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高中数学必修2第三章:直线与方程课件 3.3.3-4点到直线的距离,平行线间的距离


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3.3.3-3.3.4

点到直线的距离
两条平行线间的距离

1

品质来自专业 点到直线的距离 信赖源于诚信 如图,点P到直线 的距离,就是指从点P到直线 的 l 垂线段PQ的长度,其中Q是垂足. l y 金太阳教育网 www.jtyjy.com

P(x0,y0)
l

Q
o x

思考:已知点P0(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0, 怎样
求点P到直线l的距离呢?
2

当A=0或B=0时,直线方程为y=y1或x=x1的形式.
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y
P (x0,y0)

y

(x1,y0)
Q

y=y1
Q (x0,y1)

P(x0,y0) x x=x1

o

x

o

PQ = y 0 - y 1

PQ = x 0 - x 1
3

金太阳教育网 练习1

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5

(1)点P(-1,2)到直线3x=2的距离是______. 3
4

(2)点P(-1,2)到直线3y=2的距离是______. 3

4

下面设A≠0,B ≠0, 我们进一步探求点到 直线的距离公式:
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[思路一]

利用两点间距离公式: y

P

l

Q
o x

法一:写出直线PQ的方程,与l 联立求出点Q的坐标, 然后用两点间的距离公式求得 PQ .
5

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[思路二] 构造直角三角形求其高.
y
R Q

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P(x0,y0)

S

O

x

L:Ax+By+C=0

6

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法二:P(x0,y0), l:Ax+By+C=0, AB≠0,
? x1 ,
? x0 ,
y0

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? A B ? 0 ,? 这 时 l 与 x 轴 , y 轴 都 相 交 , 过 p 作 x轴 的 平 行 线 , 交 l与 点 R
作 y 轴 的 平 行 线 , 交 l与 点 S

l ?; R
?

y

P
d Q
O

y2

? A x1 ? B y 0 ? C ? 0 , A x 0 ? B y 2 ? C ? 0

? x1 ?

? B y0 ? C A

, y2 ?

? A x0 ? C B

S
B

x

? P R ? x 0 ? x1 ?

A x0 ? B y0 ? C A

, P S ? y0 ? y2 ?

A x0 ? B y0 ? C

? RS ?

PR

2

? PS

2

?

A

2

? B

2

AB

A x0 ? B y0 ? C

7

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由三角形面积公式可得:
d ? RS ? PR ? PS
? d ? A
2

l R

y

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P

? B

2

AB ?

A x0 ? B y0 ? C A x0 ? B y0 ? C B

d
Q
x O

A x0 ? B y0 ? C A

.

S

? d ?

A x0 ? B y0 ? C A
2

? B

2

注: ?在使用该公式前,须将 直线方程化为一般式.

? A=0或B=0,此公式也成立, 但当A=0或B=0时一般不用此 公式计算距离.
8

金太阳教育网 www.jtyjy.com 点到直线的距离:

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P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离:

练习2

d ?

| Ax0 ? By 0 ? C | A ?B
2 2

1、求点A(-2,3)到直线3x+4y+3=0的距离.

2.

求点B(-5,7)到直线12x+5y+3=0的距离.

3、求点P0(-1,2)到直线2x+y-10=0的距离.

9

例1:求点P(-1,2)到直线①2x+y-10=0; 金太阳教育网 www.jtyjy.com ②3x=2的距离。
解: ①根据点到直线的距离公式,得
d ? 2 ? ? ? 1 ? ? 1 ? 2 ? 10 2
2

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? 2

5

y P(-1,2) O

?1

2

②如图,直线3x=2平行于y轴,
? d ? 2 3 ? (? 1) ? 5 3

x l:3x=2

用公式验证,结果怎样?
10

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例2:已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求 y

的面积 ? ABC
A h

C
O

B

x

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品质来自专业 www.jtyjy.com 两条平行直线间的距离 信赖源于诚信 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线 y l1 间的公垂线段的长. P 金太阳教育网

l2

Q
o

x

例3、求证:两条平行线l1:Ax+By+C1=0与
l2: Ax+By+C2=0的距离是 d
? C1 - C 2 A
2

? B

2

12

金太阳教育网 练习3

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14 53

1.平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离是______; 53
2.两平行线3x-2y-1=0和6x-4y+2=0的距离是____. 13
2 13

13

金太阳教育网 练习4

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1、点A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4,求a的值. 2、求过点A(-1,2),且与原点的距离等于 的直线方程 .
2 2

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金太阳教育网 小结

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1.平面内一点P(x0,y0) 到直线Ax+By+C=0
的距离公式是
d = Ax
0

+ By A
2

0

+ C
2

+ B

当A=0或B=0时,公式仍然成立. 2.两条平行线Ax+By+C1=0与

Ax+By+C2=0的距离是
d = C A
1 2

- C

2 2

+ B

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金太阳教育网 练习4

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1.点A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4,求a的值. 2.求过点A(-1,2),且与原点的距离等于 的直线方程 .
2 2

16


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