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2010年全国高中数学联赛试题及解答


2010 年全国高中数学联赛一试试题 参考答案及评分标准(B 卷)
说明: 1. 评阅试卷时,请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档;其 他各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他 中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在 评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中第 9 小题 4 分 为一个档

次, 10、 小题 5 分为一个档次, 第 11 不要增加其他中间档次。

一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分) 1. 函数 f ( x) ?
x ? 5 ? 24 ? 3x 的值域是 [?3, 3 ] .

解: 易知 f (x) 的定义域是 ?5,8?, f (x) 在 ?5,8?上是增函数, 且 从而可知 f (x) 的 值域为 [?3,
3] .

2. 已知函数 y ? (a cos2 x ? 3) sin x 的最小值为 ? 3 ,则实数 a 的取值范围是
? 3 ? a ? 12 . 2

解:令 sin x ? t ,则原函数化为 g (t ) ? (?at 2 ? a ? 3)t ,即
g (t ) ? ?at 3 ? (a ? 3)t .



? at 3 ? (a ? 3)t ? ?3 ,
1

? at(t 2 ? 1) ? 3(t ? 1) ? 0 ,

(t ? 1)(?at(t ? 1) ? 3) ? 0 ? at(t ? 1) ? 3 ? 0

及 t ?1 ? 0 知
a(t 2 ? t ) ? ?3



(1)

当 t ? 0,?1 时(1)总成立; 对 0 ? t ? 1,0 ? t 2 ? t ? 2 ; 对 ? 1 ? t ? 0,? 1 ? t 2 ? t ? 0 .
4

从而可知 3. 双曲线 x 2 ? y 2

?

3 ? a ? 12 . 2

? 1 的右半支与直线 x ? 100 围成的区域内部(不含边界)

整点(纵横坐标均为整数的点)的个数是 9800 . 解:由对称性知,只要先考虑 x 轴上方的情况,设 y ? k (k ? 1,2,?,99) 与双 曲线右半支于 Ak ,交直线 x ? 100 于 Bk ,则线段 Ak Bk 内部的整点的个数为
99 ? k ,从而在 x 轴上方区域内部整点的个数为

? (99 ? k ) ? 99 ? 49 ? 4851 .
k ?1

99

又 x 轴上有 98 个整点,所以所求整点的个数为
2 ? 4851 ? 98 ? 9800 .

4. 已 知 {a n } 是 公 差 不 为

0

的 等 差 数 列 , {bn } 是 等 比 数 列 , 其 中 使得对每一个正整数 n 都有

a1 ? 3, b1 ? 1, a 2 ? b2 ,3a5 ? b3 ,且存在常数 ? , ? a n ? log ? bn ? ? ,则 ? ? ? ?
3

3 ?3.

解:设 {a n } 的公差为 d ,{bn } 的公比为 q ,则
3 ? d ? q,
3(3 ? 4d ) ? q 2 ,

(1) (2)

(1)代入(2)得
2

9 ? 12d ? d 2 ? 6d ? 9 ,求得 d ? 6, q ? 9 .

从而有 即 从而 求得

3 ? 6(n ? 1) ? log ? 9 n ?1 ? ?

对一切正整数 n 都成立,

6n ? 3 ? (n ? 1) log? 9 ? ?

对一切正整数 n 都成立. ,

log? 9 ? 6,?3 ? ? log? 9 ? ?

? ? 3 3, ? ? 3 , ? ? ? ? 3 3 ? 3 .

5. 函数 f ( x) ? a 2 x ? 3a x ? 2(a ? 0, a ? 1) 在区间 x ? [?1,1] 上的最大值为 8,则它 在这个区间上的最小值是 解:令 a x
? 1 4

.

