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2015-2016学年广东省“六校联盟”高三(上)第三次联考数学试卷(文科)(解析版)


2015-2016 学年广东省“六校联盟”高三(上)第三次联考数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1. (5 分)已知 U={y|y=lnx,x>1},A={y|y= ,x>3},则?UA=( A. B. (0,+∞) C .[
2

) 的值为( )

) D. (﹣∞,0]∪[

2. (5 分)已知 a 为实数,若复数 z=(a ﹣1)+(a+1)i 为纯虚数,则 A.1 B.﹣1 C.i D.﹣i

3. (5 分)已知在等比数列{an}中,a1+a3=10,a4+a6= ,则等比数列{an}的公比 q 的值为( A. B. C .2 D.8



4. (5 分) 设 A.a=b<c B.a=b>c C.a<b<c D.a>b>c ,则 =( )

, 则 a, b, c 的大小关系是 (



5. (5 分)如图,在△ABC 中,已知

A.

B.

C.
2

D. )

6. (5 分)直线经过 A(2,1) ,B(1,m ) (m∈R)两点,则直线 l 的倾斜角 α 的取值范围是( A.0≤α<π B. C. D.
x+2

或 或

π π

7. (5 分)已知命题 p:函数 y=a +3(a>0 且 a≠1)的图象恒过(﹣2,4)点;命题 q:已知平面 α∥平 面 β,则直线 m∥α 是直线 m∥β 的充要条件.则下列命题为真命题的是( ) A.p∧q B.¬p∧¬q C.p∧¬q D.¬p∧q 8. (5 分)如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm) ,图中粗线画出的是某零件的三视图,该零 件由一个底面半径为 3cm,高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到,现用油漆对该型号零件表面进项防锈处理, 若 100 平方厘米的零件表面约需用油漆 10 克, 那么对 100 个该型号零件表面进行防锈处理约需油漆 ( ) (π 取 3.14)

1页

A.1.13 千克 B.1.45 千克 C.1.57 千克 D.1.97 千克 9. (5 分) 《九章算术》之后,人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题, 《张丘建算经》卷上第 22 题为:“今有女善织,日益功疾(注:从第 2 天开始,每天比前一天多织相同量的布) ,第一天织 5 尺布, 现在一月(按 30 天计) ,共织 390 尺布”,则从第 2 天起每天比前一天多织( )尺布. A. B. C. D.

10. (5 分)设 F1,F2 是双曲线

的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且 3|PF1|=4|PF2|,则△

PF1F2 的面积等于( ) A. B. C.24 D.48 11. (5 分)x 为实数,[x]表示不超过 x 的最大整数,如[1.2]=1,[﹣1.2]=﹣2;则函数 f(x)=[x[x]]在 (﹣1,1)上( ) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.是增函数 x 2 12. (5 分)已知 a>0,且 a≠1,则函数 f(x)=a +(x﹣1) ﹣2a 的零点个数为( ) A.1 B.2 C .3 D.与 a 有关 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在答题卷相应位置上) 13. (5 分)若向量 =(cosα,1) , =(1,2tanα) ,且 ,则 sinα= .

14. (5 分)设 x,y>0,x+y=9,则 的最大值为 . 2 2 15. (5 分) 点 (a, b) 在两直线 y=x﹣2 和 y=x﹣4 之间的带状区域内 (含边界) , 则f (a, b) =a ﹣2ab+b +2a ﹣2b 的最小值与最大值的和为 . 16. (5 分) 设三棱柱的侧棱垂直于底面, 所有棱的长都为 a, 顶点都在一个球面上, 则该球的表面积为 . 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (12 分)已知 a、b、c 分别是△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边,且 2asin(C+ )= b.

(1)求角 A 的值: (11)若 AB=3,AC 边上的中线 BD 的长为 ,求△ABC 的面积. 18. (12 分)已知各项均为正数的等比数列{an}的首项 a1=2,Sn 为其前 n 项和,且 2S3=5S1+3S2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=log2an,cn= ,记数列{cn}的前 n 项和 Tn,求 的最大值.

