1 2

??? ? a ,其中 O B {an }为等差数列, 且a1006 ? a1008 ? 1 ,则点 C 的轨迹方程为( D )
B. ( x ?1) ? ( y ? 2) ? 5
2 2

A. 3x ? 2 y ? 11 ? 0

C. 2 x ? y ? 0

D. x ? 2 y ? 5 ? 0

二、填空题(本大题共 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分)

13.已知直线 x ? ky ? 1 ? 0 与直线 y ? kx ? 1 平行,则 k 的值为

1

14.在区间 [?1,1] 上随机取一个数 k ,则直线 y ? k ( x ? 2) 与圆 x 2 ? y 2 ? 1有公共点的概率为

3 3
x2 y2 15. 已知椭圆 C: + =1 的右焦点为 F,抛物线 y2=4x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一 4 3 点,PA⊥l,A 为垂足.如果直线 AF 的倾斜角为 120° ,那么|PF|=__

4__.

16. 如图,正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线段 CC1 上的动点,过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S.则下列命题正确的是___①③④⑤ 编号). __(写出所有正确命题的

1 3 时 ,S 为四边形 ;② 当 ? CQ ? 1 时 ,S 为六边 2 4 3 1 形 ;③ 当 CQ ? 时 ,S 与 C1D1 的 交 点 R 满 足 C1 R ? ;④ 当 4 3
① 当 0 ? CQ ?

CQ ?

1 6 时,S 为等腰梯形;⑤当 CQ ? 1 时,S 的面积为 . 2 2

16 题

三、解答题(本大题共 6 小题, 共 74 分,需写出必要的解答或推证过程)
17. (本题满分 12 分)过圆 x ? y ? 1 外一点 M ( 2,3) ,作这个圆的两条切线 MA 、 MB ,切点
2 2

分别是 A 、 B ,求直线 AB 的方程。

4分

8分

12 分

18.(本题满分 12 分)

设命题 p:(4x-3)2≤1;命题 q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若 q 是 p 的必要不充分 条件,求实数 a 的取值范围 解: 设 A={x|(4x-3)2≤1},B={x|x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0},
? ?1 ? ? ? 易知 A=?x?2≤x≤1 ?,B={x|a≤x≤a+1}.……………………6 分 ? ? ? ? ?

由 q 是 p 的必要不充分条件,

1 ? ? a ≤ , 从而 p 是 q 的充分不必要条件, 即A? ∴? 2 ? B, ? ?a+1≥1.

1? ? 故所求实数 a 的取值范围是?0,2?.………………………………12 分 ? ?
19. (本题满分 12 分)

已知直线 l 过点 P (1,2)为,且与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于 A 、 B 两点, O 为坐标原点. (1)当 OP ? l 时,求直线 l 的方程; (2)当 ?OAB 面积最小时,求直线 l 的方程并求出面积的最小值.

解:(Ⅰ)由已知

,



由直线方程的点斜式可得直线 的方程为

,所以直线 的方程为 ??????????????????4 分

(Ⅱ) 由题意可知,直线 与与 轴、

轴的正半轴相交,故斜率一定存在且不为 0

设直线 的方程为

,因为直线过

,所以



,∴

, 当且仅当

,即

时,取得等号.8 分



,即面积的最小值为

所以,直线 的方程是

,即

???????????????????????????12 分

20. (本题满分 12 分)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随 机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据,如下表所示. 一次购物量 顾客数/人 结算时间/(分钟/人) 1至 4件 x 1 5至 8件 30 1.5 9至 12 件 25 2 13 至 16 件 y 2.5 17 件 及以上 10 3

已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (1)确定 x,y 的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值; (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率.(将频率视为概率) 解 (1)由已知得 25+y+10=55,x+30=45,

所以 x=15,y=20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体, 所收集的 100 位顾客一次购物 的结算时间可视为总体的一个容量为 100 的简单随机样本, 顾客一次购物的结算时 间的平均值可用样本平均数估计,其估计值为 1×15+1.5×30+2×25+2.5×20+3×10 =1.9(分钟).????????6 分 100 (2)记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟”,A1,A2,A3 分别 表示事件“该顾客一次购物的结算时间为 1 分钟”“该顾客一次购物的结算时间 为 1.5 分钟”“该顾客一次购物的结算时间为 2 分钟”.将频率视为概率得 15 3 30 3 25 1 P(A1)=100=20,P(A2)=100=10,P(A3)=100=4.

因为 A=A1∪A2∪A3,且 A1,A2,A3 是互斥事件, 所以 P(A)=P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3) 3 3 1 7 =20+10+4=10. 7 故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为10.………………12 分
21. (本题满分 12 分)如图,四边形 BCDE 是直角梯形, CD // BE , CD ? BC , CD ?

