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高中数学竞赛讲义(11)圆锥曲线


高中数学竞赛讲义(十一) ──圆锥曲线 一、基础知识 1.椭圆的定义,第一定义:平面上到两个定点的距离之和等于定 长 ( 大 于 两个 定点 之 间 的 距离 )的 点 的 轨 迹, 即 |PF1|+|PF2|=2a (2a>|F1F2|=2c). 第二定义:平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比 为同一个常数 e(0<e<1)的点的轨迹(其中定点不在定

直线上),即 (0<e<1). 第三定义:在直角坐标平面内给定两圆 c1: x2+y2=a2, c2: x2+y2=b2, a, b∈R+且 a≠b。从原点出发的射线交圆 c1 于 P,交圆 c2 于 Q,过 P 引 y 轴的平行线,过 Q 引 x 轴的平行线,两条线的交点的轨迹即为椭 圆。 2.椭圆的方程,如果以椭圆的中心为原点,焦点所在的直线为坐 标轴建立坐标系,由定义可求得它的标准方程,若焦点在 x 轴上,列 标准方程为 (a>b>0), 参数方程为 ( 为参数)。

若焦点在 y 轴上,列标准方程为 (a>b>0)。
1

3.椭圆中的相关概念,对于中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 , a 称半长轴长,b 称半短轴长,c 称为半焦距,长轴端点、短轴端 点、两个焦点的坐标分别为(±a, 0), (0, ±b), (±c, 0);与左焦 点对应的准线(即第二定义中的定直线)为 的准线为 0<e<1. 椭圆有两条对称轴,分别是长轴、短轴。 4.椭圆的焦半径公式:对于椭圆 1(a>b>0), F1(-c, 0), ;定义中的比 e 称为离心率,且 ,与右焦点对应 ,由 c2+b2=a2 知

F2(c, 0)是它的两焦点。 P(x, y)是椭圆上的任意一点, 若 则|PF1|=a+ex, |PF2|=a-ex. 5.几个常用结论:1)过椭圆上一点 P(x0, y0)的切线方程为 ; 2)斜率为 k 的切线方程为 3)过焦点 F2(c, 0)倾斜角为θ 的弦的长为 。 6.双曲线的定义,第一定义: 满足||PF1|-|PF2||=2a(2a<2c=|F1F2|, a>0)的点 P 的轨迹; ;

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第二定义:到定点的距离与到定直线距离之比为常数 e(>1)的点 的轨迹。 7.双曲线的方程:中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线方程为 , 参数方程为 ( 为参数)。

焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为 。 8.双曲线的相关概念,中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线 (a, b>0), a 称半实轴长,b 称为半虚轴长,c 为半焦距,实轴的两个端点为 (-a, 0), (a, 0). 左、右焦点为 F1(-c,0), F2(c, 0),对应的左、 右准线方程分别为 条渐近线方程为 离心率 ,双曲线 ,由 a2+b2=c2 知 e>1。两 与 有相同的渐

近线,它们的四个焦点在同一个圆上。若 a=b,则称为等轴双曲线。 9.双曲线的常用结论,1)焦半径公式,对于双曲线 ,

F1(-c,0), F2(c, 0)是它的两个焦点。设 P(x,y)是双曲线上的任一 点,若 P 在右支上,则|PF1|=ex+a, |PF2|=ex-a;若 P(x,y)在左支 上,则|PF1|=-ex-a,|PF2|=-ex+a.

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2) 过焦点的倾斜角为θ 的弦长是



10.抛物线:平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的 点的轨迹叫做抛物线,点 F 叫焦点,直线 l 叫做抛物线的准线。若取 经过焦点 F 且垂直于准线 l 的直线为 x 轴,x 轴与 l 相交于 K,以线 段 KF 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系,设|KF|=p,则焦点 F 坐标为 e=1. 11.抛物线常用结论:若 P(x0, y0)为抛物线上任一点, 1)焦半径|PF|= ; ,准线方程为 ,标准方程为 y2=2px(p>0),离心率

2)过点 P 的切线方程为 y0y=p(x+x0); 3)过焦点倾斜角为θ 的弦长为 。

12.极坐标系,在平面内取一个定点为极点记为 O,从 O 出发的 射线为极轴记为 Ox 轴,这样就建立了极坐标系,对于平面内任意一 点 P,记|OP|=ρ ,∠xOP=θ ,则由(ρ ,θ )唯一确定点 P 的位置, (ρ ,θ )称为极坐标。 13.圆锥曲线的统一定义:到定点的距离与到定直线的距离的比 为常数 e 的点 P,若 0<e<1,则点 P 的轨迹为椭圆;若 e>1,则点 P 的轨迹为双曲线的一支;若 e=1,则点 P 的轨迹为抛物线。这三种圆 锥曲线统一的极坐标方程为 二、方法与例题
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1.与定义有关的问题。 例 1 已知定点 A(2,1),F 是椭圆 的左焦点,点 P

为椭圆上的动点,当 3|PA|+5|PF|取最小值时,求点 P 的坐标。 [解] 见图 11-1,由题设 a=5, b=4, c= ,又因为 =3, .椭圆

左准线的方程为

,所以点 A 在椭圆内部,

又点 F 坐标为(-3,0),过 P 作 PQ 垂直于左准线,垂足为 Q。由定 义知 ,则 |PF|=|PQ|。

所以 3|PA|+5|PF|=3(|PA|+ |PF|)=3(|PA|+|PQ|)?3|AM|(AM 左准线于 M)。 所以当且仅当 P 为 AM 与椭圆的交点时,3|PA|+5|PF|取最小值, 把 y=1 代入椭圆方程得 例2 已知 P, ,又 x<0,所以点 P 坐标为 右支上两点, 延长线

