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安徽省合肥市庐江县部分示范高中2015届高三上学期第三次联考数学(理)试卷


2014-2015 学年安徽省合肥市庐江县部分示范高中联考高三 (上) 第三次月考数学试卷(理科)
一.选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 2 3 1. (5 分) (2006?广东)若复数 z 满足方程 z +2=0,则 z =( ) A. B. C. D. 2. (5 分) (20

12 秋?寿县校级期末) 已知命题: p 所有的素数都是奇数, 则命题?p 是 ( A.所有的素数都不是奇数 B. 有些的素数是奇数 C. 存在一个素数不是奇数 D.存在一个素数是奇数 )

3. (5 分) (2015?池州二模)已知变量 x,y 满足约束条件

,则 z=x﹣2y 的最大

值为( A.﹣3

) B.0 C .1 D.3

4. (5 分) (2014 秋?庐江县月考)函数 f(x)= 是( ) A.π,2

cos2x+sinxcosx 的最小正周期和振幅分别

B.π,1

C.2π,1

D.2π,2
x

5. (5 分) (2014?黄山一模)已知 e 是自然对数的底数,函数 f(x)=e +x﹣2 的零点为 a, 函数 g(x)=lnx+x﹣2 的零点为 b,则下列不等式中成立的是( ) A.f(a)<f(1)<f B.f(a)<f(b)<f C.f(1)<f(a)<f D.f(b)<f(1)<f (b) (1) (b) (a) 6. (5 分) (2011 秋?乐陵市校级期末)已知 a,b∈R+,A 为 a,b 的等差中项,正数 G 为 a, b 的等比中项,则 ab 与 AG 的大小关系是( ) A.ab=AG B.ab≥AG C.ab≤AG D.不能确定 7. (5 分) (2015?黑龙江模拟) 钝角三角形 ABC 的面积是 , AB=1, BC= A.5 B. C .2 D.1 , 则 AC= ( )

8. (5 分) (2014 秋?庐江县月考)数列 (n≥2) ,则 Sn 等于( )

的前 n 项和为 Sn,且满足 a1=1,an=an﹣1+n,

A.

B.

C.

D.

9. (5 分) (2009?东城区模拟)函数 y=f(x)的定义域是(﹣∞,+∞) ,若对于任意的正数 a,函数 g(x)=f(x+a)﹣f(x)都是其定义域上的增函数,则函数 y=f(x)的图象可能 是( ) A. B. C. D.

10. (5 分) (2014 秋?庐江县月考)已知关于 x 的不等式 0≤x ﹣2x+m≤3(m∈R)有且只有一 2 个实数解,函数 f(x)=tx,g(x)=2tx ﹣2(m﹣t)x+1,若对于任一实数 x,f(x)与 g (x)至少有一个为正数,则实数 t 的取值范围是( ) A.(﹣∞,0) B.(0,2) C.(2,8) D.(0,8)

2

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卷相应位置上. ) 11. (5 分) (2012?广州一模)已知 为 . ,则实数 k 的取值范围

12. (5 分) (2010?泉山区校级模拟)已知等比数列{an}的首项为 8,Sn 是其前 n 项的和,某 同学经计算得 S1=8,S2=20,S3=36,S4=65,后来该同学发现其中一个数算错了,则该数 为 .

13. (5 分) (2013 秋?青原区校级期中)已知两个非零向量 与 ,定义| × |=| || |sinθ,其 中 θ 为 与 的夹角,若 =(﹣3,4) , =(0,2) ,则| × |的值为 .

14. (5 分) (2013?广州一模)已知 a>0,a≠1,函数 (x)在[0,2]上的最大值比最小值大 ,则 a 的值为

若函数 f



15. (5 分) (2010?青州市模拟)关于函数 f(x)=4sin(2x+ ) (x∈R) ,有下列命题:? ①由 f(x1)=f(x2)=0 可得 x1﹣x2 必是 π 的整数倍; ②y=f(x)的表达式可改写为 y=4cos(2x﹣ ) ;

③y=f(x)的图象关于点(﹣ ,0)对称; ④y=f(x)的图象关于直线 x=﹣ 其中正确的命题的序号是 对称. .

