当前位置:首页 >> 数学 >>

上海市罗店中学2016届高三上学期期中考试数学试卷


罗店中学 2015-2016 学年度第一学期高三数学期中试卷
本试卷共有 23 题,满分 150 分,时间 120 分钟 班级 学号 姓名 成绩

一、填空题(每小题 4 分,共 56 分) 1、 “ x ? 1 ”是“ x 2 ? x ? 0 ”的 2、若复数 条件 充分不必要 .2

1? i 1 ? b, (b ? R ) 的实部与虚部相等,则 b 的值为 1? i 2

3、函数 f ( x) ?

9 ? x2 的定义域为___________________。 ? ?2, ?1? ? ? ?1,3? log 2 ( x ? 2)
? 2 3 c1 ? ?x ? 3 ? 解为 ? ,则 c1 ? c2 ? ? ? 0 1 c2 ? ?y ? 5
. 16

4、若线性方程组的增广矩阵为 ? ?

5 、等 比数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 已 知 S1、 2S 2、 3S 3 成 等差 数列 ,则数 列 ?an ? 的 公 比 为 .

1 3

6、抛物线的焦点为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的右焦点,顶点在椭圆的中心,则抛物线方程 5 4
2



.y

? 4x
.f
?1

7、函数 f ( x) ? 1 ? log2 x ( x ? 2) 的反函数 8、已知 ? , ? ? (0, ) ,若 cos(? ? ? ) ?

( x) ? 2 x?1 ( x ? 2) .


?

2

5 4 , sin(? ? ? ) ? ? ,则 cos 2? ? 13 5

63 65

9、已知函数 f ( x) ? e| x?a| ( a 为常数).若 f ( x) 在区间 [1,??) 上是增函数,则 a 的取值范围 是 . ?? ?,1? .

10、 .若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2? 的半圆面,则该圆锥的体积为

3? 3
.

11、三个人乘同一列火车,火车有 10 节车厢,则至少有 2 人上了同一车厢的概率为

7 25
12、已知 f ( x) ? ?

?(2 ? a) x ? 1 , x ? 1 ?a
x

, x ?1
. ? ,2 ?

满足对任意 x1 ? x 2 都有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 成立,那么 x1 ? x2

a 的取值范围是

?3 ?2

? ?

13、已知 f ( x) 是偶函数,且 f ( x) 在 [0,?? ) 上是增函数,如果 f (ax ? 1) ? f ( x ? 2) 在 x ?[ ,1] 上恒成立,则实数 a 的取值范围是
x

1 2

[?2,0]
n

1 ?1? ?1? 14、设函数 f 0 ?x ? ? ? ? , f1 ?x ? ? f 0 ?x ? ? , f n ?x ? ? f n ?1 ?x ? ? ? ? , n ? 1, n ? N , 2 ?2? ?2?

? 1 ? n ?1 则方程 f n ?x ? ? ? ? 有___________个实数根。 2 ?n? 2?
二、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 15、函数 y ? a ? logb x 的图像如图所示,其中 a 、 b 为常数,则下列结论正确的是( (A) a ? 0 , b ? 1 . (C) a ? 0 , 0 ? b ? 1 . (D) 16、已知 0 ? ? ? ? , sin ? ? cos ? ? (A) ? (B) a ? 0 , b ? 1 . (D) a ? 0 , 0 ? b ? 1 . )

n

y

1

O

x

1 ,则 cos 2? 的值为( 2
(C) ?

) (A) (D) ?
?1

7 4

(B)

7 4

7 4

3 4

17 、若点 P( x0 , y 0 )( x0 y 0 ? 0) 在函数 y ? f ( x) 的图像上, y ? f

( x) 为函数 y ? f ( x) 的反函


数.设 P1 ( y 0 , x0 ) , P2 (? y 0 , x 0 ) , P3 ( y 0 ,? x0 ) , P4 (? y 0 ,? x0 ) ,则有( (A)点 P1 、 P2 、 P3 、 P4 有可能都在函数 y ? f (B)只有点 P2 不可能在函数 y ? f (C)只有点 P3 不可能在函数 y ? f
?1 ?1

( x) 的图像上

( x) 的图像上 ( x) 的图像上
?1

?1

(D)点 P2 、 P3 都不可能在函数 y ? f 18、下列命题

( x) 的图像上 (D)

2 2 ①命题“若 am ? bm ,则 a ? b ”的逆命题是真命题;

②若 a ? (4,3) , b ? (?2,1) ,则 b 在 a 上的投影是 ? 5 ; ③在 ( x ?

?

?

?

?

2 16 ) 的二项展开式中,有理项共有 4 项; 4 x
2

④ 已 知 一 组 正 数 x1 , x2 , x3 , x4 的 方 差 为 s ?

1 2 2 2 2 (x ? x ? x ?6 , ) 则数据 1 ? x 2 3 4 1 4

x1 ? 2 , x2 ? 2 , x3 ? 2 , x4 ? 2 的平均数为 4 ;

⑤复数

3 ? 2i 的共轭复数是 a ? bi(a, b ? R) ,则 ab ? ?6 。 i
(C) 2 (D) 3

其中真命题的个数为( )B (A) 0 (B) 1

三、解答题 (本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要步骤. 19、本题满分 12 分(5 分+7 分) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别为内角 A, B, C 所对的边,且满足 a ? b ? c , b ? 2a sin B . (1)求 A 的大小; (2)若 a ? 2 , b ? 2 3 ,求 ?ABC 的面积. 解: (1) b ? 2a sin B ? sin B ? 2 sin A sin B ?????2 分

? sin B ? 0 ? sin A ?

1 2

?????4 分

由于 a ? b ? c ,? A 为锐角,? A ?
2 2 2

?
6

?????6 分

(2)由余弦定理: a ? b ? c ? 2bc cos A ,

? 4 ? 12 ? c 2 ? 2 ? 2 3 ? c ?

3 ,?????8 分 2

c 2 ? 6c ? 8 ? 0 , c ? 2 或 c ? 4
由于 a ? b ? c , c ? 4 ?????10 分 所以 S ?

1 bc sin A ? 2 3 ?????12 分 2

20、本题满分 14 分(6 分+8 分) 如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底面 ABC 是等腰直角三角形, AB ? AC ? 1 ,侧棱

AA1 ? 底面 ABC ,且 AA1 ? 2 , E 是 BC 的中点. (1)求直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的全面积; (2)求异面直线 AE 与 AC 1 所成角的大小(结果用反三角函数
表示) ; 解: (1) S ?ABC ?

1 1 1 AB ? AC ? ?1?1 ? ????(2 分) 2 2 2 S侧 ? ( AB ? BC ? AC ) ? AA1 ? (1 ? 2 ? 1) ? 2 ? 4 ? 2 2 ? ?? ?

(4 分) ∴ S全 =2S?ABC ? S侧 =5+2 2 ????(6 分) (2)取 B1C1 的中点 E1 ,连 A1E1 ,则 A1E1 // AE ,即 ?CA 1E1 即为 异面直线 AE 与 AC 1 所成的角 ? .连 E1C . 在 Rt ?E1C1C 中,由 E1C1 ?

2 , CC1 ? 2 2

1 3 2 ?4 ? 2 2 在 Rt ?AC ? 5 1 1C 中,由 AC 1 1 ? 1 , CC1 ? 2 知 AC 1
知 A1C ? 在 ?A 1E1C 中, cos ? ?

(

2 2 3 2 2 ) ? ( 5) 2 ? ( ) 1 10 2 2 ? ? 10 2 10 2? ? 5 2

∴ ? ? arccos

10 10

写结论????(14 分) 21、本题满分 14 分(6 分+8 分) 已知函数 f ( x) ? 2x ? a ? 2? x (a ? R) . (1)讨论函数 f ( x ) 的奇偶性,说明理由; (2)若函数 f ( x ) 在 ( ??, 2] 上为减函数,求 a 的取值范围. 解: (1) f (? x) ? 2? x ? a ? 2x 若 f ( x ) 为偶函数,则对任意的 x ? R ,都有 f ( x) ? f (? x) ,

? 2? x ? a ? 2x , 2x (1 ? a) ? 2? x (1 ? a) , (2x ? 2? x )(1 ? a) ? 0 对任意的 x ? R 都 x ?x 成立。由于 2 ? 2 不恒等于 0,故有 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 ∴当 a ? 1 时, f ( x ) 是偶函数。????(2 分) 若 f ( x ) 为奇函数,则对任意的 x ? R ,都有 f ( x) ? ? f (? x) , x ?x x ?x ?x x 即 2 ? a ? 2 ? 2 ? a ? 2 ? 0 ,(2x ? 2? x )(1 ? a) ? 0 对任意的 x ? R 都成立。 由于 2 ? 2 不 恒等于 0,故有 1 ? a ? 0 ,即 a ? ?1 ∴当 a ? ?1 时, f ( x ) 是奇函数。?(4 分) ∴当 a ? 1 时, f ( x ) 是奇函数;当 a ? ?1 时, f ( x ) 是偶函数; 当 a ? ?1 时, f ( x ) 是非奇非偶函数 (不举反例扣一分) 。????(6 分) ( 2 ) 因 函 数 f ( x ) 在 ( ??, 2] 上 为 减 函 数 , 故 对 任 意 的 x1 ? x2 ? 2 , 都 有
即 2 ? a?2
x

?x

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,????(2 分) 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?
2 x1 ? a ? 2? x1 ? (2 x2 ? a ? 2? x2 ) ? (2 x1 ? 2 x2 )(1 ?
由 2 1 ? 2 2 ? 0 ,知 1 ?
x x
x1

a ) ? 0 恒成立。?(4 分) 2 2 x2
x1

a ? 0 恒成立,即 2 x1 ? 2 x2 ? a 恒成立。 x2 2 2 x1 x 由于当 x1 ? x2 ? 2 时 2 ? 2 2 ? (0,16) ????(7 分) ∴ a ? 16 ????(8 分)

