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2017届高三上学期期末考试试卷 (10)


枣庄八中南校高三数学阶段性检测(理科)2016.1
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.设全集为 R,A={x|x(x﹣2)<0},B={x|y=ln(1﹣x)},则 A∩(CRB)=( A. (﹣2,1) B.[1,2) C. (﹣2,1] D. (1,2) 2.下列命题中,假命题是( ) x﹣2 A.? x∈R,3 >0 B.? x

0∈R,tanx0=2 * 2 C.? x0∈R,log2x0<2 D.? x∈N , (x﹣2) >0 3.已知 tanα =2 ,且α ∈(﹣π ,0) ,则 sinα ﹣ cosα 的值是( ) A. B.﹣ C.﹣ D.
2 2



4.直线 l:y=kx+1 与圆 O:x +y =1 相交于 A,B 两点,则“k=1”是“△OAB 的面积为 ”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 5.已知向量 , ,其中 =(﹣1, A. B.﹣ C. D.﹣ ) ) ,且 ⊥( ﹣3 ) ,则 在 上的投影为 ( )

6.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

A.

B.

C.

D.

7.函数 y=

的图象大致为(



A.

B.

C.

D.

8.设 x,y 满足约束条件

,若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为 8,

则 ab 的最大值为( A.1 B.2 C.

) D.4

9.已知函数 f(x)=sin(x﹣φ ) ,且 是( A.x= ) B.x= C.x= D.x=

f(x)dx=0,则函数 f(x)的图象的一条对称轴

10.已知函数 f(x)= 数 k 的取值范围是( A. (1,+∞) )

,若函数 y=f(x)﹣k(x+1)有三个零点,则实

B. (﹣ ,0)

C. (0, ) D. ( ,1)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,O 为底面 ABCD 的中心,E 为 CC1 的中点, 那么异面直线 OE 与 AD1 所成角的余弦值等于 .

12.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an=2Sn﹣1(n≥2) ,an=
2



13.若对任意实数 x,不等式|x+3|+|x﹣1|≥a ﹣3a 恒成立,则实数 a 的取值范围 为 . 14.已知双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线 y =2px(p>0)的准线分别 ,则该抛物线的
2

交于 A、B 两点,O 为坐标原点,若双曲线的离心率为 2,△AOB 的面积为 标准方程是 .

15.如图,在△ABC 中,∠B=45°,D 是 BC 边上的一点,AD=5,AC=7,DC=3,则 AB 的长





三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16. (本题 12)分在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 . (Ⅰ)求 cosA 的值; (Ⅱ)若 ,b=5,求角 B、边 c 的值.

17. (本题 12)某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会,拟邀请 20 名来自本校 机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加,各学院邀请的学生数如下表所示: 学院 人数 机械工程学院 4 海洋学院 6 医学院 4 经济学院 6

(Ⅰ)从这 20 名学生中随机选出 3 名学生发言,求这 3 名学生中任意两个均不属于同一学院 的概率; (Ⅱ)从这 20 名学生中随机选出 3 名学生发言,设来自医学院的学生数为ξ ,求随机变量ξ 的概率分布列和数学期望.

18. (本题 12)已知公比为 q 的等比数列{an}是递减数列,且满足

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求数列{(2n﹣1) ?an}的前 n 项和 Tn.

19. (本题 12)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,ABCD 为矩形,平面 PAD⊥平面 ABCD. (Ⅰ)求证:AB⊥PD;

(Ⅱ)若∠BPC=90°,PB=PC=2,问 AB 为何值时,四棱锥 P﹣ABCD 的体积最大?并求此时直 线 PB 与平面 PDC 所成角的正弦值. P D C

A

B

20. (本题 13)已知椭圆

+

=1(a>b>0)经过点(0,

) ,离心率为 ,左、右焦点分

别为 F1(﹣c,0)与 F2(c,0) . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设椭圆 C 与 x 轴负半轴交点为 A,过点 M(﹣4,0)作斜率为 k(k≠0)的直线 l,交 椭圆 C 于 B、D 两点(B 在 M、D 之间) ,N 为 BD 中点,并设直线 ON 的斜率为 k1. (i)证明: k ? k1 为值; (ii)是否存在实数 k,使得 F1N⊥AD?如果存在,求直线 l 的方程;如果不存在,请说明理 由.

21. (本题 14)设 a∈R,函数 f(x)=ax ﹣(2a+1)x+lnx. (Ⅰ)当 a=1 时,求 f(x)的极值; x (Ⅱ)设 g(x)=e ﹣x﹣1,若对于任意的 x1∈(0,+∞) ,x2∈R,不等式 f(x1)≤g(x2) 恒成立,求实数 a 的取值范围.

2

高三数学阶段性检测(理科)参考答案 2016.1 一、1.B.2.D.3 B 4.A.5.C.6.B.7 D 8 C.9.A.10.C.

二、 11. 三、解答题: 16 解: (I)由 得 即 即 (II)由 根据正弦定理

12.

13. [﹣1,4].14.y =4x.15.

2



, ,?(3 分) ,可得 ,

.?(6 分) ,得 ,得 .?(9 分) , .