3 ? y, 则原函数化为 g ( y) ? y 2 ? 3 y ? 2 , g ( y ) 在 (? ,+?) 上是递增的. 2

当 0 ? a ? 1 时, y ? [a, a ?1 ] ,
g ( y)max ? a ?2 ? 3a ?1 ? 2 ? 8 ? a ?1 ? 2 ? a ? 1 , 2

所以 当

1 1 1 g ( y) min ? ( ) 2 ? 3 ? ? 2 ? ? ; 2 2 4

a ? 1 时, y ? [a ?1 , a] ,
g ( y) max ? a 2 ? 3a ? 2 ? 8 ? a ? 2 ,

所以

g ( y ) min ? 2 ?2 ? 3 ? 2 ?1 ? 2 ? ?

1 . 4
1 4

综上 f (x) 在 x ? [?1,1] 上的最小值为 ? . 6. 两人轮流投掷骰子,每人每次投掷两颗,第一个使两颗骰子点数和 大于 6 者为胜,否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 解:同时投掷两颗骰子点数和大于 6 的概率为 获胜概率为
7 5 7 5 7 ? ( )2 ? ? ( )4 ? ? ? 12 12 12 12 12
12 . 17

21 7 ,从而先投掷人的 ? 36 12

3

?

7 ? 12

1 12 . ? 25 17 1? 144

7. 正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的 9 条棱长都相等, P 是 CC1 的中点,二面角
B ? A1 P ? B1 ? ? ,则 sin ? ?
10 4

.

解一:如图,以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 中点 O 为原点, OC 所在 直线为 y 轴,建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为 2,则
B(1,0,0), B1 (1,0,2), A1 (?1,0,2), P(0, 3,1) ,从而,

BA1 ? (?2,0,2), BP ? (?1, 3,1), B1 A1 ? (?2,0,0), B1 P ? (?1, 3,?1) .

设分别与平面
n ? ( x 2 , y 2 , z 2 ) ,则

BA1 P

、平面

B1 A1 P

垂直的向量是
z A1

m ? ( x1 , y1 , z1 )



?m ? BA1 ? ?2 x1 ? 2 z1 ? 0, ? ? ?m ? BP ? ? x1 ? 3 y1 ? z1 ? 0, ? ?n ? B1 A1 ? ?2 x2 ? 0, ? ? ?n ? B1 P ? ? x2 ? 3 y 2 ? z 2 ? 0, ?

C1 B1 P A O C B y

由此可设 所以 即

m ? (1,0,1), n ? (0,1, 3 ) ,

?? ? ?? ? m ? n ? m ? n cos ?


6 4

x

3 ? 2 ? 2 cos ? ? cos ? ? 10 4

.

所以

sin ? ?

.
A1 C1 E B1

解二:如图, PC ? PC1 , PA1 ? PB . 设 A1 B 与 AB1 交于点 O, 则
OA1 ? OB, OA ? OB1 , A1B ? AB1 因为 PA ? PB1 , 所以 PO ? AB1 ,

.

O A

P

C
4

B

从而 AB1 ? 平面 PA1 B . 过 O 在平面 PA1 B 上作 OE ? A1 P ,垂足为 E . 连结 B1 E ,则 ?B1 EO 为二面角 B ? A1 P ? B1 的平面角. 设 AA1 ? 2 ,则易求得
PB ? PA1 ? 5 , A1O ? B1O ? 2 , PO ? 3 .

在直角 ?PA1O 中, A1O ? PO ? A1 P ? OE , 即 又
2 ? 3 ? 5 ? OE ,? OE ? 6 5

.
6 4 5 ? . 5 5

B1O ? 2 ,? B1 E ? B1O 2 ? OE 2 ? 2 ?
B1O 2 10 ? ? B1 E 4 5 4 5

sin ? ? sin ?B1 EO ?

.

8. 方程 x ? y ? z ? 2010 满足 x ? y ? z 的正整数解 x,y,z) ( 的个数是 336675 . 解:首先易知 x ? y ? z ? 2010 的正整数解的个数为
2 C 2009 ? 2009 ? 1004 .