为双曲线 C:

交右准线于 K,PF1 延长线交双曲线于 Q,(F1 为右焦点)。求证:∠ F1K=∠KF1Q. [证明] 记右准线为 l, PD l 于 D, 作 于 E, 因为 //PD,



, 又 由 定 义

, 所 以

,由三角形外角平分线定理知,F1K 为∠PF1P 的 外角平分线,所以∠ =∠KF1Q。
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2.求轨迹问题。 例3 已知一椭圆及焦点 F,点 A 为椭圆上一动点,求线段 FA 中

点 P 的轨迹方程。 [解法一] 利用定义,以椭圆的中心为原点 O,焦点所在的直线 为 x 轴,建立直角坐标系,设椭圆方程: 为(-c, 0). 设另一焦点为 |FP|+|PO|= (|FA|+|A 。连结 =1(a>b>0).F 坐标 ,OP,则 。所以

|)=a.

所以点 P 的轨迹是以 F,O 为两焦点的椭圆(因为 a>|FO|=c),

将此椭圆按向量 m=( ,0)平移, 得到中心在原点的椭圆: 由平移公式知,所求椭圆的方程为



[解法二] 相关点法。 设点 P(x,y), A(x1, y1), 则 即 x1=2x+c, y1=2y. 又因为点 A 在椭圆 上, 所以

, 代

入得关于点 P 的方程为 点分别为 F 和 O 的椭圆。 例4

。它表示中心为

,焦

长为 a, b 的线段 AB,CD 分别在 x 轴,y 轴上滑动,且 A,

B,C,D 四点共圆,求此动圆圆心 P 的轨迹。
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[解] 设 P(x, y)为轨迹上任意一点,A,B,C,D 的坐标分别为 A(x- ,0), B(x+ ,0), C(0, y- ), D(0, y+ ), 记 O 为原点,由 圆幂定理知|OA|?|OB|=|OC|?|OD|, 用坐标表示为 , 即

当 a=b 时,轨迹为两条直线 y=x 与 y=-x; 当 a>b 时,轨迹为焦点在 x 轴上的两条等轴双曲线; 当 a<b 时,轨迹为焦点在 y 轴上的两条等轴双曲线。 例5 在坐标平面内,∠AOB= ,AB 边在直线 l: x=3 上移动,求

三角形 AOB 的外心的轨迹方程。 [解] 设∠xOB=θ ,并且 B 在 A 的上方, 则点 A, 坐标分别为 B(3, B

3tanθ ),A(3,3tan(θ - )),设外心为 P(x,y), 由中点公式知 OB 中点 为M 。 再由 得

由外心性质知

×tanθ =-1。结合上式有

?tanθ = 又 tanθ + =

① ②
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又 所以 tanθ ②代入得 3.定值问题。 例6 过双曲线 (a>0, b>0)的右焦点 F 作 B1B2 轴,交 = 。即为所求。 两边平方,再将①,

双曲线于 B1,B2 两点,B2 与左焦点 F1 连线交双曲线于 B 点,连结 B1B 交 x 轴于 H 点。求证:H 的横坐标为定值。 [证明] 设点 B,H,F 的坐标分别为(asecα ,btanα ), (x0, 0), (c, 0),则 F1,B1,B2 的坐标分别为(-c, 0), (c, 因为 F1,H 分别是直线 B2F,BB1 与 x 轴的交点,所以 ① 所以 ), (c, ),

。 由①得

代入上式得
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(定值)。

注:本例也可借助梅涅劳斯定理证明,读者不妨一试。 例 7 设抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,经过点 F 的直线交抛物 线于 A,B 两点,点 C 在准线上,且 BC//x 轴。证明:直线 AC 经过定 点。

[证明] 所以 由于 =0 。 因 为

设 , ,所以 ?y2,

,则

,焦点为 , y1=0,即

, 。

,所以 。所以

。所以 ,即直线 AC 经过原点。

,即

例8 证:

椭圆

上有两点 A,B,满足 OA OB,O 为原点,求 为定值。 ,则点 A,B

[证明] 设|OA|=r1,|OB|=r2,且∠xOA=θ ,∠xOB=

的坐标分别为 A(r1cosθ , r1sinθ ),B(-r2sinθ ,r2cosθ )。由 A,B 在椭圆上有

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即 ② ①+②得 4.最值问题。



(定值)。

例 9 设 A,B 是椭圆 x2+3y2=1 上的两个动点,且 OA OB(O 为原 点),求|AB|的最大值与最小值。

[解] 可得 因 为

由题设 a=1,b= =4。设 m=|AB|2=

,记|OA|=r1,|OB|=r2,

,参考例 8 ,

, 且 a2>b2 , 所 以 ,所以 b?r1?a,同理 b?r2?a.所以 。又函数

f(x)=x+ 在

上单调递减,在

上单调递增,所以当 t=1 即 或 时,|AB|取最大值 。 ,若

|OA|=|OB|时,|AB|取最小值 1;当

例 10 设一椭圆中心为原点,长轴在 x 轴上,离心率为 圆 C: 个椭圆的方程。 1 上点与这椭圆上点的最大距离为

,试求这

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[解]

