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等比数列答案


2.3.1 等比数列 课时作业 1 1.[答案] 2.[答案] B[解析] A[解析] 9 2 n- 1 1 2 8 2 · ( ) = ,∴( )n- 1 = =( )3 ∴n=4. 8 3 3 3 27 3 ∵{an}是等比数列,a1 +a2 =3,a2 +a3 =6,

∴设等比数列的公比为 q,则 a2 +a3 =(a1 +a2 )q=3q=6,∴q=

2. ∴a1 +a2 =a1 +a1 q=3a1 =3,∴a1 =1,∴a7 =a1 q =2 =64. 3.[答案] A[解析] a4 =a1 q3 =q3 =8,∴q=2,∴a5 =a4 q=16.
6 6

4.[答案] C[解析] m-k =(a5 +a6 )-(a4 +a7)=(a5 -a4 )-(a7 -a6 )=a4 (q-1)-a6 (q-1)=(q 2 2 -1)(a4 -a6)=(q-1)· a4· (1-q )=-a4 (1+q)(1-q) <0(∵an >0,q≠1). 5.[答案] B[解析] 设公比为 q,由已知得 a1 q2· a1 q8 =2(a1 q4)2 ,即 q2 =2, a 1 2 故 a1 = 2 = = ,故选 B. q 2 2 6 6 1 ∴a4 =a3 q= 2· =1. 2

因为等比数列{an }的公比为正数,所以 q= 2, 3 a2 2 6 1 ∵q= = = , a1 2 2

6.[答案] 7.[答案]

A[解析] A[解析]

1 2 由题意可得(a1 +2d) =a1(a1 +5d),∵a1 =2,∴d= , 2

∴Sn =2n+ 8.[答案]

n?n-1? 1 n2 7n × = + ,故选 A. 2 2 4 4 ∵an 为等比数列,且 a5 · a2 n -5 =22 n , ∴an 2 =22n ,

C[解析]

∵an >0,∴an =2n ,∴a2n -1 =22 n- 1. ∴log2 a1 +log2 a3 +…+log2 a2 n - 1 =1+3+5+…+(2n-1)=n2. 9.[答案] ∴ B[解析] ∵ 1+1 5+1 9+1 5+1 < < ,∴1< <2, 2 2 2 2 ∴{ 5+1 5+1 5+1 5+1 5-1 }= -[ ]= -1= , 2 2 2 2 2

? 5+1? ? 2 ?=1,∵{x}=x-[x],

∴?

? 5+1? ? 5+1? 5+1 5-1 5+1 ?, , ,即 ,1, , ? 2 ? ? 2 ? 2 2 2



5-1 5+1 · = 1, 2 2 C[解析]

∴?

? 5+1? ? 5+1? 5+1 ?, , 成等比数列,但不是等差数列. ? ? ? 2 ? 2 2

10.[答案]

1 1 2 2 + =log xa+log xc= log x(ac)=log xb =2log xb= log a x log cx log b x

1 1 1 ∴ , , 成等差数列. log a x log b x log cx

11.[答案]

3· 2

n -3

[解析]

2 ? ? ?a3 =3 ?a1 q =3 3 7 ? ? ∵ ,∴ ∴q =128,∴q=2,∴a1 = ,∴ 9 4 ?a10 =384 ? ? ? a1 q =384

an =a1 qn- 1 =3· 2n -3 . 12.[答案] 13.[答案] 648[解析] 设公比为 q,则 8q6 =5 832,∴q6 =729, ∴q2 =9,∴a5 =8q4 =648. 设等比数列{an }的公比为 q,则

an =2n -1 或 an =(-2)n -1 [解析]

20=a3 +a5 =q2 (a1 +a3 )=5q2 , 代入 a1 +a3 =5 中,得 a1 =1, 当 q=2 时,an =2 14.[答案]
n- 1

∴q2 =4,∴q=± 2,



当 q=-2 时,an =(-2)

n -1

.

19 每次剩下原来的 ,∴逐次剩下的酒精量就构成以 19 为首项,以 20 19 19 n -1 为公比的等比数列{an },∴an =19· ( ) 20 20 15.5 [解析] 19 4 4 ∴a5 =19· ( ) =19×0.95 ≈15.5 (L) , 20 15.[解析] (1)设{an}的公比为 q,
3

故倒 5 次后容器中剩下纯酒精 15.5L.