22、本题满分 16 分( 4 分+6 分+6 分). 在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C1 : 2 x ? y ? 1 .
2 2

(1)设 F 是 C1 的左焦点,E 是 C1 右支上一点. 若|EF|=2 2 ,求过 E 点的坐标; (2)设斜率为 1 的直线 l 交 C1 于 P、Q 两点,若 l 与圆 x ? y ? 1相切,求证:OP⊥OQ;
2 2

(3)设椭圆 C2 : 4 x 2 ? y 2 ? 1. 若 M、N 分别是 C1 、 C2 上的动点,且 OM⊥ON, 求证:O 到直线 MN 的距离是定值. [解](1)左焦点 F (?
6 2

, 0) .
6 2 2

设 E ( x, y) ,则 | EF |2 ? ( x ? 由 E 是右支上一点,知 x ? 所以 E(
6 2

) ? y2 ? ( 3x ?

2 2 , 2

)

……2 分
6 2

2 2

,所以 | EF |? 3x ?

2 2

? 2 2 ,得 x ?

.

, ? 2) .

……4 分

(2)设直线 PQ 的方程是 y ? x ? b .因直线与已知圆相切, 故
| b| 2

? 1 ,即 b2 ? 2 .

……6 分

由?

? y ? x?b 2 2 ,得 x ? 2bx ? b ? 1 ? 0 . 2 2 ?2 x ? y ? 1

设 P(x1, y1)、Q(x2, y2),则 ?

? x1 ? x2 ? 2b . 2 ? x1 x2 ? ?b ? 1

所以 OP ? OQ ? x1x2 ? y1 y2 ? 2x1x2 ? b( x1 ? x2 ) ? b2

? 2(?b2 ? 1) ? b ? 2b ? b2 ? b2 ? 2 ? 0 ,
故 OP⊥OQ. (3)当直线 ON 垂直于 x 轴时, |ON|=1,|OM|=
2 2

……10 分
3 3

,则 O 到直线 MN 的距离为
2 2

.

当直线 ON 不垂直于 x 轴时, 设直线 ON 的方程为 y ? kx (显然 | k |?
2 ? ? y ? kx ?x ? 由? 2 ,得 ? 2 2 ? ?4 x ? y ? 1 ?y ?
2 同理 | OM | ? 1? k 2 2 k 2 ?1

) ,则直线 OM 的方程为 y ? ? 1 x. k
1? k 2 4? k 2

1 4? k 2 k2 4? k 2

2 ,所以 | ON | ?

. ……13 分

.
2 2 2
3k 2 ? 3 k 2 ?1

设 O 到直线 MN 的距离为 d,因为 (| OM | ? | ON | )d ?| OM | | ON | ,
2 2

所以 d12 ?

1 |OM | 2

1 ? |ON ? |2

? 3 ,即 d=

3 3

. ……16 分

综上,O 到直线 MN 的距离是定值. 23、本题满分 18 分( 4 分+6 分+8 分)

已知函数 f ( x) ?

5 , m 为正整数。 5 ? 5
x

(1)求 f (1) ? f (0) 和 f ( x) ? f (1 ? x) 的值; (2) 若数列 {an } 的通项公式为 an ? f (

n )( n ? 1, 2,3,?, m ),求数列 {an } 的前 m 项和 Sm ; m

(3) 数列 {bn } 满足:b1 ?

1 1 1 1 1 2 ,bn?1 ? bn 设 Tn ? , ? ? ? ? ? ? bn , 2 b1 ? 1 b2 ? 1 b3 ? 1 b ? n 1

若(2)中的 Sm 满足对任意不小于 3 的正整数 n , 4Sm ? 777Tn ? 5 恒成立,求 m 的最 大值。 ks5u

解:(1)

=1;(2分)

=

=

=1; (4 分)

(2)由(Ⅰ)得

,即

由 得 由①+②, 得

,

?????① ????② (8 分)

, (10 分) (3) ∵ ,∴对任意的





即 ,

(12 分)



∵ ∴ 当 ∵ 关于 n 递增. (14 分) , 且 时,

∴数列

是单调递增数列,

.(15 分)

∴ ∴

∴ 的最大值为 650。(18 分)



.而

为正整数,


相关文章:
上海市宝山区罗店中学2017-2018学年高一上期末数学试题...
上海市宝山区罗店中学2017-2018学年高一上期末数学试题(无答案)word - 2017 学年第一学期高一期末数学学科质量管理试卷 一、填空题(本大题满分 36 分)本大题共...
罗店中学六年级第二学期第二次月考 2017
罗店中学六年级第二学期第二次月考 2017_六年级数学_数学_小学教育_教育专区。...六年级第二学期考数学试卷 2017-5 说明:请规范书写,用铅笔画图. ???密○...
更多相关标签: