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2017届贵州遵义市高三上学期期中数学(理)试卷


2017 届贵州遵义市高三上学期期中数学(理)试卷
考试时间:100 分钟;命题人:xxx 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上

1.已知集合 A ? ?x | ?3 ? x ? 6?, B ? ?x | 2 ? x ? 7? ,则 A ? ? CR B ? ? ( A. ? 2, 6 ? C. ? ?3, 2? B. ? 2, 7 ? D. ? ?3, 2? )



2.已知复数 z ? a ? i ,若 z ? z ? 4 ,则复数 z 的共轭复数 z ? (

A. 2 ? i B. 2 ? i C. ?2 ? i D. ?2 ? i 3.某校高三年级有 1000 名学生,随机编号为 0001,0002, . . . ,1000,现按系统抽样方 法,从中抽出 200 人,若 0122 号被抽到了,则下列编号也被抽到的是( ) A.0927 B.0834 C.0726 D.0116 4.下列四个函数中,在定义域上不是单调函数的是( ) A. y ? ?2 x ? 1 C. y ? lg x B. y ?

1 x
3

D. y ? x

5 .已知倾斜角为 ? 的直线 l 过 x 轴上一点 A (非坐标原点 O ) ,直线 l 上有一点

P ? cos1300 ,sin 500 ? ,且 ?APO ? 300 ,则 ? 等于(
A.100° 6.已知 B.160° C.100°或 160°



D.130°

1 1 ? ? 0 ,给出下列四个结论: a b
2

① a ? b ② a ? b ? ab ③ a ? b ④ ab ? b

其中正确结论的序号是( ) A.①② B.②③ C.②④ D.③④ 7.某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为(



A. 24 ? 12 3 C. 12 ? 15 3

B. 24 ? 5 3 D. 12 ? 12 3
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8. 某企业为节能减排, 用 9 万元购进一台新设备用于生产, 第一年需运营费用 2 万元, 从第二年起,每年运营费用均比上一年增加 3 万元,该设备每年生产的收入均为 21 万 元,设该设备使用了 n ? n ? N *? 年后,盈利总额达到最大值(盈利额等于收入减去成 本) ,则 n 等于( A.6 B.7 ) C.8 D.7 或 8

9.如果执行右边的程序框图,输入正整数 N ? N ? 2? 和实数 a1 , a2 ,?, an ,输出 A, B , 则( )

A. A 和 B 分别是 a1 , a2 ,?, an 中最大的数和最小的数 B. A 和 B 分别是 a1 , a2 ,?, an 中最小的数和最大的数 C. A ? B 为 a1 , a2 ,?, an 的和 D.

A? B 为 a1 , a2 ,?, an 的算术平均数 2

10.2002 年在北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基 础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如 图) . 如果小正方形的面积为 1, 大正方形的面积为 25, 直角三角形中较小的锐角为 ? , 那么 sin 2? 的值为( )

A.

1 3

B.

3 2

C.

23 24

D.

24 25

x2 y 2 6 11.已知双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的离心率为 ,左顶点到一条渐近线的距 a b 2

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离为

2 6 ,则该双曲线的标准方程为( 3
B.



A.

x2 y 2 ? ?1 8 4

x2 y 2 ? ?1 16 8

C.

x2 y 2 ? ?1 16 12

D.

x2 y 2 ? ?1 12 8

12.已知定义域为 R 的偶函数 f ? x ? ,其导函数为 f ? ? x ? ,对任意 x ??0, ??? ,均满 足: 若 g? xf ? ? x ? ? ?2 f ? x ? . x A. ? ??, ?1? B. ? ??, ? D. ? ??, ?1? ? ? , ?? ? 则不等式 g ? 2x ? ? g ?1 ? x ? 的解集是 ( xf 2 x ? ?, ?? )

? ?

1? 3? ?1 ?3 ? ?

C. ? ?1, ?

? ?

1? 3?

? x?3? 0 ? 13.已知 x, y 满足 ? y ? x ? 0 ,则目标函数 z ? ?2 x ? y 的最大值为__________. ?x ? y ? 3 ? 0 ?

a ?? 1? ? 14 .若 ? x ? ?? 2 x ? ? 的展开式中各项系数的和 2 ,则该展开式中的常数项为 x ?? x? ?
__________. 15.某中学举行升旗仪式,在坡度为 15°的看台 E 点和看台的坡脚 A 点,分别测得旗 杆顶部的仰角分别为 30°和 60°, 量的看台坡脚 A 点到 E 点在水平线上的射影 B 点的 距离为 10cm ,则旗杆的高 CD 的长是__________ m .