19. (12 分)如图,直角梯形 ABCD 与等腰直角三角形 ABE 所在的平面互相垂直.AB∥CD,AB⊥BC, AB=2CD=2BC,EA⊥EB.
2页

(1)求直线 EC 与平面 ABE 所成角的余弦值; (2)线段 EA 上是否存在点 F,使 EC∥平面 FBD?若存在,求出 ;若不存在,说明理由.

20. (12 分)已知椭圆 与椭圆交于 A、B 两点.

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(﹣3,0) ,F2(3,0) ,直线 y=kx

(Ⅰ)若三角形 AF1F2 的周长为 4 (Ⅱ)若|k|>

+6,求椭圆的标准方程;

,且以 AB 为直径的圆过椭圆的右焦点,求椭圆离心率 e 的取值范围.
2

21. (12 分)已知函数 f(x)=﹣x +2lnx,函数 f(x)与 g(x)=x (1)求函数 f(x)的最大值; (2)求实数 a 的值; (3)若? x1,x2∈[ ,3],不等式

有相同极值点.

≤1 恒成立,求实数 k 的取值范围.

选修 4-1:几何证明选讲 22. (10 分)已知△ABC 中,AB=AC,D 是△ABC 外接圆上 F. (1)求证:AD 延长线 DF 平分∠CDE; (2)若∠BAC=30°,△ABC 中 BC 边上的高为 2+ 上的点(不与点 A、C 重合) ,延长 BD 至

,求△ABC 外接圆的面积.

选修 4-4:坐标系与参数方程 23.已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐

标系,曲线 C 的极坐标方程是 ρ=



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(1)写出直线 l 的极坐标方程与曲线 C 的普通方程; (2)若点 P 是曲线 C 上的动点,求 P 到直线 l 的距离的最小值,并求出 P 点的坐标. 选修 4-5:不等式选讲 24.设函数 f(x)=|x﹣1|+ |x﹣3|. (1)求不等式 f(x)>4 的解集; (2)若不等式 f(x) 的解集非空,求实数 a 的取值范围.

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2015-2016 学年广东省“六校联盟”高三(上)第三次联考数学试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1. (5 分) (2015 秋?广东月考)已知 U={y|y=lnx,x>1},A={y|y= ,x>3},则?UA=( A. B. (0,+∞) C .[ ) D. (﹣∞,0]∪[ ) )

【分析】化简集合 U、A,求出 A 在 U 中的补集. 【解答】解:U={y|y=lnx,x>1}={y|y>0}=(0,+∞) , A={y|y= ,x>3}={y|0<y< }, ∴?UA={y|y≥ }=[ ,+∞) . 故选:C. 【点评】本题考查了集合的化简与运算问题,是基础题目.
2

2. (5 分) (2016 春?衡水校级月考)已知 a 为实数,若复数 z=(a ﹣1)+(a+1)i 为纯虚数,则 值为( ) A.1 B.﹣1 C.i D.﹣i 【分析】利用纯虚数的定义、复数的运算法则即可得出. 【解答】解:复数 z=(a ﹣1)+(a+1)i 为纯虚数,∴
2



,a=1.



=

=

=

=﹣1.

故选:B. 【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.

3. (5 分) (2011?广东校级模拟)已知在等比数列{an}中,a1+a3=10,a4+a6= ,则等比数列{an}的公比 q 的值为( A. B. ) C .2 D.8
3

【分析】先设公比为 q,用 a4+a6 除以 a1+a3 正好等于 q 进而求得 q. 【解答】解:依题意,设公比为 q,由于 a1+a3=10,a4+a6= ,
3

所以 q =

= ,∴q= ,
5页

故选 B 【点评】本题主要考查了等比数列的性质.属基础题. 4. (5 分) (2015 秋?广东月考)设 c 的大小关系是( ) A.a=b<c B.a=b>c C.a<b<c D.a>b>c 【分析】利用对数的性质、运算法则、换底公式求解. 【解答】解:∵设 ∴a= b= c= = , =a, =a, , ,则 a,b,

∴a=b>c. 故选:B. 【点评】本题考查对数值大小的比较,是基础题,解题时要认真审题,注意对数的性质、运算法则、换底 公式的合理运用.

5. (5 分) (2016?河南模拟)如图,在△ABC 中,已知

,则

=(



A.

B.

C.

D. =3( ) ,化简可得 = + ,得到

【分析】根据向量的减法法则,结合题中等式得 本题答案. 【解答】解:∵ ∴由已知 化简 = + = ,得 , =3( )

故选:C 【点评】本题给出△ABC 中,点 D 是 BC 边的一个三等分点,求向量 关于 、 的表示式,着重考查

了平面向量的减法法则和平面向量的基本定理及其意义等知识,属于中档题. 6. (5 分) (2012 秋?大田县校级期中)直线经过 A(2,1) ,B(1,m ) (m∈R)两点,则直线 l 的倾斜 角 α 的取值范围是( )
6页
2

A.0≤α<π B. C. D.

或 或

π π
2

【分析】由倾斜角的范围可得 0≤θ<π,进而可得 l 的斜率为 K=

=1﹣m ,进而可得 K 的范围,由

倾斜角与斜率的关系,可得 tanθ≤1,进而由正切函数的图象分析可得答案. 【解答】解:由倾斜角的范围可得 0≤θ<π, 根据斜率的计算公式,可得 l 的斜率为 K= 由二次函数的性质易得 k≤1, 由倾斜角与斜率的关系,可得 tanα≤1, 由正切函数的图象,可得 θ 的范围是 , , =1﹣m ,
2

故选 B 【点评】本题考查直线的倾斜角,结合斜率的计算公式,结合斜率与倾斜角的关系是解决问题的关键,属 基础题. 7. (5 分) (2015 秋?广东月考)已知命题 p:函数 y=a +3(a>0 且 a≠1)的图象恒过(﹣2,4)点;命 题 q:已知平面 α∥平面 β,则直线 m∥α 是直线 m∥β 的充要条件.则下列命题为真命题的是( ) A.p∧q B.¬p∧¬q C.p∧¬q D.¬p∧q 【分析】分别判断命题 p 和命题 q 的真假,再利用符合命题真假表判断选项是否为真命题. 【解答】选项中“∧”表示逻辑联结词“且”,易判断命题 p 为真命题. ∵直线 m∥α 是直线 m∥β 的即不充分也不必要条件,故命题 q 为假命题. ∴¬q 为真命题, A 选项:p 真 q 假,故 p∧q 为假 B 选项:¬p 为假¬q 为真,故¬p∧¬q 为假 C 选项:p 为真¬q 为真,故 p∧¬q 为真 D 选项:¬p 为假 q 为假,故¬p∧q 为假 故答案选 C 【点评】考查复合命题的真假判断,指数型函数过定点问题,空间线面位置关系.是常规题型,属于基础 题. 8. (5 分) (2016?河南模拟)如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm) ,图中粗线画出的是某零 件的三视图,该零件由一个底面半径为 3cm,高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到,现用油漆对该型号零件表 面进项防锈处理, 若 100 平方厘米的零件表面约需用油漆 10 克, 那么对 100 个该型号零件表面进行防锈处 理约需油漆( ) (π 取 3.14)
x+2

7页

A.1.13 千克 B.1.45 千克 C.1.57 千克 D.1.97 千克 【分析】根据三视图得出几何体是由两个圆柱组成,求出组合体的表面积,再计算 100 个该型号零件表面 进行防锈处理约需油漆数. 【解答】解:几何体是由两个圆柱组成, 一个是底面半径为 3 高为 2,一个是底面半径为 2,高为 4, 所以组合体的表面积是: 2 2 2 2 3 3 π+2π?3?2+2 π+2π?2?4+π(3 ﹣2 )=46π=46×3.14≈145(cm ) ; 对 100 个该型号零件表面进行防锈处理约需油漆为: ×10×100=1450(克)=1.45(千克) . 故选:B. 【点评】本题考查了三视图与几何体的关系,几何体的表面积的求法,也考查了空间想象能力以及计算能 力,是基础题目. 9. (5 分) (2016?茂名二模) 《九章算术》之后,人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题, 《张 丘建算经》卷上第 22 题为:“今有女善织,日益功疾(注:从第 2 天开始,每天比前一天多织相同量的布) , 第一天织 5 尺布,现在一月(按 30 天计) ,共织 390 尺布”,则从第 2 天起每天比前一天多织( )尺布. A. B. C. D.

【分析】利用等差数列的前 n 项和公式求解. 【解答】解:设从第 2 天起每天比前一天多织 d 尺布 m 则由题意知 解得 d= . ,

故选:D. 【点评】本题考查等差数列的公差的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的通项公式的求 解.

10. (5 分) (2016?黄山一模)设 F1,F2 是双曲线

的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且

3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2 的面积等于( ) A. B. C.24 D.48 【分析】先由双曲线的方程求出|F1F2|=10,再由 3|PF1|=4|PF2|,求出|PF1|=8,|PF2|=6,由此能求出△ PF1F2 的面积. 【解答】解:F1(﹣5,0) ,F2(5,0) ,|F1F2|=10, ∵3|PF1|=4|PF2|,∴设|PF2|=x,则 由双曲线的性质知 ∴|PF1|=8,|PF2|=6, ∴∠F1PF2=90°, ∴△PF1F2 的面积= 故选 C.
8页



,解得 x=6.



【点评】本题考查双曲线的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意公式的合理运用. 11. (5 分) (2015 秋?广东月考)x 为实数,[x]表示不超过 x 的最大整数,如[1.2]=1,[﹣1.2]=﹣2;则函 数 f(x)=[x[x]]在(﹣1,1)上( ) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.是增函数 【分析】根据[x]的定义,求出函数的解析式,即可得出结论. 【解答】解:当 x∈(﹣1,1)时,f(x)=x[x]]=[x?0]=0, ∴函数 f(x)=[x[x]]在(﹣1,1)上既是奇函数又是偶函数, 故选:C. 【点评】本题考查函数的性质,考查学生的计算能力,正确化简是关键. 12. (5 分) (2016?河南模拟)已知 a>0,且 a≠1,则函数 f(x)=a +(x﹣1) ﹣2a 的零点个数为( A.1 B.2 C .3 D.与 a 有关
x 2 x x 2



【分析】令 g(x)=a ﹣2a,h(x)=﹣(x﹣1) ,而 x=1 时:g(x)=a ﹣2a=﹣a<0,h(x)=﹣(x﹣1) 2 =0,从而得出函数有 2 个交点,即函数 f(x)有 2 个零点. 【解答】解:令 f(x)=0, x 2 得:a ﹣2a=﹣(x﹣1) , x 2 令 g(x)=a ﹣2a,h(x)=﹣(x﹣1) , x 2 x=1 时:a ﹣2a=﹣a<0,﹣(x﹣1) =0, a>1 时,画出函数 g(x)和 h(x)的草图, 如图示:

, 两个函数有 2 个交点; 0<a<1 时,画出函数 g(x)和 h(x)的草图, 如图示:


9页

两个函数有 2 个交点, 故选:B. 【点评】本题考查了函数的零点问题,考查转化思想,考查数形结合思想,是一道基础题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在答题卷相应位置上) 13. (5 分) (2015 秋?广东月考)若向量 =(cosα,1) , =(1,2tanα) ,且 【分析】根据平面向量平行(共线)的坐标表示,列出方程,求出 sinα 的值. 【解答】解:∵向量 =(cosα,1) , =(1,2tanα) ,且 ∴cosα?2tanα﹣1×1=0, 即 2sinα=1, ∴sinα= . 故答案为: . 【点评】本题考查了平面向量平行(共线)的坐标表示与运算问题,也考查了同角的三角函数的关系与应 用问题, 是基础题目. , ,则 sinα= .

14. (5 分) (2015 秋?广东月考)设 x,y>0,x+y=9,则

的最大值为
2



【分析】根据题意,分析可得(x+1)+(y+5)=15,令 t= ,对 t 求平方可得 t =(x+1)+(y+5) 2 +2 ,由基本不等式计算可得 t 的最大值,进而计算可得 t 的最大值,即可得答案. 【解答】解:根据题意,设 x,y>0,x+y=9,则(x+1)+(y+5)=15; 令 t= , 2 则 t =(x+1)+(y+5)+2 故 t≤ , =15+2 ≤15+[(x+1) (y+5)]=30,

即 的最大值为 ; 故答案为: 【点评】本题考查基本不等式的运用,注意将(x+1)与(y+5)看成一个整体,利用基本不等式分析求解. 15. (5 分) (2015 秋?广东月考)点(a,b)在两直线 y=x﹣2 和 y=x﹣4 之间的带状区域内(含边界) ,则 2 2 f(a,b)=a ﹣2ab+b +2a﹣2b 的最小值与最大值的和为 32 . 2 2 【分析】要先画出满足约束条件 y=x﹣2 和 y=x﹣4 的平面区域,又由 f(a,b)=a ﹣2ab+b +2a﹣2b=(a 2 ﹣b) +2(a﹣b) ,我们只要求出(a﹣b)的取值范围,然后根据二次函数在定区间上的最值问题即可求解 2 2 2 2 【解答】解:由 f(a,b)=a ﹣2ab+b +2a﹣2b=(a﹣b) +2(a﹣b)=(a﹣b+1) ﹣1 又(a,b)在两直线 y=x﹣2 和 y=x﹣4 之间的带状区域内(含边界) 如图所示: 得 2≤(a﹣b)≤4, 根据二次函数在定区间上的最小值为 f(2)=8, 根据二次函数在定区间上的最大值为 f(4)=24, 2 2 ∴f(a,b)=a ﹣2ab+b +2a﹣2b 的最小值与最大值的和为 8+24=32, 故答案为:32.

10 页

【点评】本题主要考查线性规划的基本应用,利用目标函数的几何意义是解决问题的关键,数形结合是解 决问题的基本方法,是中档题. 16. (5 分) (2015 秋?福州校级期末)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为 a,顶点都在一个球面 上,则该球的表面积为 .

【分析】由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心,求出球的半径,即可求出球的表面积. 【解答】解:根据题意条件可知三棱柱是棱长都为 a 的正三棱柱,设上下底面中心连线 EF 的中点 O,则 O 就是球心, 则其外接球的半径为 OA1,又设 D 为 A1C1 中点,在直角三角形 EDA1 中,EA1= 在直角三角形 OEA1 中,OE= ,由勾股定理 =





球的表面积为 故答案为: .



【点评】本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力. 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

11 页

17. (12 分) (2016?太原三模)已知 a、b、c 分别是△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边,且 2asin(C+ = b. (1)求角 A 的值: (11)若 AB=3,AC 边上的中线 BD 的长为 ,求△ABC 的面积. 【分析】 (1)利用正弦定理,结合和角的正弦公式,即可求角 A 的值: (2)若 AB=3,AC 边上的中线 BD 的长为 ,求出 AC,再求△ABC 的面积. 【解答】解: (1)∵2asin(C+ ∴2sinAsin(C+ )= )= b,



sin(A+C) , cosAsinC,

∴sinAsinC+ sinAcosC= sinAcosC+ ∴sinAsinC= cosAsinC, ∴tanA= , ∴A=60°; (2)设 AC=2x, ∵AB=3,AC 边上的中线 BD 的长为 2 ∴13=9+x ﹣2×3×x×cos60°, ∴x=4, ∴AC=8, ∴△ABC 的面积 S= =6





【点评】本题考查正弦定理、余弦定理的运用,考查三角形面积的计算,考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题. 18. (12 分) (2015 秋?广东月考)已知各项均为正数的等比数列{an}的首项 a1=2,Sn 为其前 n 项和,且 2S3=5S1+3S2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=log2an,cn= ,记数列{cn}的前 n 项和 Tn,求
2

的最大值.

【分析】 (1)由等比数列的通项公式可知:2(a1+a1?q+a1?q )=5a1+2( (a1+a1?q) ,即可求得 q=2,求得数 列{an}的通项公式; (2)由(1)可知:bn=log2an=n,cn= 项和 Tn,由 = = = = ﹣ ,采用“裂项法”即可求得数列{cn}的前 n 的最大值.

,由基本不等式的性质即可求得

【解答】解: (1)∵2S3=5S1+3S2, 2 ∴2(a1+a1?q+a1?q )=5a1+2( (a1+a1?q) ,…(1 分) 2 整理得:2q ﹣q﹣6=0 …(2 分) 解得:q=2 或 q=﹣ …(3 分)

∵数列{an}的各项均为正数, ∴q=﹣ 不合题意…(4 分)

12 页

∴{an}的通项公式为:an=2 ;…(5 分) (2)由(1)可知:bn=log2an=n,…(6 分) ∴cn= = = ﹣ ,…(7 分)

n

∴数列{cn}的前 n 项和 Tn=c1+c2+…+cn, =(1﹣ )+( ﹣ )+…+(﹣ =1﹣ = , …(8 分) = = ,…(9 分) ) ,

∵n+ +5≥2 ∴ ≤

+5=9,当且仅当 n= ,即 n=2 时等号成立…(10 分) …(11 分)

的最大值是 .…(12 分) 【点评】本题考查等比数列的通项公式及性质,考查“裂项法”求数列的前 n 项和,基本不等式的应用,考 查计算能力,属于中档题. 19. (12 分) (2016?河南模拟)如图,直角梯形 ABCD 与等腰直角三角形 ABE 所在的平面互相垂直.AB ∥CD,AB⊥BC,AB=2CD=2BC,EA⊥EB. (1)求直线 EC 与平面 ABE 所成角的余弦值; (2)线段 EA 上是否存在点 F,使 EC∥平面 FBD?若存在,求出 ;若不存在,说明理由.

【分析】 (1) 由已知可得 BC⊥平面 ABE, 则∠CEB 即为直线 EC 与平面 ABE 所成的角, 设 BC=a, 则 AB=2a, BE= a,可求 CE= a,直角三角形 CBE 中,即可求得 sin∠CEB= 的值,进而可求直线 EC 与平面

ABE 所成角的余弦值. (2)连结 AC,交 BD 于点 M,在 AE 上取点 F,使 明 EC∥平面 FBD,从而可得点 F 满足 = ,连结 MF、BF、DF,证明 FM∥EC,即可证

= 时,有 EC∥平面 FBD.

【解答】解: (1)因为平面 ABE⊥平面 ABCD,且 AB⊥BC,
13 页

所以 BC⊥平面 ABE.…(1 分) 则∠CEB 即为直线 EC 与平面 ABE 所成的角 设 BC=a,则 AB=2a,BE= a, 所以 CE= a,…(3 分) 直角三角形 CBE 中,sin∠CEB= 可得: = =

…(2 分)

…(4 分)

…(5 分) . …(6 分)

即直线 EC 与平面 ABE 所成角的余弦值为 (2)存在点 F,且

= 时,有 EC∥平面 FBD. 证明如下:…(7 分) = ,连结 MF、BF、DF

连结 AC,交 BD 于点 M,在 AE 上取点 F,使 因为 AB∥CD,AB=2CD, 所以 所以 因为 ,…(8 分) ,…(9 分) = ,所以 FM∥EC…(10 分)

EC?平面 FBD, 所以 EC∥平面 FBD. 即点 F 满足 = 时,有 EC∥平面 FBD. …(12 分)

【点评】本题主要考查直线和平面所成角的计算,以及线面平行的判断,考查了空间想象能力和推理论证 能力,属于中档题.

20. (12 分) (2016 秋?天河区校级月考)已知椭圆

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(﹣3,0) ,

F2(3,0) ,直线 y=kx 与椭圆交于 A、B 两点. (Ⅰ)若三角形 AF1F2 的周长为 4 +6,求椭圆的标准方程; (Ⅱ)若|k|> ,且以 AB 为直径的圆过椭圆的右焦点,求椭圆离心率 e 的取值范围.

【分析】 (Ⅰ)由题意得

,解出即可得出.

14 页

(Ⅱ) 由

, 化为 ( b +a k ) x ﹣a b =0. 设A (x1, y1) , B (x2, y2) . 由 AF2⊥BF2, 可得

2

2 2

2

2 2

?

=0,

再利用根与系数的关系化简整理即可得出.
2 2

【解答】解: (Ⅰ)由题意得

,解得 a =12,b =3.

∴椭圆的方程为



(Ⅱ)由

,化为(b +a k )x ﹣a b =0.

2

2 2

2

2 2

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) . ∴x1+x2=0,x1x2= 易知,AF2⊥BF2, ∵ ∴ =(x1﹣3,y1) , ?
2



=(x2﹣3,y2) ,

=(x1﹣3) (x2﹣3)+y1y2
2

=(1+k )x1x2﹣3(x1+x2)+9=(1+k )x1x2+9=0. ∴ +9=0,

将其整理为 k =
2

2

=﹣1﹣



∵|k|> 解得 ∴离心率

,∴12<a <18, , .

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、圆的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、不等式的性 质,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
2

21. (12 分) (2014?甘肃一模)已知函数 f(x)=﹣x +2lnx,函数 f(x)与 g(x)=x (1)求函数 f(x)的最大值; (2)求实数 a 的值; (3)若? x1,x2∈[ ,3],不等式

有相同极值点.

≤1 恒成立,求实数 k 的取值范围.
15 页

【分析】 (1)求导函数,确定函数的单调性,从而可得函数 f(x)的最大值; (2)求导函数,利用函数 f(x)与 g(x)=x+ 有相同极值点,可得 x=1 是函数 g(x)的极值点,从而 可求 a 的值; (3)先求出 x1∈[ ,3]时,f(x1)min=f(3)=﹣9+2ln3,f(x1)max=f(1)=﹣1;x2∈[ ,3]时,g(x2)

min=g(1)=2,g(x2)max=g(3)=

,再将对于“x1,x2∈[ ,3],不等式

≤1 恒成立,

等价变形,分类讨论,即可求得实数 k 的取值范围. 【解答】解 (1)f′(x)=﹣2x+ =﹣2× (x>0) ,

由 f′(x)>0 得 0<x<1;由 f′(x)<0 得 x>1. ∴f(x)在(0,1)上为增函数,在(1,+∞)上为减函数. ∴函数 f(x)的最大值为 f(1)=﹣1. (2)∵g(x)=x+ ,∴g′(x)=1﹣ .

由(1)知,x=1 是函数 f(x)的极值点.又∵函数 f(x)与 g(x)=x+ 有相同极值点, ∴x=1 是函数 g(x)的极值点.∴g′(1)=1﹣a=0,解得 a=1. 经检验,当 a=1 时,函数 g(x)取到极小值,符合题意 (3)∵f( )=﹣ ∵﹣9+2ln3<﹣ ﹣2,f(1)=﹣1,f(3)=﹣9+2ln3,

﹣2<﹣1,即 f(3)<f( )<f(1) ,

∴? x1∈( ,3) ,f(x1)min=f(3)=﹣9+2ln3,f(x1)max=f(1)=﹣1. 由①知 g(x)=x+ ,∴g′(x)=1﹣ .

故 g(x)在[ ,1)时,g′(x)<0;当 x∈(1,3]时,g′(x)>0.故 g(x)在[ ,e)上为减函数, 在(1,3]上为增函数. ∵g( )=e+ ,g(1)=2,g(3)=3+ = ,而 2<e+ < ,∴g(1)<g( )<g(3) . .

∴? x2∈[ ,e],g(x2)min=g(1)=2,g(x2)max=g(3)=

?当 k﹣1>0,即 k>1 时,对于? x1,x2∈[ ,e],不等式

≤1 恒成立

?k﹣1≥[f(x1)﹣g(x2)]max?k≥[f(x1)﹣g(x2)]max+1. ∵f(x1)﹣g(x2)≤f(1)﹣g(1)=﹣1﹣2=﹣3,∴k≥﹣3+1=﹣2,又∵k>1,∴k>1. ?当 k﹣1<0,即 k<1 时,对于? x1,x2∈[ ,e],不等式 ?k﹣1≤[f(x1)﹣g(x2)]min?k≤[f(x1)﹣g(x2)]min+1. ∵f(x1)﹣g(x2)≥f(3)﹣g(3)=﹣9+2ln3﹣ =﹣
16 页

≤1 恒成立

+2ln3,

∴k≤﹣

+2ln3.又∵k<1,∴k≤﹣

+2ln3. +2ln3) )∪(1,+∞) .

综上,所求的实数 k 的取值范围为(﹣∞,﹣

【点评】本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查函数的最值,考查分类讨论的数学思想,属 于中档题. 选修 4-1:几何证明选讲 22. (10 分) (2015?新余二模)已知△ABC 中,AB=AC,D 是△ABC 外接圆上 重合) ,延长 BD 至 F. (1)求证:AD 延长线 DF 平分∠CDE; (2)若∠BAC=30°,△ABC 中 BC 边上的高为 2+ 上的点(不与点 A、C

,求△ABC 外接圆的面积.