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程及演算 步骤. ) 16. (12 分) (2014 春?忻州期中)在△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边,满 2 2 2 足 a +c ﹣b =ac. (1)求角 B 的大小; (2)设 , ,求 的最小值.

17. (12 分) (2015?赫山区校级一模)已知二次函数 f(x)有两个零点 0 和﹣2,且 f(x) 最小值是﹣1,函数 g(x)与 f(x)的图象关于原点对称. (1)求 f(x)和 g(x)的解析式; (2)若 h(x)=f(x)﹣λg(x)在区间[﹣1,1]上是增函数,求实数 λ 的取值范围. 18. (12 分) (2010?湘潭一模)如图所示,将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花园 AMPN,要求 B 在 AM 上,D 在 AN 上,且对角线 MN 过 C 点,已知|AB|=3 米,|AD|=2 米. (1)要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米,则 AN 的长应在什么范围内? (2)当 AN 的长度是多少时,矩形 AMPN 的面积最小?并求出最小面积.

19. (12 分) (2013 春?潮阳区校级期中)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=p +q(p≠0 且 p≠1) , 求证:数列{an}为等比数列的充要条件为 q=﹣1. 20. (13 分) (2015?河南二模)设 a 为实数,函数 f(x)=e ﹣2x+2a,x∈R. (1)求 f(x)的单调区间及极值; x 2 (2)求证:当 a>ln2﹣1 且 x>0 时,e >x ﹣2ax+1. 21. (14 分) (2015?菏泽一模)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n(n+1) (n∈N ) . (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若数列{bn}满足: ,求数列{bn}的通项公式;
* x

n

(Ⅲ)令

(n∈N ) ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

*

2014-2015 学年安徽省合肥市庐江县部分示范高中联考 高三(上)第三次月考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一.选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 2 3 1. (5 分) (2006?广东)若复数 z 满足方程 z +2=0,则 z =( ) A. B. C. D. 考点: 复数代数形式的混合运算. 3 分析: 先求复数 z,再求 z 即可 解答: 解:由

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故选 D. 点评: 复数代数形式的运算,是基础题. 2. (5 分) (2012 秋?寿县校级期末) 已知命题: p 所有的素数都是奇数, 则命题?p 是 ( A.所有的素数都不是奇数 B. 有些的素数是奇数 C. 存在一个素数不是奇数 D.存在一个素数是奇数 )

考点: 命题的否定. 专题: 规律型. 分析: 根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论. 解答: 解:∵命题 p 为全称命题, ∴根据全称命题的否定是特称命题得: ¬p 存在一个素数不是奇数. 故选:C. 点评: 本题主要考查含有量词的命题的否定,要求熟练掌握全称命题的否定是特称命题,特 称命题的否定是全称命题.比较基础.
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3. (5 分) (2015?池州二模)已知变量 x,y 满足约束条件

,则 z=x﹣2y 的最大

值为( A.﹣3

) B.0 C .1 D.3

考点: 简单线性规划. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的△ ABC 及其内部,再将目标函数 z=x ﹣2y 对应的直线进行平移,可得当 x=1,y=0 时,z 取得最大值 1.
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解答: 解:作出不等式组 表示的平面区域,

得到如图的△ ABC 及其内部,其中 A(﹣1,1) ,B(2,1) ,C(1,0) 设 z=F(x,y)=x﹣2y,将直线 l:z=x﹣2y 进行平移, 当 l 经过点 C 时,目标函数 z 达到最大值 ∴z 最大值=F(1,0)=1 故选:C

点评: 本题给出二元一次不等式组,求目标函数 z=x﹣2y 的最大值,着重考查了二元一次不 等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于基础题.

4. (5 分) (2014 秋?庐江县月考)函数 f(x)= 是( ) A.π,2

cos2x+sinxcosx 的最小正周期和振幅分别

B.π,1

C.2π,1

D.2π,2

考点: 两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的求值. 分析: 直接利用二倍角公式,以及两角和的正弦函数化简函数低价销售,然后求解最小正周 期和振幅. 解答: 解:函数 f(x)= cos2x+sinxcosx= cos2x+ sin2x=sin(2x+ ) .
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函数的周期为:π,振幅为 1. 故选:B. 点评: 本题考查三角函数的化简,两角和与差的三角函数,周期的求法,基本知识的考查. 5. (5 分) (2014?黄山一模)已知 e 是自然对数的底数,函数 f(x)=e +x﹣2 的零点为 a, 函数 g(x)=lnx+x﹣2 的零点为 b,则下列不等式中成立的是( ) A.f(a)<f(1)<f B.f(a)<f(b)<f C.f(1)<f(a)<f D.f(b)<f(1)<f (b) (1) (b) (a) 考点: 对数函数图象与性质的综合应用. 专题: 函数的性质及应用. x 分析: 根据函数的零点的判定定理,可得 0<a<1<b<2,再由函数 f(x)=e +x﹣2 在(0, +∞)上是增函数, 可得结论.
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x

x 解答: 解:∵函数 f(x)=e +x﹣2 的零点为 a,f(0)=﹣1<0,f(1)=e﹣1>0,∴0<a <1. ∵函数 g(x)=lnx+x﹣2 的零点为 b,g(1)=﹣1<0,g(2)=ln2>0,∴1<b<2. 综上可得,0<a<1<b<2. x 再由函数 f(x)=e +x﹣2 在(0,+∞)上是增函数,可得 f(a)<f(1)<f(b) , 故选 A. 点评: 本题主要考查函数的零点的判定定理,函数的单调性的应用,属于中档题.

6. (5 分) (2011 秋?乐陵市校级期末)已知 a,b∈R+,A 为 a,b 的等差中项,正数 G 为 a, b 的等比中项,则 ab 与 AG 的大小关系是( ) ab ≥ AG ab=AG A. B. C.ab≤AG D.不能确定 考点: 基本不等式. 分析: 由等差中项和等比中项的定义先表示出 A 和 G, 再利用基本不等式或做差法比较大小 即可. 解答: 解:依题意 A= ,G= ,
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∴AG﹣ab= = ( ﹣

?

﹣ab )

=

?

≥0,

∴AG≥ab. 故选 C 点评: 本题考查等差中项和等比中项的定义以及比较大小等知识,属基本题.

7. (5 分) (2015?黑龙江模拟) 钝角三角形 ABC 的面积是 , AB=1, BC= A.5 B. C .2 D.1

, 则 AC= (



考点: 余弦定理. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用三角形面积公式列出关系式,将已知面积,AB,BC 的值代入求出 sinB 的值, 分两种情况考虑:当 B 为钝角时;当 B 为锐角时,利用同角三角函数间的基本关系 求出 cosB 的值,利用余弦定理求出 AC 的值即可. 解答: 解:∵钝角三角形 ABC 的面积是 ,AB=c=1,BC=a= ,
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∴S= acsinB= ,即 sinB= 当 B 为钝角时,cosB=﹣
2 2

, =﹣
2

, ,

利用余弦定理得:AC =AB +BC ﹣2AB?BC?cosB=1+2+2=5,即 AC=

当 B 为锐角时,cosB=
2 2 2

=



利用余弦定理得:AC =AB +BC ﹣2AB?BC?cosB=1+2﹣2=1,即 AC=1, 2 2 2 此时 AB +AC =BC ,即△ ABC 为直角三角形,不合题意,舍去, 则 AC= . 故选:B. 点评: 此题考查了余弦定理,三角形面积公式,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握 余弦定理是解本题的关键.

8. (5 分) (2014 秋?庐江县月考)数列 (n≥2) ,则 Sn 等于( ) A. B.

的前 n 项和为 Sn,且满足 a1=1,an=an﹣1+n,

C.

D.

考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由 an=an﹣1+n(n≥2)得 an﹣an﹣1=n,利用累加法求出 an,代入
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化简后,由等差数

列的前 n 项和公式求出则数列

的前 n 项和为 Sn.