5

16.已知平面 ? 截一球面得圆 M ,过圆 M 的圆心的平面 ? 与平面 ? 所成二面角的大 小为 60°,平面 ? 截该球面得圆 N ,若该球的表面积为 64? ,圆 M 的面积为 4? ,则 圆 N 的半径为__________. 17.在公差不为零的等差数列 ?an ? 中,已知 a2 ? 3 ,且 a1、a3、a7 成等比数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式;

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(2)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,记 bn ?

9 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . 2S2 n

18.2016 年巴西奥运会的周边商品有 80%左右为“中国制造”,所有的厂家都是经过层 层筛选才能获此殊荣.甲、乙两厂生产同一产品,为了解甲、乙两厂的产品质量,以确 定这一产品最终的供货商,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品共 98 件中分 别抽取 9 件和 5 件,测量产品中的微量元素的含量(单位:毫克) .下表是从乙厂抽取 的 5 件产品的测量数据: 编号 1 169 75 2 178 80 3 166 77 4 175 70 5 180 81

x
y

(1)求乙厂生产的产品数量: (2)当产品中的微量元素 x、 y 满足: x ? 175 ,且 y ? 75 时,该产品为优等品.用上 述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量: (3)从乙厂抽出的上述 5 件产品中,随机抽取 2 件,求抽取的 2 件产品中优等品数的 分布列及数学期望. 19. 如图, 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 平面 A 且A A1A ? B 1 BC ? 侧面 A 1 ABB 1,

? 2.

(1)求证: AB ? BC ; (2)若直线 AC 与平面 A 1BC 所成角的大小为 20.已知椭圆 C :

? ,求锐二面角 A ? AC 1 ? B 的大小. 6

x2 y 2 3 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,离心率为 ,两焦点分别为 F1、F2 ,过 F 1 2 a b 2

的直线交椭圆 C 于 M 、N 两点,且 ?MF2 N 的周长为 8. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 P ? m,0? 作圆 x ? y ? 1的切线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,求弦长 AB 的最
2 2

大值. 21.已知函数 f ? x ? ?

1? x . ex

(1)求曲线 y ? f ? x ? 在点 0, f ? 0? 处的切线方程和函数 f ? x ? 的极值: (2) 若对任意 x1, x2 ??a, ??? , 都有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? 22.选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知曲线 C1 : x ? y ? 1 , 以平面直角坐标系 xOy 的原点 O
2 2

?

?

1 成立, 求实数 a 的最小值. e2

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为极点, x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线

l : ? ? 2cos? ? sin ? ? ? 6 .
( 1 )将曲线 C1 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 3、 2 倍后得到曲线

C2 .试写出直线 l 的直角坐标方程和曲线 C2 的参数方程:
(2)在曲线 C2 上求一点 P ,使点 P 到直线 l 的距离最大,并求出此最大值. 23.选修 4-5:不等式选讲 已知 ?x0 ? R 使不等式 x ?1 ? x ? 2 ? t 成立. (1)求满足条件的实数 t 的取值集合 T ; (2) 若 m ?1 , n? 1 ,对 ?t ? T ,不等式 log3 m? log3 n ? t 恒成立,求 m ? n 的最小值.

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参考答案 1.C 【解析】 试题分析:

CU B ? ?x | x ? 7或x ? 2?

,所以

A ? ? CR B ? ? ? ?3, 2?

,选 C.

考点:集合运算 【方法点睛】 1.用描述法表示集合,首先要弄清集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明确集合 类型,是数集、点集还是其他的集合. 2.求集合的交、并、补时,一般先化简集合,再由交、并、补的定义求解. 3.在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化.一般地,集合元 素离散时用 Venn 图表示; 集合元素连续时用数轴表示, 用数轴表示时要注意端点值的取舍. 2.B 【解析】 试题分析: z ? z ? 4 ? 2a ? 4 ? a ? 2 ? z ? 2 ? i ,选 B. 考点:复数概念 【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念,属于基本题.首先对于复数的四 则 运 算 , 要 切 实 掌 握 其 运 算 技 巧 和 常 规 思 路 , 如

(a ? bi )(c ? di ) ? (ac ? bd ) ? (ad ? bc)i ,(a, b, c.d ? R) . 其次要熟悉复数相关基本概念,
如复数 a ? bi (a, b ? R) 的实部为 a 、虚部为 b 、模为 a 2 ? b2 、对应点为 (a , b) 、共轭为

a ? bi.
3.A 【解析】 试题分析: 系统抽样就是等距抽样, 编号满足 0122 ? 5k , k ? Z , 因为 0927 ? 0122 ? 5 ?161 , 所以选 A. 考点:系统抽样 4.B 【解析】 试题分析: y ? ?2 x ? 1 在定义域上为单调减函数; y ? lg x 在定义域上为单调增函数;

y ? x3 在定义域上为单调增函数;
域上不是单调函数 考点:函数单调性 5.C 【解析】 试题分析:因为

y?