【分析】 (1)根据 A,B,C,D 四点共圆,可得∠ABC=∠CDF,AB=AC 可得∠ABC=∠ACB,从而得解. (2) 设 O 为外接圆圆心, 连接 AO 并延长交 BC 于 H, 则 AH⊥BC. 连接 OC, 设圆半径为 r, 则 r+ 求出 r,即可求△ABC 外接圆的面积. 【解答】 (1)证明:如图,∵A,B,C,D 四点共圆,∴∠CDF=∠ABC. 又 AB=AC,∴∠ABC=∠ACB, 且∠ADB=∠ACB,∴∠ADB=∠CDF, 又由对顶角相等得∠EDF=∠ADB,故∠EDF=∠CDF, 即 AD 的延长线 DF 平分∠CDE.…(5 分) (2)解:设 O 为外接圆圆心,连接 AO 并延长交 BC 于 H,则 AH⊥BC.连接 OC, 由题意∠OAC=∠OCA=15°,∠ACB=75°,∴∠OCH=60°, 设圆半径为 r,则 r+ r=2+ ,得 r=2,外接圆的面积为 4π.…(10 分) r=2+ ,

【点评】本题以圆为载体,考查圆的内接四边形的性质,考查等腰三角形的性质,考查外接圆的面积,属 于中档题. 选修 4-4:坐标系与参数方程 23. (2016?衡阳三模)已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴

为极轴,建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程是 ρ=
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(1)写出直线 l 的极坐标方程与曲线 C 的普通方程; (2)若点 P 是曲线 C 上的动点,求 P 到直线 l 的距离的最小值,并求出 P 点的坐标. 【分析】本题(1)可以先消参数,求出直线 l 的普通方程,再利用公式将曲线 C 的极坐标方程化成平面直 角坐标方程, (2)利用点到直线的距离公式,求出 P 到直线 l 的距离的最小值,再根据函数取最值的情况 求出 P 点的坐标,得到本题结论. 【解答】解: (1)∵ ,

∴x﹣y=1. ∴直线的极坐标方程为:ρcosθ﹣ρsinθ=1. 即 即 . ,






2



∴ρcos θ=sinθ, 2 ∴(ρcosθ) =ρsinθ 2 即曲线 C 的普通方程为 y=x . (2)设 P(x0,y0) , , ∴P 到直线的距离: . ∴当 ∴此时 ∴当 P 点为 时, , 时,P 到直线的距离最小,最小值为 . ,

【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为平面直角坐标方程、点到直线的距离公式, 本题难度不大,属于基础题. 选修 4-5:不等式选讲 24. (2016?河南模拟)设函数 f(x)=|x﹣1|+ |x﹣3|. (1)求不等式 f(x)>4 的解集; (2)若不等式 f(x) 的解集非空,求实数 a 的取值范围.

【分析】 (1)根据绝对值的性质表示成分段函数形式,进行解不等式即可. (2)设 ,利用数形结合进行求解即可.
18 页

【解答】解: (1)函数 f(x)=

,…(3 分)

若 x≥3,由 f(x)>4 得 x﹣ >4,得 x>



若 1<x<3,由 f(x)>4 得 x+ >4,得 x>7,此时 x 无解, 若 x≤1,由 f(x)>4 得﹣ x+ >4,得 x<﹣1,此时 x<﹣1, 综上 f(x)>4 的解集为(﹣∞,﹣1)∪( (2)设 ,g(x)表示过点 的解集非空, 即 y=f(x)的图象在 g(x)图象下方有图象, 或与 g(x)图象有交点,…(7 分) 当 当 结合图象可知 经过点 A(3,2)时, (3+ )a=2,得 a= , ,与 y=﹣ x+ 平行时,a=﹣ , …(10 分) ,+∞)…(5 分) ,斜率为 a 的直线,…(6 分)

【点评】本题主要考查绝对值不等式的求解,以及不等式恒成立问题,利用数形结合是解决本题的关键.

19 页

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