设 A,B 分别为圆 C 和椭圆上动点。由题设圆心 C 坐标为

, 半径|CA|=1, 因为|AB|?|BC|+|CA|=|BC|+1, 所以当且仅当 A, B,C 共线,且|BC|取最大值时,|AB|取最大值 值为 因为 2t, ;所以可设椭圆半长轴、半焦距、半短轴长分别为 ,并设点 B 坐标为 B(2tcosθ ,tsin =3t2sin2 θ -3tsin θ + ,所以|BC|最大

,t,椭圆方程为

θ ) , 则 |BC|2=(2tcos θ )2+ +4t2=-3(tsinθ + )2+3+4t2. 若 不符。 若 t> ,则当 sinθ = t=1. 所以椭圆方程为 5.直线与二次曲线。 。

,则当 sinθ =-1 时,|BC|2 取最大值 t2+3t+

,与题设

时,|BC|2 取最大值 3+4t2,由 3+4t2=7 得

例 11 若抛物线 y=ax2-1 上存在关于直线 x+y=0 成轴对称的两点, 试求 a 的取值范围。 [解] 抛物线 y=ax2-1 的顶点为(0,-1),对称轴为 y 轴,存在关 (-y1,-x1),
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于直线 x+y=0 对称两点的条件是存在一对点 P(x1,y1),

满足 y1=a

且-x1=a(-y1)2-1,相减得 x1+y1=a(

),因为 P 不在

直线 x+y=0 上,所以 x1+y1≠0,所以 1=a(x1-y1),即 x1=y1+ 所以 求得 ,即为所求。 相交,(1)求 b 的范围; 此方程有不等实根,所以 ,

例 12 若直线 y=2x+b 与椭圆 (2)当截得弦长最大时,求 b 的值。

[ 解 ] 二 方 程 联 立 得 17x2+16bx+4(b2-1)=0. 由 Δ >0 , 得 <b< |PQ|= 三、基础训练题 1.A 为半径是 R 的定圆⊙O 上一定点,B 为⊙O 上任一点,点 P 是 A 关于 B 的对称点,则点 P 的轨迹是________. 2.一动点到两相交直线的距离的平方和为定值 m2(>0),则动点的 轨迹是________. 3.椭圆 上有一点 P,它到左准线的距离是 10,它到右 ; 设 两 交 点 为 P(x1,y1),Q(x2,y2) , 由 韦 达 定 理 得 。所以当 b=0 时,|PQ|最大。

焦点的距离是________.

4.双曲线方程

,则 k 的取值范围是________.

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5. 椭圆

, 焦点为 F1, 2, F 椭圆上的点 P 满足∠F1PF2=600,

则Δ F1PF2 的面积是________. 6.直线 l 被双曲线 分,则 l 的方程为________. 7.Δ ABC 的三个顶点都在抛物线 y2=32x 上,点 A(2,8),且Δ ABC 的重心与这条抛物线的焦点重合,则直线 BC 的斜率为________. 8.已知双曲线的两条渐近线方程为 3x-4y-2=0 和 3x+4y-10=0, 一条准线方程为 5y+4=0,则双曲线方程为________. 9.已知曲线 y2=ax,与其关于点(1,1)对称的曲线有两个不同 的交点, 如果过这两个交点的直线的倾斜角为 450, 那么 a=________. 10.P 为等轴双曲线 x2-y2=a2 上一点, ________. 所截的线段 MN 恰被点 A(3,-1)平

的取值范围是

11.已知椭圆

与双曲线

有公共的焦点 F1,F2,

设 P 是它们的一个焦点,求∠F1PF2 和Δ PF1F2 的面积。 12.已知(i)半圆的直径 AB 长为 2r;(ii)半圆外的直线 l 与 BA 的延长线垂直,垂足为 T,设|AT|=2a(2a< );(iii)半圆上有 相异两点 M,N,它们与直线 l 的距离|MP|,|NQ|满足 求证:|AM|+|AN|=|AB|。

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13.给定双曲线

过点 A(2,1)的直线 l 与所给的双曲

线交于点 P1 和 P2,求线段 P1P2 的中点的轨迹方程。 四、高考水平测试题 1. 双曲线与椭圆 x2+4y2=64 共焦点, 它的一条渐近线方程是 =0,则此双曲线的标准方程是_________. 2.过抛物线焦点 F 的直线与抛物线相交于 A,B 两点,若 A,B 在 抛物线准线上的射影分别是 A1,B1,则∠A1FB1=_________. 3.双曲线 的一个焦点为 F1,顶点为 A1,A2,P 是双曲线

上任一点,以|PF1|为直径的圆与以|A1A2|为直径的圆的位置关系为 _________. 4.椭圆的中心在原点,离心率 ,一条准线方程为 x=11,椭

圆上有一点 M 横坐标为-1,M 到此准线异侧的焦点 F1 的距离为 _________. 5.4a2+b2=1 是直线 y=2x+1 与椭圆 _________条件. 恰有一个公共点的

6.若参数方程

(t 为参数)表示的抛物线焦点总在

一条定直线上,这条直线的方程是_________. 7. 如果直线 y=kx+1 与焦点在 x 轴上的椭圆 则 m 的范围是_________.
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总有公共点,

8.过双曲线 直线有_________条.

的左焦点,且被双曲线截得线段长为 6 的

9.过坐标原点的直线 l 与椭圆

相交于 A,B 两点,

若以 AB 为直径的圆恰好通过椭圆的右焦点 F,则直线 l 的倾斜角为 _________. 10.以椭圆 x2+a2y2=a2(a>1)的一个顶点 C(0,1)为直角顶点作此 椭圆的内接等腰直角三角形 ABC,这样的三角形最多可作_________ 个. 11.求椭圆 值。 12.设 F,O 分别为椭圆 的左焦点和中心,对于过点 F 上任一点的两条焦半径夹角θ 的正弦的最大

的椭圆的任意弦 AB,点 O 都在以 AB 为直径的圆内,求椭圆离心率 e 的取值范围。 13.已知双曲线 C1: C2 的焦点是 C1 的左焦点 F1。 (1)求证:C1,C2 总有两个不同的交点。 (2)问:是否存在过 C2 的焦点 F1 的弦 AB,使Δ AOB 的面积有最 大值或最小值?若存在, 求直线 AB 的方程与 SΔ AOB 的最值, 若不存在, 说明理由。 五、联赛一试水平训练题
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(a>0),抛物线 C2 的顶点在原点 O,

1. 在平面直角坐标系中, 若方程 m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2 表示的 曲线为椭圆,则 m 的取值范围是_________. 2. O 为抛物线的顶点, 为焦点, PQ 为过 F 的弦, 设 F 且 已知|OF|=a, |PQ|=b,Δ OPQ 面积为_________. 3.给定椭圆 ,如果存在过左焦点 F 的直线交椭圆于 P,

Q 两点,且 OP OQ,则离心率 e 的取值范围是_________. 4.设 F1,F2 分别是双曲线 (a>b>0)的左、右焦点,P 为

双曲线上的动点,过 F1 作∠F1PF2 平分线的垂线,垂足为 M,则 M 的轨 迹为_________. 5.Δ ABC 一边的两顶点坐标为 B(0, 两边斜率的乘积为 为_________. 6.长为 l(l<1)的线段 AB 的两端点在抛物线 y=x2 上滑动,则线段 AB 的中点 M 到 x 轴的最短距离等于_________. 7.已知抛物线 y2=2px 及定点 A(a,b),B(-a,0),ab≠0,b2≠2pa,M 是抛物线上的点,设直线 AM,BM 与抛物线的另一个交点分别为 M1, M2,当 M 变动时,直线 M1M2 恒过一个定点,此定点坐标为_________. 8.已知点 P(1,2)既在椭圆 x2+y2= _________.
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)和 C(0,

),另

,若点 T 坐标为(t,0)(t∈R+),则|AT|的最小值

内部(含边界),又在圆

外 部(含 边界 ),若 a,b∈R+, 则 a+b 的最小值为

9.已知椭圆

的内接Δ ABC 的边 AB,AC 分别过左、右焦

点 F1,F2,椭圆的左、右顶点分别为 D,E,直线 DB 与直线 CE 交于点 P,当点 A 在椭圆上变动时,试求点 P 的轨迹。 10.设曲线 C1: (a 为正常数)与 C2:y2=2(x+m)在 x 轴

上方有一个公共点 P。(1)求实数 m 的取值范围(用 a 表示); (2)O 为原点,若 C1 与 x 轴的负半轴交于点 A,当 0<a< 时,试 求Δ OAP 面积的最大值(用 a 表示)。 11.已知直线 l 过原点,抛物线 C 的顶点在原点,焦点在 x 轴正 半轴上,若点 A(-1,0)和 B(0,8)关于 l 的对称点都在 C 上,求 直线 l 和抛物线的方程。 六、联赛二试水平训练题 1.在四边形 ABCD 中,对角线 AC 平分∠BAD,在 CD 上取一点 E, BE 与 AC 相交于 F,延长 DF 交 BC 于 G,求证:∠GAC=∠EAC。 2.求证:在坐标平面上不存在一条具有奇数个顶点,每段长都为 1 的闭折线,它的每个顶点坐标都是有理数。 3.以 B0 和 B1 为焦点的椭圆与Δ AB0B1 的边 ABi 交于 Ci(i=0,1),在 AB0 的延长线上任取点 P0,以 B0 为圆心,B0P0 为半径作圆弧 交 C1B0

的延长线于 Q0;以 C1 为圆心,C1Q0 为半径作圆弧 Q0P1 交 B1A 的延长线 于 P1;B1 为圆心,B1P1 为半径作圆弧 P1Q1 交 B1C0 的延长线于 Q1;以 C0 为圆心,C0Q1 为半径作圆弧 Q1 ,交 AB0 的延长线于 。求证:(1)

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与点 P0 重合,且圆弧 P0Q0 与 P0Q1 相内切于 P0;(2)P0,Q0,P1,

Q1 共圆。 4.在坐标平面内,从原点出发以同一初速度 v0 和不同发射角(即 发射方向与 x 轴正向之间 的夹角) (α ∈[0,π ],α ≠ )射出的质 α 点,在重力的作用下运动轨迹是抛物线,所有这些抛物线组成一个抛 物线族,若两条抛物线在同一个交点处的切线互相垂直,则称这个交 点为正交点。证明:此抛物线族的所有正交点的集合是一段椭圆弧, 并求此椭圆弧的方程(确定变量取值范围)。 5.直角Δ ABC 斜边为 AB,内切圆切 BC,CA,AB 分别于 D,E,F 点,AD 交内切圆于 P 点。若 CP BP,求证:PD=AE+AP。 6.已知 BC CD,点 A 为 BD 中点,点 Q 在 BC 上,AC=CQ,又在 BQ 上找一点 R,使 BR=2RQ,CQ 上找一点 S,使 QS=RQ,求证:∠ASB=2 ∠DRC。

高中数学竞赛讲义(十一)答案 基础训练题 1.圆。设 AO 交圆于另一点 AB ,所以 P 在以 是 A 关于 的对称点。则因为

为直径的圆上。

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2.圆或椭圆。设给定直线为 y=±kx(k>0),P(x,y)为轨迹上任一

点,则

。化简为 2k2x2+2y2=m2(1+k2).