1 x 在 (??, 0) 和 (0, ??) 上皆为单调减函数, 但在定义

P ? cos1300 , sin 500 ? ? P ? cos1300 , sin1300 ?

,所以 ?POx ? 130 ,因此
0

? ? 130? ? 30? 或130? ? 30? ,即 ? ? 160? 或100? ,选 C.
答案第 1 页,总 14 页

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考点:三角函数定义 6.C 【解析】

1 1 ? ? 0 ? b ? a ? 0 ?| a |?| b |, a ? b ? 0 ? ab, b 2 ? ab 试题分析: a b ,因此选 C.
考点:不等式性质 7.A 【解析】 试题分析:几何体为一个三棱柱,底面为直角三角形(斜边为 4,一角为 30 ) ,高为 4,因
0

1 2 ? ? 2 ? 2 3+4 ? (2 3 ? 2 ? 4) ? 24 ? 12 3 2 此表面积为 ,选 A.
考点:三视图 【名师点睛】(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义,真正把握几何体的结构特 征,可以根据条件构建几何模型,在几何模型中进行判断;(2)解决本类题目的技巧:三棱 柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型,有些问题可以利用它们举特例解决或者学 会利用反例对概念类的命题进行辨析. 8.B 【解析】

1 3 41 21n ? 9 ? (2n ? ? n (n ? 1) ? 3) ? ? n2 ? n ? 9 2 2 2 试题分析:盈利总额为 ,由于对称轴为 n? 41 6 ,所以当 n ? 7 时,取最大值,选 B.

考点:二次函数最值 9.A 【解析】 试题分析:若

a2 ? a1 ,则 A ? a2 ;若 a2 ? a1 ,则 B ? a2 ;所以 A 和 B 分别是 a1 , a2 ,?, an 中

最大的数和最小的数,选 A. 考点:循环结构流程图 【名师点睛】算法与流程图的考查,侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图 的相关概念,包括选择结构、循环结构、伪代码,其次要重视循环起点条件、循环次数、循 环终止条件,更要通过循环规律,明确流程图研究的数学问题,是求和还是求项. 10.D 【解析】

x, 由 题 意 得 x2 ? ( x ? 1)2 ? 25 ? x ? 3 , 所 以 试题分析:设 ? 所对直角边长为

sin ??

3 4 , co ? s? 5 5

24 , s? in ?2 25 ,选 D.

答案第 2 页,总 14 页

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考点:三角函数值 11.A 【解析】

e?
试题分析:

x2 y 2 6 6 ? 2 ? 0 ? 2y ? ?x ?c? a, a ? 2b 2 b 2 2 ,渐近线方程 2b ,因此

|a| 2 6 ? ? a ? 2 2, b ? 2 3 3 左顶点到一条渐近线的距离为 ,即该双曲线的标准方程为
x2 y 2 ? ?1 8 4 ,选 A.
考点:双曲线渐近线 12.C 【解析】 试题分析:

x ??0, ???



g? ? x ? ? 2xf ? x ? ? x2 f ? ? x ? ? x(2 f ? x ? ? xf ? ? x ?) ? 0
为 偶 函 数 ,
2

,而 以

g? x ? ? 2x ?f
g ?2

?x
?





? ? ?x

1? g ?

?

?? x |

?

2 g?

|

x

?

|

g 1 ?

1 x| ? 3

| ?x

2

,选 C. 考点:利用函数性质解不等式 【方法点睛】利用导数解抽象函数不等式,实质是利用导数研究对应函数单调性,而对应函

? 数需要构造 . 构造辅助函数常根据导数法则进行:如 f ( x) ? f ( x) 构造 f ?( x) ? f ( x) ? 0 构 造 g ( x? )
x

g ( x) ?

f ( x) ex ,

e

( f ,)x xf ?( x) ? f ( x) 构 造

g ( x) ?

f ( x) x ,

xf ?( x) ? f ( x) ? 0 构造 g ( x) ? xf ( x) 等
13. -3. 【解析】 试题分析:可行域为一个开放区域,如图,其中 A(3,3), B(3,0), 直线 z ? ?2 x ? y 过点 A 时 取最大值 -3.

