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吉林省长春市十一中2013-2014学年高一数学上学期期末考试试题 理 新人教B版


体验 探究 合作 展示

长春市十一高中 2013-2014 学年度高一上学期期末考试 数 学(理科) 试 题
本试卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题) ,满分 120 分,测试时间 120 分 钟。 第一部分(选择题) 一、选择题(每题 4 分,共 48 分) 1.设集合 A ={ x | A.{ x | x ? ?1 } C. ?

1 ? 2 x ? 2 }, B ={ x | lg x ? 0 },则 A ∪ B =( 2
B.{ x | ? 1 ? x ? 1 } D.{ x | ? 1 ? x ? 1 或 x ? 1 }

)

2. 已知函数 f ( x) 满足:当 x ? 4 时, f ( x) ? ? ? ;当 x ? 4 时, f ( x) ? f ( x ? 1) ,则

?1? ?2?

x

f (2 ? log2 3) ? (
A.
1 12

) B.
1 24

C.

1 8

D.

3 8

3.已知函数 f ( x ) ? sin( 2 x ?

?
6

) ,若存在 a ? (0, ? ) ,使得 f ( x ? a) ? f ( x ? a) 恒成立,则

a 的值是(
A.

) B.

? 6

? 3

C.

? 4

D.

? 2

π π 4.若 <θ < ,则下列不等式成立的是( ) 4 2 A.sin θ >cos θ >tanθ B.cos θ >tan θ >sin θ C.sin θ >tan θ >cos θ D.tan θ >sin θ >cos θ 5.若 f(sin x)=3-cos 2x,则 f(cos x)=( ) A.3-cos 2x B.3-sin 2x C.3+cos 2x D.3+sin 2x π? ? 6.为得到函数 y=cos?2x+ ?的图象,只需将函数 y=sin 2x 的图象( ) 3? ? 5π 5π A.向左平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度 12 12 5π 5π C.向左平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度 6 6 π? 2π ? 7.设函数 f(x)=Asin(ω x+φ ),?A≠0,ω >0,|φ |< ?的图象关于直线 x= 对称, 2? 3 ? 它的周期是 π ,则( ) 1 ? ? ? 5π 2π ? A.f(x)的图象过点?0, ? B.f(x)在? , ?上是减函数 3 ? ? 2? ? 12
1

?5π ,0? D.f(x)的最大值是 A ? ? 12 ? 8.在区间 ?? 2? ,2? ? 范围内,函数 y ? tan x 与函数 y ? sin x 的图象交点的个数为(
C.f(x)的一个对称点中心是? A.3 B.5 C.7 D.9

)

9.如图,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置 O 的距离 s (cm)和时间 t (s)的函数关 π? ? 系式为:s=6sin?2π t+ ?,那么单摆来回摆动一次所需的时间为( 6? ? A.2π s B.π s C.0.5 s )

D.1 s

10 .已知向量 a ? ?1,0? , b ? (cos? , sin ? ) , ? ? ?? , ? ,则 a ? b 的 ? 2 2? 取值范围是( ) A.[0, 2] B.[0, 2 ] C.[ 1 , 2 ] D.[ 2, 2 ] 11.若非零向量 a , b 满足| a |= | b |, (2a ? b) ? b ? 0 ,则 a 与 b 的夹角为( A. 30° B.60° C.120° D.150°

? ? ??

)

12.已知函数 f ( x) ? log4 x ,正实数 m 、 n 满足 m ? n ,且 f (m) ? f (n) ,若 f ( x) 在区 间[ m 5 , n ]上的最大值为 5 ,则 m 、 n 的值分别为( )

1 1 2 1 A. 、2 B. 、4 C. 、 2 D. 、4 2 4 2 2 二、填空题(每题4分,共16分) 13.若 a=(1,2),b=(3, -4),则 a 在 b 方向上的投影为________. π? ? 14.已知函数 f(x)=3sin?ω x- ?(ω >0)和 g(x)=2cos(2x+φ )+1 的图象的对称轴完 6? ? ? π? 全相同.若 x∈?0, ?,则 f(x)的取值范围是________. 2? ? 15.设向量 a 与 b 的夹角为 θ ,且 a=(3,3),2b-a=(-1,1),则 cosθ =________. 16.给出下列命题: ①函数 f(x)=4cos(2x+

? 5? )的一个对称中心为( ? ,0); 3 12

②已知函数 f(x)=min{sinx,cosx},则 f(x)的值域为[-1, ③若α 、β 均为第一象限角,且α >β ,则 sinα >sinβ .