解答: 解:由题意得,an=an﹣1+n(n≥2) ,则 an﹣an﹣1=n, 所以 a2﹣a1=2,a3﹣a2=3,…,an﹣an﹣1=n, 以上(n﹣1)个式子相加得,an﹣a1=2+3+…+n, 又 a1=1,则 an=1+2+3+…+n= 所以 则数列 = , 的前 n 项和为 Sn= [2+3+…+(n+1)]= = , ,

故选:B. 点评: 本题考查等差数列的前 n 项和公式,以及累加法求数列的通项公式. 9. (5 分) (2009?东城区模拟)函数 y=f(x)的定义域是(﹣∞,+∞) ,若对于任意的正数 a,函数 g(x)=f(x+a)﹣f(x)都是其定义域上的增函数,则函数 y=f(x)的图象可能 是( ) A. B. C. D.

考点: 函数的图象.

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专题: 数形结合. 分析: 根据题意列出不等式, 进而分析可得在自变量增大的过程中函数值增加的量要越来越 大,分析选项可得答案. 解答: 解:根据增函数定义, 设 x1>x2 g(x1)﹣g(x2)>0 f(x1+a)﹣f(x1)>f(x2+a)﹣f(x2) f(x1+a)﹣f(x2+a)>f(x1)﹣f(x2) 由此我们可知 在自变量增大的过程中函数值增加的量要越来越大 故有 f′(x1)>f′(x2) ∴只有 A 图象符合 故选 A. 点评: 本题考查了增函数列不等式的知识,注意巧妙求导的技巧. 10. (5 分) (2014 秋?庐江县月考)已知关于 x 的不等式 0≤x ﹣2x+m≤3(m∈R)有且只有一 2 个实数解,函数 f(x)=tx,g(x)=2tx ﹣2(m﹣t)x+1,若对于任一实数 x,f(x)与 g (x)至少有一个为正数,则实数 t 的取值范围是( ) A.(﹣∞,0) B.(0,2) C.(2,8) D.(0,8) 考点: 函数的零点与方程根的关系. 专题: 计算题;压轴题;函数的性质及应用. 2 分析: 由关于 x 的不等式 0≤x ﹣2x+m≤3(m∈R)有且只有一个实数解求出 m 的值,代入函 数化简;当 t≤0 时,显然不成立;当 t>0 时,因为 g(0)=1>0,所以仅对对称轴进 行讨论即可. 2 解答: 解:∵y=x ﹣2x+m≥m﹣1,
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2

又∵关于 x 的不等式 0≤x ﹣2x+m≤3(m∈R)有且只有一个实数解, ∴m﹣1=3, ∴m=4, 则 g(x)=2tx ﹣2(4﹣t)x+1. 当 t≤0 时, 2 当 x 接近+∞时,函数 g(x)=2tx ﹣2(4﹣t)x+1 与 f(x)=tx 均为负值, 显然不成立, 当 t=0 时,因 g(x)=﹣8x+1,f(x)=0,故不成立; 当 t>0 时, 若﹣ 若﹣ = = ≥0,即 0<t≤4 时,结论显然成立; <0 时,只要△ =4(4﹣t) ﹣8t=4(t﹣8) (t﹣2)<0 即可,即 4<t
2 2

2

<8, 故 0<t<8. 故选 D. 点评: 本题主要考查对一元二次函数图象的理解.对于一元二次不等式,一定要注意其开口 方向、对称轴和判别式.

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卷相应位置上. ) 11. (5 分) (2012?广州一模)已知 . ,则实数 k 的取值范围为

考点: 微积分基本定理;一元二次不等式的应用. 专题: 计算题;导数的综合应用. 分析: 由定积分计算公式,算出 的表达式,再解关于 k 的一次不等式,即
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可得到本题答案. 解答: 解:∵ =( ∴ 故答案为: )﹣(

=(

) )= 即 2≤ +1

+1≤4,解之得 ≤k≤2

点评: 本题给出含有积分式子的范围,求参数 k 的取值范围,着重考查了定积分计算公式和 不等式解法等知识,属于基础题. 12. (5 分) (2010?泉山区校级模拟)已知等比数列{an}的首项为 8,Sn 是其前 n 项的和,某 同学经计算得 S1=8,S2=20,S3=36,S4=65,后来该同学发现其中一个数算错了,则该数为 S3 . 考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 2 分析: 假设后三个数均未算错, 根据题意可得 a2 ≠a1a3, 所以 S2、 S3 中必有一个数算错了. 再 2 假设 S2 算错了,根据题意得到 S3=36≠8(1+q+q ) ,矛盾.进而得到答案 解答: 解:根据题意可得显然 S1 是正确的. 2 假设后三个数均未算错,则 a1=8,a2=12,a3=16,a4=29,可知 a2 ≠a1a3, 所以 S2、S3 中必有一个数算错了.
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若 S2 算错了,则 a4=29=a1q ,

3

,显然 S3=36≠8(1+q+q ) ,矛盾. ,a3=18,a4=27,S4=S2+18+27=65,

2

所以只可能是 S3 算错了,此时由 a2=12 得

满足题设. 答案为 S3 点评: 本题考查利用反证的方法来解决从正面不好解决的问题和学生推理的能力.

13. (5 分) (2013 秋?青原区校级期中)已知两个非零向量 与 ,定义| × |=| || |sinθ,其 中 θ 为 与 的夹角,若 =(﹣3,4) , =(0,2) ,则| × |的值为 6 . 考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据定义的 ,求 . 解答: 解:根据已知条件得: , ,cosθ= ,∴sinθ= ,∴ .

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=5,

=2,cosθ=

,所以 sinθ= ,所以

故答案为:6. 点评: 考查根据向量的坐标求向量的长度,根据向量的坐标,求两向量夹角的余弦.

14. (5 分) (2013?广州一模)已知 a>0,a≠1,函数 (x)在[0,2]上的最大值比最小值大 ,则 a 的值为

若函数 f





考点: 函数最值的应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 分 0<a<1 和 a>1 时两种情况加以讨论,根据指数函数的单调性和一次函数单调性, 并结合分段函数在区间端点处函数值的大小比较,求出函数在[0,2]上的最大值和最 小值,由此根据题意建立关于 a 的方程,解之即得满足条件的实数 a 的值. 解答: 解:①当 0<a<1 时,可得 x 在[0,1]上,f(x)=a 是减函数;且在(1,2]上,f(x)=﹣x+a 是减函数 0 ∵f(0)=a =1>﹣1+a,∴函数的最大值为 f(0)=1; 而 f(2)=﹣2+a<﹣1+a=f(1) ,所以函数的最小值为 f(2)=﹣2+a
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因此,﹣2+a+ =1,解之得 a= ∈(0,1)符合题意; ②当 a>1 时,可得 在[0,1]上,f(x)=a 是增函数;且在(1,2]上,f(x)=﹣x+a 是减函数 ∵f(1)=a>﹣1+a,∴函数的最大值为 f(1)=a 0 而 f(2)=﹣2+a,f(0)=a =1,可得 i)当 a∈(1,3]时,﹣2+a<1,得 f(2)=﹣2+a 为函数的最小值, 因此,﹣2+a+ =a 矛盾,找不出 a 的值. ii)当 a∈(3,+∞)时,﹣2+a>1,得 f(0)=1 为函数的最小值, 因此,1+ =a,解之得 a= ∈(3,+∞) ,符合题意.
x

综上所述,实数 a 的值为 或 故答案为: 或 点评: 本题给出含有字母 a 的分段函数,在已知函数的最大最小值之差的情况下求参数 a 的 值,着重考查了指数函数、一次函数的单调性和分段函数的理解等知识,考查了转化 化归和分类讨论的数学思想,属于中档题. 15. (5 分) (2010?青州市模拟)关于函数 f(x)=4sin(2x+ ) (x∈R) ,有下列命题:? ①由 f(x1)=f(x2)=0 可得 x1﹣x2 必是 π 的整数倍; ②y=f(x)的表达式可改写为 y=4cos(2x﹣ ) ; ③y=f(x)的图象关于点(﹣ ,0)对称; ④y=f(x)的图象关于直线 x=﹣ 对称.