把 x ? y ? z ? 2010 满足 x ? y ? z 的正整数解分为三类: (1) x, y, z 均相等的正整数解的个数显然为 1; (2) x, y, z 中有且仅有 2 个相等的正整数解的个数,易知为 1003; (3)设 x, y, z 两两均不相等的正整数解为 k . 易知
1 ? 3 ?1003 ? 6k ? 2009 ?1004 , 6k ? 2009 ?1004 ? 3 ?1003 ? 1 ? 2006 ?1005 ? 2009 ? 3 ? 2 ? 1 ? 2006 ?1005 ? 2004 , k ? 1003 ? 335 ? 334 ? 335671 .

从而满足 x ? y ? z 的正整数解的个数为

5

1 ? 1003 ? 335671 ? 336675 .

二、解答题(本题满分 56 分) 9. 本小题满分 16 分) ( 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) , 0 ? x ? 1 时, 当
f ?( x) ? 1 ,试求 a 的最大值.

解一: 由

f ?( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? c,
? f ?(0) ? c, ? 1 3 ? ? f ?( ) ? a ? b ? c, 4 ? 2 ?(1) ? 3a ? 2b ? c ?f ?



(4 分) (8 分)

1 3a ? 2 f ?(0) ? 2 f ?(1) ? 4 f ?( ) . 2

所以 3 a

1 ? 2 f ?(0) ? 2 f ?(1) ? 4 f ?( ) 2 1 ? 2 f ?(0) ? 2 f ?(1) ? 4 f ?( ) 2

?8,

a?

8 . 3

(12 分)

又易知当 f ( x) ?

8 3 x ? 4 x 2 ? x ? m ( m 为常数)满足题设条件, 3 8 所以 a 最大值为 . (16 分) 3

解二: f ?( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? c . 设 g ( x) ? 设
f ?( x) ? 1 ,则当 0 ? x ? 1 时, 0 ? g ( x) ? 2 .

z ?1 ,?1 ? z ? 1. 2 z ? 1 3a 2 3a ? 2b 3a h( z ) ? g ( )? z ? z? ? b ? c ?1. 2 4 2 4

z ? 2x ? 1 ,则 x ?

(4 分) (8 分)

容易知道当 ?1 ? z ? 1 时, 0 ? h( z) ? 2,0 ? h(? z) ? 2 . 从而当 ?1 ? z ? 1 时, 0 ? 即
0?
h( z ) ? h( ? z ) ?2 2



3a 2 3a z ? ? b ? c ?1 ? 2, 4 4

6

3a 3a ? b ? c ?1 ? 0, z2 ? 2 , 4 4 由 0 ? z 2 ? 1知 a ? 8 . (12 分) 3 又易知当 f ( x) ? 8 x 3 ? 4 x 2 ? x ? m( m 为常数)满足题设条件,所以 a 3 最大值为 8 . (16 分) 3

从而

10. (本小题满分 20 分) 已知抛物线 y 2 其中 x1 ? x 2 且 x1 ? x2 积的最大值.

? 6 x 上的两个动点 A( x1 , y1 )和B( x2 , y2 ) ,

? 4 .线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 C ,求 ?ABC 面

解一:设线段 AB 的中点为 M ( x0 , y 0 ) ,则
x0 ? x1 ? x2 y ? y2 ? 2, y 0 ? 1 2 2

, .

k AB ?

y 2 ? y1 y ? y1 6 3 ? 22 ? ? 2 x 2 ? x1 y 2 ? y1 y 0 y 2 y1 ? 6 6

线段 AB 的垂直平分线的方程是
y ? y0 ? ? y0 ( x ? 2) . 3

(1)

易知 x ? 5, y ? 0 是(1)的一个解,所以线段 AB 的垂直平分线与 x 轴 的交点 C 为定点,且点 C 坐标为 (5,0) . 由(1)知直线 AB 的方程为
y ? y0 ?