当 k≠1 时,表示椭圆;当 k=1 时,表示圆。 3. 由题设 a=10,b=6,c=8, 12. 从而 P 到左焦点距离为 10e=10× =8,所以 P 到右焦点的距离为 20-8=12。 4.-2<k<2 或 k<5.由(|k|-2)(5-k)<0 解得 k>5 或-2<k<2. 5. 设两条焦半径分别为 m,n,则因为|F1F2|=12,m+n=20.由余 ,

弦定理得 122=m2+n2-2mncos600,即(m+n) 2-3mn=144. 所以

6.3x+4y-5=0.设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 相减得 -(y1+y2)(y1-y2)=0.由 。故方程 y+1= (x-3).

两式 ,得

7.-4.设 B(x1,y1),C(x2,y2),则

=0,所以 y1+y2=-8,故直

线 BC 的斜率为

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8.

=1。由渐近线交点为双曲线中心,解方程组 得中心为(2,1),又准线为 ,知其实轴平行于 y =0。所

轴,设其方程为 以 y-1= (x-1).由题设

=1。其渐近线方程为

,将双曲线沿向量 m=(-2,-1)平移后中

心在原点, 其标准方程为 为 ,再结合 =1。

=1。 由平移公式

平移后准线

, 解 得 a2=9 , b2=16 , 故 双 曲 线 为

9.2.曲线 y2=ax 关于点(1,1)的对称曲线为(2-y)2=a(2-x),



得 y2-2y+2-a=0,故 y1+y2=2,从而 =1,所以 a=2.

=

10.(2,

]。设 P(x1,y1)及

,由|PF1|=ex1+a

,|PF2|=ex1-a,|PF1|+|PF2|=2ex1, 所以 因 ,所以 ,所以

, 即 即 2<t?2 .



11. 解 : 由 对 称 性 , 不 妨 设 点 P 在 第 一 象 限 , 由 题 设 |F1F2|2=4 =4c2,又根据椭圆与双曲线定义

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解得|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2. 在Δ F1PF2 中,由余弦定理

从而 又 sin∠F1PF2= 所以 12.解:以直线 AB 为 x 轴,AT 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系, 则由定义知 M,N 两点既在抛物线 y2=4ax 上,又在圆[x-(a+r)]2+y2=r2 上,两方程联立得 x2+(2a-2r)x+2ra+a2=0,设点 M,N 坐标分别为 (x1,y1),(x2,y2), x1+x2=2r-2a.又|AM|=|MP|=x1+a, 则 |AN|=|NP|=x2+a. |AB|=2r,所以 |AM|+|AN|=x1+x2+2a=2r=|AB|. 得证。 13.解:若直线 l 垂直于 x 轴,因其过点 A(2,1),根据对称性, P1P2 的中点为(2,0)。 若 l 不垂直于 x 轴,设 l 的方程为 y-1=k(x-2),即 y=kx+1-2k. ①
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将①代入双曲线方程消元 y 得 (2-k2)x2+2k(2k-1)x-(4k2-4k+3)=0. 这 里 ② 且 Δ

=[2k(2k-1)]2+4(2-k)2(4k2-4k+3)=8(3k2-4k+3)>0, 设 x1,x2 是方程②的两根,由韦达定理 ③ 由①,③得 y1+y2=kx1+(1-2k)+kx2+(1-2k) ④

=k(x1+x2)+2(1-2k)=

设 P1P2 的中点 P 坐标(x,y),由中点公式及③,④得

消去 k 得

点(2,0)满足此方程,故这就是点 P 的轨迹方程。 高考水平测试题 1. 由椭圆方程得焦点为 ,渐近线为 由题设 ,设双曲线方程 , 所 以 a2=3b2, 又

,c2=a2+b2. 所以 b2=12, a2=36. 2. 900。见图 1,由定义得|FA|=|AA1|,|FB|=|BB1|,有∠1=∠BFB1, ∠2=∠AFA1,又∠1=∠3,∠2=∠4,所以∠3+∠4=∠BFB1+∠AFA1=900。
22

3.相切,若 P(x,y)在左支上,设 F1 为左焦点,F2 为右焦点,M 为 PF1 中点,则|MO|= |PF2|= (a-ex),又|PF1|=-a-ex,所以两圆半径 之和 (-a-ex)+a= (a-ex)=|MO|,所以两圆外切。当 P(x,y)在右支 上时,同理得两圆内切。 4. 与 F1 对应的另一条准线为 x=-11, 因|MF1|与 M 到直线 x=-11 ,所以|MF1|=