答案第 3 页,总 14 页

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A

B

考点:线性规划 【易错点睛】 线性规划的实质是把代数问题几何化, 即数形结合的思想.需要注意的是: 一, 准确无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜 率进行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边 界上取得. 14.40 【解析】

?1 ? a ?? 2 ? 1? 试题分析:由题意得
2 2 2 3 C5 2 (?1)3 ? C5 2 (?1)2 ? 40

5

? 2 ? a ?1

,因此该展开式中的常数项为

考点:二项式定理 【方法点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 (1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第 r+1 项,再由特定项的特点求出 r 值即可. (2)已知展开式的某项,求特定项的系数.可由某项得出参数项,再由通项写出第 r+1 项, 由特定项得出 r 值,最后求出其参数. 15.

10 3 ? 3

?

?
? ?

【解析】 试题分析:由题意得 ?DEA ? 45 ,?ADE ? 30 ,所以

AD ?

AE sin 45? AB ? 2 ? sin 30 cos15 ? ,因

CD ? AD sin 60? ? 2


10 sin 60? ? 10(3 ? 3) cos(45? ? 30? )

考点:解三角形 【方法点睛】解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知 条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.其基本步骤是: 第一步:定条件,即确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化的方向. 第二步:定工具,即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的互化.
答案第 4 页,总 14 页

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第三步:求结果. 16. 13 【解析】

?? 4 ? R ? R ? 4; 设 圆 M 半 径 为 r , 则 试题分析:设球心 O,半径为 R,则 64
2

2 2 ? 4? ? ? r 2 ? r ? 2 ,因 此 OM ? R ? r ? 2 3 ,又 ?OMN ? 90? ? 60? ? 30 , 所以

ON ? 3 ,因此圆 N 的半径为 R2 ? 3 ? 13
考点:球的截面 【思想点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法 (1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时,一般过球心及接、切点作截面,把空间问题转化 为平面图形与圆的接、切问题,再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解. (2)若球面上四点 P,A,B,C 构成的三条线段 PA,PB,PC 两两互相垂直,且 PA=a,PB=b, 2 2 2 2 PC=c,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,利用 4R =a +b +c 求解.

17. (1)

an ? n ? 1 (2)

Tn ?

n ?1 n

【解析】 试题分析: (1)求等差数列通项公式,基本方法为待定系数法,即根据条件列两个关于首项

与公差的方程:

a1 ? d ? 3, ? a1 ? 2d ?

2

? a1 ? 2 ? ? a1 ? a1 ? 6d ? d ? 1 ,代 ,注意公差不为零,解得 ?
(2)先根据等差数列求和公式得

入通项公式得

an ? 2 ? 1 1 ? n ?n? ? ?

1 ?

S3n ? 3n ? 2 ?

3n ? 3n ? 1? 9n ? n ? 1? ?1 ? ?bn ? 通 项 公 式 2 2 , 因 此 代 入 化 简 数 列
bn ? 1 1 ? n n ?1 ,

bn ?

9 9 2 1 ? ? ? 2S3n 2 9n ? n ? 1? n ? n ? 1?

,所以利用裂项相消法求和,即

1? 1 n ?1 ? 1? ?1 1? ? 1 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? n n ? 2? ? 2 3? ? n ?1 n ?

a1 ? d ? 3 ? ? 2 ?? a1 ? 2d ? ? a1 ? a1 ? 6d ? ? d ?0 ?a ? 试题解析:①设 n 的公差为 d ,依题意得 ? ,

? a1 ? 2 ? d ?1 , 解得 ? . . . . . . . . . . .5 分


an ? 2 ? ? n ?1? ?1 ? n ?1

. . . . . . . . . . . .6 分
答案第 5 页,总 14 页

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S3n ? 3n ? 2 ?

3n ? 3n ? 1? 9n ? n ? 1? ?1 ? 2 2 ,

bn ?

9 9 2 1 1 1 ? ? ? ? ? 2S3n 2 9n ? n ? 1? n ? n ? 1? n n ? 1

, . . . . . . . . . . . . . . .9 分

1? 1 n ?1 ? 1? ?1 1? ? 1 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? n n ? 2? ? 2 3? ? n ?1 n ?
Tn ? n ?1 n . . . . . .12 分





考点:等差数列通项,裂项相消法求和 【方法点睛】 裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式, 然后通过累加抵 消中间若干项的方法,裂项相消法适用于形如 ?