(5 分)

y 3 ( x ? 2) ,即 x ? 0 ( y ? y 0 ) ? 2 . y0 3
? 6x 得

(2)

(2)代入 y 2

2 y 2 ? 2 y 0 ( y ? y 0 ) ? 12 ,即 y 2 ? 2 y 0 y ? 2 y 0 ? 12 ? 0 .(3)

依题意, y1 , y 2 是方程(3)的两个实根,且 y1 ?
7

y 2 ,所以

2 2 2 ? ? 4 y0 ? 4(2 y0 ? 12) ? ?4 y0 ? 48 ? 0 ,

? 2 3 ? y0 ? 2 3 .
AB ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2
y A

? (1 ? (

y0 2 ) )( y1 ? y 2 ) 2 3
B

2 y0 ? (1 ? )[( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ] 9 2 y0 2 2 )( 4 y 0 ? 4(2 y 0 ? 12)) 9

O

C(5,0)

x

? (1 ?

?

2 2 2 (9 ? y 0 )(12 ? y 0 ) 3

.

定点 C(5,0) 到线段 AB 的距离
2 h ? CM ? (5 ? 2) 2 ? (0 ? y 0 ) 2 ? 9 ? y 0

.

(10 分)

S ?ABC ?
?

1 1 2 2 2 AB ? h ? (9 ? y 0 )(12 ? y0 ) ? 9 ? y 0 2 3
1 1 2 2 2 (9 ? y 0 )( 24 ? 2 y 0 )(9 ? y 0 ) 3 2

?

2 2 2 1 1 9 ? y 0 ? 24 ? 2 y 0 ? 9 ? y 0 3 ( ) 3 2 3

?

14 7 3

.
2 ? 24 ? 2 y 0 ,即

(15 分)

当且仅当 9 ? y02
y0 ? ? 5 , A(

6 ? 35 6 ? 35 , 5 ? 7), B( , 5 ? 7) 或 3 3

A(

6 ? 35 6 ? 35 , ?( 5 ? 7)), B( , ? 5 ? 7) 时等号成立. 3 3





?ABC















14 7 3

.

(20 分) 解二:同解一,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点 C 为定点,且点 C 坐
8

标为 (5,0) . 设 x1 ? t12 , x2
5 1 2 S ?ABC ? t1 2 2 t2
2 2 ? t 2 , t1 ? t 2 , t12 ? t 2 ? 4 ,则

(5 分)

0 6t1

1

1 的绝对值,

(10 分)

6t 2 1

1 2 2 S ?ABC ? ( (5 6t1 ? 6t12 t 2 ? 6t1t 2 ? 5 6t 2 )) 2 2 3 ? (t1 ? t 2 ) 2 (t1t 2 ? 5) 2 2 3 ? (4 ? 2t1t 2 )(t1t 2 ? 5)(t1t 2 ? 5) 2 3 14 ? ( )3 , 2 3 14 S ?ABC ? 7, 3

(15 分)

当且仅当 (t1 ? t 2 ) 2 即 t1 ?
A(
7? 5 6

2 ? t1t 2 ? 5 且 t12 ? t 2 ? 4 ,

, t2 ? ?

7? 5 6

, A(

6 ? 35 6 ? 35 , 5 ? 7), B( , 5 ? 7) 或 3 3

6 ? 35 6 ? 35 , ?( 5 ? 7)), B( , ? 5 ? 7) 时等号成立. 3 3

所以 ?ABC 面积的最大值是

14 7. 3

(20 分)
a2 1 , a n ?1 ? 2 n (n ? 1,2,?) . 3 an ? an ? 1

11.(本小题满分 20 分)数列 ?a n ?满足 a1 ? 求证:
1 1 1 1 ? 2n ?1 ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? ? 2n 2 3 2 3
2 an 2 an ? an ? 1

.

(1)

证明:由 a n ?1 ?
1 a n ?1



1 a n ?1

?

1 1 ? ?1, 2 an an

?1 ?

1 1 ( ? 1) . an an

(2)

所以

an ?1 a2 a ? n ? n ? an , 1 ? an ?1 1 ? an 1 ? an

9

即 从而
?

an ?

an a ? n ?1 . 1 ? an 1 ? an ?1

(5 分)

a1 ? a 2 ? ? ? a n

a a a a1 a a ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 1 ? a1 1 ? a 2 1 ? a 2 1 ? a3 1 ? a n 1 ? a n ?1

?

a a a1 1 ? n ?1 ? ? n ?1 1 ? a1 1 ? a n ?1 2 1 ? a n ?1

.