由已知得 16=2q ,解得 q=2, ∴an =a1 qn- 1 =2n ; (2)由(1)得 a3 =8,a5 =32,则 b3 =8,b5 =32, 设{bn }的公差为 d,则有
?b1 +2d=8, ?b1 =-16, ? ? ? 解得? ? ? ?b1 +4d=32, ?d=12.

从而 bn =-16+12(n-1)=12n-28, n?-16+12n-28? 2 ∴数列{bn }的前 n 项和 Sn = =6n -22n. 2 16.[解析] 当 n≥2 时,an =Sn -Sn -1 =(1+kan)-(1+kan- 1 )=kan -kan- 1 , a k ∴(k -1)an =kan- 1 ,∴ n = . an - 1 k -1 当 k ≠0 且 k ≠1 时,数列{an}是等比数列; 当 k =0 时,则 Sn =1,数列{an }是 1,0,0,…,不是等比数列. 17.[解析] 设这个城市平均每年要新增住房 x 万 m ,据题意 20×8+4x=20(1+1%) · 10
2 4

∴x=50×1.014 -40≈12. 答:这个城市平均每年至少需新增住房 12 万 m2.

2.3.2 等比数列 课时作业 2 a3 +a4 ∵q2 = =9,∴q=± 3,因此 a4 +a5 =(a3 +a4)q=27 或-27. 故选 B. a2 +a1 2.[答案] B[解析] 设 A =a1 a4 a7 …a28 ,B =a2 a5 a8 …a29 ,C=a3 a6 a9 …a30 , 则 A 、B 、C 成等比数列,公比为 q10 =210 ,由条件得 A · B· C=230 ,∴B =210 , 10 20 ∴C=B · 2 =2 . bn + 1 an + 12 an + 1 2 2 2 3.[答案] A[解析] 设 bn =an ,则 = 2 =( ) =q bn an an 2an + 1 ∴{bn }成等比数列; =2an + 1 -an ≠常数; 2an 当 an <0 时 lgan 无意义;设 cn =nan cn + 1 ?n+1?an+ 1 ?n+1?q 则 = = ≠常数. cn nan n ?a2 a10 =6 ?a2 =2 ?a2 =3 ? ? ? 4.[答案] D[解析] a2 a10 =a5 a7 =6. 由? ,得? 或? . ? ? ? ?a2 +a10 =5 ?a10 =3 ?a10 =2 a a 3 2 ∴ 18= 10= 或 . 故选 D. a10 a2 2 3 ?2b=a+c ? 5.[答案] D[解析] ? 2 消去 a 得:4b2 -5bc+c2 =0, ? a = bc ? ∵b≠c,∴c=4b,∴a=-2b,代入 a+3b+c=10 中得 b=2,∴a=-4. 2 n- 3 n- 2 n -1 6.[答案] B[解析] 设前三项分别为 a1 ,a1 q,a1 q ,后三项分别为 a1 q ,a1 q ,a1 q . 3 3 3 3 n- 6 所以前三项之积 a1 q =2,后三项之积 a1 q =4. 6 3(n- 1) 2 n -1 两式相乘得,a1 q =8,即 a1 q =2. n?n-1? 2 n- 1 又 a1 · a1 q· a1 q · …· a1 q =a1 n q =64,即(a1 2 qn -1)n =642 ,即 2n =642. 所以 n=12. 2 [点评] 运用性质 a1 an =a2 an -1 =a3 an -2 ,有(a1 an )3 =2×4=8,∴a1 an =2, n n ∴a1 a2 …an =( 2) =2 =64,∴n=12. 2 7.[答案] C[解析] 依题意,a1 ,a3 ,a5 ,a7 ,a9 ,a11 构成以 2 为首项,2 为公比的等比数 列,故 a11 =a1 ×25 =64,a12 =a11 +2=66. 故选 C. [点评] 本题容易出现由 an +1 =an +2 得出{an }成等差数列的错误. 8.[答案] A[解析] 设等差数列首项为 a1 ,公差为 d,则 an ap ap -an [a1 +?p-1?d]-[a1 +?n-1?d] p-n n-p q= = = = = = . 故选 A. ak an an -ak [a1 +?n-1?d]-[a1 +?k -1?d] n-k k -n 9.[答案] D[解析] 由题意可知 1 是方程之一根,若 1 是方程 x2 -5x+m=0 的根则 m=4, 另一根为 4,设 x3 ,x4 是方程 x2 -10x+n=0 的根,则 x3 +x4 =10,这四个数的排列顺序只 m 1 能为 1、x3 、4、x4 ,公比为 2、x3 =2、x4 =8、n=16、 = ;若 1 是方程 x2 -10x+n=0 的 n 4 根,另一根为 9,则 n=9,设 x2 -5x+m=0 之两根为 x1 、x2 则 x1 +x2 =5,无论什么顺序 均不合题意. 10.[答案] C[解析] 图 1 中满足 a2 -a1 =2,a3 -a2 =3,…,an -an -1 =n, n· ?n+1? 以上累加得 an -a1 =2+3+…+n,∴an =1+2+3+…+n= ,图 2 中满足 bn 2 2 =n , 一个数若满足三角形数,其必能分解成两个相邻自然数乘积的一半; 一个数若满足正方形数,其必为某个自然数的平方. 49×50 ∵1225=352 = ,∴选 C. 2 1.[答案] B[解析]