?

c ? ? (其中 ?an ? 是各项均不为零的等差 ? an an ?1 ?

数列,c 为常数)的数列. 裂项相消法求和,常见的有相邻两项的裂项求和(如本例),还有 一类隔一项的裂项求和,如

1 1 或 . (n ? 1)(n ? 3) n(n ? 2)
4 5

18. (1)35(2)14(3) 【解析】

E ?? ? ?

98 ?
试题分析: (1)根据分层抽样得乙厂生产的产品总数为

5 ? 35 9?5 (2)由频率估计概

2 2 35 ? ? 14 5 率得乙厂样品中优等品的频率为 5 ,因此乙厂生产的优等品的数量为 (3)先确
i 2 ?i C2 C3 P ?? ? i ? ? ?i ? 0,1, 2? C52 定随机变量取法 ? ? 0,1, 2 ,再分别求对应概率: ,列表可得

3 1 4 E ? ? ? ? 1? ? 2 ? ? 5 10 5 分布列,根据公式可求数学期望 98 ?
试题解析: (1)乙厂生产的产品总数为

5 ? 35 9?5 ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 分

2 2 35 ? ? 14 5 (2)样品中优等品的频率为 5 ,乙厂生产的优等品的数量为 ; . . . . . . . . . . .6

答案第 6 页,总 14 页

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(3) ? ? 0,1, 2 .
i 2 ?i C2 C3 P ?? ? i ? ? ?i ? 0,1, 2? C52 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 分

? 的分布列为
?
P
0 1 2

3 10

3 5

1 10

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 分

3 1 4 E ? ? ? ? 1? ? 2 ? ? 5 10 5 . 均值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分
考点:分布列与数学期望,分层抽样 【方法点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为: 第一步是“判断取值”,即判断随机变量的所有可能取值,以及取每个值所表示的意义; 第二步是“探求概率”,即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几 何概型公式、 互斥事件的概率和公式、 独立事件的概率积公式, 以及对立事件的概率公式等), 求出随机变量取每个值时的概率; 第三步是“写分布列”, 即按规范形式写出分布列, 并注意用分布列的性质检验所求的分布 列或某事件的概率是否正确; 第四步是“求期望值”, 一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值, 对于有些 实际问题中的随机变量, 如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布 X~B(n, p)), 则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)=np)求得.因此,应熟记常 见的典型分布的期望公式,可加快解题速度.

? 19. (1)详见解析(2) 3
【解析】 试题分析: (1)证明线线垂直,一般利用线面垂直性质定理进行论证,而题中已知面面垂直 平面 面

A1BC ? 侧面 A1 ABB1 ,因此先根据面面垂直性质定理,将其转化为线面垂直 AD ? 平

A1BC ,其中 D 为 A1B 的中点,因而有 AD ? BC ,再根据直三棱柱性质得 AA1 ? 底面

ABC ,因而有 AA1 ? BC ,结合线面垂直判定定理得 BC ? 侧面 AA1BB1 ,因此得证 AB ? BC (2)求二面角平面角,一般利用空间向量进行计算,先建立恰当空间直角坐标
系,设立各点坐标,可得直线 AC 方向向量,列方程组求平面 量夹角互余关系,结合向量数量积得 BC ,易得平面

A1BC 法向量,由线面角与向

A1AC 的一个法向量,根据二面角与法

答案第 7 页,总 14 页

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向量夹角相等或互补关系,结合向量数量积得二面角大小 试题解析: (1)证明:如图,取 由平面

A1B 的中点 D ,连接 AD ,因 AA1 ? AB ,则 AD ? A1B ,

A1BC ? 侧 面 A1 ABB1 , 且 平 面 A1BC ? 侧 面 A1 A B B A 1? 1 B , 得 AD ? 平 面

A1 B C, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 分
又 BC ? 平面

A1BC , ABC ? A1B1C1 是直三棱柱, AA ? 所以 AD ? BC , 因为三棱柱 则 1 底 AA1 ? BC . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分

面 ABC ,所以 又

AA1 ? AD ? A , 从 而 BC ? 侧 面 AA1BB1 , 又 AB ? 侧 面 A1 ABB1 , 故
B. C . . . . . . . . . .6 分

A B?

(2)

A BC ,则 CD 是 AC 在平面 A1 BC 内的射 解法一:连接 CD ,由( 1 )可知 AD ? 平面 1
影. . . . . . 7分 ∴ ?ACD 即为直线 AC 与平面

A1BC 所成的角,则

?ACD ?

?

6 ,在等腰直角 ?A1 AB 中,

AA1 ? AB ? 2 ,且点 D 是 A1B 中点,
AD ?


