当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学第28讲(必修4)两角和与差及二倍角的三角函数5


第28讲
两角和与差及二倍角的三角函数

1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦 公式. 2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的 正弦、正切公式. 3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的 正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、 余弦、正切公式,了解它们的内在联系. 4.熟练应用公式进行化简、求值、证明.

1.cos15°+sin75°=

6? 2 2

.

原式=cos(45°-30°)+sin(45°+30°)

=
=

6? 2 4 6? 2 . 2

+

6? 2 4

a1 a2 2.定义运算: a3 a4

=a1a4-a2a3, 1 .



sin15 ? cos15 sin105 cos75

=

原式=sin15°cos75°+sin105°cos15° =sin15°cos75°+sin75°cos15° =sin(15°+75°)=1.

? 3 ? 3.已知α∈( ,π),sinα= ,则tan(α+ )等于 5 2 4 ( A ) 1 1 A. B.7 C.D.-7 7 7 3 ? 因为α∈( ,π),sinα= , 5 2 4 sin ? 3 所以cosα=- ,tanα= =. 5 cos ? 4 ? 1 ? tan ? 所以tan(α+ )= 4 1 ? tan ? 3

=

4 3 1? 4

1?

.故选A.

1 4.已知cos2α= 2,其中α∈(-

sinα的值为( B)
1 A. 2 1 B.- 2

? ,0),则 4

3 3 C. 2 D.- 2
1 ,解得sinα=± 2 1 1 . 2

? 又α∈(- ,0),所以sinα=4

cos2α=1-2sin2α=

.

2

5.cos215°-cos275°+
5 3 A.6 C.- 2 4

2 tan15 1 ? tan 2 15

=( B )

5 3 B. 6 D. 2 4

原式=cos215°-sin215°+tan30° =cos30°+tan30°=
3 3 + = 5 3 . 2 3 6

1.两角和与差的三角函数公式 sinαcosβ±cosαsinβ sin(α±β)=① cos(α±β)=②
tan(α±β)=③ cosαcosβ sinαsinβ
tan ? ? tan ? . 1 tan ? tan ?

.

.

2.二倍角公式 2sinαcosα 2α-sin2α cos cos2α=⑤ 2sin2α. tan2α=⑦
sin2α=④ .
2 tan ? 1 ? tan 2 ?

=⑥

2cos2α-1 =1.

3.辅助角公式

asinα±bcosα=⑧ b 其中tanφ= . a acosα±bsinα=⑨ b 其中tanφ= . a 4.降幂公式
cos2α=⑩ sin2α=
11

a ? b sin(α±φ) ,
2 2

a ? b cos(α φ) ,
2 2

1 ? cos 2? 2 1 ? cos 2? 2

. .

典例精讲
题型一 给值求值 例1已知α为第二象限角,sinα=
第一象限角, cosβ=
5 ,求 tan(2α+β) 的 13

3 ,β为 5

值.

分析 先求出tanα、tanβ,再由二倍角公式
得tan2α,由两角和公式得tan(2α+β).

3 因为α为第二象限角,sinα= ,

则cosα=- 4,所以tanα=5

2 tan ? 24 所以tan2α= =. 2 1 ? tan ? 7 12 又β为第一象限角,cosβ= , 13 12 12 则sinβ= 13,所以tanβ= .5 tan 2? ? tan ? 所以tan(2α+β)= 1 ? tan 2? .tan ? 24 12 1? ? 7 5 = - 36 . = 24 12 323 1? ?
7 5

3 . 4

5

点评( 1 )给值求值,需探明路径,沟通
“目标角”与“已知角”,再逐步求值逼 近;如2α+β可看成α的2倍与β的和,也可以 看成是( α+β)+α 等,求解过程不一,但结 果肯定相同. (2)给值求值,如需用平方关系,切 记考察角的范围或分类讨论所在象限.

题型二 化简求值
例2
求[2sin50°+sin10°(1+ 3 tan10°)]· 2sin2 80 的值.

分析50°, 10°, 80°都不是特殊角,
但它们的和 60°,90°都是特殊角,因此 展开巧配和角公式得值,其中 3=tan60° 也可产生特殊角.