距离 d1 之比为 e,且 d1=|xm+11|=10.所以

5 . 充 要 。 将 y=2x+1 代 入 椭 圆 方 程 得 (b2+4a2)x2+4a2x+a2 (1-b2)=0. ①

若Δ =(4a2) 2-4(b2+4a2)a2 (1-b2)=0,则直线与椭圆仅有一个公共 点,即 b2+4a2=1;反之,4a2+b2=1,直线与椭圆有一个公共点。 6.y=2(x-1)。消去参数得(y-2m) 2=4(x-m),焦点为 直线 y=2(x-1)上。 7.1?m<5。直线过定点(0,1),所以 0 上,所以 5>m,所以 1?m<5。 8.3.双曲线实轴长为 6,通径为 4,故线段端点在异支上一条, 在同支上有二条,一共有三条。 9. 或 。设直线 l: y=kx 与椭圆交于 A(x1,y1),B(x2,y2),把 ?1.又因为焦点在 x 轴

它在

y=kx 代入椭圆方程得(1+3k2)x2-6x+3=0,由韦达定理得

23

① ② 因 F(1,0),AF BF,所以(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,即 x1x2-(x1+x2)+1+k2x1x2=0. 把①,②代入③得 ③ ,所以倾斜角为 或

10.3.首先这样的三角形一定存在,不妨设 A,B 分别位于 y 轴 左、右两侧,设 CA 斜率为 k(k>0),CA 的直线方程为 y=kx+1,代入

椭 圆 方 程 为 (a2k2+1)x2+2a2kx=0 , 得 x=0 或 ,|CA|= 由题设,同理可得|CB|= (k-1)[k2-(a2-1)k+1]=0, 解得 k=1 或 k2-(a2-1)k+1]=0。① 时,①无解;当 ,利用|CA|=|CB|可得

,于是

对于①,当 1<a<

时,k=1;当 a>

时,

①有两个不等实根,故最多有 3 个。 11.解 设焦点为 F1,F2,椭圆上任一点为 P(x0,y0),∠F1PF2=θ , 根据余弦定理得 |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|?|PF2|cosθ , 又 |PF1|+|PF2|=2a , 则 4c2=(2a)2-2|PF1|?|PF2|(1+cos θ ), 再 将 |PF1|=a+ex0, 2|=a-ex0 及 a2=b2+c2 代入得 4b2=2(a2-e2 |PF )(1+cosθ ).
24

于是有 由0 ,得 ,所以 。因θ ∈

[0,π ],所以 cosθ 为减函数,故 0 当 2b2>a2 即 时, ,arccos ,

sinθ 为增函数,sinθ 取最大值 时,arccos

;当 2b2?a2

,θ ∈[0,π ],则 sinθ 最大值为 1。

12.解 设 A(x1,y1),B(x2,y2),若 AB 斜率不为 0,设为 k,直线 AB 方程为 y=k(x+c),代入椭圆方程并化简得 (b2+a2k2)x2+2a2k2cx+a2 (k2c2-b2)=0. ①

则 x1,x2 为方程①的两根,由韦达定理得 ② ③ 因为 y1y2=k2(x1+c)(x2+c),再由②,③得 所以 内,等价 =x1x2+y1y2= ,O 点在以 AB 为直径的圆

<0,即 k2(a2c2-b4)-a2b2<0 对任意 k∈R 成立,等价于

a2c2-b2?0,即 ac-b2?0,即 e2+e-1?0.所以 0<e?

25

若斜率不存在,问题等价于 13.解 (1)由双曲线方程得 抛物线焦点到准线的距离 ① 把①代入 C1 方程得 ②



,综上 ,所以 F1( ,0),

,抛物线

Δ =64a2>0,所以方程②必有两个不同实根,设为 x1,x2,由韦达定 理 得 x1x2=-a2<0 , 所 以 ② 必 有 一 个 负 根 设 为 x1, 把 x1 代 入 ① 得 y2= ,所以 (因为 x1≠0),所以 C1,C2 总有两个

不同交点。

(2) 设过 F1( y2+4

,0)的直线 AB 为 my=(x+

a),由



may-12a2=0,因为Δ =48m2a2+48a2>0,设 y1,y2 分别为 A,B 的纵 ,y1y2=-12a2.所以(y1-y2)2=48a2(m2+1).所以 SΔ a? a? ,当且仅当

坐标,则 y1+y2= = |y1-y2|?|OF1|=

AOB

m=0 时,SΔ AOB 的面积取最小值;当 m→+∞时,SΔ AOB→+∞,无最大值。 所以存在过 F 的直线 x= 联赛一试水平训练题 使Δ AOB 面积有最小值 6a2.

26

1.m>5.由已知得 与到定直线 x-2y+3=0 的距离比为常数 m>5. 2. 以 3. 因为 b=|PQ|=|PF|+|QF|= 。所以 SΔ OPQ= absinθ =

,说明(x,y)到定点(0,-1) ,由椭圆定义 <1,所以

,所 .

。 设点 P 坐标为(r1cosθ ,r1sinθ ),点 Q 坐标为(-r2sin ,RtΔ OPQ

θ ,r2cosθ ),因为 P,Q 在椭圆上,可得 斜边上的高为 得 ?e<1.