1 ? ? A1 B ? 2 ?ADC ? , ?ACD ? 2 2 6 ,∴ AC ? 2 2 . ,且 . . . . . . . . .9 分

AE ? AC 1 于点 E ,连 DE ,由( 1 )知 AD ? 平面 A 1 BC ,则 AD ? A 1 C ,且 过点 A 作
AE ? AD ? A ,
∴ ? AED 即为二面角

A ? AC 1 ? B 的一个平面角, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 分

在直角

?A1 AC 中:

AE ?

A1 A?AC 2 ? 2 2 2 6 ? ? ? AD ? 2, ?ADE ? AC 3 2 3 2, 1 ,又

答案第 8 页,总 14 页

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sin ?AED ?


AD 2 3 ? ? AE 2 6 2 ? ?AED ? A ? AC ? B 3 3, 1 ,且二面角 为锐二面角,∴

? A ? AC ? B 1 即二面角 的大小为 3 . . . . . . . . . . . . . 12 分
BB1 ? 底面 ABC ,所以以点 B 为原点,以 解法二(向量法) :由( 1 )知 AB ? BC 且 BC、BA、BB1 所 在 直 线 分 别 为 x, y, z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系
B ? xyz , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 分
如图所示,且设 BC ? a ,则

??? ? A ? 0, 2, 0? ,B ? 0, 0, 0 0, 2, 2 BC , ? ? a , 0,?0 ? ,C ? a , 0, 0 ? ,A ? ? 1



???? ??? ? ???? BA1 ? ? 0, 2, 2? , AC ? ? a, ?2,0 ? , AA1 ? ? 0,0, 2 ?

?? n1 ? ? x, y, z ? A BC 1 , 设平面 的一个法向量 ,
1 则 ,

? xa ? 0 ??? ? ?? ???? ?? ? BC ? n1, BA1 ? n1 得 : ?2 y ? 2 z ? 0 令 y ? 1 , 得 x ? 0 z, ? ? 由 ?? n1 ? ? 0 , ? 1? , 1
, . . . . . . . . . .9 分

设直线 AC 与平面 解得 a ? 2 , 即

A1BC 所成的角为 ? , 则 ???? AC ? ? 2, ?2,0 ?

??

?
6, 得

???? ?? AC ?n1 ?2 ? 1 s i n ? ???? ?? ? ? 2 6 AC n1 4?a 2 2



. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分

?? ? ?? ? n2 ? ?1,1,0 ? A ? AC A A C n 1 ? B 的大 1 2 又设平面 的一个法向量为 ,同理可得 ,设锐二面角 ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ?n2 1 ? ?? ? cos ? ? cos n1 , n2 ? ?? ?? ? ? ? ? ? 0, ? ?? n1 n2 2 ? 2 ? ,得 3 ,∴锐二面角 小为 ? ,则 ,且

? A ? AC ? B 1 的大小为 3 . . . . . . . . . . . .12 分
考点:线面垂直性质与判定定理,利用空间向量求二面角 【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”:第一,破“建系关”,构建 恰当的空间直角坐标系;第二,破“求坐标关”,准确求解相关点的坐标;第三,破“求法 向量关”,求出平面的法向量;第四,破“应用公式关”.

x2 ? y2 ? 1 AB ? 2 4 20. (1) (2)
【解析】
答案第 9 页,总 14 页

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试题分析: (1)求椭圆标准方程,一般利用待定系数法,即根据条件列两个独立方程:一是

c 3 ? ?MF2 N 的周长为 4a ? 8 , b ?1 2 , 离心率 a 二是椭圆定义: 解方程组得 a ? 2, c ? 3 ,
(2)涉及弦长问题,一般利用直线方程与椭圆方程联立方程组,结合韦达定理和弦长公式 求 弦 长 :
2





线
2

l









y ? k ? x ? m? , ? k ? 0?





AB ?

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ?
km ?1
,即

2? ?? 8k 2 m ?2 ? 4k m2 ? 4 ? ? ?1 ? k ? ?? ? 4 ? ? ?? 1 ? 4k 2 ? 1 ? 4k 2 ? ? ? ? ? ? ? ,再根据直线与 2

圆相切得 1 ? k 求最值

2

k2 ?

4 3m 1 AB ? 2 m ? 1 ,代入化简得 m ? 3 ,最后利用基本不等式
2

c 3 ? 2 , 试题解析: (1)由题得: a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 分
4a ? 8 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 分
所以 a ? 2, c ? 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 分 又 b ? a ? c ,所以 b ? 1 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分
2 2 2

x2 ? y2 ? 1 即椭圆 C 的方程为 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分
(2)由题意知,

m ?1

,设切线 l 的方程为

y ? k ? x ? m? , ? k ? 0?



? y ? k ? x ? m? ? 2 ? x ? y2 ? 1 ? 1 ? 4k 2 ? x 2 ? 8k 2 mx ? 4k 2 m 2 ? 4 ? 0 ? ? 4 由 ,得 . . . . . . . . . . . . . . .7 分
设 则

A? x1, y1 ?、B ? x2 , y2 ?

, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 分

? ? 64k 4 m 2 ? 16 ?1 ? 4k 2 ?? 4k 2 m 2 ? 4 ? ? 48k 2 ? 0

x1 ? x2 ?

8k 2 m 4k 2 m 2 ? 4 , x x ? 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ,
的直线 l 与圆 x ? y ? 1相切得
2 2

由过点 所

P ? m,0?? m ? ?1?

d?

km 1? k
2

?1
, 即

k2 ?

1 m ?1 ,
2


答案第 10 页,总 14 页

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AB ?
.11 分

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ?
2

2

?? 8k 2 m ?2 ? 4k 2 m 2 ? 4 ? ? 4 3 m ? ?1 ? k ? ?? ? 4 ? ? ?? ? 1 ? 4k 2 ? 1 ? 4k 2 ? ? m 2 ? 3 ? ? ? ? ? . . .
2

?

4 3 ?2 3 m? m



AB ? 2 AB 当且仅当 m ? ? 3 时, ,所以 的最大值为 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分
考点:直线与椭圆位置关系 【方法点睛】有关圆锥曲线弦长问题的求解方法 涉及弦长的问题中,应熟练地利用根与系数关系,设而不求法计算弦长;涉及垂直关系时也 往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算;涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线 的定义求解。涉及中点弦问题往往利用点差法.

1 2 f ? x? x ? 2 21. (1)切线方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 ,函数 在 时,取得极小值 e (2)1 ?
【解析】 试题分析: (1) 根据导数几何意义得曲线 再根据

f ? x?



?0, f ?0?? 处的切线斜率等于 f ? ?0? ? ?2 ,

f ? 0? ? 1

,利用点斜式可得切线方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 ,求函数极值,首先求导函数

零点: x ? 2 ,列表分析导函数符号变化规律,确定函数极值(2)不等式恒成立问题一般

转化为对应函数最值问题: 法: 若 a ?1,

f ? x ?min ? f ? x ?max ? ?

1 e2 ,再根据函数定义域讨论函数最值取

f ? x ?min =f (2), f ? x ?max ? 0,? f ? x ?min ? f ? x ?max ? ?

1 e2 ; 1 e2

若 a ?1,

f ? x ?min ? f (2), f ? x ?max ? 0,? f ? x ?min ? f ? x ?max ? ? f ?? x? ? x?2 e x ,所以 f ? ? 0? ? ?2 ,


试题解析: (1)因为 因为 分

f ? 0? ? 1

,所以曲线

f ? x?

?0, f ?0?? 处的切线方程为 2x ? y ?1 ? 0 . . . . . . . . . .3



f ?? x? ?

x?2 e x 解得 x ? 2 ,则 f ? ? x ? 及 f ? x ? 的变化情况如下:
答案第 11 页,总 14 页

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x
f ? ? x? f ? x?

? ??,2?
?

2 0

? 2, ???
?
?
递增

递减

1 2 极小值 e

所以函数

f ? x?

1 2 在 x ? 2 时,取得极小值 e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分 ? f ? x? ? 1? x 1? x ?0 f ? x? ? x ? 0 x e e ,当 x ? 1 时, ,


(2)由题设知:当 x ? 1 时, 若 a ? 1 ,令

x1 ? 2, x2 ??a,1?

,则

x1, x2 ??a, ???

由于

f ? x2 ? ? 0 ? ? f ? x2 ? ? 0 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? 2 ? ? ?

1 e2 ,显然不符合题

设要求. . .9 分 若 a ? 1 ,对

?x1, x2 ??a, ??? , f ? x1 ? ? 0, f ? x2 ? ? 0



由于

f ? x2 ? ? 0 ? ? f ? x2 ? ? 0 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? 2 ? ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ?

1 e2 ,

显然,当 a ? 1 ,对

?x1, x2 ??a, ???