11.[答案] 12.[答案]

0<q<1[解析] 13 [解析] 16

?a1 q>a1 ?a2 >a1 ∵? ∴? 2 ∴0<q<1. ?a3 >a2 ?a1 q<a1 q

∵a1 ,a3 ,a9 成等比∴a32 =a1 a9 ,即(a1 +2d)2 =a1 (a1 +8d),∴d=a1 ,

a1 +a3 +a9 13 d 13 ∴an =a1 +(n-1)d=nd,∴ = = a2 +a4 +a10 16 d 16 2 13.[答案] 1[解析] S1 =a1 ,S2 =a1 (1+q),S3 =a1(1+q+q ) 2 ∵{Sn }成等差数列∴S2 -S1 =S3 -S2 ,即:a1 q=a1 q 且 a1 q≠0,∴q=1. ? ? ? ?2a=3+b ?a=3 ?a=15 ? ? 14.[答案] 3 或 27[解析] 设此三数为 3、a、b,则? 解得 或 2 ??a-6? =3b ?b=3 ? ? ? ?b=27 ∴这个未知数为 3 或 27. 15.[解析] 原计划三年产值成等差数列,设为 a-d,a,a+d,d>0,由三年总产值为 300 万元,得 a=100 万元,又 a+10-d,a+10,a+11+d 成等比数列,得(a+10)2 =(a+10 2 2 -d)(a+11+d),∴(110-d)(111+d)=110 ?d +d-110=0?d=10,或 d=-11(舍).∴ 原计划三年的产值依次为 90 万元,100 万元,110 万元. a +a+aq=26, q a 16.[解析] 设三个数 ,a,aq,由已知得 2 q a +a2 +a2 q2 =1092, q2

? ? ?