所以(1)等价于
a 1 1 1 1 1 ? 2n ?1 ? ? n ?1 ? ? 2n 2 3 2 1 ? a n ?1 2 3

, (3) 知
a2 ? 1 7

即 由 a1 ?
1 3

32

n ?1

?

n 1 ? a n ?1 ? 32 a n ?1

.

(10 分)



a n ?1 ?

2 an 2 an ? an ? 1

.

当 n ? 1时 ,

1?1 1 1 ? a2 ? 6 , 32 ? 6 ? 32 a2



即 n ? 1 时, (3)成立. 设 n ? k (k ? 1) 时, (3)成立,即 当 n ? k ? 1时,由(2)知
k 1 ? ak ?2 1 ? a k ?1 2 1 1 ? a k ?1 ? ( )?( ) ? 32 ; ak ?2 a k ?1 a k ?1 a k ?1

32

k ?1

?

k 1 ? a k ?1 ? 32 . a k ?1

(15 分)

又由(2)及 a1 ? 从而由 所以

1 3

知 有

1 ? an (n ? 1) 均为整数, an
k 1 ? a k ?1 ? 32 ? 1 a k ?1

k 1 ? a k ?1 ? 32 a k ?1



1 a k ?1

? 32

k



k k k ?1 1 ? ak ?2 1 1 ? a k ?1 ? ? ? 32 ? 32 ? 32 ak ?2 a k ?1 a k ?1



10

即(3)对 n ? k ? 1也成立.所以(3)对 n ? 1的正整数都成立, 即(1)对 n ? 1的正整数都成立.(20 分)

2010 年全国高中数学联合竞赛加试 试题参考答案及评分标准(B 卷)
说明: 1. 评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在 评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,10 分为一个档次,不要 增加其他中间档次。

一、 (本题满分 40 分) 如图,锐角三角形 ABC 的外心为 O,K 是边 BC 上一点(不是边

BC 的中点) D 是线段 AK 延长线上一点,直线 BD 与 AC 交于点 N, ,
直线 CD 与 AB 交于点 M.求证:若 OK⊥MN,则 A,B,D,C 四点共 圆. 证明:用反证法.若 A, B, D , C 不四点共圆,设三角形 ABC 的外接圆与
A

AD 交于点 E, 连接 BE 并延长交直线 AN
于点 Q,连接 CE 并延长交直线 AM 于 点 P,连接 PQ.
M P B

O

EK D

C

Q

N

11

因为 PK 2 ? P 的幂(关于⊙O) ? K 的幂(关于⊙O)
? ? PO 2 ? r 2 ? ? ? KO 2 ? r 2 ? ,

同理 所以 故

QK 2 ? ? QO 2 ? r 2 ? ? ? KO 2 ? r 2 ? ,

PO2 ? PK 2 ? QO2 ? QK 2 ,

OK ⊥ PQ .

(10 分)

由题设,OK⊥MN,所以 PQ∥MN,于是
AQ AP ? QN PM





由梅内劳斯(Menelaus)定理,得
NB DE AQ ? ? ? 1, BD EA QN

② ③

MC DE AP ? ? ? 1. CD EA PM

由①,②,③可得
NB MC , ? BD CD

(30 分)

所以

ND MD ,故△DMN ? BD DC

∽ △DCB,于是 ?DMN ? ?DCB ,所以 BC∥MN, (40

故 OK⊥BC,即 K 为 BC 的中点,矛盾!从而 A, B, D, C 四点共圆. 分)

注 1:PK 2 ? P 的幂(关于⊙O) ? K 的幂(关于⊙O) “ ”的证明:延长

PK 至点 F,使得
PK ? KF ? AK ? KE ,



则 P,E,F,A 四点共圆,故
?PFE ? ?PAE ? ?BCE ,

从而 E,C,F,K 四点共圆,于是
12

PK ? PF ? PE ? PC ,



⑤-④,得

PK 2 ? PE ? PC ? AK ? KE

?P

的幂(关于⊙O) ? K 的幂(关于⊙O) .