,不等式

1 e 2 恒成立,

综上可知, a 的最小值为 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分 考点:导数几何意义,利用导数求函数极值,利用导数求参数取值范围 【思路点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题,在可能的情况下把参数分离出来,使不 等式一端是含有参数的不等式, 另一端是一个区间上具体的函数, 这样就把问题转化为一端 是函数,另一端是参数的不等式,便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的,如果 分离参数后,得出的函数解析式较为复杂,性质很难研究,就不要使用分离参数法.

22. (1) 2 x ? y ? 6 ? 0 , 【解析】

? x ? 3 cos ? ? ? ? ? y ? 2sin ?

? 3 ? P ? ? ,1? ( ? 为参数) (2)点 ? 2 ? ,最大值为 2 5

? ,y ? ? s i? n 将直线极坐标方程化为直角坐标方程 试题分析: ( 1)根据 x ? ? cos
? x ? ? y? ? ? ?? ? ?1 2 x ? y ? 6 ? 0,根据图像伸缩变换得曲线 C2 的直角坐标方程 ? 3 ? ? 2 ? ,再根据
2 2

答案第 12 页,总 14 页

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? ? x ? 3 cos ? ? C ? y ? 2sin ? ( ? 为参数) 2 椭圆参数方程得曲线 的参数方程 ? (2)根据点到直线距离公式 d? 2 3 cos ? ? 2sin ? ? 6 5

得点 P 到直线 l 的距离为

?? ? ?? 4sin ? ? ? ? ? 6 4sin ? ? ? ??6 ? 3? 3? ? ? d? ? 5 5 利用配角公式得 , 再根据正弦函数性质得最值及
对应自变量的取值 试题解析: (1) 由题意知, 直线 l 的直角坐标方程为:2 x ? y ? 6 ? 0 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 分

? x ? ? y? ? ? ?? 2 ? ?1 C ∵曲线 2 的直角坐标方程为: ? 3 ? ? ? ,

2

2

∴曲线

C2 的参数方程为:

? x ? 3 cos ? ? ? ? ? y ? 2sin ?

( ? 为参数) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分

(2)设点 P 的坐标

?

3 cos ? , 2sin ?

? ,则点 P 到直线 l 的距离为:

d?

2 3 cos ? ? 2sin ? ? 6 5

?? ? 4sin ? ? ? ? ? 6 3? ? ? 5 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 分
1






?? 5? ? s ?? i ? n? ? ? ? 3? 6 ?
?2 5

,
, 点

? 3 ? P ? ? ,1? ? 2 ?







dmax ?

4?6 5

. . . . . . . . . . . . . . .10 分

考点:极坐标方程化为直角坐标方程,椭圆参数方程,点到直线距离 23. (1) 【解析】 试题分析: (1)不等式有解问题一般转化为对应函数最值问题: 根据绝对值三角不等式求函数最值: 实数 t 的取值集合

T ? ?t | t ? 1?

(2)6

( x ?1 ? x ? 2 )max ? t

,再

x ?1 ? x ? 2 ? |( x ?1) ? ( x ? 2)|=1

,因此满足条件的 ,

T ? ?t | t ? 1?

(2) 由基本不等式得

log3 m ? log3 n ? 2 log3 m log3 n ? 2

2 即 mn ? 3 ,因此 m ? n ? 2 mn ? 6 ,其中不等式中的等于号都是当且仅当 m ? n ? 3 时取

答案第 13 页,总 14 页

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得,因此 m ? n 的最小值为 6

试题解析: (1)令 由于

? ?1, x ? 1 ? f ? x ? ? x ? 1 ? x ? 2 ? ?2 x ? 3,1 ? x ? 2 ? 1, x ? 2 ?

,则

?1 ? f ? x ? ? 1



?x0 ? R 使不等式 x ?1 ? x ? 2 ? t 成立,有 t ?T ? ?t | t ? 1? . . . . . . . . . . . . .5 分

(2) 由 (1) 知,
2

log3 m ? log3 n ? 2 log3 m log3 n ? 2 log3 m? log3 n ? 1 , 根据基本不等式 ,

从而 mn ? 3 ,当且仅当 m ? n ? 3 时取等号, 再根据基本不等式 m ? n ? 2 mn ? 6 当且仅当 m ? n ? 3 时取等号, 所以 m ? n 的最小值为 6. . . . . . . . . . . . .10 分 考点:绝对值三角不等式,基本不等式 【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法,一是运用零点分区间讨论,二是利用 绝对值的几何意义求解.法一是运用分类讨论思想,法二是运用数形结合思想,将绝对值不 等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透,解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法 的灵活应用,这是命题的新动向.

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