其中正确的命题的序号是 ②③ . 考点: 三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的对称性. 专题: 阅读型. 分析: 根据函数求出最小正周期,可知①错;利用诱导公式化简②,判断正误;求出函数 的对称中心判定③;对称直线方程判断④的正误;即可得到解答. 解答: 解:①函数 f(x)=4sin 的最小正周期 T=π,
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由相邻两个零点的横坐标间的距离是 ②f(x)=4sin(2x+ ③f(x)=4sin(2x+ 2x+ (﹣ =kπ,x=( ,0)满足条件 )=4cos(

=

知①错. )=4cos(2x+ ﹣ )=4cos(2x﹣ )

﹣2x﹣

)的对称点满足(x,0) ) k∈Z

④f(x)=4sin(2x+ 2x+ x=﹣

)的对称直线满足

=(k+ )π;x=(k+ ) 不满足

故答案为:②③ 点评: 本题考查三角函数的周期性及其求法, 诱导公式的利用, 以及正弦函数的对称性问题, 属于基础题.

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程及演算 步骤. ) 16. (12 分) (2014 春?忻州期中)在△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边,满 2 2 2 足 a +c ﹣b =ac. (1)求角 B 的大小; (2)设 , ,求 的最小值.

考点: 余弦定理;平面向量数量积的坐标表示、模、夹角;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 计算题. 分析: (1)利用余弦定理表示出 cosB,把已知的等式代入得出 cosB 的值,由 B 为三角形 的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出 B 的度数;
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(2)由两向量的坐标,利用平面向量的数量积运算法则表示出

,并利用二倍角

的余弦函数公式化简,配方后得到关于 sinA 的二次函数,由 A 的范围,得到 sinA 的 范围,根据二次函数的图象与性质求出此时二次函数的最小值,即为 解答: 解: (1)在△ ABC 中,a +c ﹣b =ac, ∴由余弦定理得 又 B∈(0,π) , ∴ (2)∵ ∴ 分) 又∵ 当 sinA=1 时, ,∴0<sinA≤1,…(10 分) 取最小值﹣5.…(12 分) ;…(6 分) , , ,…(8 ,…(3 分)
2 2 2

的最小值.

点评: 此题考查了余弦定理,平面向量的数量积运算,二倍角的余弦函数公式,正弦函数的 图象与性质,以及二次函数的图象与性质,熟练定理及公式是解本题的关键. 17. (12 分) (2015?赫山区校级一模)已知二次函数 f(x)有两个零点 0 和﹣2,且 f(x) 最小值是﹣1,函数 g(x)与 f(x)的图象关于原点对称. (1)求 f(x)和 g(x)的解析式; (2)若 h(x)=f(x)﹣λg(x)在区间[﹣1,1]上是增函数,求实数 λ 的取值范围. 考点: 函数的零点;函数解析式的求解及常用方法;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用.

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分析: (1)根据二次函数的零点,利用待定系数法即可求 f(x)和 g(x)的解析式; (2)根据 h(x)=f(x)﹣λg(x)在区间[﹣1,1]上是增函数,确定对称轴和对应 区间之间的关系,即可求实数 λ 的取值范围. 解答: 解: (1)∵二次函数 f(x)有两个零点 0 和﹣2, ∴设 f(x)=ax(x+2)=ax +2ax(a>0) .f(x)图象的对称轴是 x=﹣1, ∴f(﹣1)=﹣1,即 a﹣2a=﹣1, ∴a=1, 2 ∴f(x)=x +2x. ∵函数 g(x)的图象与 f(x)的图象关于原点对称, ∴g(x)=﹣f(﹣x)=﹣x +2x. 2 2 2 (2)由(1)得 h(x)=x +2x﹣λ(﹣x +2x)=(λ+1)x +2(1﹣λ)x. ①当 λ=﹣1 时,h(x)=4x 满足在区间[﹣1,1]上是增函数; ②当 λ<﹣1 时,h(x)图象对称轴是 x= 则 ≥1,
2 2

又 λ<﹣1,解得 λ<﹣1; ③当 λ>﹣1 时,同理需 ≤﹣1,

又 λ>﹣1,解得﹣1<λ≤0. 综上,满足条件的实数 λ 的取值范围是(﹣∞,0]. 点评: 本题主要考查二次函数的图象和性质,利用配方法是解决本题的关键. 18. (12 分) (2010?湘潭一模)如图所示,将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花园 AMPN,要求 B 在 AM 上,D 在 AN 上,且对角线 MN 过 C 点,已知|AB|=3 米,|AD|=2 米. (1)要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米,则 AN 的长应在什么范围内? (2)当 AN 的长度是多少时,矩形 AMPN 的面积最小?并求出最小面积.