?|OF|=c. 所以 a2b2?c2(a2+b2),解

4.以 O 为圆心, 为半径的圆。 a 延长 F1M 交 PF2 延长线于 N, 则 F2N,而|F2N|=|PN|-|PF2|=|PF1|-|PF2|=2a,所以|OM|=a. 5.t ∈ (0,1] 时 |AT|min= kAB?kAC=- ,设 A(x,y), 则 ≠0),所以|AT|2=(x-t)2+y2=(x-t)2+ ?2,所以当 t∈(0,1]时取 x=2t,|AT|取最小值 x=2,|AT|取最小值|t-2|.
27

,t>1 时 |AT|min=|t-2|. 由 题 设 (x≠0), 整理得 =1(x

(x-2t)2+2-t2.因为|x| 。当 t>1 时,取

6. A(x0-

设 点 M(x0,y0) , 直 线 AB 倾 斜 角 为 θ , 并 设 ), B(x0+ ),因为 A, 在抛物 B

线上,所以 ① ② 由①,②得 2x0cosθ =sinθ . ③

所以 因为 l2<1,所以函数 f(x)= 所以 最小值 .在(0,1]在递减,

。当 cosθ =1 即 l 平行于 x 轴时,距离取

7. 得 y1=

设 ,同理 B,M,M2 共线得

,由 A,M,M1 共线 ,设(x,y)是直线 M1M2

上的点,则 y1y2=y(y1+y2)-2px,将以上三式中消去 y1,y2 得 y02(2px-by)+y0?2pb(a-x)+2pa(by-2pa)=0. 当 x=a,y= 8. 时上式恒成立,即定点为 。由题设 且 a2+2b2?15,解得 5?b2?6.
28

所 以 a+b ?

(t=b2-4 ∈ [1,2]) , 而

,又 t ?2 可得上式成立。 9. 解 设 A(2cosθ , ), B(2cosα , sinα ),C(2cosβ ,

sin β ) , 这 里 α ≠ β , 则 过 A , B 的 直 线 为 lAB : ,由于直线 AB 过点 F1(-1,0),代 入有 (sinθ -sinα )?(1+2cosθ )=2 - θ )=sin θ -sin α =2 ,即 sinθ (cosθ -cosα ),即 ? ? , 故 。

2sin( α

又 lBD: 。lCE:

?(x+2)= (x-2)=

,同理得

?(x-2).

29

两直线方程联立, P 点坐标为 得 得点 P(x,y)在椭圆

, 消去

上(除去点(-2,0),(2,0)).

10.解

(1)由

消去 y 得 x2+2a2x+2a2m-a2=0,①设

f(x)=x2+2a2x+2a2m-a2,问题(1)转化为方程①在 x∈(-a,a)上有唯 一解或等根。只需讨论以下三种情况: 10.Δ =0,得 ,此时 xp=-a2,当且仅当-a<-a2<a 即 0<a<1

时适合;20。f(a)?f(-a)<0,当且仅当-a<m<a 时适合;30。f(-a)=0 得 m=a, 此时 xp=a-2a2, 当且仅当-a<a-2a2<a 即 0<a<1 时适合。 f(a)=0 令 得 m=-a,此时 xp=-a-2a2.由于-a-2a2<-a,从而 m≠-a.综上当 0<a<1 时, 或-a<m?a;当 a?1 时,-a<m<a. 因 为 0<a< , 故 当 -a<m ? a 时 ,

(2) Δ OAP 的 面 积 0<-a2+ 由 于 xp>0 , 从 而 ;当 下比较 与

,由唯一性得 xp=-a2+.当 m=a 时,xp 取最小值。 时取值最大,此时 时,xp=-a2,yp= 的大小。令 ,此时 ,得 ,故 以 ,

30

故当 0<a? 时, 时,有 ,此时

, 此时

; 当

11.解:设 A,B 关于 l 的对称点分别为 A1(x2,y2),B1(x1,y1),则

AA1 中点 所以

在 l 上, y2=k(x2-1) ①

又 l AA1,所以

② 由①,②得

同 理 , 由 BB1 中 点

在 l 上,且 l

BB1, 解 得

设抛物线方程为 y2=2px,将 A1,B1 坐标代入并消去 p 得 k2-k-1=0. 所以 ,由题设 k>0,所以 ,从而

所以直线 l 的方程为 联赛二试水平训练题

,抛物线 C 的方程为

31

1 . 以 A 为 原 点 , 直 线 AC 为 x 轴 , 建 立 直 角 坐 标 系 , 设 C(c,0),F(f,0),D(xD,kxD),B(xB,-kxB),则直线 DF 的方程为

① 直线 BC 的方程为 c×①-f×②得 ②

(c-f)x+



③表示一条直线,它过原点,也过 DF 与 BC 的交点 G,因而③就 是直线 AG 的方程。 同理 ,直线 AE 的方程为

(c-f)x+



③,④的斜率互为相反数,所以∠GAC=∠EAC。 2.证明 假设这样的闭折线存在,不妨设坐标原点是其中一个顶

点,记它为 A0,其他顶点坐标为: 中

,…,

,其

都是既约分数,并记 An+1=A0.若 p 与 q 奇偶性相同,则记 p≡

q,否则记 p≠q,下面用数学归纳法证明。 bk≡1,dk≡1(k=1,2,…,n),ak+ck≠ak-1+ck-1(k=1,2,…,n,n+1)。

当 k=1 时,由

,得

,因为 a1,b1 互质,

所以 d1 被 b1 整除,反之亦然(即 b1 被 d1 整除)。
32

因此 b1=±d1,从而

不可能都是偶数(否则 b1

也是偶数,与互质矛盾);不可能都是奇数,因为两个奇数的平方和 模 8 余 2 不是 4 的倍数,也不可能是完全平方数,因此,a1≠c1,b1≡ d1≡1,并且 a1+c1≠0=a0+c0.

设结论对 k=1,2,…,m-1?n 都成立,令 这里 是既约分数,因为每一段的长为 1,所以 =1, ,

与 k=1 情况类似:a≡c,d≡b≡1,又因为 分数 既约,所以 bm 是 bbm-1 的一个因子,bm≡1.

同理可知 dm≡1,又 am≡abm-1+bam-1(同理 cm≡cdm-1+dcm-1). 因 此 (am+cm-am-1-cm-1) ≡ (abm-1+bam-1+cdm-1+dcm-1-am-1-cm-1) ≡ am-1(b-1)+abm-1+cm-1(d-1)+cdm-1≡a+c≡1. 所以 am+cm≠am-1+cm-1,结论成立,于是在顶点数 n+1 为奇数时, an+1+cn+1≠a0+c0,故折线不可能是闭的。 3. 证明 (1) 由已知 B0P0=B0Q0, 并由圆弧 P0Q0 和 Q0P0, 0P1 和 P1Q1, Q P1Q1 和 Q1P1 分 别 相 内 切 于 点 Q0 , P1 , Q1 , 得 C1B0+B0Q0=C1P1 , B1C1+C1P1=B1C0+C0Q1 以 及 C0Q1=C0B0+ B1C1+C1B0=B1C0+C0B0,以及 而可知点 , 四 式 相 加 , 利 用 ,从

。在 B0P0 或其延长线上,有 B0P0=B0

与点 P0 重合。由于圆弧 Q1P0 的圆心 C0,圆弧 P0Q0 的圆心

B0 以及 P0 在同一直线上,所以圆弧 Q1P0 和 P0Q0 相内切于点 P0。

33

(2)现分别过点 P0 和 P1 引上述相应相切圆弧的公切线 P0T 和 P1T 交于点 T。又过点 Q1 引相应相切圆弧的公切线 R1S1,分别交 P0T 和 P1T 于点 R1 和 S1,连接 P0Q1 和 P1Q1,得等腰Δ P0Q1R1 和Δ P1Q1S1,由此得∠ P0Q1P1=π -∠P0Q1P1-∠P1Q1S1=π -(∠P1P0T-∠Q1P0P)-(∠P0P1T-∠Q1P1P0), 而π -∠P0Q1P1=∠Q1P0P1+∠Q1P1P0,代入上式后,即得∠P0Q1P1=π - (∠ P0B0Q0+∠P1C1Q0). 同理得∠P0Q0P1=π - (∠P0B0Q0+∠P1C1Q0), 所以 P0, 0, 1, 1 共圆。 Q Q P 4.证明 引理:抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)在(x0,y0)处的切线斜率 是 2ax0+b. 引理的证明:设(x0,y0)处的切线方程为 y-y0=k(x-x0),代入抛物 线方程得 ax2+(b-k)x+c+kx0-y0=0. 又 故①可化简成 (x-x0)[a(x+x0)+b-k]=0, ② ①

因为②只有一个实根,所以 k=2ax0+b.引理得证。 设 P(x0,y0)为任一正交点,则它是由线 y=x?tan 与 y=x?tan 引理) ?x2

?x2 的交点,则两条切线的斜率分别为(由

又由题设 k1k2=-1,所以
34

③ 又因为 P(x0,y0)在两条抛物线上, 所以 代入③式得 (※) 又因为 tanα 1,tanα 2 是方程 tanα 1+tanα 2= tanα 1?tanα 2= 把④,⑤代入(※)式得 ④ 。 ⑤ ?t2-t+ =0 的两根,所以

,即 5.证明 以 C 为原点,CB 所在直线为 x 轴,建立直角坐标系,

设∠ADC=θ ,|PD|=r.各点坐标分别为 D(x1,0),E(0,x1),A(0,x1tan θ ),B(x0,0),P(x1-rcosθ ,rsinθ ). 则 lAB 方程为 圆相切,可得 x1? 边平方得 ,即 x1x+x0?cotθ ?y-x1x0=0,因为 lAB 与 = x0x1?cotθ -x1x0|,约去 x1,再两

35

, ?x1. ①





又因为点 P 在圆上,所以(rcos )2+(x1-rsin )2= r=2x1sin . ② 2DP=AD+AE ③ 2r= +x1tan -x1

,化简得

要证 DP=AP+AE -cos =4sin cos . 又因为 因为

1+sin

,所以 =(x1-x0-rcosθ ,rsinθ ), =(x1-rcosθ ,rsinθ ), ④

所以 (x1-rcosθ )(x1-rcosθ -x0)+r2sin2θ =0. 把②代入④化简得 ⑤ 由①得 x0=x1?

代入⑤并约去 x1,化简得 4sin22 -3sin2 =0,因为 sin2 ≠0,所 以 sin2 = ,又因为 sin = 所以 sin -cos = =cos ,所以 sin -cos >0. ,所以 1+sin -cos = =4sin

cos ,即③成立。所以 DP=AP+AE。 6.证明 设 BC=d,CD=b,BD=c,则 AC=CQ= ,取 BC 中点 M,则

AM BC,以 M 为原点,直线 BC 为 x 轴建立直角坐标系,则各点坐标 分别为 , , , , ,因为
36















因为 0<∠DRC< , 0<∠ASQ<π , 所以只需证 tan∠ASQ=tan2∠DRC,

即 所以命题得证。

,化简得 9d2-9c2-9b2=0 即 d2=b2+c2,显然成立。

37


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