1 BE ? 2 , 2

平面 BCDE ? 平面 ABC ;又已知 ?ABC 为等腰直角三角形, AB ? AC ? 4 , M , F 分别为

BC, AE 的中点.
(1)求直线 CD 与平面 DFM 所成角的正弦值; (2) 能 否 在 线 段 EM 上 找 到 一 点 G , 使 得 FG ? 平 面

BCDE ?若能,请指出点 G 的位置,并加以证明;若不能,请说
明理由; (3)求三棱锥 F ? DME 的体积. 解:由题意,CD⊥BC.四边形 BCDE 是直角梯形,EB⊥BC. 又平面 BCDE⊥平面 ABC,∴EB⊥平面 ABC. 于是以 B 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 B-xyz. 则 B(0,0,0),C(4,4,0),A(0,4,0),D(4,4,2),E(0,0,4),

F(0,2,2),M(2,2,0).
→ (1)CD=(0,0,2). 设 m=(x,y,z)为平面 DFM 的法向量. → → 由 m·DM=0,m·MF=0,
? ?2x+2y+2z=0 得? ?-2x+2z=0 ?

,即 m=(x,-2x,x).

令 x=1,得 m=(1,-2,1). → |m·CD| 6 于是 sin θ = = . → 6 |m|·|CD|

→ → (2)证明:设存在点 G 满足题设,且EG=λ EM(0≤λ ≤1). → 则 G(2λ ,2λ ,4-4λ ),FG=(2λ ,2λ -2,2-4λ ). → → → → 1 由FG·EM=16λ -8=0,得 λ = .经检验FG·ED=0. 2 故当 G 为 EM 的中点时,FG⊥平面 BCDE. (3)∵BE∥CD,CD⊥BC,且四边形 BCDE 是直角梯形, 1 1 1 ∴S△BME= BE·BM= ×4×2 2=4 2,S△DCM= S△BME=2 2. 2 2 2 1 又梯形 BCDE 的面积 S 梯形 BCDE= ×(4+2)×4 2=12 2, 2 ∴S△DME=S 梯形 BCDE-S△DCM-S△BEM=6 2. 由(2),知 FG 为三棱锥 F-DME 的高,且|FG|= 2. 1 ∴VF-DME= ×6 2× 2=4. 3 22. (本题满分 13 分) 直线 l 与椭圆

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 交 于 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 两 点 , 已 知 a 2 b2

? ?? ?? ? 3 m ? (ax1 , by1 ) , n ? (ax2 , by2 ) ,若 m ? n 且椭圆的离心率 e ? ,又椭圆过点
2
( 3 ,1) ,O 为原点. 2

(1)求椭圆的方程; (2)若直线 l 过椭圆的焦点 F (0, c ) ( C 为半焦距) ,求直线 l 的斜率 k 的值; (3)试问: ?AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.
? c a 2 ? b2 3 e? ? ? ? 【解】(1)∵ ? a a 2 ? 1 3 ? ? ?1 ? ? a 2 4b 2

∴a ? 2

, b ?1

∴椭圆的方程为

y2 ? x 2 ? 1 …… …4 分 4

(2)依题意,设 l 的方程为 y ? kx ?

3

? y ? kx ? 3 由 ? ? (k 2 ? 4) x 2 ? 2 3kx ? 1 ? 0 ? y2 2 ? ? x ?1 ?4
显然 ? ? 0

x1 ? x2 ?

由已知 m ? n ? 0 得:

?? ?

?2 3k ?1 , x1 x2 ? 2 2 k ?4 k ?4

a 2 x1 x2 ? b 2 y1 y2 ? 4 x1 x2 ? (kx1 ? 3)(kx2 ? 3)
? (4 ? k 2 ) x1 x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 3 ? (k 2 ? 4)(?
解得 k

1 ?2 3k ) ? 3k ? 2 ?3? 0 k ?4 k ?4
2

?? 2

…… …8 分

(3)①当直线 AB 斜率不存在时,即 x1 由已知 m ? n ? 0 ,得 4 x1 又

?? ?

? x2 , y1 ? ? y2 ,

2

? y12 ? 0 ? y12 ? 4x12
所以 x12 ?

A( x1 , y1 ) 在椭圆上,

4 x12 2 ? 1 ? | x1 |? , | y1 |? 2 4 2

S?

1 1 | x1 || y1 ? y2 |? | x1 | ?2 | y1 |? 1 ,三角形的面积为定值. 2 2

②当直线 AB 斜率存在时:设 AB 的方程为

y ? kx ? t

? y ? kx ? t ? 2 ? (k 2 ? 4) x 2 ? 2ktx ? t 2 ? 4 ? 0 ?y 2 ? ? x ?1 ?4
必须 ?

?0

即 4k

2 2

t ? 4(k 2 ? 4)(t 2 ? 4) ? 0

得到 x1 ? x2 ?

?? ? ∵ m ? n ,∴ 4 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ? 4 x1 x2 ? (kx1 ? t )(kx2 ? t ) ? 0
代入整理得: 2t
2

?2kt t2 ? 4 , x x ? , 1 2 k2 ? 4 k2 ? 4

? k2 ? 4

S?

2 2 2 1 |t | 1 | AB |? | t | ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x1 ? | t | 4k 2 ? 4t ? 16 ? 4t ? 1 2 1? k 2 2 k ?4 2|t |

所以三角形的面积为定值。…… …13 分


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