考 点 : 专 题 : 分 析 :

根据实际问题选择函数类型;利用导数求闭区间上函数的最值.

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计算题.

(1)由题意设出 AN 的长为 x 米,因为三角形 DNC∽三角形 ANM,则对应线段成比例 可知 AM,表示出矩形 AMPN 的面积令其大于 32 得到关于 x 的一元二次不等式,求出 解集即可;

(2)解法 1:利用 当且仅当 a=b 时取等号的方法求出 S 的最大值即可; 解法 2:求出 S′=0 时函数的驻点,讨论函数的增减性得出函数的最大值即可. 解 解: (1)解:设 AN 的长为 x 米(x>2) 答 由题意可知:∵ ∴ ∴ : ∴

由 SAMPN>32 得 ∵x>2



∴3x ﹣32(x﹣2) ,即(3x﹣8) (x﹣8)>0(x>2) 解得: 即 AN 长的取值范围是 (2)解法一:∵x>2, ∴

2

当且仅当

,即 x=4 时,取“=”号

即 AN 的长为 4 米,矩形 AMPN 的面积最小,最小为 24 米. 解法二: ∵ ∴

令 S'=0 得 x=4 当 2<x<4 时,S'<0 当 x>4 时 S'>0 当 x=4 时,S 取极小值,且为最小值. 即 AN 长为 4 米时,矩形 AMPN 的面积最小,最小为 24 平方米. 点 考查学生会根据实际问题选择函数关系的能力, 利用导数求闭区间上函数最值的能力. 以 评 及用 当且仅当 a=b 时取等号的方法求最值的能力. : 19. (12 分) (2013 春?潮阳区校级期中)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=p +q(p≠0 且 p≠1) , 求证:数列{an}为等比数列的充要条件为 q=﹣1. 考点: 等比数列的前 n 项和;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 计算题. n﹣1 分析: 充分性:当 q=﹣1 时,a1=S1=p+q=p﹣1.当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=p (p﹣1) .当 n=1 时也成立.于是数列{an}为等比数列;必要性:当 n=1 时,a1=S1=p+q.当 n≥2 时,
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n

an=Sn﹣Sn﹣1=p

n﹣1

(p﹣1) .由 p≠0,p≠1.知

=

=p.故 q=﹣1.由

此得到 q=﹣1 是数列{an}为等比数列的充要条件. 解答: 证明:充分性:当 q=﹣1 时,a1=S1=p+q=p﹣1. n﹣1 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=p (p﹣1) . 当 n=1 时也成立. 于是 = =p(n∈N+) ,

即数列{an}为等比数列. 必要性:当 n=1 时,a1=S1=p+q. n﹣1 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=p (p﹣1) . ∵p≠0,p≠1. ∴ = =p.

∵{an}为等比数列, ∴ = =p, =p,

即 p﹣1=p+q.∴q=﹣1. 综上所述,q=﹣1 是数列{an}为等比数列的充要条件. 点评: 本题考查等比数列的性质和应用,考查充要条件的证明.解题时要认真审题,仔细解 答,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化. 20. (13 分) (2015?河南二模)设 a 为实数,函数 f(x)=e ﹣2x+2a,x∈R. (1)求 f(x)的单调区间及极值; (2)求证:当 a>ln2﹣1 且 x>0 时,e >x ﹣2ax+1. 考点: 利用导数研究函数的极值;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 计算题;压轴题. x x 分析: (1)由 f(x)=e ﹣2x+2a,x∈R,知 f′(x)=e ﹣2,x∈R.令 f′(x)=0,得 x=ln2.列 表讨论能求出 f(x)的单调区间区间及极值. x 2 x (2)设 g(x)=e ﹣x +2ax﹣1,x∈R,于是 g′(x)=e ﹣2x+2a,x∈R.由(1)知当 a>ln2﹣1 时,g′(x)最小值为 g′(ln2)=2(1﹣ln2+a)>0.于是对任意 x∈R,都
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x