1 ? ? a? ?q+1+q?=26 ∴? 1 ? ?a ? ?q +1+q ? =1 092.
2 2 2

① ②

2 2 1 2 ? ①两边平方得 a ? ?q2 +1+q +2q+q+2?=676. ③

1 2?1 ? ? ②代入③得 2a2? ?q+1+q?=676-1 092,得 a ?q+1+q?=-208. ④ ④ 得 a=-8,代入①得 4q2 +17q+4=0?q=-4. ① 1 或 q=- ,故所求三数为 2,-8,32,或 32,-8,2. ∴三数为 2,-8,32. 4 17.[解析] (1)依题意:Sn =2n -1(n∈N* ), ∴当 n≥2 时,an =Sn -Sn -1 =2n -2n- 1 =2n -1 . 当 n=1,S1 =a1 =1, ∴an =2n -1 (n∈N* ). (2)因为 bn =log2 an -12=n-13,所以数列{bn }是等差数列. 2 n -25n 1 25 625 ∴Tn = = (n- )2 - . 故当 n=12 或 13 时,数列{bn }的前 n 项和最小. 2 2 2 8 2 2 n -25n n -27n+26 ?n-1??n-26? (3)∵Tn -bn = -(n-13)= = <0, 2 2 2 * ∴1<n<26,且 n∈N , 所以不等式的解集为{n|1<n<26,n∈N* }. n+2 18.[解析] (1)∵an+ 1 =Sn+ 1 -Sn ,an+ 1 = S, n n Sn + 1 S ∴(n+2)Sn =n(Sn +1 -Sn ),整理得 nSn+ 1 =2(n+1)Sn ,所以 =2? n? . n+1 ? n ? ?S ? 故? n ?是以 2 为公比的等比数列. ?n ? Sn + 1 Sn - 1 Sn - 1 (2)由(1)知 =4× (n≥2).于是 Sn +1 =4(n+1)· =4an (n≥2). n+ 1 n-1 n-1 又 a2 =3S1 =3,故 S2 =a1 +a2 =4=4a1 . 因此对于任意正整数 n,都有 Sn +1 =4an .

2.3.3 等比数列课后提升 1 1. 答案:C a 24 a 3 3 2 解析:选 C. ∵q3 = 5 = =8,∴q=2,而 a1 = 2 = ,∴an = ×2n -1 =3· 2n- 2. a2 3 q 2 2 3. 解析:选 B. 设公比为 q(q≠1),则 a1 +a2 =a1 (1+q)=8,a3 -a1 =a1(q2 -1)=16, 1 1 2 2 两式相除得: = ,解得 q=3. 又∵a1(1+q)=8,∴a1 =2,∴a3 =a1 q =2×3 =18. q- 1 2 4. 解析:选 A. ∵|a1 |=1,∴a1 =1 或 a1 =-1. ∵a5 =-8a2 =a2 · q3 ,∴q3 =-8,∴q=-2. 3 又 a5 >a2 ,即 a2 q >a2 , ∴a2 <0.而 a2 =a1 q=a1 · (-2)<0, ∴a1 =1. 故 an =a1 · (-2)n- 1 =(-2)n- 1. 5. 解析:选 D.A 错, a1 =- 1, q =2 ,数列各项均负. B 错, a1 =1 ,q =- 1,是摆动数 列.C 错,常数列中 0,0,0,…,不是等比数列.lg2n =nlg2,是首项为 lg2,公差为 lg2 的 等差数列,故选 D. 1 n- 1 n- 4 4 6. 解析:选 A. 由 an = · 2 =2 知,a4 =1,a8 =2 ,其等比中项为± 4. 8 2x+2 3x+3 3 7. 解析:由于 x, 2x+2,3x+3 成等比数列,∴ = = 且 x≠-1,0. x 2x+2 2 ∴2(2x+2)=3x,∴x=-4. 答案:-4 2 3 8. 解析:∵an +2 =an ,∴an q =an ,∴q=± 1;∵an =an+ 3 ,∴an =an q ,∴q=1. 答案:± 1 1 3 2 9 7 9. 解析:a3 =a1 q =3,a10 =a1 q =384. 两式相比得 q =128,∴q=2,∴a1 = . 4 3 n- 1 n- 1 n- 3 n -3 an =a1 q = ×2 =3· 2 . 答案:3· 2 4 an + 1 103 ?n +1 ?+ 5 10. 证明:由 lgan =3n+5,得 an =103 n+ 5 ,∴ = 3 n +5 =1000=常数∴{ an } 是等比数列. an 10 a 2 11. 解:设等比数列{an }的公比为 q,则 q≠0. a2 = 3 = ,a4 =a3 q=2q, q q 2 20 1 1 ∴ +2q= . 解得 q1 = ,q2 =3. 当 q= 时,a1 =18, q 3 3 3 1 n- 1 3 -n ∴an =18×( ) =2×3 . 3 2 当 q=3 时,a1 = , 9 2 n -1 n- 3 ∴an = ×3 =2×3 . 9 1 综上,当 q= 时,an =2×33- n ; 3 当 q=3 时,an =2×3n- 3. 12. 解:∵a, 2a+2,3a+3 是等比数列的前三项, ∴a(3a+3)=(2a+2)2 . 解得 a=-1,或 a=-4. 当 a=-1 时,数列的前三项依次为-1,0,0, 与等比数列定义矛盾,故 a=-1 舍去. 当 a=-4 时,数列的前三项依次为-4,-6,-9, 3 3 则公比为 q= ,∴ an =-4( )n - 1 , 2 2 3 n- 1 1 令-4( ) =-13 , 2 2 3 n- 1 27 3 3 即( ) = =( ) , 2 8 2 ∴n-1=3,即 n=4,