(方法一)切化弦,巧用 3 . sin 60 sin10 ? 原式=[2sin50°+sin10°(1+ )]· cos 60 cos10 2 2sin 80 cos 50 =[2sin50°+sin10°× 1 cos10 ]· 2 |sin80°| = 2sin 50 ? cos10 ? 2sin10 ? cos 50 · 2 cos10° =2sin60°× 2 = 6.
cos10
2

(方法二)切化弦,用辅助角公式.
cos10 ? 3 sin10 原式=[2sin50°+sin10°× ]· cos10
1 3 2sin 80 2( cos10 ? sin10 ) 2 =[2sin50°+sin10°× 2 ·
2

2 |sin80°|

cos10

=…(同上) =

6.

(方法三)巧拆角、细约分. 原式=[2sin(60°-10°)+sin10°× (1+ 3 sin10 )]· 2 cos10° = 2 ( 3 cos10°-sin10°+sin10°+ = 2 ( 3 cos210°+ 3 sin210°)
cos10
3 sin 2 10 cos10

)· cos10°

= 6.

点评 化简求值,当题中没有特殊角时,
常通过恒等变形生成特殊角,或在题中 通过约分消去非特殊角,或将非特殊角 用规律角表示,隐去非特殊角,从而得 值,即“生成 ——约去 ——抵消”三步 曲.

cos 40 求 变式

? sin 50 (1 ? 3 tan10 )

sin 70 1 ? cos 40

的值.

=

sin 60 sin10 因为1+ 3 tan10°=1+ cos 60 ? cos10 cos 60 cos10 ? sin 60 sin10 = 2 cos 50 . cos 60 cos10 cos10
2sin 50 cos 50 cos 40 ? cos10 cos 20 ? 2 cos 20

所以原式= = =
cos 40 ? 1 2 cos 2 20 2 cos 2 20 2 cos 2 20

= 2 .

题型三 变形求角或求值
? 例3 已知α∈( , ? ), 4 2 ? ? 1 cos( +2α)· cos( -2α)= . 4 4 4 (1)求α的值; 1 2 (2)求2sin α+tanα-1的值. tan ?

? ? ? 分析(1)因为( 4 +2α)+( 4-2α)= ,整体 2 代换、异角化同角,根据整体范围求角;

(2)切化弦,用公式2sin2α-1=-cos2α,迅速向 已知靠拢.

? ? (1)由cos( +2α)cos( -2α) 4 4 ? ? =sin( -2α)cos( -2α) 4 4 1 ? = sin( -4α) 2 2 1 1 = cos4α= , 4 2 1 ? ? 可得cos4α= .又α∈( , ),则4α∈(π,2π).因此 2 4 2 5? α= 4α= ,所以 . 5? 12 3

(2)2sin2α+tanα=
sin ? cos ?

-

cos ? sin ?

1 -1 tan ?

-(1-2sin2α)

sin 2 ? ? cos 2 ? = -cos2α sin ? cos ? 2 cos 2? =- 欲求角,常变形或构造求出某一角的 -cos2α 点评 sin 2? 三角函数值,再根据范围得角;条件等式下 5? 2 cos 的求值,常将条件、结论均化简,寻找切合 5? 6 cos = 5 ? 6 . 点,从而代值得值 sin 6 = 5 3. 2

方法提炼
1.准确选用两角和与差及二倍角公式的关 键是观察、分析角之间的和、差与二倍关系,
? 同时应注意角之间的差别是 的整数倍时仍可 2

运用和、差公式与二倍角公式进行三角恒等式
变形,最后运用诱导公式实现目标解决.

2.角的变换常见途径有:α=(α+β)-β, 2α=
( α+β ) + ( α-β ), α=2·

用”“逆用”“变形用”.

? 等 . 对公式会“正 2

3.常见变换公式有:cos2α= sin2α=
1 ? cos 2? ,tanα±tanβ= 2

1 ? cos 2? , 2

tan(α±β)(1

tanα· tanβ)等.

4.三角函数求值的常见题型有两类:给角

求值和给式求值.

课后再做好复习巩固.
谢谢!

再见!
王新敞 特级教师 源头学子小屋
http://wxc.833200.com wxckt@126.com

新疆奎屯
· 2007·

王新敞
奎屯

新疆


相关文章:
更多相关标签: