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江苏省2009届高三数学下学期模拟试题分类汇编——17应用题


江苏省 2009 届高三数学下学期模拟试题分类汇编——应用题
1、(2009 丹阳高级中学一模)某商店经销一种奥运会纪念品,每件产品的成本为 30 元, 并且每卖出一件产品需向税务部门上交 a 元( a 为常数,2≤a≤5 )的税收。设每件产品的售 价为 x 元(35≤x≤41),根据市场调查,日销售量与 e (e 为自然对数的底数)成反比例。已知每 件产品的日售价为

40 元时,日销售量为 10 件。 (1)求该商店的日利润 L(x)元与每件产品的日售价 x 元的函数关系式; (2)当每件产品的日售价为多少元时,该商品的日利润 L(x)最大,并求出 L(x)的最大值。
x

k k 10e40 40 , 则 ? 10, ? k ? 10 e , 则日售量为 件. -------2 分 ex e40 ex 10e40 40 x ? 30 ? a 则日利润 L( x) ? ( x ? 30 ? a) x ? 10e ----------------------------4 分 e ex ' 40 31 ? a ? x (2) L ( x) ? 10e -------------------------------------------------7 分 ex ①当 2≤a≤4 时,33≤a+31≤35,当 35 <x<41 时, L' ( x) ? 0
解(1)设日销售量为 ∴当 x=35 时,L(x)取最大值为 10(5 ? a)e5 -----------------------------------10 分 ②当 4<a≤5 时,35≤a+31≤36, 令L' ( x) ? 0, 得x ? a ? 31, 易知当 x=a+31 时,L(x)取最大值为 10e
5

9? a

-----------------------------------13 分

综合上得 L( x) max ? ?

?10(5 ? a)e , (2 ? a ? 4) ? ---------- ------------------------15 分 9? a 10 e , (4 ? a ? 5) ? ?
2

2 (2009 淮安 3 月调研)有一座大桥既是交通拥挤地段,又是事故多发地段,为了保证安 全, 交通部门规定。 大桥上的车距 d(m)与车速 v(km/h)和车长 l(m)的关系满足:d ? kv l ? (k 为正的常数) ,假定车身长为 4m,当车速为 60(km/h)时,车距为 2.66 个车身长。 (1)写出车距 d 关于车速 v 的函数关系式; (2)应规定怎样的车速,才能使大桥上每小时通过的车辆最多?

1 l 2

1 2.66l ? l 2 ? 2.16 ? 0.0006, ……4 分 ⑴因为当 v ? 60 时, d ? 2.66l ,所以 k ? 2 60 l 602
∴ d = 0.0024v 2 + 2 ………………………………………………………6 分 ⑵设每小时通过的车辆为 Q ,则 Q ?

1000v 1000 .即 Q ? 1000v ……12 分 ? 2 d ?4 0.0024v ? 6 0.0024v ? 6
v

6 6 ∵ 0.0024v ? ≥2 0.0024v ? ? 0.24 ,…………………………………………………14 分 v v
∴Q≤

1000 12500 6 12500 ,当且仅当 0.0024v ? ,即 v ? 50 时, Q 取最大值 . ? 0.24 3 v 3

答:当 v ? 50 ?km / h? 时,大桥每小时通过的车辆最多.………16 分 3、(2009 苏、锡、常、镇四市调研)某市出租车收费标准如下:起步价为 8 元,起步里程 为 3km(不超过 3km 按起步价付费) ;超过 3km 但不超过 8km 时,超过部分按每千米 2.15 元收 费;超过 8km 时,超过部分按每千米 2.85 元收费,另每次乘坐需付燃油附加费 1 元。现某人

乘坐一次出租车付费 22.6 元,则此次出租车行驶了_____km. 9 4、(2009 苏、锡、常、镇四市调研)如图,一个铝合金窗分为上、下两栏,四周框架和中 间隔栏的材料为铝合金,宽均为 6cm,上栏和下栏的框内高度(不含铝合金部分)的比为 1: 2 , 此铝合金窗占用的墙面面积为 28800 cm 2 ,设该铝合金窗 的宽和高分别为 a(cm) , b(cm) ,铝合金的透光部分的面 积为 S (cm2 ) . (1)试用 a , b 表示 S ; (2)若要使 S 最大,则铝合金窗的宽和高分别为多少? b 6

答案: (1) S ? (b ? 18)(a ? 16) ; (2) a ? 160; b ? 180 5、(2009 通州第四次调研)某厂家拟在 2009 年举

a

(m ? 0) 行促销活动, 经调查测算, 该产品的年销售量 (即该厂的年产量) x 万件与年促销费用 m
万元满足 x ? 3 ?

k ( k 为常数) ,如果不搞促销活动,则该产品的年销售量是 1 万件. 已 m ?1

知 2009 年生产该产品的固定投入为 8 万元,每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元,厂家 将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入 两部分资金,不包括促销费用) . (1)将 2009 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数; (2)该厂家 2009 年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大? 解: (1)由题意可知,当 m ? 0 时, x ? 1 ,∴ 1 ? 3 ? k 即 k ? 2 ,

2 8 ? 16 x ,每件产品的销售价格为 1.5 ? 元. m ?1 x 8 ? 16 x ] ? (8 ? 16 x ? m ) ∴2009 年的利润 y ? x[1.5 ? x 2 16 ? 4 ? 8 x ? m ? 4 ? 8(3 ? ) ? m ? ?[ ? ( m ? 1)] ? 29( m ? 0) ……8 分 m ?1 m ?1 16 ? (m ? 1) ? 2 16 ? 8 . (2)∵ m ? 0 时, m ?1 16 ? m ? 1 ,即 m ? 3 时, ymax ? 21 .………………15 分 ∴ y ? ?8 ? 29 ? 21 ,当且仅当 m ?1
∴ x ? 3? 答:该厂家 2009 年的促销费用投入 3 万元时,厂家的利润最大,最大为 21 万元.……16 分 6、(2009 盐城中学第七次月考)已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为 10 万元,每 生产千件需另投入 2.7 万元,设该公司年内共生产该品牌服装 x 千件并全部销售完,每千件

1 ? 10.8 ? x 2 (0 ? x ? 10) ? ? 30 的销售收入为 R(x)万元,且 R( x) ? ? . ?108 ? 1000( x ? 10) ? 3x 2 ? x
(1)写出年利润 W(万元)关于年产品 x(千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大? (注:年利润=年销售收入-年总成本)

x3 ? 10 解: (1)当 0<x≤10 时, W ? xR( x) ? (10 ? 2.7 x) ? 8.1x ? 30
当 x >10 时, W ? xR ( x) ? (10 ? 2.7 x) ? 98 ?

1000 ? 2.7 x 3x

? x3 8 . 1 x ? ? 10 0 ? x ? 10 ? ? 30 ?W ? ? ?98 ? 1000 ? 2.7 x x ? 10 ? 3x ?
(2)①当 0<x≤10 时 ,由 W ? ? 8.1 ? 当 x ? (9,10)时,W ? ? 0; ∴当 x=9 时,W 取最大值 ,且 Wmax ? 8.1 ? 9 ? ②当 x>10 时,W=98 ? ? 当且仅当

……………5 分

x2 ? 0得x ? 9.且当x ? (0,9)时,W ? ? 0; 10

1 ? 9 3 ? 10 ? 38.6 30

……………10 分

1000 ? 1000 ? ? 2.7 x ? ? 98 ? 2 ? 2.7 x ? 38 3x ? 3x ?

1000 100 ? 2.7 x, 即x ? 时, Wmax ? 38. 3x 9

综合①、②知 x=9 时,W 取最大值. 所以当年产量为 9 千件时,该公司在这一品牌服装生产中获利最大. ……………15 分 7、 (2009 扬州中学 2 月月考)某建筑的金属支架如图所示,根据要求 AB 至少长 2.8m,C 为 AB 的中点, B 到 D 的距离比 CD 的长小 0.5m, ?BCD ? 600 ,已知建筑支架的材料每米的 价格一定,问怎样设计 AB , CD 的长,可使建造这个支架的成本最低? A C B

D 地面

解:设 BC ? am(a ? 1, 4), CD ? bm. 连结 BD. 则在 ?CDB 中, (b ? )2 ? b2 ? a2 ? 2ab cos60 .

1 2

1 1 a2 ? 4 . ? b ? 2a ? 4 ? 2a. ?b ? a ?1 a ?1 a2 ? (t ? 1)2 ?

设 t ? a ? 1, t ?

2.8 ? 1 ? 0.4, 2

1 4 ? 2(t ? 1) ? 3t ? 3 ? 4 ? 7, 则 b ? 2a ? t 4t 等号成立时 t ? 0.5 ? 0.4, a ? 1.5, b ? 4.
答:当 AB ? 3m, CD ? 4m 时,建造这个支架的成本最低.

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m


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