1 ∴- 13 是这个数列中的第 4 项. 2

2.3.4 等比数列课后提升 2 a6 3 1. 解析:选 C. ∵{an }是等比数列,∴ =q =8. ∴q=2. a3 2 2. 解析:选 C. ∵a3· a9 =a2 6,∴-4a9 =54 ,∴a9 =-729. an + 1 an +2 an + 2 2 3. 解析:选 B. 设新数列为{bn },则{bn }的通项公式为 bn =an an+ 1. 所以 = =q ,数 an an +1 an 2 列{bn }是公比为 q 的等比数列. 4 解析:选 B. a1 a2 a3 …a2012 =22012 ,∴(a1 a2012)1006 =22012 =41006 ,∴a1 a2012 =4,∴a2 a2011 =4. a 6 a7 a8 9 9 5. 解析:选 D. ∵ =q =8(q 为公比), ∴a9 a10 a11 =a6 a7 a8· q =24×8=192. a 3 a4 a5 n- 1 6. 解析:选 B. an + 1 -an =a1 q (q-1)>0 对任意正整数 n 都成立,而 a1 <0,只能 0<q<1. 2 7. 解析:∵y=x -2x+3=(x-1)2 +2, ∴b=1,c=2 , ∴ad=bc=2. 答案:2 2 8. 解析:∵an >0,a1 a5 =16,∴a3 =4. 又∵a4 =a3 a5 ,∴a5 =16. 答案:16 ? a4 = 2 ?a4 =3 ? ? a a 9. 解析:因为 a7 a11 =a4 a14 =6,又 a4 +a14 =5,所以? 或? . 所以 20=q10 = 14 , a10 a4 ?a14 =3 ? a14 =2 ? ? a20 3 a20 2 3 2 = 或 = . 答案: 或 a10 2 a10 3 2 3 3 10.. 解:(1)∵a1 a2 a3 =a2 =216,∴a2 =6, ∴a1 a3 =36 且 a1 +a3 =21-a2 =15. ∴a1 ,a3 是方程 x2 -15x+36=0 的两根 3 和 12. a 1 1 当 a1 =3 时,q= 2 =2,an =3· 2n- 1 ; 当 a1 =12 时,q= ,an =12· ( )n- 1 =3· 23 -n . a1 2 2 3 4 4 4 (2)∵a4 a8 =a3 q· a5 q =a3 a5 q =18q =72, ∴q =4,∴q=± 2. 11. 解:法一:设这个等比数列为{an },其公比为 q, 8 27 8 4 4 则 a1 = ,a5 = =a1 q = · q. 3 2 3 81 9 ∴q4 = ,q2 = . 16 4 ∴a2 · a3· a4 =a1 q· a1 q2· a1 q3 =a3 q6 1· 83 93 3 =( ) · ( ) =6 =216. 3 4 法二:设这个等比数列为{an },公比为 q, 8 27 则 a1 = ,a5 = ,插入三项分别为 a2 ,a3 ,a4 . 3 2 由题意 a1 ,a3 ,a5 也成等比数列, 8 27 ∴a2 =36, 3= × 3 2 故 a3 =6, 2 3 ∴a2 · a3· a4 =a3 · a3 =a3 =216. a 12. 解:设这三个数为 、q、aq,则 q a +a+aq=28 , ① q 所以

? ?a a· aq=512 ② ? q·

由②得 a=8. 把 a=8 代入①得: 2 1 +2q=5,解得 q=2 或 . q 2

∴这三个数为 4,8,16 或 16,8,4.


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