x

2

有 g′(x)>0,所以 g(x)在 R 内单调递增.由此能够证明 e >x ﹣2ax+1. x 解答: (1)解:∵f(x)=e ﹣2x+2a,x∈R, x ∴f′(x)=e ﹣2,x∈R. 令 f′(x)=0,得 x=ln2. 于是当 x 变化时,f′(x) ,f(x)的变化情况如下表: x ln2 (﹣∞,ln2) (ln2,+∞) 0 + f′(x) ﹣ f(x) 单调递减? 2(1﹣ln2+a) 单调递增? 故 f(x)的单调递减区间是(﹣∞,ln2) ,

x

2

单调递增区间是(ln2,+∞) , f(x)在 x=ln2 处取得极小值, ln2 极小值为 f(ln2)=e ﹣2ln2+2a=2(1﹣ln2+a) ,无极大值. x 2 (2)证明:设 g(x)=e ﹣x +2ax﹣1,x∈R, x 于是 g′(x)=e ﹣2x+2a,x∈R. 由(1)知当 a>ln2﹣1 时, g′(x)最小值为 g′(ln2)=2(1﹣ln2+a)>0. 于是对任意 x∈R,都有 g′(x)>0,所以 g(x)在 R 内单调递增. 于是当 a>ln2﹣1 时,对任意 x∈(0,+∞) ,都有 g(x)>g(0) . 而 g(0)=0,从而对任意 x∈(0,+∞) ,g(x)>0. 即 e ﹣x +2ax﹣1>0, x 2 故 e >x ﹣2ax+1. 点评: 本题考查函数的单调区间及极值的求法和不等式的证明,具体涉及到导数的性质、函 数增减区间的判断、 极值的计算和不等式性质的应用. 解题时要认真审题, 仔细解答. 21. (14 分) (2015?菏泽一模)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n(n+1) (n∈N ) . (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若数列{bn}满足:
* * x 2

,求数列{bn}的通项公式;

(Ⅲ)令

(n∈N ) ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

考点: 数列的求和;数列的函数特性;等差数列的通项公式. 专题: 综合题. 分析: (Ⅰ)当 n=1 时,a1=S1=2,当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=n(n+1)﹣(n﹣1)n=2n,由
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此能求出数列{an}的通项公式. (Ⅱ)由 (n≥1) ,知

,所以 能求出 bn. (Ⅲ)
2 3

,由此

=n(3 +1)=n?3 +n,所以 Tn=c1+c2+c3+…+cn=
n 2 3 n

n

n

(1×3+2×3 +3×3 +…+n×3 )+(1+2+…+n) ,令 Hn=1×3+2×3 +3×3 +…+n×3 ,由错位相 减法能求出 ,由此能求出数列{cn}的前 n 项和.

解答: 解: (Ⅰ)当 n=1 时,a1=S1=2, 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=n(n+1)﹣(n﹣1)n=2n, 知 a1=2 满足该式, ∴数列{an}的通项公式为 an=2n. (2 分)

(Ⅱ)∵

(n≥1)①



②(4 分)

②﹣①得: bn+1=2(3 +1) , n * 故 bn=2(3 +1) (n∈N ) . (6 分) (Ⅲ)
n+1



=n(3 +1)=n?3 +n,
2 3 n

n

n

∴Tn=c1+c2+c3+…+cn=(1×3+2×3 +3×3 +…+n×3 )+(1+2+…+n) (8 分) 2 3 n 令 Hn=1×3+2×3 +3×3 +…+n×3 ,① 2 3 4 n+1 则 3Hn=1×3 +2×3 +3×3 +…+n×3 ② ①﹣②得:﹣2Hn=3+3 +3 +…+3 ﹣n×3
2 3 n n+1

=



,…(10 分)

∴数列{cn}的前 n 项和

…(12 分)

点评: 本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项,结合含两个变量的不等式的处理 问题,对数学思维的要求比较高,要求学生理解“存在”、“恒成立”,以及运用一般与 特殊的关系进行否定,本题有一定的探索性.综合性强,难度大,易出错.解题时要 认真审题,注意错位相减法的灵活运用.

参与本试卷答题和审题的老师有:qiss;maths;ywg2058;caoqz;wdlxh;sllwyn;gongjy; dddccc;lgh;wdnah;wkl197822;wubh2011;zlzhan(排名不分先后) 菁优网 2015 年 9 月 12 日


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