注 2:若点 E 在线段 AD 的延长线上,完全类似.
A

O F B EK D P C

Q

N M

二、 (本题满分 40 分) 设 k 是给定的正整数, r ? k ? .记 f (1) (r ) ?
1 2
f ( f (l ?1) (r )), l ? 2 . 证明: 存在正整数
f (r ) ? r ? r ? , f (l ) (r ) ? ? ?

m, 使得 f ( m ) (r ) 为一个整数. 这里,? x ? ? ?
1? ? 1 , ?1? ? 1 . ?? ?2? ?

表示不小于实数 x 的最小整数,例如: ? ?

f 证明: v2 (n) 表示正整数 n 所含的 2 的幂次. 记 则当 m ? v2 (k ) ? 1 时, ( m ) (r )

为整数. 下面我们对 v2 (k ) ? v 用数学归纳法. 当 v ? 0 时, 为奇数, ? 1 为偶数, k 此时 f (r ) ? ? k ? k ?
? 1 ?? 1? ? 1? ? ? k ? ? ? ? k ? ? ? k ? 1? 2?? 2? ? 2?

为整数.
13

(10 分)

假设命题对 v ? 1(v ? 1) 成立. 对于 v ? 1 ,设 k 的二进制表示具有形式
k ? 2v ? ? v ?1 ? 2v ?1 ? ? v ? 2 ? 2v ? 2 ?? ,

这里, ?i ? 0 或者 1, i ? v ? 1, v ? 2, ?. 于是
1 ?? 1? ? 1? ? f (r ) ? ? k ? ? ? k ? ? ? ? k ? ? ? k ? 1? 2?? 2? ? 2? ?

(20 分)

1 k ? ? k2 ? k 2 2 1 ? ? 2v ?1 ? (? v ?1 ? 1) ? 2v ? (? v ?1 ? ? v ? 2 ) ? 2v ?1 ? ? ? 22v ? ? 2 1 ① ? k? ? , 2 ?

这里 k ? ? 2v?1 ? (? v?1 ? 1) ? 2v ? (? v?1 ? ? v?2 ) ? 2v?1 ? ? ? 22v ? ? . 显然 k ? 中所含的 2 的幂 次为 v ? 1.故由归纳假设知, r? ? k ? ? 1 经过 f 的 v 次迭代得到整数,由①
2

知, f ( v ?1) (r ) 是一个整数,这就完成了归纳证明. 三、 (本题满分 50 分)

(40 分)

给定整数 n ? 2 ,设正实数 a1 , a2 , ?, an 满足 ak ? 1, k ? 1, 2, ?, n ,记
Ak ? a1 ? a2 ? ? ? ak , k ? 1, 2, ?, n . k

求证:

? ak ? ? Ak ?
k ?1 k ?1

n

n

n ?1 . 2

证明:由 0 ? ak ? 1 知,对 1 ? k ? n ? 1 ,有
0 ? ? ai ? k ,
i ?1 k

0?

i ? k ?1

?a

n

i

? n?k .

(10 分)

注意到当 x, y ? 0 时,有 x ? y

? max ? x, y? ,于是对 1 ? k ? n ? 1 ,有

1 n ?1 1? k An ? Ak ? ? ? ? ? ai ? ? ai n i ? k ?1 ? n k ? i ?1 ? 1 n ?1 1? k ?1 ai ? ? k ? n ? ? ai n i ?k ? ? ? i ?1
14

?1 n ?1 1? k ? ? max ? ? ai , ? ? ? ? ai ? ? k n ? i ?1 ? ? n i ? k ?1 ?1 ?1 1? ? ? max ? (n ? k ), ? ? ? k ? ?k n? ? ?n

? 1?

k n


n

(30 分)



? ak ? ? Ak ? nAn ? ? Ak
k ?1 k ?1 k ?1

n

n

?

?? A
k ?1

n ?1

n

? Ak ? ? ? An ? Ak
k ?1

n ?1

n ?1 ? k ? n ?1 . ? ? ?1 ? ? ? n? 2 k ?1 ?

(50 分)

四、 (本题满分 50 分) 一种密码锁的密码设置是在正 n 边形 A1 A2 ? An 的每个顶点处赋值 0 和 1 两个数中的一个,同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一,使 得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同.问:该种密码 锁共有多少种不同的密码设置? 解:对于该种密码锁的一种密码设置,如果相邻两个顶点上所赋值 的数字不同,在它们所在的边上标上 a,如果颜色不同,则标上 b,如 果数字和颜色都相同,则标上 c.于是对于给定的点 A1 上的设置(共有 4 种) ,按照边上的字母可以依次确定点 A2 , A3 , ?, An 上的设置.为了使得 最终回到 A1 时的设置与初始时相同,标有 a 和 b 的边都是偶数条.所以 这种密码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标记 a,b,c,使 得 标 有 倍.
15

a



b

的 边 都 是 偶 数 条 的 方 法 数 的 (20 分)

4

设标有 a 的边有 2i 条, ? i ? ? n ? , 0 0 ? ? 标有 b 的边有 2 j 条, ?
?2?

? n ? 2i ? . 选 j?? ? 2 ? ?

取 2i 条边标记 a 的有 Cn2i 种方法,在余下的边中取出 2 j 条边标记 b 的有
2 Cn ?j2 i 种方法,其余的边标记

c.由乘法原理,此时共有 Cn2i Cn2?j2i 种标记方

法.对 i,j 求和,密码锁的所有不同的密码设置方法数为
4?
i ?0 ?n? ?2? ? ? ? n ? 2i ? ? ? ? ? ? 2i ? 2 ? 2 j ? ? Cn ? Cn ? 2 i ? . j ?0 ? ? ? ?

① (30 分)

这里我们约定 C00 ? 1 . 当 n 为奇数时, n ? 2 i ? 0 ,此时
? n ? 2i ? ? 2 ? ? ?

?
j ?0

2 Cn ?j2i ? 2n ? 2i ?1 .



代入①式中,得
4?
i ?0 ?n? ?2? ? ? ? n ? 2i ? ?n? ?n? ? ? ? 2 ? ?2? ?2? ? ? ? ? ? ? ? 2i 2j ? 2 i n ? 2 i ?1 C n ? C n ? 2 i ? ? 4? ? C n 2 ? ? 2? ? Cn2i 2n?2i ? ? j ?0 i ?0 i ?0 ? ? ? ?

k k ? ? Cn 2n ? k ? ? Cn 2n ?k (?1) k ? (2 ? 1) n ? (2 ? 1) n k ?0 k ?0

n

n

? 3n ? 1 .

(40 分)
n 2 n 2

当 n 为偶数时,若 i ? ,则②式仍然成立;若 i ? ,则正 n 边形的 所有边都标记 a,此时只有一种标记方法.于是,当 n 为偶数时,所有 不同的密码设置的方法数为
4?
i ?0 ?n? ?2? ? ? ? n ? 2i ? ? ? ? ? n ? ?1 ? ? ? ? ? ? 2i ? 2 ? 2 j ? ? ?2? 2 i n ? 2 i ?1 ? ?? ? C n ? C n ? 2 i ? ? 4 ? ? 1 ? ? ? Cn 2 j ?0 i ?0 ? ? ? ? ? ? ? ?

2 ? 2 ? 4? ? Cn i 2n ?2i ?1 ? ? 3n ? 3 . i ?0

?n? ?2? ? ?

16

综上所述, 这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是: n 为奇 当 数时有 3n ? 1 种;当 n 为偶数时有 3n ? 3 种. (50 分)

17


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