2 ]; 2

π? ? ④f(x)=4sin?2x+ ?(x∈R),由 f(x1)=f(x2)=0 可得 x1-x2 是 π 的整数倍; 3? ? ⑤若 f(x)是 R 上的奇函数,它的最小正周期为 T,则 f(- 其中所有真命题的序号是______. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 56 分) 17.(10 分)设函数 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,若当 x ? (0,+?) 时, f ? x ?=lg x ,求满
2

T )=0. 2

足 f ? x ? ? 0 的 x 的取值范围.

18.(10 分)已知关于 x 的方程 4x -2(m+1)x+m=0 的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐 角的余弦,求实数 m 的值. 5π ? ?π 19.(12 分)已知某地一天从 4~16 时的温度变化曲线近似满足函数 y=10sin? x- ?+ 4 ? ?8 20,x∈[4,16]. (Ⅰ)求该地区这一段时间内温度的最大温差; (Ⅱ)若有一种细菌在 15°C 到 25°C 之间可以生存,那么在这段时间内,该细菌最多能生 存多长时间?

2

20. (12 分)已知点 A(1,0),B(0,1),C(2sinθ ,cosθ ). → → (Ⅰ)若|AC|=|BC|,求 tanθ 的值; → → → (Ⅱ)若(OA+2OB)?OC=1,其中 O 为坐标原点,求 sinθ ? cosθ 的值.

π 21.(12 分)已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )A>0 且 ω >0,0<φ < 的部分图象,如图所示. 2 (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式;

? 5π ? (Ⅱ)若方程 f(x)=a 在?0, ?上有两个不同的实根,试求 a 的取值范围. 3 ? ?

附加题(10 分) (计入总分) : 已知 1 ? cos? ? sin ? ? sin ? sin ? ? 0 , 1 ? cos? ? cos ? ? sin ? cos ? ? 0 ,

3

求 sin ? 的值。

1 D

2 B

3 D

4 D

5 C

6 A

7 C

8 B

9 D

10 D

11 C

12 B

长春市十一高中 2013-2014 学年度高一数学期末考试答案 一、选择题(本大题共 12 小题.每小题 4 分,共 48 分)

二、填空题(本题共 4 个小题。每小题 4 分,共 16 分) 3 10 ? 3 ? ; 14. ?- ,3? 15 ; 16.①②⑤。 2 10 ? ? 三、 解答题(总分 56 分) 17.(本小题满分 10 分). 解:∵ f ? x ? 是 R 上的奇函数,∴ f (-0)=-f ? 0 ? ,∴ f ? 0?=0 .设 x ? 0 , 13. ? 1 ;
?lg x( x ? 0), ? 则 -x ? 0 ,∴ f ? x ?=-f (-x)=-lg(-x) ,∴ f ? x ?= ?0( x ? 0), ,--------5 分 ? ? lg(? x)( x ? 0), ?

由 f ? x ? ? 0 得, ?

? x ? 0, ? x ? 0, 或? ∴ - 1 ? x ? 0 或 x ? 1 .-------10 分 ?lg x ? 0 ? ? lg( -x ) ? 0,

18.(本小题满分 10 分) 解:设直角三角形的两个锐角分别为α 、β ,则可得α +β =
2 2

? ,∴cosα =sinβ ?
2

∵方程 4x -2(m+1)x+m=0 中,Δ =4(m+1) -4?4m=4(m-1) ≥0 ∴当 m∈R,方程恒有两实根.

m ?1 m ,cosα ?cosβ =sinβ cosβ = 2 4 m m ?1 2 2 2 ∴由以上两式及 sin β +cos β =1,得 1+2? =( ) 解得 m=± 3 ----6 分 4 2
又∵cosα +cosβ =sinβ +cosβ = 当 m= 3 时,cosα +cosβ =

3 ?1 3 >0,cosα ?cosβ = >0,满足题意,--8 分 2 4 1? 3 <0,这与α 、β 是锐角矛盾,应舍去. 2

当 m=- 3 时,cosα +cosβ = 综上,m= 3 ----------10 分

19.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由函数易知,当 x=14 时函数取最大值,此时最高温度为 30°C,当 x=6 时函数 取最小值,此时最低温度为 10°C,所以最大温差为 30°C-10°C=20°C.------4 分

4

(Ⅱ) 令 10sin? 分

5π ? 1 26 ?π x-5π ?+20=15, ?π 得 sin? x- ?=- , 而 x∈[4,16], 所以 x= .---7 ? 4 ? 4 ? 2 3 ?8 ?8

5π ? 5π ? 1 34 ?π ?π 令 10sin? x- ?+20=25,得 sin? x- ?= ,而 x∈[4,16],所以 x= .------10 4 ? 4 ? 2 3 ?8 ?8 分 34 26 8 故该细菌能存活的最长时间为 - = (小时).-------12 分 3 3 3

20.(本小题满分 12 分) → → 解: (Ⅰ)∵A(1,0),B(0,1),C(2sinθ ,cosθ )∴AC=(2sinθ -1,cosθ ),BC=(2sinθ , → → 2 2 2 2 cosθ -1)∵|AC|=|BC|,∴ (2sinθ -1) +cos θ = (2sinθ ) +(cosθ -1) 化简得 2sinθ =cosθ ∵cosθ ≠0(若 cosθ =0,则 sinθ =±1,上式不成立) 1 所以 tanθ = ------------6 分 2 → → → → → (Ⅱ)∵OA=(1,0),OB=(0,1),OC=(2sinθ ,cosθ ),∴OA+2OB=(1,2) → → → ∵(OA+2OB)?OC=1,∴2sinθ +2cosθ =1 ∴sinθ +cosθ =

1 。 ---------------------------12 分 2

21.(本小题满分12分) 解: (Ⅰ)由图象易知函数 f(x)的周期为 T=4??

?7π -2π ?=2π ,A=1,所以 ω =1.-----3 分 ? 3 ? ? 6

π π 法一 由图可知此函数的图象是由 y=sin x 的图象向左平移 个单位得到的,故 φ = , 3 3

? π? 所以函数解析式为 f(x)=sin?x+ ?.-----------6 分 3? ?
π ? π ? ? π ? 法二 由图象知 f(x)过点?- ,0?.则 sin?- +φ ?=0,∴- +φ =kπ ,k∈Z. 3 ? 3 ? ? 3 ? π π ? π? ? π? ∴φ =kπ + ,k∈Z,又∵φ ∈?0, ?,∴φ = ,∴f(x)=sin?x+ ?. 2? 3? 3 3 ? ?

? 5π ? (Ⅱ)方程 f(x)= a 在?0, ?上有两个不同的实根等价于 y = f(x) 与 y =a 的图象在 3 ? ? ?0,5π ?上有两个交点, ? π ? ? 5π ? 在图中作 y=a 的图象, 如图为函数 f(x)=sin?x+ ?在?0, ?上 ? ? 3 ? 3? ? 3 ? ? ?
的图象,当 x=0 时,f(x)= 3 5π ,当 x= 时,f(x)=0,由图中可以看出有两个交点时,a 2 3

5

∈?

? 3 ? ,1?∪(-1,0).------12 分 ?2 ?

附加题(10 分) (计入总分) : 解:由条件得:sinα -1≠0 且 sinβ =
2

1 ? cos ? , 1 ? sin?
2

1 ? cos? ? 1 ? cos? ? ? 1 ? cos? ? w cos ? ? ? ? ?? ? ? 1. w 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? ? ? 1 ? sin ? ? w 1 2 . 化简得:3sin α -2sinα -3=0,解之:sinα = (1 ? 10 ) .
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3

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6


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