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江门市2015年普通高中高二调研测试理科数学


秘密★启用前

试卷类型:A

江门市 2015 年普通高中高二调研测试(一)



学(理科)

本试卷共 4 页,21 题,满分 150 分,测试用时 120 分钟. 注意事项: ⒈答题前,考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。 ⒉做选择题时,必须用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其它答案标号。 ⒊非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔,将答案写在答题卡规定的位置上。 ⒋所有题目必须在答题卡上指定位置作答,不按以上要求作答的答案无效。 ⒌考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将答题卡交回。 参考公式:⒈一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )的实数根 x1, 2 ? ⒉锥体的体积公式 V ?

? b ? b 2 ? 4ac . 2a

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. ⒈数列 ?a n ? 的通项公式为 a n ? A.
( ?1) n ?1 ,则 a3 ? n

1 3

B. ?

1 3

C.

1 2

D. ?

1 2

⒉不等式 x 2 ? x ?
1? ? A. ? x | x ? ? 2? ?

1 ? 0 的解集是 4
1? ? B. ? x | x ? ? 2? ? 1? ? C. ? x | x ? ? 2? ?

D. ?

⒊下列语句中,不是命题 的是 .... A.负数的立方是负数 C. (?3) 2 ? 3

B.对顶角相等 D. x ? 3

⒋已知 x 、 y ? R , “ x ? 0 , y ? 0 ”是“ xy ? 0 ”的 A.充分非必要条件 C.非充分非必要条件 ⒌椭圆 A.
y2 x2 ? ? 1 的离心率 e ? 100 36

B.必要非充分条件 D.充要条件

16 25

B.

3 4

C.

4 5

D.

3 5

1 ⒍如图 1, M 、 N 分别是 OA 、 BC 的中点, P 是 MN 的三等分点( MP ? MN ) ,若 3 O OA ? a , OB ? b , OC ? c ,则 OP ? 1 1 1 A. a ? b ? c 3 3 6
1 1 1 C. a ? b ? c 6 3 6

1 1 1 B. a ? b ? c 3 6 6
1 1 1 D. a ? b ? c 6 3 3

M P A
N

C

图1 ⒎等比数列 ?a n ? 的前 n 项、前 2 n 项、前 3n 项的和分别为 S n 、 S 2 n 、 S 3n ,则

B

A. S n ? S 2n ? S 3n C. (S n ? S 2n ) ? S3n ? S 2n 2

B. S 2n 2 ? S n ? S 3n D. S n 2 ? S 2n 2 ? S n (S 2n ? S 3n )

⒏在 ?ABC 中, ?A ? 45 0 , ?A 的对边 a ? 2 ,则 ?ABC 的面积 S A.有最小值 1 ? 2 C.有最小值 2 ? 2 B.有最大值 1 ? 2 D.有最大值 2 ? 2

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) ⒐已知抛物线的焦点是 F (1 , 0) ,该抛物线的标准方程是 . . . ⒑在空间直角坐标系中,a ? (2 , 1 , ? 3) ,b ? (?4 , 2 , x) , 且a ?b , 则x? ⒒等差数列 ?a n ? 的首项 a1 ? 1 , a 1 与 a5 的等差中项为 2 ,则 ?a n ? 的公差 d ? 是 .

⒓若原命题是“若一个三角形的两条边相等,则这个三角形的两个角相等” ,则逆命题
? x ? 2 y ? 8, ?4 x ? 16, ? ? ⒔在平面直角坐标系中, 不等式组 ?4 y ? 12, 所表示的平面区域的面积 S ? ? x ? 0, ? ? ? y ? 0.



(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) ⒕若双曲线
x2 y2 ? ? 1 两条渐近线的夹角为 ? ,则 sin ? ? 3 9

. .

⒖已知命题 p : ?x0 ? R , x0 2 ? x0 ? 1 ? 0 .则 ?p :

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. ⒗(本小题满分 12 分) 用逻辑联结词改写下列命题,并判断它们的真假. ⑴ p ? q ,其中 p : 4 ? ? 2 , 3 ?, q : 3 ? ? 2 , 3 ? ; ⑵ p ? q ,其中 p : 35 是 15 的倍数, q : 35 是 7 的倍数.

⒘(本小题满分 13 分) 如图 2, AD 是 ?ABC 的中线, ?ABC 的边长为 a ? 7 、 b ? 4 、 c ? 6 . ⑴求 cos B ; ⑵求证:

A
c
b

sin ?BAD 2 ? . sin ?CAD 3
B

D a
图2

C

⒙(本小题满分 14 分) 如图 3, 在直三棱柱 (侧棱垂直于底面的三棱柱)ABO ? A1 B1O1 中,OA ? OO1 ? 4 ,
OB ? 2 , ?AOB ? 90 0 . D 是线段 A1 B1 的中点, P 是侧棱 BB1 上的一点,且 OP ? BD .

⑴求 BP ; ⑵求二面角 D ? OP ? O1 的余弦值.
A1

O1

D

B1

O

P B

A

图3

⒚(本小题满分 13 分) 某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周(按 40 个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共 120 台,且冰箱至少生产 20 台.已知生产这 些家电产品每台所需工时和每台产值如下表: 家电名称 工时(个) 产值(千元) (以千元为单位) 空调器 彩 电 冰 箱

5 12 4

1 3 3

1 4 2

问每周应生产空调器、 彩电、 冰箱各多少台, 才能使产值最高?最高产值是多少?

⒛(本小题满分 14 分) 已知点 M ( x , y ) 在运动过程中, 总满足关系式 x 2 ? ( y ? 3) 2 ? x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 10 . ⑴直接写出点 M 的轨迹是什么曲线,并求该曲线的标准方程; ⑵若直线 y ?

5 x ? m 与点 M 的轨迹相交于 A、B 两点,试求△OAB 的面积(O 4

为坐标原点)的最大值.

21(本小题满分 14 分) 已知数列 ?a n ? 的通项 a n ? x n ( n ? N * , x ? R ) ,数列 ?na n ?的前 n 项和为 S n . ⑴若 S 2 ? 10 ,求 x 的取值范围(用集合表示) ; ⑵求 S n .

评分参考 一、选择题 ACDA CBDB 二、填空题 ⒐ y 2 ? 4x 两条边相等 三、解答题 ⒗⑴ 4 ? ? 2 , 3 ?且 3 ? ? 2 , 3 ? ??2 分 因为 4 ? ? 2 , 3 ?是假命题, 3 ? ? 2 , 3 ? 是真命题??4 分 (不写“ 3 ? ? 2 , 3 ? 是真命题”不扣分,写错则扣 1 分) 所以 p ? q 是假命题??6 分 ⑵ 35 是 15 的倍数或 7 的倍数( 35 是 15 的倍数或 35 是 7 的倍数)??8 分 因为 35 是 7 的倍数是真命题, 35 是 15 的倍数是假命题??10 分 (不写“ 35 是 15 的倍数是假命题”不扣分,写错则扣 1 分) 所以 p ? q 是真命题??12 分.
a2 ? c2 ? b2 ??2 分 2ac

⒑?2 ⒕


3 2

1 2

⒓若一个三角形的两个角相等,则这个三角形的 ⒖ ?x ? R ,x 2 ? x ? 1 ? 0(每句 2 分,变量一致 1 分)

⒔ 11

⒘⑴在 ?ABC 中, cos B ?

?

23 72 ? 62 ? 42 ??3 分, ? ??4 分 28 2?7?6
BD c ??5 分 ? sin ?BAD sin ?ADB

⑵(方法一)在 ?ABD 中, ∵ c ? 6 , BD ? 在 ?ACD 中,

1 7 7 a ? ,∴ sin ?BAD ? sin ?ADB ??7 分 2 2 12

CD b ??8 分 ? sin ?CAD sin ?ADC

∵ b ? 4 , CD ?

1 7 7 a ? ,∴ sin ?CAD ? sin ?ADC ??10 分 2 2 8

sin ?BAD 2 sin ?ADB ? ? ??11 分 sin ?CAD 3 sin ?ADC
∵ ?ADB ? ?ADC ? ? , sin ?ADB ? sin ?ADC ??12 分 ∴

sin ?BAD 2 ? ??13 分 sin ?CAD 3

(方法二)在 ?ABD 中, AD2 ? c 2 ? BD2 ? 2c ? BD ? cos B ??5 分, ∵ c ? 6 , BD ?

1 7 49 7 23 55 a ? ,∴ AD 2 ? 36 ? ? 2?6? ? ? ??7 分, 2 2 4 2 28 4

cos?BAD ? cos?CAD ?

c 2 ? AD 2 ? BD 2 5 55 ??9 分, ? 2c ? AD 44 b 2 ? AD2 ? CD 2 7 55 ??11 分, ? 2b ? AD 88

sin ?BAD ?


51 4 11

, sin ?CAD ?

3 51 8 11

??12 分 (计算正确任何一个都给 1 分) ,

sin ?BAD 2 ? ??13 分 sin ?CAD 3

⒙(方法一)⑴作 DE ? B1O1 ,垂足为 E ,连接 BE ??1 分 ∵ ABO ? A1 B1O1 是直三棱柱, 平面A1 B1O1 ? 平面BOO1 B1 ∴ DE ? 平面BOO1 B1 ??2 分
DE ? OP ,又∵ OP ? BD , DE ? BD ? D ,∴ OP ? 平面BDE ??3 分
OP ? BE , ?BOP ~ ?B1 BE ??4 分

∵ ?AOB ? 90 0 , DE ? B1O1 , D 是 A1 B1 的中点
OB 1 1 ?B 1 E ? ??6 分 ∴ DE // A1O1 , B1 E ? OB ? 1 ??5 分, BP ? BB1 2 2

⑵设 OP ? BE ? F ,连接 DF ??7 分 由⑴知, OP ? 平面BDE ,∴ OP ? DF ,又 OP ? BE ( OP ? EF ) ,∴ ?DFE 是 二面角 D ? OP ? O1 的平面角??9 分
OB ? BP ? BE ? B1 E 2 ? B1 B 2 ? 17 ??10 分,BF ? OP 1 2 17 2 ??11 ? 17 1 2 2 2 ?( ) 2 2?


EF ? BE ? BF ? 15 17 1 , DE ? OA ? 2 ??12 分 17 2

∵ DE ? 平面BOO1 B1 , DE ? EF ,∴ DF ? DE 2 ? EF 2 ?
cos ?DFE ? EF 15 293 ? ??14 分 DF 293

293 17

??13 分

(方法二)⑴以 O 为原点, OA 、 OB 、 OO1 所在直线为 x 、 y 、 z 轴建立空间直 角坐标系??1 分
O(0 , 0 , 0) , B(0 , 2 , 0) , A1 (4 , 0 , 4) , B1 (0 , 2 , 4) ??2 分

D 是线段 A1 B1 的中点, P 是侧棱 BB1 上的一点,设 BP ? a ,则 D(2 , 1 , 4) ,
P(0 , 2 , a) ??3 分, OP ? (0 , 2 , a) , BD ? (2 , ? 1 , 4) ??4 分

∵ OP ? BD , OP ? BD ,∴ OP ? BD ? 0 ??5 分 即 ? 2 ? 4a ? 0 ,解得 BP ? a ? ⑵由⑴知, OP ? (0 , 2 ,

1 ??6 分 2

1 ) , OD ? (2 , 1 , 4) ??7 分 2 (若第⑴问用方法一,第⑵用向量法,则从正确建立坐标系到以上两个向量止,给 1 分) 1 ? ?n ? OP ? 2q ? r ? 0 2 设平面 DOP 的一个法向量为 n ? ( p , q , r ) ,则 ? ??9 分 ?n ? OD ? 2 p ? q ? 4r ? 0 ?
取 q ? 2 ,则 r ? ?8 , p ? 15 , n ? (15 , 2 , ? 8) ??11 分 平面 O1OP 的一个法向量为 m ? (1 , 0 , 0) ??12 分 二面角 D ? OP ? O1 的余弦值 cos ? ?
? 15 293 ? 15 293 ??14 分 293

m ?n | m |?| n |

??13 分

⒚设每周生产空调器 x 台、彩电 y 台、生产冰箱 120 ? x ? y 台,产值为 z 千元. 目标函数为 z ? 4 x ? 3 y ? 2(120 ? x ? y) ? 240 ? 2 x ? y ??2 分
1 1 ?5 ?12 x ? 3 y ? 4 (120 ? x ? y ) ? 40 ? ? ??4 分 x 、 y 满足的限制条件为 ?120 ? x ? y ? 20 ?x ? 0 ? ? ?y ? 0

?2 x ? y ? 120 ? x ? y ? 100 ? 即? ??5 分,可行域如图:??7 分 ?x ? 0 ? ?y ? 0

?2 x ? y ? 120 解方程组 ? ??9 分,得 ? x ? y ? 100

? x ? 20 ,即 M 点的坐标为 (20 , 80) 、 (21, 78) ?? (60 , 0) ??10 分 ? ? y ? 80

根据目标函数解析式和可行域, z max ? 2 x ? y ? 240 ? 360 (千元)??12 分 答:每周应生产空调器 20 台、或 20 台以上时,才能使产值最高,最高产值是 360 千元.??13 分(求得一个最优解和最值即可) ⒛⑴点 M 的轨迹是椭圆??1 分
(方法一)由 x 2 ? ( y ? 3) 2 ? x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 10 知,椭圆的焦点为 F 1(0 , ? 3) 、

y2 x2 ? ?1 (a ?b ? 0) ??3 分, 则 2 a ? 10 , a2 b2 y2 x2 c ? 3 ??4 分,所以 a ? 5 ,b 2 ? a 2 ? c 2 ? 16 ,椭圆的标准方程为 ? ? 1 ??5 分 25 16 (方法二)

设椭圆的标准方程为 F 2(0 , 3) ??2 分,

由 x 2 ? ( y ? 3) 2 ? x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 10 即 x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 10 ? x 2 ? ( y ? 3) 2 得

x 2 ? y 2 ? 6 y ? 9 ? 100 ? 20 x 2 ? ( y ? 3) 2 ? x 2 ? y 2 ? 6 y ? 9 ??2 分
移项整理得 5 x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 25 ? 3 y ??3 分 两边平方得 25( x 2 ? y 2 ? 6 y ? 9) ? 625 ? 150 y ? 9 y 2 ??4 分 移项得 25x 2 ? 16 y 2 ? 400 ,椭圆的标准方程为
y2 x2 ? ? 1 ??5 分 25 16

? y2 x2 ? ?1 ? ? 25 16 ⑵由 ? 得 25x 2 ? 20mx ? 8m 2 ? 200 ? 0 ??6 分 ?y ? 5 x ? m ? 4 ? 设 A( x1 , y1 ) 、 B( x 2 , y 2 ) ,依题意, ? ? 400m2 ? 4 ? 25? (8m2 ? 200) ? 0 ??7


400m 2 ? 4 ? 25? (8m 2 ? 200) 4 ? 50 ? m 2 ??8 分 25 5 5 41 | AB |? 1 ? ( ) 2 | x1 ? x2 |? 50 ? m 2 ??10 分 4 5 5 4|m| O 到直线 AB(即直线 y ? x ? m ,5x ? 4 y ? 4m ? 0 )的距离 d ? ??11 4 41 | x1 ? x2 |?
分 △OAB 的面积 S ?
2 当m ? ?

1 2 ? | AB | ?d ? 50 m 2 ? m 4 ??12 分 2 5

50 2 ? 25 时, S 取最大值,最大值为 ? 25 ? 10 ??14 分 ?2 5

21.⑴依题意, x ? 2 x 2 ? 10 ??2 分, 2 x 2 ? x ? 10 ? 0 ,解得 x ? 2 或 x ? ?

5 ??4 分 2

(每个解 2 分,如果两个解都正确,但联结词错,扣 1 分)

x 的取值范围为 ? x | x ? 2或x ? ? ? ??5 分
⑵依题意, S n ? x ? 2x 2 ? 3x 3 ? ? ? (n ? 1) x n?1 ? nx n ??6 分

? ?

5? 2?

xS n ? x 2 ? 2x 3 ? 3x 4 ? ? ? (n ? 1) x n ? nx n?1 ??8 分
两式相减得, (1 ? x)S n ? x ? x 2 ? x 3 ? ? ? x n ? nx n?1 ??10 分 当 x ? 1 时, S n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 1) ? n ?

n(n ? 1) ??11 分 2
x(1 ? x n ) ? nx n ??13 分 1? x

当 x ? 1 时, (1 ? x) S n ? x ? x 2 ? x 3 ? ? ? x n ? nx n ?1 ?
x ? nx ? (n ? 1) x (1 ? x) 2
n n ?1

整理得, S n ?

? n(n ? 1) x ? 1, ? 2 , ? , Sn ? ? ??14 分 n n ?1 ? x ? nx ? (n ? 1) x , x ? 1. ? (1 ? x) 2 ?


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