由题意 a>b,则 A>B,故
2 2 2

再由余弦定理 a =b +c ﹣2bccosA,得 ,解之得 c=1(c=﹣7 舍去) .?(12 分) 17.解答: 解: (Ⅰ)从 20 名学生随机选出 3 名的方法数为 选出 3 人中任意两个均不属于同一学院的方法数为: ,

所以 (Ⅱ)ξ 可能的取值为 0,1,2,3, ,

所以ξ 的分布列为 0 1 2 3 P 所以

18.解: 解:由 a1a2a3=

,及等比数列性质得

=

,解得 a2= ,

由 a1+a2+a3=

得 a1+a3=

由以上得





=

,即 3q ﹣10q+3=0,解得 q=3,或 q= .

2

∵{an}是递减数列,故 q=3 舍去,∴q= ,由 a2= ,得 a1=1. 故数列{an}的通项公式为 an= (n∈N ) .
*

(II)由(I)知(2n﹣1) ?an=

,∴Tn=1+ +

+?+

①, Tn= +

++?

+

+

②.①﹣②得: Tn=1+ +

+

+?+



=1+2( +

+

+?+

)﹣

=1+2?



=2﹣



,∴Tn=3﹣



19.解答: (Ⅰ)证明:∵平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,AB⊥AD, ∴AB⊥平面 PAD,又 PD? 平面 PAD,∴AB⊥PD,∴AB⊥PD. (Ⅱ)解:由题意得 AB⊥平面 PAD,DC⊥平面 PAD,∴在 Rt△PAB 与 Rt△PDC 中,PB=PC=2, AB=DC,∴PA=PD,∴△PAD 为等腰三角形,取线段 AD 的中点 O,连结 PO,则 PO⊥平面 ABCD, 取 BC 中点 M,连结 OM,则 OM⊥AD,设 AB=x,则 OM=AB=x, 在△BPC 中,∠BPC=90°,PB=PC=2,∴BC=2 ∴在 Rt△POM 中,PO= ∴VP﹣ABCD= =
2

,PM=



, = , =

当且仅当 x =1,即 x=1 时,四棱锥 P﹣ABCD 的体积最大,此时以 O 为原点,OA 为 x 轴,OP 为 z 轴,建立空间直角坐标系, 则 O(0,0,0) ,B( ∴ , ) ,C(﹣ ,1,0) ,D(﹣ ,0,0) ,P(0,0,1) ,

=(0,﹣1,0) ,

设平面 PDC 的一个法向量 =(x,y,z) ,由

,令 x=1,解得 =(1,

0,﹣

) ,又

=( >|=|

) ,设直线 PB 与平面 PDC 所成角为θ , |= .∴直线 PB 与平面 PDC 所成角的正弦值为 ) ,离心率为 , .

sinθ =|cos<

20.解答: 解: (I)∵椭圆经过点(0,



,解得 a=2,c=1,b=

.∴椭圆 C 的方程为



(II) (i)证明:设 B(x1,y1) ,D(x2,y2) ,线段 BD 的中点 N(x0,y0) .由题意可得直线 l 的方程为:y=k(x+4) ,

联立

,化为(3+4k )x +k x+64k ﹣12=0,

2

2

2

2

由△>0,可得

,且 k≠0.∴x1+x2=







=

,y0=k(x0+4)=

,∴ =﹣1,

=

,即 k1.k=﹣ 为定值.

(ii)假设存在实数 k,使得 F1N⊥AD,则



=

=

=

,kAD=

=



∴ ∴直线 l 不存在.

=﹣1,化为 x2=﹣8k ﹣2<﹣2,与 x2≥﹣2 矛盾,

2

21.解: (Ⅰ)当 a=1 时,函数 f(x)=x ﹣3x+lnx, . 令 f'(x)=0 得:

2

当 x 变化时,f'(x) ,f(x)的变化情况如下表: x 1 (1,+∞)f'(x) + 0 ﹣ 0 +

f(x) 单调递增 极大 单调递减 极小 单调递增 因此,当 时,f(x)有极大值,且 ;

当 x=1 时,f(x)有极小值,且 f(x)极小值=﹣2. x x (Ⅱ)由 g(x)=e ﹣x﹣1,则 g'(x)=e ﹣1, 令 g'(x)>0,解得 x>0;令 g'(x)<0,解得 x<0. ∴g(x)在(﹣∞,0)是减函数,在(0,+∞)是增函数, 即 g(x)最小值=g(0)=0.对于任意的 x1∈(0,+∞) ,x2∈R,不等式 f(x1)≤g(x2)恒成立, 则有 f(x1)≤g(0)即可. 即不等式 f(x)≤0 对于任意的 x∈(0,+∞)恒成立.

(1)当 a=0 时,

,令 f'(x)>0,解得 0<x<1;令 f'(x)<0,解得 x

>1. ∴f(x)在(0,1)是增函数,在(1,+∞)是减函数, ∴f(x)最大值=f(1)=﹣1<0, ∴a=0 符合题意. (2)当 a<0 时, ,令 f'(x)>0,解得 0<x<1;令 f'

(x)<0,解得 x>1. ∴f(x)在(0,1)是增函数,在(1,+∞)是减函数, ∴f(x)最大值=f(1)=﹣a﹣1≤0, 得﹣1≤a<0, ∴﹣1≤a<0 符合题意. (3)当 a>0 时, 时,0<x1<1,令 f'(x)>0,解得 令 f'(x)<0,解得 . ,f'(x)=0 得 或 x>1; ,

∴f(x)在(1,+∞)是增函数, 而当 x→+∞时,f(x)→+∞,这与对于任意的 x∈(0,+∞)时 f(x)≤0 矛盾. 同理 时也不成立.

综上所述:a 的取值范围为[﹣1,0].


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